CC BY
4
УДК 621.391
Борисов А.С. студент второго курса магистратуры Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Россия, г. Самара Научный руководитель: Николаев Б.И. профессор кафедры теоретических основ радиотехники и связи(ТОРС), доктор технических наук Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Россия, г. Самара
ПАРАМЕТРЫ ЦИФРОВОГО КАНАЛА, ПОСТРОЕННОГО НА БАЗЕ НЕПРЕРЫВНОГО МНОГОЛУЧЕВОГО РЕЛЕЕВСКОГО КАНАЛА
Аннотация: В современном мире остро стоит проблема быстрой и достоверной передачи информации. Совершенствуются стандарты связи и передающее информацию оборудование. В этих целях создаются и совершенствуются математические (а на их основе и программно-аппаратные) модели каналов связи. Эта статья посвящена совершенствованию одной из них.
Ключевые слова: цифровая связь, марковская цепь, рэлеевский канал, релеевский канал, замирания.
Borisov A.S.
Student of magistracy Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
Russia, Samara Scientific Supervisor: Nikolaev B.I. Professor at the Department of Theoretical Basis of Telecommunication and Radio engineering Systems D. Sc. In Technical Sciens Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics
Russia, Samara
PARAMETERS OF A DIGITAL CHANNEL BASED ON ANALOG MULTIPATH CHANNEL WITH RAYLEIGH FADING
Abstract: In today's world, there is an important problem of fast and reliable transmission of information. Communication standards and information transfer equipment are being improved. For these purposes, mathematical (and based on software and hardware) communication channel models are being created and improved. This article is dedicated to the improvement of one of them.
Key Words: digital communications, Markov chain, Rayleigh channel, fading, Описание канала связи, как и любого физического объекта, фактически является его идеализацией, которая отражает его наиболее существенные (с точки зрения решаемой задачи) свойства и, таким образом, определяет лишь некоторую модель реального объекта.
Модель канала должна быть построена таким образом, чтобы содержать всю информацию о реальном канале, необходимую и достаточную для разработки обслуживаемой им системы связи и в первую очередь - для выбора оптимальной структуры и алгоритмов работы передающего и приёмного устройств. Кроме того, математическая модель канала используется для последующего построения на её основе аппаратной или программной модели - имитатора канала, необходимого для испытаний или сертификации аппаратуры связи [1].
Внутри дискретного канала всегда содержится непрерывный канал. Преобразование непрерывного канала в дискретный осуществляет модем. Поэтому в принципе можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала при заданном модеме. Такой подход обычно приводит к сложным моделям, особенно для многолучевых каналов, каковыми являются, в частности все каналы мобильной связи.
Однако существуют сравнительно простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Одна из таких моделей - марковская модель дискретного канала с памятью [2]. При проектировании системы связи всегда имеется возможность варьировать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала путём изменения модема.
Переход от релеевской модели замираний аналогового канала к марковской модели дискретного канала Будем считать, что в заданном аналоговом канале действуют гладкие медленные релеевские замирания и аддитивный белый гауссовский шум.
Обозначая у = Uвых - коэффициент передачи канала, введём 2 меры
UbX
12 E
помехозащищённости: h =-- отношение энергии сигнала на входе
^0вых
2 E
канала к спектральной плотности шума на его выходе - и h —
^0вых
2 2 2
обычное БМ^. Тогда к = к) у . Задача состоит в том, чтобы найти
зависимость между двумя событиями: ошибка в приёме некоторого символа (ош1) и ошибка в соседнем символе (например, в следующем -ош2). Поскольку замирания медленные, считаем у = у2 = у и, следовательно,
Рош1 (У1) = Рош2 (у2 ) = Рош (у) . Шум в соседних тактовых интервалах
независимый, следовательно, и ошибки (при фиксированном значении у) также независимы. Значит,
Рош1, ош2 (у) = Рош1 (у) • Рош2 (у) = Рош (у) ■ После усреднения по у:
Р = Р • Р = Р2
ош1, ош2 ош1 ош2 ош ■
Теперь Рош1 ош2 = Р (ош1, ош2) является совместной вероятностью двух подряд ошибок безотносительно к величине у, а Р,ш1 = Р (ош1) и Рш2 = Р (ош2) - соответственно являются отдельными вероятностями
ошибок. Чтобы найти условную вероятность ошибки во втором символе при условии ошибки при приёме первого символа, воспользуемся теоремой
умножения вероятностей: Р ( ош1, ош2) = Р ( ош1) • Р (ош2|ош1). Отсюда
следует:
Р ( ош2|ош1) = Р ( ош1, ош2 )/Р ( ош1).
Найдём эти вероятности для двоичной модуляции ортогональными сигналами и некогерентной демодуляции. При этом
Рош (у)
Так как замирания аппроксимируются релеевским законом
^(у) = "Ге у ^2С , то для получения средней вероятности ошибки а
Рош = Р (ош) = Р (ош1) используем формулу полной вероятности:
Р ( ош) = Г Рош (у ) •" (у ) • й у=Г1 е-к0 у 2/2 • ^ (у ) • й у =
1е"л2/2 = у 2/2
ош V/ 2 2 '
о 2
= Гда 1е-^о у V2 • Х е-у72а2 • йу ■
Го 2 а2
у
Используем подстановку и = — 1
2/1 Л
1 * 2
+ ¿о2
'а2 у .2
и интегрируем:
Р (ош) =-, где у = 2а и у = к - среднее отношение
2 + ко2 у2
сигнал/шум на входе демодулятора.
Теперь находим Р (ош1, ош2) как усреднённое по у значение
Рош1 (у)- Рош2 (у) = Ро2ш (у):
P(ош1, ош2) = Jo"РШ (у) • w(у) • dy = £ 1 e"h у2 • w(y) • dy
= Г !e "h2 у 2 • X e "У 72- • d у.
JO A '
У
Теперь используем подстановку u = —
2
К + 2h2
Va
и интегрируем:
Р ( ош1, ош2 )
1
1
4 + у2 4 + 4h2
Для нахождения условной вероятности Р (ош2|ош1) разделим второе выражение на первое:
/ I \ 1/1 2 + h2
р (ош^ош1) =-— / —J =-= .
4 + 4h / 2 + h2 4 + 4h
Сравним P (ош2|ош1) с Р (ош2):
Р ( ош2|ош1)- Р (ош2 )= 2 + h—--= = 7--=г- > 0
4 + 4h2 2 + h2 (4 + 4h2 )(2 + h2 )
Видно, что условная вероятность Р (ош2|ош1) всегда больше, чем безусловная вероятность Р (ош2) =-=. Лишь при
h = O
2 + h2
(вырожденный случай «обрыва канала») Р (ош2|ош1) = Р (ош2) = 1. По увеличения h2 ^ да Р (ош2) ^ 0, а Р (ош2|ош1) ^ 1. Это явно
мере
указывает на группирование ошибок.
Аналогично найдём Р (прав2|ош1). Для этого сначала определим
Рош1, прав2 (у) = Рош1 (У)- Рправ2 (у) Рош (у)(1 (У)):
Рош1,„рав2 (у) = 1e-ho2уV2 Г1 - 1e-ho2у72'
. Теперь путём усреднения по
у найдём Р (ош1, прав2)
Р (ош1, прав2 ) = J"1 e-h02 у 2/211
= Г"ho2 у2/2. h- i e"ho2 у72 U е-у72а2 • dy =
у a
2 + Эк2
-=г/-=г. И, наконец,
2 + к2 )(4 + 4к2 )
(
Р ( прав2|ош1)
2 + Эк2 1 2 + Эк2
2 + к2 )(4 + 4к2 )/ 2 + к2 4 + 4к2
Найдём сумму обеих условных вероятностей:
^ л „I л 2 + к2 2 + Эк2 , Р( ош2|ош1) + Р (прав2|ош1) =-= +-= = 1.
4 + 4к2 4 + 4к2 Аналогично найдём Р (прав2|прав1) и Р (ош2|прав1):
Р(прав1, прав2) = £[ 1 -1 е-к0 уV2 ] Xе-у2/2а2 • йу = 2 + 5к2 + 4 (к2 2
Далее:
(
2 + к2 )(4 + 4к
Р ( прав ) = 1 - Р ( ош ) =
2 2 1 . »2
1 + к2
2 + к2 у2 2 + к2
2 / _ — /—\2 1 + к"
2 + 5к2 + 4(к2 ) , , 72 2 + 5к2 + 4(к2
Р (прав2|прав1) = 7-—^ _
V ' (2 + к2)(4 + 4к2у 2 + к2 (4 + 4к21 + к2
Сравним Р (прав2|прав1) с Р ( прав2 ) = Р ( прав ):
2
2 + 5к2 + 4 (к2 ) 1 +
Р (прав2|прав1) - Р (прав2) = --,, ^ _
(4 + 4к2 )(1 + к2) 2 + к2
4 + 10к2 + 8 (к2 )2 + 2к2 + 5 (к2 )2 + 4 (к2 )3 - 4 - 8к2 - 4 (к2 )2 - 4к2 - 8 (к2 )2 - 4 (к2 ^
4(1 + к2 ) (2 + к2
к 2
4 (1 + к2 )2 (2 + к2
> О
Видно, что условная вероятность Р (прав2|прав1) всегда больше, чем
безусловная вероятность Р ( прав2 )
1 + к2
2 + к:
Это указывает на
группирование и правильных решений. Далее находим
1 е"ко у 72 ] 1
2 ) 2 а"
Р(прав1, ош2) = К 1 -1 е"ко уV2] 1 е^2уV2 X.^2/2а2. ^ =
2 + 3к2
}--, ,-. И, наконец,
2 + к2 )(4 + 4к2 )
Р ( ош2|прав1)
2 + 3к2
1 + к2
2 + 3к2
2 + к2 )(4 + 4к2
2 + к2 (4 + 4к2 )(1 + к2
Для проверки вычисляем
2 + 5к2 + 4 (к2 Р(прав2|прав1) + Р(ош2|прав1) = ---ч , _1Ч +
2 + 3к
4 + 4к2 )(1 + к2) (4 + 4к2 )(1 + к2)
4 + 8к2 + 4 (к
( н; )2
4 (1+к
(4 + 4к2 )(1 + к2) 4 (1 + к2 )(1 + к
= 1. Проверка сошлась. Итак,
Р ( прав2|прав1) Р ( ош2|ош1) Р ( ош2|прав1) Р ( прав2|ош1)
2 + 5к2 + 4 (к2
4 (1 + к2 )2
2 + 3к2
411 + к2
2 + к2 4 + 4к н
2 + Зк
4 + 4к н
Таким образом, вычислены все 4 элемента матрицы переходных вероятностей марковской цепи ошибок и правильных решений, описывающей рассматриваемый дискретный канал.
Приведённый ниже рисунок показывает зависимость вероятностей:
Р (ош2|прав1) (Р1) - вероятность принять символ ошибочно, если
предыдущий был прият правильно;
Р (ош2|ош1) (Р2) - вероятность принять символ ошибочно, если
предыдущий был принят ошибочно;
(р) - средняя вероятность ошибочного приёма символа.
Рис. 1. Графики зависимостей вероятностей ошибок. Использованные источники:
1. Прокис Дж. Цифровая связь: монография. Пер. с англ. / Под ред.: Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь. 2000. - 800 с.: ил.
2. Кловский Д.Д. Теория электрической связи. - М.: Радиотехника, 2009. - 648 с., ил.
