Модели дискретных каналов связи Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.397

МОДЕЛИ ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ Михаил Владимирович Марков, магистрант, mmarkov1986@mail. т, ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса»,

г. Москва

The basic models of the discrete communication channels used for information transfer in wireless systems of access to information resources are described. The basic merits and demerits of various communication channels are considered and their general characteristic is given. The mathematical apparatus that is necessary for the description of the pulsing nature of the traffic in real channels of transfer is presented. The mathematical calculations used for definition of functions of density ofprobability are given. Models of channels with the memory, characterized by packing of errors in the conditions of a frequency-selective dying down and multibeam distribution of signals are considered.

Описаны основные модели дискретных каналов связи, используемых для передачи информации в беспроводных системах доступа к информационным ресурсам. Рассмотрены основные достоинства и недостатки различных каналов связи и дана их общая характеристика. Приведен математический аппарат, необходимый для описания пульсирующей природы трафика в реальных каналах передачи. Даны математические выкладки, используемые для определения функций плотности вероятности. Рассмотрены модели каналов с памятью, характеризующиеся пакетированием ошибок в условиях частотно-селективных замираний и многолучевого распространения сигналов.

Key words: models of communication channels, discrete channels without memory, channels with deleting, asymmetrical channels without memory, channels with memory Ключевые слова: модели каналов связи, дискретные каналы без памяти, каналы со стиранием, несимметричные каналы без памяти, каналы с памятью.

Постановка задачи

Для описания каналов передачи информации принято использовать математические модели, учитывающие особенности распространения радиоволн в окружающей среде. Среди таких особенностей можно, например, отметить наличие частотно-селективных замираний, приводящих к явлению межсимвольной интерференции (МСИ). Эти явления существенно сказываются на качестве принимаемой информации, так как приводят в ряде случаев к пакетированию одиночных ошибок. Для описания процессов пакетирования было разработано множество моделей каналов связи с памятью. В статье описаны основные модели, обладающие различными характеристиками, описываемыми с помощью полигеометрических распределений длин безошибочных промежутков и пачек ошибок.

Каналы связи принято называть дискретными по времени только в том случае, если входные и выходные сигналы доступны для наблюдения и дальнейшей обработки в строго фиксированные моменты времени. Для определения моделей дискретных каналов связи достаточно описать случайные процессы, происходящие в них, а также знать вероятности

появления ошибок. Для этого необходимо иметь входной (А) и выходной (А) наборы передаваемых символов, должна быть задана совокупность переходных вероятностей р(Д| а), которая зависит от следующих величин: а = (а1,а2,...а.,...)- случайной последовательности символов входного алфавита, где а. е А - символ на входе канала в г-й момент времени; а = (0/1,С(2,...С(г,...)- последовательности принятых символов, взятой из выходного алфавита, где а. е А - символ на выходе канала в г-й момент.

С математической точки зрения вероятность р(а | а) можно определить как

условную вероятность приема последовательности а при условии, что передана последовательность а. Количество переходных вероятностей прямо пропорционально возрастает с увеличением длительности входных и выходных последовательностей. Например, при использовании бинарного кода для последовательности длиной п, количество переходных вероятностей составит 22". Ниже приведено описание математических моделей дискретных каналов, содержащих ошибки. С их помощью можно достаточно просто определить переходные вероятности р(а | а) для заданной последовательности длиной п.

Дискретный канал без памяти

Этот тип канала характеризуется тем, что вероятность появления символа на его выходе определяется только набором символов на его входе. Это утверждение справедливо для всех пар символов, передаваемых через данных канал связи. Наиболее ярким примером канала без памяти является бинарный симметричный канал. Принцип его функционирования можно описать в виде графа, показанного на рис. 1.

На вход канала подается произвольный символ из последовательности а. На приемной стороне он воспроизводится верно с постоянной вероятностью q равной q = р(0 | 0) = р(111), или неверно, в случае, если вероятность определяется выражением

рош = р(11 0) = р(0 11) = 1 - q . (1)

Диаграмма переходов для бинарного канала (БСК) показана на рис. 1.

Рис. 1. Дискретный канал без памяти

Для БСК можно легко определить вероятность получения любой последовательности символов на выходе при условии, что задана некоторая входная последовательность, обладающая фиксированной длиной. Допустим, что такая последовательность имеет длину 3

Р(000|001) = qq(\ - q) = q2рош (2).

Для удобства анализа представим БСК как канал, к которому подключен генератор ошибок. Такой генератор выдает случайную последовательность ошибок (...,е—1,ei,ei+1) .

Каждый её символ ei складывается по модулю с символом ai, принадлежащим

двоичному каналу - а. = а. © е. Сложение выполняется только при условии, что

позиции ошибки и символа совпадают. Таким образом, если ошибка {е. } имеет единичное значение, передаваемый символ изменится на обратный, то есть на приемной стороне будет декодирована последовательность { ai }, содержащая ошибку.

Переходные вероятности, описывающие стационарный симметричный канал имеют вид

р ({а }|{а}) = р({е }|{аг}) = р({ег})

(3).

Из вышеприведенного выражения видно, что канал можно полностью описать статистикой последовательности ошибок { ei}, где ei е {0, 1} . Такую

последовательность, обладающую длиной п, принято называть вектором ошибок. Компоненты данного вектора принимают единичные значения только на позициях,

соответствующих неправильно принятым символам. Число единиц в векторе определяет его вес.

Симметричный канал без памяти со стиранием

Этот вид канала во многом аналогичен каналу без памяти за исключением того, что входной алфавит содержит дополнительный (m+1) символ "?". Используется этот символ только в том случае, если детектор не способен надежно распознать переданный символ ai. Вероятность такого события Рс всегда является фиксированной величиной и не зависит от передаваемой информации. Граф вероятностей переходов для данной модели показан на рис. 2.

1 1-(РС+Р) 1

Рис. 2. Симметричный канал без памяти со стиранием

Несимметричный канал без памяти

Данный канал связи можно охарактеризовать тем, что отсутствует зависимость между вероятностями возникновения ошибки. Но сами они определяются передаваемыми в текущий момент времени символами. Таким образом, для бинарного канала можно записать Р(11 0) Ф Р(0 11) . Переходные вероятности, описывающие данную модель, показаны на рис. 3.

Р(1/1)=1-Р(0/1)

Рис. 3. Несимметричный канал без памяти

Дискретный канал с памятью.

Этот канал можно описать зависимостью между символами входной и выходной последовательностей. Каждый принятый символ зависит как от соответствующего переданного, так и от предыдущих входных и выходных бит. Большая часть реально функционирующих систем связи содержит именно такие каналы. Наиболее существенной причиной наличия памяти в канале является межсимвольная интерференция, проявляющаяся из-за ограничений, накладываемых на полосу пропускания канала связи. Каждый выходной символ обладает зависимостью от нескольких последовательных символов на входе. Вид этой зависимости определяется импульсной характеристикой канала связи.

Второй, не менее важной, причиной эффекта «памяти» являются паузы в передаче данных в канал. Длительность таких пауз может значительно превышать длительность одного бита данных. Во время перерыва в передаче вероятность неправильного приема информации резко возрастает, в результате возможно появление групп ошибок, называемых пакетами.

По этой причине многими исследователями рекомендуется использовать понятие "состояния канала". В результате каждый символ принятой последовательности статистически зависит как от входных символов, так и с состояния канала в текущий момент времени. Под термином "состояние канала" обычно понимают вид последовательности входных и выходных символов вплоть до заданного момента времени. На состояние канала в том числе оказывает сильное влияние и межсимвольная интерференция. Память у каналов связи подразделяется на два вида: память по входу и выходу. Если присутствует зависимость между выходным символом и битами на входе

ai ,ai-15---5, то такой канал обладает памятью по входу. Его можно описать

р(а. | а ,а .,а. .,...), г = -1, 0, 1, 2, ... С точки зрения переходными вероятностями вида ^ ^ . | .' ¡-1' г-2 > / > г

математического анализа память канала бесконечна. На практике количество символов

оказывающих влияние на вероятность правильного или неверного приема информации

конечно.

Память канала вычисляется как число символов N начиная с которого справедливо равенство условных вероятностей

Р(аг 1 аг , а.-1 аг-М ) = Р(аг 1 ^ > аг-1,-> а,-М-] )> для всех ] < 1. (4)

Последовательность входных символов аг-1,...,аг-N можно представить как состояние канала Сг1 в (г-1)-й момент. В таком случае канал можно охарактеризовать набором переходных вероятностей вида р(а. | а.,Сг-1) .

В том случае если принятый бит данных аг характеризуется зависимостью от предшествующих выходных символов, то канал связи принято называть каналом с памятью по выходу. Переходные вероятности можно представить в виде выражения

Р(аг 1 аг , aг-1V.., аг-N ) = Р(аг 1 ^ , С г-^), (5)

где выходные символы аг-1,...,аг-N определяют состояние канала Сг-1 в (г-1)-й момент.

Использование переходных вероятностей для описания каналов с памятью очень неэффективно в виду громоздкости математических выкладок. Например, если имеется канал с межсимвольной интерференцией, а его память ограничена пятью символами, то количество возможных состояний канала составит 25=32.

Если же память только по входу или только по выходу ограничивается в двоичном канале N символами, то число состояний равно 2К, то есть растет по экспоненциальному закону в зависимости от количества символов памяти N. На практике чаще всего приходиться сталкиваться с каналами, обладающими памятью в десятки, сотни и даже тысячи символов.

Дискретно-непрерывный канал

Рассмотрим дискретно-непрерывный канал на входе которого имеются независимые символы аг, а на выходе присутствует непрерывный сигнал 2(^) Для его

описания воспользуемся переходными (условными) плотностями w[г | а. ] декодируемой

реализации при условии, что передан символ а., а также априорными вероятностями

передаваемых символов Р(а.). Переходные плотности также принято называть функциями правдоподобия. С другой стороны, дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями Р[а. | z] передачи символа а{ при получении на выходе колебания z(t). При использовании формулы Байеса получим

, ч Р(а )и[21а ]

Р(аАг) = ^ ^ ' ^, (6).

В данном выражении используется плотность декодируемого колебания, которая определяется как

т-1

2 ] = Е Р(аг) 21 а]

'=° (7).

Непрерывно-дискретный канал описывается аналогично.

Дискретный канал с памятью, характеризующийся коррелированными

замираниями

Замирания возникают, когда амплитуда или фаза сигнала, переданного через канал изменяются по случайному закону. Понятно, что замирания приводят к существенному ухудшению качества принятой информации. Одной из наиболее существенных причин появления замираний считается многолучевое распространение сигналов.

Для описания канала связи будем считать, что кодовая последовательность,

подлежащая передаче а = (а(1),а(2),...,а0),...), а0) е{0,1}, / = 1,2,... генерируется с

использованием сверточного кодера. А после этого подвергается бинарной частотной модуляции, описываемой выражением вида

^(0 = №™*(2пГЛ 0 <t < т, к = 0,1,...

(8).

Здесь буквами Е, Т обозначена энергия и длительность сигнала,

/к = 1к / Т, 1к -целые числа, 1к > 1. (9).

На приемной стороне будет наблюдаться случайный процесс у

2 Е

у^) = ^ — со8(2п^ + в) + п^), 0 < t < Т

В данном выражении используются следующие параметры:

/ —коэффициент передачи канала, выбираемый случайным образом, О — случайный фазовый сдвиг,

n (t) — белый гауссовский шум (АБГШ). Его спектральная плотность мощности равна Nc/2.

Если передается некоторая последовательность a, то выходной сигнал

когерентного демодулятора примет вид у = (у(1), y(2),..., y(iНазванная

последовательность поступает на вход декодера. Полученную последовательность можно представить в виде вектора

(i) / (i) (i) \

y = ( Уо , У ), для вычисления компонент которого используются выражения (11) и (12):

y°(i) = (J VY nj))2 + (j (г )Л/27 + ns o(i ))2 (11)

у/i) = (n/ ))2 + (п:))2 (12)

Здесь

jUc(0 = jU(0 COS в', //v = jU() sin в' - квадратурные компоненты в сумме дающие коэффициент передачи канала,

nck (i), nsk (i), k = 0,1— случайные величины, связанные с влиянием белого гауссовского шума,

Y = E / N0 -- отношение сигнал/шум.

Данные выражения имеют силу, только если передается символ a(г) = 0

(i) = 1

Если имеет место передача символа a = 1, то правые части равенств (11) и (12)

^ ~ (i) (i) (i) (i) 7 Л 1

меняются местами. Случайные величины jlc , nck , nk , k = 0,1 подчиняются

гауссовскому распределению, обладающему параметрами

(i; ck ' = n k (г) sk с k i) (i) n, sk

o: ck ' = n k ") ck i ) (l) nsk sk

(i Jc ) =Js'" (i = Jc J):

(13)

(14)

(i) (l) (i) (i) (i) (l) (i) (l) Л • 1 1 O

Jc nck =Jc nsk = Js nck = Js nsk = 0 i,l = 1,2

Анализируя эти выражения можно прийти к выводу, что канальный коэффициент передачи /л(1 )= ^(Мс°})2 + (м,('})2 зависит от рэлеевского распределения.

Канал с замираниями характеризуется наличием памяти между элементами

м = (м(1),м(2),...,м(г),...) Э

последовательности символов ^ ' ' '. Эта память зависит от характера

связей между членами рядов

Мс = (Мс (2),..., Мс(ги М. = (м, (г(17).

Предположим, что

1 1

ММ = мГМГ = 21 = 2 Г» (18),

где 0 < Г < 1.

В таком случае рс и р, образуют независимые Марковские последовательности. А функция плотности вероятностей w (р) для последовательности р при N> 1 будет равна

w(м) = w(м(1))w(м(2) | М'^У.мМ) I М^-1)), (19)

где

2мехр(~м2) при М- 0

^М) =

^М1 £) ■

0 при м<0 (20)

2м , М2 + г,2гм4л

-^ехр(-^-10(—^) при м - 0

1 - г2 1 - Г 1 - г

0 при М< 0

(21).

В приведенном выражении (х) является функцией Бесселя первого рода

нулевого порядка. Параметр У будет равен среднему значению отношения С/Ш для релеевского канала. Параметр г характеризует зависимость случайных канальных коэффициентов передачи от времени. Этот параметр может лежать в интервале 0,99— 0,999.

Зная все вышеперечисленные параметры можно определить условную функцию плотности вероятности w(у | х). Аналитическое выражение для этой функции имеет вид

^ у1 х) = | ^ у1 х, М>(М^М (22)

С учетом выше приведенных уравнений, получим

N

w( у I х, М) = П w( у(г )|х(г ),м(г))

г= (23).

Таким образом, условные функции плотности вероятности "№"(у(г) | X(г[1('

являются произведением функций плотности вероятности в случае центрированного и не центрированного X - распределения. Такое распределение имеет две степени свободы.

Модель Гильберта

К сожалению, все выше описанные модели каналов не способны описать пульсирующую природу реальных каналов передачи. Поэтому Гильбертом была предложена следующая модель канала с ошибками. Вероятность ошибки в текущем состоянии сети зависит от того, в каком состоянии находилась сеть в предыдущий момент времени. То есть подразумевается, что имеет место корреляция между двумя последовательными событиями. Таким образом, проявляется память канала и его пульсирующая природа. Модель Гильберта по сути является моделью Маркова первого порядка с двумя состояниями - «хорошим» и «плохим». Если ошибки в принятых данных отсутствуют, то речь идет о «хорошем» состоянии. В «плохом» состоянии вероятность ошибки принимает некоторое значение большее, чем 0. На рис. 4 показана модель Гильберта.

Ч

Р(1|С)=0 Р 0<Р(1|В)<=1

Рис. 4. Схематическая иллюстрация модели Гильберта

а

р

0: :Р(1|0): :=1 0<Р(1|В)<=1

Рис. 5. Схематическая иллюстрация модели Гильберта-Эллиота

Вероятность того, что канал находится в «плохом» состоянии равна

Р( В) =

Р + Ч (24),

и таким образом, полная вероятность ошибки

Р = Р(1| В)Р(В) + Р(11О)Р(О) = Р(11 В)

Р + Ч (25).

Модель Гильберта является самовозобновляемой моделью, это означает, что длины пачек ошибок и длины безошибочных промежутков не зависят от предшествующих пачек и промежутков ошибок. Это так называемая скрытая модель Маркова (НММ). Текущее состояние модели (Х или П) не может быть определено до тех пор, пока не будет получен выходной сигнал модели. Кроме того, параметры модели {р, ч, Р(1|В)} не могут быть получены непосредственно во время моделирования. Они могут быть оценены лишь с помощью специальных триграмм или с помощью аппроксимации кривых, как это предложено в работе Гильберта.

Из-за возможности прямой оценки параметров чаще всего использовалась упрощенная версия модели Гильберта, в которой вероятность ошибки в «плохом» состоянии всегда равна 1. Эта модель может быть несколько модифицирована и представлена в виде цепи Маркова первого порядка с двумя состояниями. Два параметра упрощенной модели Гильберта {р, q} могут быть вычислены непосредственно путем измерений трасс ошибок при учете средней длины пачек ошибок

р = 1/ ЬиЫ (26)

и среднем значении длин промежутков

Ч = 1/= р /(!Ьиш *(1 -Р)) (27)

или полной вероятности ошибки

Р = Ч^иг* /(1 + Ч^ ) (28).

Улучшения модель Гильберта впервые была описана в работе Элиота. В ней ошибки могут происходить также и в хорошем состоянии, как это показано на рис. 5.

Эта модель, также известная как канал Гильберта - Элиота ^ЕС), преодолевает ограничение модели Гильберта в отношении геометрических распределений длин пачек ошибок. Кроме того, что данная модель должна соответствовать модели НММ, она должна быть не возобновляемой, то есть длины пачек ошибок должны быть статистически независимы от длин промежутков. Это привносит новые возможности для моделирования радиоканала, но и усложняет процедуру оценки параметров. Параметры для не

возобновляемой модели НММ и модели GEC могут быть оценены с использованием алгоритма Баума-Валия.

-V-

Безошибочные состояние

У

—у-

Ошибочные состояния

Рис. 6. Разделенные цепи Маркова

J

В 1960-х годах, исследователи Бергер, Манделброт, Суссман и Элиот предложили использовать возобновляемые процессы для моделирования характеристик ошибок коммуникационных каналов. Для этого Бергер и Манделброт использовали независимое распределение Парето вида

/(71 a) = a * t "а, t > 1,0 < a < 1

для интервалов между последовательными ошибками.

(29)

Рис. 7. Разделенные цепи Маркова с двумя безошибочными и тремя ошибочными

состояниями

Дальнейшие улучшения модели Гильберта были опубликованы Фричманом (1967), который предложил разделить цепи Маркова на несколько цепей с ошибочными и безошибочными состояниями (рис. 6). Было введено ограничение по количеству запрещенных переходов между ошибочными состояниями и состояниями, свободными от ошибок. Параметры этой модели могут быть несколько улучшены благодаря выборочной

аппроксимации полигеометрических распределении длин промежутков и длин пачек ошибок. Полигеометрическое распределение вычисляется как

F (х | К) = 1 - У цЛ х

V I / полигеометрическое распределение длин промежутков ^^ /г г

' = (30)

N

F(х | К) = 1 - У цЛ х

полигеометрическое распределение длин пачек г г

г =К+1 (31)

при следующих ограничениях

0<& < 1 и 0< Хг < 1.

Параметры и соответствуют вероятностям перехода к новому состоянию и вероятности перехода в пределах нового состояния, К - это число безошибочных состоянии, N - общее количество состоянии.

Конфигурация данноИ модели показана на рис. 7. Она включает в себя два безошибочных состояния и три состояния соответствующие ошибкам. Однако все еще имеется статистическая зависимость между текущим промежутком и предыдущей пачкоИ ошибок, а также между текущим промежутком (пачкои ошибок) и предыдущим промежутком (пачкои ошибок). Поэтому для полного описания модели эти зависимости также необходимо рассмотреть. Однако здесь имеется ограничение, связанное с сохранением фиксированных пропорции вероятностеи перехода из одного состояния в другое. В связи с этим модель становится возобновляемой. Например, в случае конфигурации модели 2/3 соотношения между вероятностями будут такими: р13 : р14 : р15 = Р23 : р24 : Р25 и р31 : р32 = р41 : р42 = р51 : р52. Так, модель Фричмана, показанная на рис. 8, является частным случаем разделенной цепи Маркова. На этом рисунке показано только одно ее ошибочное состояние. Такая конфигурация распределения промежутков между ошибками уникально характеризует модель, а ее параметры могут быть найдены путем аппроксимации соответствующей кривой. Каждое состояние модели Фричмана представляет собой ошибочную модель без памяти, и поэтому модель Фричмана ограничивается полигеометрическими распределениями длин промежутков и пачек ошибок.

Рис. 8. Модель Фричмана

В статье были рассмотрены основные модели каналов связи, используемых для передачи различной дискретной информации и обеспечивающих доступ к разделяемым информационным ресурсам. Для большинства моделей даны соответствующие математические выкладки, на основе анализа которых сделаны выводы об основных достоинствах и ограничениях этих моделей. В работе было показано, что все рассматриваемые модели обладают существенными различиями в характеристиках ошибок.

Литература

1. Adoul, J-P.A., Fritchman, B.D. and Kanal, L.N. A critical statistic for channels with memory // IEEE Trans. on Information Theory. 1972. № 18.

2. Aldridge, R.P. and Ghanbari, M. Bursty error model for digital transmission channels. // IEEE Letters. 1995. № 31.

3. Murthy, D.N.P., Xie, M. and Jiang, R. Weibull Models. John Wiley & Sons Ltd.,

2007.

4. Pimentel, C. and Blake, F. Modelling Burst Channels Using Partitioned Fritchman's Markov Models. // IEEE Trans. on Vehicular Technology. 1998. № 47.

5. McDougall, J., Yi, Y. and Miller, S. A Statistical Approach to Developing Channel Models for Network Simulations. // Proceedings of the IEEE Wireless Communication and Networking Conference. 2004. vol. 3. Р. 1660-1665.