CC BY
44
Параметры подобия и моделирование флаттера цилиндрической оболочки
д.ф.-м.н. проф. Кийко И.А., к.ф.-м.н. доц. Показеев В.В.
МГУ им. М.В. Ломоносова, Университет машиностроения
8(495) 223-05-23, vm@mami.ru
Аннотация. Исследуются параметры подобия в задаче флаттера цилиндрической оболочки. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме. Для избыточного давления принимается либо формула поршневой теории, либо формула линеаризованной теории потенциального обтекания. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, флаттер, параметры подобия, физическое моделирование.
Исследование сверхзвукового флаттера упругой круговой цилиндрической оболочки ведутся давно и многими авторами; достижения на различных этапах развития прослеживаются по обзору [1], монографиям [2, 3], статье [4]. Все работы посвящены методам расчета критических параметров, среди которых основным является критическая скорость потока; ни в одной из работ не ставилась задача о параметрах подобия и правилах физического моделирования, другими словами - о теории эксперимента. В последние годы опубликованы работы [5-8] о моделировании флаттера упругих и вязкоупругих пластин. В них получен принципиально новый результат: в некоторых случаях оказалось возможным отказаться от полного геометрического подобия натурной и модельной пластин, т.е. установлено, что масштабы моделирования размеров в плане и по толщине могут быть различными.
В предлагаемой работе рассмотрена задача о флаттере упругой цилиндрической оболочки, обтекаемой внутренним или внешним сверхзвуковым потоком газа. В качестве математической теории оболочек принята техническая теория в смешанной форме [9]. Для избыточного давления использована либо линеаризованная теория потенциального обтекания (ЛПТ), либо поршневая теория (ПТ). Предложена упрощённая постановка. Определены безразмерные параметры подобия, их равенство в натурном и модельном процессах доставляет правила физического моделирования в рамках выбранной математической модели флаттера.
Уравнение колебаний оболочки
Оболочка в цилиндрической системе координат занимает область £ = {(х, г,0)\ г = R; 0 <0 < 2р; 0 < х < 1 = /ЗR}; она обтекается сверхзвуковым потоком газа (внутренним или внешним) с невозмущенными параметрами Ро, Ро, ао, Мо - соответственно давление, плотность, скорость звука, скорость потока. Уравнения технической теории в смешанной форме имеют вид:
о^г__1_ д^ (Г__1_ дV д2™ д2Г
R дх2 R2 дх2 дв2 R2 дв2 дх2 R2 дх дв дх дв
ОА ™ — — —^ — + ^ ^ ^ = ^
, 2 „ ЕИ д ЕИ
А2 Г +--- + —-
R дх2 R
2„, ( о^ ^
д д ^
удх дв 0
= 0.
дх2 дв2 ч
,3 //Ю/-1 ..2^
Здесь , Г - функции прогибов и усилий, О = ЕЙ /(12(1 — п )) - цилиндрическая жесткость; Е, п, р - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки, И - её толщина. Нормальное давление q представляет собой сумму трех слагаемых: статического давления Ро, силы инерции — рИд/ сИ2 и избыточного давления р . По теории
ЛПТ для р имеем
(
р = -Ро
дф дф
дх
■ + и,
д х
Л
0 г—Я
Потенциал возмущенного потока подчиняется уравнению:
д2ф 1 дф 1 д 2ф
дг2 г дг г2 д02 ^ дх2
■-(М2-1)
д2ф 2М д2ф 1 д2ф
а0 дхдг а0 дх
= 0
и граничному условию не проницания:
дф дг
д дw
дх
■+и
дх
здесь М — и0 /а0 > 1 - число Маха. По формуле ПТ для р полагаем:
Р =
УРо
(
ап
д w дw
Л
дх
■+и
дх
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь у - показатель политропы газа. Приведем систему (1)-(5) к безразмерному виду.
Координаты х, г отнесем к радиусу Я, прогиб w - к толщине к, время - к
х, =РЯ>/Я/(Оо4к), с0 = Е / р, функцию усилий - к Я0 = Ек 2 Я, оставим за безразмерными
величинами прежние обозначения; в результате из (1) получим систему:
а2 , д2Я , д2w д2Я , д2w д2Я „ , д2w д2Я , д2w 12(1 -п2)Я4
А2w - А —г - А —2--- - А —---- + 2А--= А - А3—г + —--^— р,
^^ 1 дх д0дх д0 ^ 3
дх1
л-^ д2 w ,
А-Я + —- + А
дх2 1
дх2 д02
д2 w д2 "дх2 аё2"
С д2w V
дх д0
д02 дх2 = 0.
3 дх2
Ек4
0
(6)
Здесь введены обозначения:
= 12(1 -п2) Я2 = 12(1 -п2) Я2 . = 12(1 -п2) Ро Я4 к = 12(1 -п2)Я
Ао — , -Ат — , — л , -Ат — , .А? — '
к2
к
Ек4
Я
р2к
(7)
В случае, когда р определяется по формуле ПТ (5), последнее слагаемое справа в первом уравнении (6) примет вид:
^ р — - А £ - АМ %
Ек дх дх
в котором обозначено:
. 12(1 -п2)Я . ^ . ,
А4 — —---г-— р — - А4--А5М— .
4 Ек4 4 дх 5 дх
(8)
(9)
Отнесем потенциал возмущения к ф1 — Яа0, оставив для ф прежние обозначение, уравнение (3) запишем в безразмерном виде:
д2ф , 1 дф 1 д2ф ,Л 1Лд2ф д2ф „2 д2ф
дг2 г дг г2 д02 здесь обозначено:
- (М2 -1)
дх
2 - -МВо
дхдг
- В)
дх2
— о,
В( — /(ра^л/Я ).
Граничное условие (4) примет вид:
дф дг
к дw
к дw
— В--+ М--.
г—1
Я дх
Я дх
(10) (11) (12)
Для слагаемого с избыточным давлением р в (6) получим в рамках ЛПТ:
12(1 -у2)Я4 Ек4
(
Р =
дф
дф
Л
-в^ - вм—
д1 дх
0г—1
Здесь введены дополнительные параметры:
= 12(1 -у2к Г я У/2 = 12(1 -у2)а2 я4
1 Р С I к 0 ' 2 к4е20
(13)
(14)
Параметры подобия
Представим себе два процесса - натурный и модельный; под модельным процессом будем подразумевать как правило, лабораторный или промышленный эксперимент. Запишем математическую модель флаттера (ПТ или ЛПТ) для натурного и модельного процессов; решение каждой задач зависит только от безразмерных коэффициентов, следовательно, если соответствующие коэффициенты равны, то решения тождественны (предполагается, что решения существуют и единственны, граничные условия принимаются однородными и не содержащими новых параметров). Это означает, что в соответствующие моменты времени во всех соответствующих точках натуры и модели все безразмерные величины, характеризующие процесс колебаний, равны между собой. Равенства коэффициентов называются условиями подобия, а следствия из них, при определенных дополнительных предположениях, -правилами моделирования или теорией эксперимента. Подчеркнем, что эти правила зависят от принятой математической модели явления. В дальнейшем всем параметрам модельного процесса присвоим индекс т, а параметрам натурного процесса - индекс п .
I. Модель ПТ. Уравнения (6)-(9) содержат следующие независимые параметры:
= аЯ2 = аЯ
Х1 = ,2 , Х2 = '
Хб
к2
аур,я, Г Я
рЕЬо 15,
к
5/2
_ арпС ¡г _ а Я
аур0 Я
Х—~ЕгМ ■
Я
а = 1 -у2.
Из равенств хЗ =ХП при 5 = 1,2,4 с необходимостью следует ат =ап, т.е. равенство ут =уп, а также кт / кп — Ят / Яп. Из условия хЗЗ =ХП получаем рт =рп, а из равенства
т п
Х3 =Хп - соотношение:
(15)
ГЕ) —Г Е 0.
Оставшиеся условия хЗ = Хп, хЗ = Хп приводят соответственно к равенствам (по умол-
т п \
чанию принимаем у =у ):
)т Г ~ )п
, Мт — Мп. (16)
—
V а0 0 V а0 0
Отношение скоростей звука а^ / аЗ по теории одномерного потока выражается через
отношение давлений /аЗ — (рЗ/Рп) , к — (у-1)/(2у), поэтому исключение а0 из уравнений (15), (16) приводит к нетривиальному условию моделирования:
-о
Г Ет
Еп VЕ 0
(17)
Значения коэффициентов Пуассона конструкционных материалов и сплавов различа-
I т п I I /* 2 \ т /* 2 \ п I I т п \ / т п \
ются незначительно, поэтому разность | а - а |=| (у ) - (у ) |=| у - у | (у + у ) не превышает нескольких процентов, поскольку ут + уп < 1. Правила моделирования, основанные
п
0
на равенствах (15)-(17) следует признать приближенными; строгое выполнение всех условий хС = хП приводит к тривиальному случаю: оболочки геометрически подобны, сделаны из одного и того же материала, параметры потоков тождественны. Эксперимент в этом случае, по существу, сводится к проверке математической модели. Более интересен случай, когда натурные условия трудно воспроизвести в модельном процессе. Тогда формулы типа (15)-(17) дадут возможность предсказать (хотя и приближенно) поведение оболочки в натуре по измеренным величинам в эксперименте.
2. Модель ЛПТ. Из системы (6) и соотношений (10)-(14) выделяются безразмерные параметры, среди которых первые пять хС = СП (5 = 1,2,...,5) те же, что и в предыдущем пункте, остальные - новые:
сол/й аао ( R У/2 аа0R4
Хб = М, С 7 = 0 г-, С8 = 77^" I т1 , С9 .
ра0>/я' Л8 рсо | И) ' Л9 с02И4
Анализ системы хС = хП (5 = 1,2,...,9), аналогичный проделанному выше, приводит к выводу о том, что условия подобия и правила моделирования остаются теми же, что и в предыдущем пункте. Нам представляется, что основная роль в этом выводе принадлежит сложной нелинейной системе (6) уравнений колебаний оболочки.
Замечание. В граничные условия на торцах оболочки может входить коэффициент Пуассона; это, как отмечено выше, не скажется на результате.
Простейший вариант моделирования
В системе (1) сделаем максимальные упрощения. Во втором уравнении опустим квадратную скобку; в первом уравнении действие давления Р0 представим в форме осесиммет-ричного безмоментного состояния [10], так что нелинейные слагаемые примут вид:
~ ^д^Гд!^ ~ яд!—
R2 дв2 дх2 ~ Ро дх2 , R2 дх2 дв2 ~ 2R2 Ро дв2 . Вместо системы (1) получим:
. ЕИ д2— ^ _.2 1 д2 Г „д2 — 1 „д2 —
А2Г +--- = 0, ОА2—---- — р^—---- р^—- = q . (18)
R дх2 R дх2 Ро дх2 2R Ро дв2 ()
Для избыточного давления примем формулу ПТ, поэтому q будет иметь вид:
, д2— уР0 (дw дw"]
q = —РИ —w — — I -г- + Мо — I. (19)
дг а0 дх 0
Приведем уравнения (18), с учетом выражения (19), к безразмерному виду по правилам, изложенным выше; примем дополнительно — = Ж ехр(шг), Г = Ф ехр(шг), где ш, г - введенные безразмерные параметры. Система (18) преобразуется к виду:
Л д2Ж л
а2ф+—- = о,
дх2
2 д2Г . д2Ж 1 . д2Ж 2 А2Ж — А0—- — А5-----А5-- + Л3ш2Ж + ЛМЖ + Л4шЖ = 0,
дх2 5 дх2 2 ^ дв2 3 5 4
здесь введены обозначения:
Л = 12(1—^ , Аз = , Л5 =УЛ5. (20)
И2 р2И
Коэффициенты Л4, Л5 определены в (9). Будем, как и ранее, полагать ут = уп, пт =пп;
после этого из набора коэффициентов (20) выделим четыре безразмерных параметра подобия:
-2 - 2 РоРосо (- У/2 С = 72' С2 = Р-"ш\ Сз = ^ЬтМ' С4 = рг0-I - I ш. к р2к Ек РЕа0 у к 0
Запишем равенства сГ = С и последовательно их проанализируем.
1. СГ = СП, следовательно (7 / к)т = (7 / к)п, радиусы и толщины подобны.
2. СГ = Сг, с учетом предыдущего имеем (ш / Р)Г = (ш / Р)п.
3. СГ = Сз, получим равенство (р0М / Е)Г = (р0М / Е)п.
4. СГ = С4, получим равенство (р0с0 /(Еа0))Г = (р0с0 /(Еа0))п.
Анализ этих соотношений приводит к следующим правилам моделирования. Как видно, параметр Р, определяющий длину оболочки С = р/^, остается свободным, поэтому определим отношение рГ / рп = Р0 . Тогда из второго соотношения получим:
шп = р0шп. (21)
Размерная (физическая) частота ш 1 связана с безразмерной ш соотношением ш = ^ш 1. С учетом (21) отсюда следует:
ш? = (к0сп / сГ )шГ' к0 = 7Г / 7п. (22)
Из третьего равенства получаем:
пп ЕГ
МГ = -Р°- • —Мп. (23)
р0Г Еп ( )
__ п / г / ^ 1 п \к
Четвертое равенство, с учетом соотношения а0 / а0 = (р0 / р0) , приводит к правилу моделирования:
( „Г „п 77Г
р0
р0
л
0
сп • Еп, к, = к+1=31-1. (24)
с0Г Е 1 2у
с0
При организации эксперимента предполагается, что в натурном процессе известны параметры материала и потока. В эксперименте (на модели) находятся значения критических
параметров - шГ и Мт, а затем эти значения пересчитываются для натурного объекта по предлагаемым соотношениям.
Один из вариантов моделирования (организации эксперимента) может быть таким. Задаются к0, материал модели, предполагается также известными Еп , р^, с^ ; из (24) опреде-
т гг /^^ \ -1 / т т -1 ут т у —
ляются параметры потока р0 , а0 , а из (23) - число М и скорость потока = М а0 . Из формулы (22) находится частота колебаний натурной оболочки по измеренной в эксперименте частоте ш1 .
Заметим, что упрощенный (и приближенный!) вариант математической модели естественно доставляет более широкие возможности моделирования.
Выводы
Установлены критерии подобия натурного и модельного процессов в задаче о флаттере цилиндрической оболочки, предложены некоторые возможные параметры моделирования. Физические условия моделирования получены из равенства параметров подобия модельного и натурного процессов. Результаты работы могут оказаться полезными при организации экспериментальных исследований.
Литература
1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела.
Итоги науки и техники. ВИНИТИ. 1978. Т. 11. С. 67-122.
2. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз. 1961. 399 с.
3. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М. Наука. 2006. 247 с.
4. Квачев К.В. Метод Ляпунова-Мовчана в одной задаче устойчивости колебаний цилиндрической оболочки // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. 2012. № 2 (12). С. 57-66.
5. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Подобие и моделирование процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. № 3. С. 87-92.
6. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Подобие и моделирование пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вопросы машиностроения и автоматизации. 2011. № 4. С. 109-111.
7. Кийко И.А., Показеев В.В., Кийко С.И. Критерии подобия натурного и модельного процессов колебания пластины в сверхзвуковом потоке газа // В сб. Материалы конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула. 2011. Изд. ТулГУ. С. 127-128.
8. Показеев В.В., Кийко С.И. Параметры подобия и моделирования процессов колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Матем. Механ. 2012. № 3. С. 39-45.
9. Григолюк.Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М. Наука. 1976. 359 с. 10. Александров В.М. Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке // ПММ. 1994. Т. 58. № 4. С. 123-132.
