О моделировании процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

О моделировании процесса колебаний пластины в сверхзвуковом потоке

газа

к.ф.-м.н. доц. Показеев В.В., Кийко С.И., к.ф.-м.н. доц. Кудрявцев Б.Ю.

Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23, [email protected]

Аннотация. Исследуется взаимосвязь параметров натурного и модельного процессов, возникающих в рамках известных математических моделей панельного флаттера упругих и вязкоупругих пластин.

Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, упругая пластина

Насколько можно судить по известной литературе, вопрос, вынесенный в заголовок статьи, до сих пор не обсуждался, хотя представляет несомненный интерес, поскольку является основой при разработке теории эксперимента. В предлагаемой работе в рамках известных математических моделей флаттера упругих и вязкоупругих пластин устанавливаются параметры подобия и предлагаются некоторые возможные параметры моделирования.

1. Постановка задачи Представим себе тонкую пластину, которая в плоскости хОу занимает некоторую область £, ограниченную кусочно-гладким контуром д$ . С одной («верхней») стороны пластина обтекается плоско-параллельным сверхзвуковым потоком газа с невозмущенными параметрами Ро,Ро, ао, У = и п0, п0 = (сОБб^тб?) - давлением, плотностью, скоростью звука, вектором скорости V ; 6 - угол между вектором V и осью Ох . Материал пластины -линейный вязкоупругий, связь между напряжением и деформацией имеет вид:

Г * Л

а = Ео

е(г) -е0 |Г(/ -т)е(г) йт = Е0(1 -е0 Т*(г ))е(г) (1.1)

£>0(1 -£0Г>))Д2^ + рк — = Др (1.2)

Здесь Е0 - мгновенный модуль, ^0 - параметр вязкости. В дальнейшем изложении будем принимать ядро релаксации Г(?) в простейшем виде: ) = ехр(—t), где/? - величина, обратная времени релаксации.

Уравнение колебаний пластины имеет вид [1]:

с^

а t2

Здесь 00 = Е0к / (12(1 — у2)), Р, V - плотность и постоянный коэффициент Пуассона

материала пластины, к - ее толщина, - прогиб, Ар - давление аэродинамического взаимодействия между колеблющейся пластиной и потоком (избыточное давление). Варианты выражений для Ар будут приведены ниже. Уравнение (1.2) дополняется однородными граничными условиями на контуре д $.

2. Упругая пластина Уравнение движения в этом случае следует из (1.2) при ^0 = 0

2 д2

А)АV + рк — = Др. (2.1)

о t

Для избыточного давления Ар примем обобщенную формулу поршневой теории [2]

Г ^ \

. (2.2)

А р =

а0 V

д^ _ ,

--ъи я^гаа w

дt

Здесь У - показатель политропы газа. После подстановки (2.2) в (2.1) получим

Бо А2ч + р к

д 2ч

д г2

УРо

а

дч _ ,

--у о и0gradw

дг

= о.

(2.3)

Приведем это уравнение к безразмерному виду, используя характерные значения параметра процесса. Таковыми являются: ^о - характерный размер области ^; к - толщина

пластины;

Еп, V, Р

или

Е

сЦ = Е I р -

свойства материла пластины; г0

• г = / I а

; ^ П 1 -

характерное время процесса; параметры невозмущенного потока. Введем безразмерные координаты х1 = х 1 ^о, У1 = У 1 ^о и время г1 = г 1 го (в дальнейшем индексы опустим); в этих обозначениях уравнение (2.3) примет вид

д2 ч

А2 ч + а.

д ч

д г

2 + а1-^- + ч = о.

(2.4)

Здесь М = и I ао - число Маха,

а 2 =

12(1 -V 2К 2оао

сок

а1 =

12(1 -у2)уРоК

Е0к

Представим теперь два процесса - натуральный и модельный, будем считать, что в обоих процессах участвуют геометрически подобные пластины с одинаковыми граничными условиями. Если окажется, что для натурного и модельного процессов все безразмерные коэффициенты в уравнении (2.4) и однородных граничных условиях совпадут, то это будет означать, что с математической точки зрения процессы колебаний пластины станут тождественными, а с физической, - что в соответствующие моменты времени в соответствующих точках модели и натуры все безразмерные характеристики совпадут. Такие процессы называют подобными; сформулированные выше условия подобия являются необходимыми.

Установим достаточные условия моделирования. Модельный процесс (другими словами, лабораторный или промышленный эксперимент, в котором возможны измерения) удобно проводить, используя материал натурного процесса. Принимая это условие и полагая, что параметры невозмущенного потока в натуре и модели совпадают, нетрудно установить, что

достаточным условием полного моделирования будет равенство (^о I к)т = (Iо I к)п - здесь и в дальнейшем натурные и модельные параметры снабжены индексами «п» и «т» соответственно. Легко показать, что граничные условия не выявят новых требований и будет выполнено равенство Мт = Мп, которое сохранится и для критических значений М . Пересчет физического времени (или частоты колебаний СО = 11 г ) с модели на натуру проводится

г г„ = кг„ т = к

^ о,п I ^ о,т - масштаб моделирования.

по правилу:

Рассмотрим теперь случай, когда избыточное давление Ар определяется линеаризованной теорией потенциального сверхзвукового обтекания. Потенциал возмущения (р удовлетворяет уравнению [3]

1 д2р 2

ао2 дг2

+ — ап

^ дV с> V

М —— + М ——

У а удг

л

д хдг

+М2 ^ + М2 ^ + 2ММ

V ^^

которое дополняется граничным условием

д х

д у2

а У

д хд у

(2.5)

дф

х,уеь : — д г

г=о

дч _ , =--ьи n0grad ч

дг

(2.6)

и условием затухания при г —> оо .

Избыточное давление Ар определяется соотношением

А Р = ~Ро

\

— + un0gradф

дг о

(2.7)

г=о

Положим w = кЖ(х,у)ехр(®t), (р = ка0/(х,y)exp^t) и введем, как и ранее, безразмерные координаты, из (2.5)-(2.7) получим

( ^ г ^ г\

А / = П2 / + 20.

ых д/+иу ^

дх у ду

+М 2 +м2

у ^ + 2ММУ^

д /

д z

дх ду у дхду

■■ 0 = ПЖ + MnоgradW, А р = (о/ + М^гаО/).

z=0 "0

Уравнение (2.1) колебаний пластины примет после этого вид

А2Ж + ар^Ж + а1 (О/ + Mn0grad/) = 0

Здесь параметры а1, а2 - те же, что и в предыдущем случае. Из вида последних уравнений следует, что условия моделирования, сформулированные ранее, остаются достаточными для полного моделирования в рассмотренном случае.

3. Вязкоупругая пластина Запишем уравнение колебаний (1.2) вязкоупругой пластины при условии, что Ар задается выражением (2.2)

д V ур0

А(1 )Д2w + рк— +

с t

ап

дw _

дt

+ и п0 grad w

0

(3.1)

Приведем (3.1) к безразмерному виду, принимая для безразмерных координат прежние выражения, а для безразмерного времени - замену 1 = . В этих обозначениях из (3.1) получим

12(1 -у2)£ & а ^ 12(1 -У2)гр0^ 0 сА а w

(1 -Л 1Г*)Д2 w +

к2

а t12

а0 Е0

а t1

■+

+

12(1 -И)^,^

(3.2)

Еок

Mn0grad w = 0

здесь обозначено Л1 —80 / , Л2 — ¡3£ 0 / с0.

Дальнейший анализ проведем при условии, что параметры потока р0 и

а0 — (Ур0 / р) одинаковы в модельном и натурном процессах, а скорости потока ^ - различны. Задачу моделирования сформулируем следующим образом: подобрать такой материал модели, чтобы уравнения (3.2), записанные для натуры и модели были тождественными.

Введем масштаб моделирования по линейному размеру £0 : к = ^ 0,п / ^ 0,т, тогда нетрудно показать, что достаточные условия моделирования будут следующими:

у л

1) 2)

д

кРп У

У Л р

У

с

/ \ у \3/2 у

у0,т

V Со,п у

Е

1/2

0,п

Ео

у 0,т у

• к.

3) т =

к к

у Е \1/2

С0,пЕ0,т

с Е

V 0,тЕ0,п

■ к.

характеристики модельного материала Е0,т, С0т — (Е0т / рт ) могут быть произвольными. При этих условиях скорость потока Мт в модели и, соответственно, критическая ско-

Е к3 М = Е0т. Е-. м

рость флаттера определяется соотношением т е т3 п.

Е0,п т

4. Упругая пластина, составляющая часть поверхности тонкого клина

Пусть имеется тонкий клиновидный профиль, обтекаемый без угла атаки газом с большой сверхзвуковой скоростью. Вектор скорости потока направлен по оси клина (перпендикулярно кромке). Согласно [4, 5] уравнение колебаний пластины, находящейся на поверхности клина, будет иметь вид

л2 д2ч 2 д™ л л д2ч

А2 ч + А2М х—- + АМ — + А0М — + —- = 0,

2 дх2 1 сх 0 дг дг2

8кл /3(1 - V2) р12 . . 2 2 у-1

где: Ао = (1 ? 2 ^ tgP(1 + 2^-ш*^)), а" = 1 + 2/((Г- 1)М^2^), е = , (у + 1)ао А ^д/Е^ Г +1

А! = 48^(1-^ + - ш' ^)), А2 = ^ -.И2^)),

1 ЕА 3(Я +1) 2 ЕА3 К1+ Г)

а - угол полураствора клина, наклон ударной волны Р определяется из уравнения tgP = tga + aa *

Очевидно, достаточным условием полного моделирования будет опять же равенство (£0 / А)т = (£0 / А)п . Более слабыми условиями будут

ГзЕ

р

E

Em

E.

m = k • з . l„' .

Остальные параметры, в том числе числа Маха, предполагаются одинаковыми.

Выводы

Установлены критерии подобия процессов и предложены некоторые возможные параметры моделирования. Результаты работы могут оказаться полезными при организации

экспериментальных исследований по панельному флаттеру упругих и вязкоупругих пластин.

Литература

1. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. Т. 401. № 3. с. 342-344.

2. Ильюшин A.A., Кийко И.А. Новая постановка задачи о флаттере пологой оболочки // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. с. 167-171.

3. Основы газовой динамики. Сб. статей под ред. Г.Эммонса. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 702 с.

4. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер прямоугольной пластины, составляющей часть плоскости тонкого клина, обтекаемого потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью. Деп. в ВИНИТИ, 2002, № 1085-В2002.

5. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере прямоугольной пластины в уточненной постановке. Труды московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития Московского мегаполиса», Москва, 2002, с. 60.