ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРУПРУГИХ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ УРОГЕНИТАЛЬНЫХ ОРГАНОВ ЧЕЛОВЕКА И ЖИВОТНЫХ Текст научной статьи по специальности «Медицинские науки и общественное здравоохранение»

Дата публикации: 01.06.2023 Publication date: 01.06.2023

DOI: 10.24412/2588-0500-2023_07_02_38 DOI: 10.24412/2588-0500-2023_07_02_38

УДК 611.6 UDC 611.6

ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРУПРУГИХ МОДЕЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЕЙ УРОГЕНИТАЛЬНЫХ ОРГАНОВ ЧЕЛОВЕКА И ЖИВОТНЫХ С.А. Муслов1, А.А. Солодов1, К.Г. Караков2, И.А. Рева3, С.Д. Арутюнов1

'Московский государственный медико-стоматологический университет имени А.И. Евдокимова, г. Москва, Россия

2Ставропольский государственный медицинский университет, г. Ставрополь, Россия 3Клинический медицинский центр «Кусково» МГМСУ им. А.И. Евдокимова, г. Москва, Россия

Аннотация. Исследованы гиперупругие модели биологических тканей урогенитальных органов человека и животных: неогуковская (англ. Neo-Hookean), 2-параметрическая Муни-Ривлина, Огдена 1-го порядка, 5-параметрические полиномиальные гиперупругие модели и модель Веронда-Вестманн (англ. V-W). Параметры гиперупругих моделей вычислялись с помощью 2-х альтернативных методов: в системе компьютерной алгебры Mathcad 13.0 (функции linfit и genfit) и в многоцелевом пакете программ ANSYS 2022 R2. Рассчитывали материальные константы моделей тканей. Значения коэффициентов ц, C10, C01, C20, C02 и C11 моделей в результате представлены в МПа, постоянная а в модели Огдена - безразмерным параметром. Для гиперупругой неогуковской модели в файлах Mathcad вычислялся параметр ц, ANSYS - 2ц. Исследованы деформационные свойства тканей: кривые a-s и дифференциальные упругие модули.

Ключевые слова: биомеханика, гиперупругие модели, ткани органов мочевыделительной и репродуктивной системы.

PARAMETERS OF HYPERELASTIC MODELS OF UROGENITAL ORGANS'

BIOLOGICAL TISSUES OF HUMAN AND ANIMALS

S.A. Muslov1, A.A. Solodov1, K.G. Karakov2, I.A. Reva3, S.D. Arutyunov1

'Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, Russia 2Stavropol State Medical University, Stavropol, Russia 3Clinical Medical Center "Kuskovo", Moscow, Russia

Annotation. We have studied hyperelastic models of biological tissues in urogenital organs of human and animals: the Neo-Hookean model, the 2 parameter Mooney-Rivlin model, the Ogden model, 5 parameter polynomial hyperelastic models and the Veronda-Westmann model. The hyperelastic model parameters were calculated with 2 alternative methods: in the Mathcad 13.0 system (using linfit and genfit functions) and in the ANSYS 2022 R2 software package. The matter constants of the tissue models were identified. Values of C10, C01, C20, C02 and C11 were presented in MPa, the a constant in the Ogden model - as a nondimensional parameter. For the Neo-Hookean model, the ^ parameter was identified, for ANSYS - 2^. The authors have studied deforming properties of the tissues: the a-s curves and the differential elastic modules. Keywords: biomechanics, hyperelastic models, tissues of organs of the urinary and reproductive systems.

Введение. Решение урологических и гинекологических проблем мужчин и женщин [1-2] требует знаний, касающихся механических свойств урогенитальных тканей. Урогенитальные ткани, как почти все мягкие биологические ткани, характеризуются большими упругими деформациями

и незначительным изменением объема при деформации и являются гиперупругими. Для гиперупругих материалов закон Гука не выполняется, а для описания деформационных свойств гиперупругих материалов необходимо применение различных реологических моделей, при этом выбор и

установление параметров моделей для гиперупругих материалов представляют актуальную задачу биомеханики [3]. С точки зрения медицины оценка этих параметров может служить диагностическим показателем состояния урогенитальных тканей, а знание характеристик их деформационных свойств может быть применено при реконструктивных вмешательствах и разработке эндопротезов.

Методы и организация исследования.

Выбор гиперупругих моделей для биологических материалов является нерешенной задачей биомеханики.

В 2-х параметрической модели Муни-Ривлина 2-го порядка при одноосном растяжении зависимость напряжения от деформации гиперупругих тел описывается функцией [4]:

C 1 1 1

а = 2(C10 - - = 2С10 (к - ) + 2С01 (1 - —),

(1)

где о - инженерное (условное) напряжение, а две материальные константы Cío и Coi имеют размерность напряжений и определяют функцию плотности энергии

II и 12 - первый и второй инварианты тензора, равные I! = Л + Л + Л и 1 1 1

12 = 77 + 77 + 77, а значения ^1=81+1

Л2 Л Л (1=1, 2, 3) - главные компоненты, 81 -главные относительные деформации. Если Со1=0, модель эквивалентна неогуковской

деформированного материала как линейную комбинацию двух инвариантов тензора деформации Коши-Грина:

(2)

модели. При малых деформациях вклад Cío практически отсутствует и можно показать, что E=6Cio. Модель Муни-Ривлина является дальнейшим развитием неогуков-ской модели.

В рамках гиперупругой модели Огдена формула для упругого потенциала при одноосной деформации имеет вид:

w=ад - 3)+Co:(i2 - 3),

W = - 3), (3)

p=1 ар

что дает

i

—а,

а = ЕИр(кар-к2Р), (4)

р

р=1

где Цр и ар - материальные константы, В полиномиальной 5-параметрической мо-

п - порядок модели [5]. дели 2-го порядка соответствующие

выражения имеют вид [6-7]:

n

n

W = £ ед - 3)1 • (I2 - 3)J, i=0,j=0

BIOMEDICINE 2023, Vol. 7 (2)

где i = 0, 1, 2, а

БИОМЕДИЦИНЫ 2023, T. 7 (2)

a = 2(X - X-2)[C10 + C01X-1 + 2C20 (X2 + 2X-1 - 3) + 2X-1C02 (2X + X-2 - 3) + 3Cn (X -1 - X-1 +

1 1 3 2 13

+X-2)] = 2Ci0(X- —) + 2C0i(1 --) + 4C20(X3-3X +1 + — --) + 4C02(2X-3 - — + - -X X XX XX

~) + 6C11(X2 -X-1 + \ + -1

X 11 X2 X3 X4'

Полиномиальная модель - это наиболее общий вариант записи потенциала энергии деформации. Она лежит в основе других известных моделей [3].

Неогуковскую модель можно получить из полиномиальной модели 1-го порядка при Со1=0 и Сю=ц/2, где ц - начальный модуль сдвига. Она представляет собой модель, аналогичную закону Гука, которая может быть использована для прогнозирования нелинейного поведения напряжений и деформаций материалов, испытывающих большие деформации. Модель была

представлена Рональдом Ривлиным в 1948 году. В отличие от линейно-упругих материалов, кривая «напряжение-деформация» неогуковского материала не является линейной. На начальном этапе соотношение линейно, но в какой-то момент кривая выходит на плато. Это самая простая гиперэластичная модель, в которой используется постоянный модуль сдвига. Ее удобно использовать на начальном этапе, поскольку она требует минимального количества констант. Устанавливающие уравнения для этой модели:

W = ^ (I1 - 3), ^ 1

a = 2^(X2 - -)

X

(7)

Модель Веронда-Вестманн (англ. механическими нелинейными свойствами,

Уегопёа^евШапп, У^) задается соотно- поскольку хорошо коррелирует с опытными

шениями, указанными ниже, и весьма часто данными [8]. применяется при анализе материалов с

W = Q[e

ад-3) - 1] - CC.^ - 3),

a = 2QCeC2(X2+2X" -3)(X - X"2) + 2C3(1 - X"3)

(8)

Результаты исследования и их обсуждение. Численные значения параметров моделей представлены в таблицах 1-5, а графические результаты моделирования в МаШсаё - на рисунках 1-10.

Паренхима почки. Почка состоит из паренхимы, а также системы накопления и выведения мочи. В паренхиме расположены структурно-функциональные единицы -нефроны.

Известные экспериментальные кривые «напряжение-деформация» [9] были оцифрованы с помощью приложения GetData Graph Digitizer. Далее данные экспортировались в пакет программ для алгебраических вычислений Mathcad 13.0. Численные массивы описывались соотношениями

a = a(ep8-1), где коэффициенты аир определялись с помощью функции genfit,

приближающей набор данных к экспонентам наилучшим образом. Значения модулей упругости почечной паренхимы оказались равными: Етш=0,5 кПа, Еср=81 кПа, Етах=626 кПа соответственно. Экспериментальная и расчетная кривые о-8

0,06

CÖ

0,05

^ 0,04 aJ

I 0,03 *

| 0,02 сЗ

Д 0,01

паренхимы почки представлены на одном графике (рис. 1).

Параметры гиперупругих моделей паренхимы почки систематизированы в таблице 1.

5

9

i

9

• о эксп О о расч

О

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Деформация, 8

Рис. 1. Кривые о-8 почечной паренхимы (у лиц в возрасте от 10 до 19 лет)

Таблица 1

Параметры гиперупругих моделей паренхимы почки

Гиперупругая модель Метод C10, ц, 2ц C01, a C20 C02 C11 СКО/r

Неогуковская Mathcad 0,014 0,015/0,788

ANSYS 0,025

Муни-Ривлина, 2-х параметрическая Mathcad 0,094 -0,123 0,008/0,923

ANSYS 0,086 -0,111

Огдена Mathcad 6,60 10-6 18,977 0,002/0,9947

ANSYS 1,56E-05 18,043

Полиномиальная Mathcad -0,878 0,924 2,295 5,435 -6,756 0,002/0,995

ANSYS -0,646 0,680 1,789 4,161 -5,223

Веронда-Вестманн Mathcad 0,451 -0,568 0,289 0,005/0,9763

0

Примечание: СКО - среднее квадратичное отклонение; r - коэффициент корреляции; ц, а, Cío, Coi, Cii, C20, C02 - материальные константы гиперупуругих моделей; параметры вычислялись двумя методами: в системе Mathcad 13.0 и пакете программ ANSYS 2022 R2

В рамках неогуковской модели модуль Гиперупругие модели должны удовле-

Юнга паренхимы почки E=2(1+v)p~3p=42 творять критерию устойчивости, чтобы

кПа, где v~0,5 - коэффициент Пуассона, воспроизводить реальное поведение

что соответствует диапазону модуля, материала. Критерий устойчивости может

установленному в Mathcad с помощью быть записан как: экспоненциальной модели (0,5-626 кПа).

5aij

T5T - 0, (9)

где Gij и 8ij - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно. В литературной форме критерий означает, что деформации должны расти при увеличении приложенного напряжения. Это условие, разработанное Hill, R. (1958) [10] и Drucker, D.C. (1959) [11], предусматривает определенные ограничения на параметры моделей при одноосной нагрузке. Например, для 2-параметрической модели Муни-Ривлина при одноосной деформации оно

имеет вид: Сю+Со1>0, Со1>0 и для паренхимы почки не выполняется, о чем свидетельствует ход кривой омк(0 на графике (рис. 2). Также на определенных участках гиперупругих кривых теряют устойчивость полиномиальная модель и модель Веронда-Вестманн паренхимы почки. Для неогуковской модели и модели Огдена условие (9) выполняется во всем диапазоне деформаций.

0.065

0.06

сЗ

aNH(t) 0.04

g aMR(t)

g aOgden(t)

t* - 0.02

£р aPolynom(t)

cö -

Ä aVW(t)

- 0.013

V

/г

v».

1.2

1.4

Л, t

1.6 1.65

Коэффициент деформации Рис. 2. Гиперупругие модели паренхимы почки Примечание: NH - неогуковская; MR - Муни-Ривлина; Ogden - Огдена; Polynom - полиномиальная; VW - Веронда-Вестманн

a

0

1

1

Мочеточник. I. Аваш1 и соавт. (1961) [9] исследовали деформационные свойства мочеточника у 60 пациентов. Кривые напряжения-деформации в продольном и поперечном направлениях для образцов мочеточника у лиц в возрасте от 10 до 29 лет можно видеть на рисунке 3. Расчетные зависимости так же, как и для тканей почки были

получены нами в приложении МаШсаё 13.0. Установлена выраженная анизотропия А механических свойств мочеточника в продольном (1) и поперечном (1) направлениях: отношение упругих модулей ЕЬр/Е^р равнялось 9,9, что значительно больше единицы и подтверждается ходом кривых на рисунке 3.

Отметим, что численные значения постоянных, рассчитанные в модели Муни-Ривлина и полиномиальной в Mathcad и ANSYS полностью совпали. При этом условие механической устойчивости Hill-Drucker Cio+Coi>0, Coi>0 в модели

2,5

Муни-Ривлина мочеточника, также как и для паренхимы почки, не выполняется.

Гиперупругие модели мочеточника представлены на рисунке 4, а их параметры - в таблице 2.

CÖ

« 1,5

К

X <и

СР

с

eö

К

0,5

8

9 9 в

8

С

0,5 1

Деформация, в

• öl, MPa ■ ot, MPa О о1расч □ otрасч

1,5

Рис. 3 Кривые o-в мочеточника у лиц в возрасте от 10 до 29 лет (экспериментальные и расчетные с помощью функции genfit Mathcad 13.0) в продольном (1) и поперечном (t)

направлении

2

1

0

0

CT

0.65

ев

^ CTNH(t) 0.4

| CTMR(t)

^ CTOgden(t)

£р CTPolynom(t)0 2

Я CTVW(t)

0.1

Л, t

2.1

Коэффициент деформации Рис. 4. Гиперупругие модели мочеточника Примечание: NH - неогуковская; MR - Муни-Ривлина; Ogden - Огдена; Polynom - полиномиальная; VW - Веронда-Вестманн

0

1

Таблица 2

Параметры гиперупругих моделей мочеточника_

Гиперупругая модель Метод C10, ц, 2ц C01, а C20 C02 C11 СКО/r

Неогуковская Mathcad 0,096 0,132/,839

ANSYS 0,192

Муни-Ривлина, 2-х параметрическая Mathcad 0,398 -0,551 0,067/0,949

ANSYS 0,398 -0,551

Огдена Mathcad 1,76 *10-3 7,974 0,117/0,997

ANSYS 0,0017 8,99

Полиномиальная Mathcad -1,384 1,468 1,293 4,322 -4,357 0,007/0,9995

ANSYS -1,384 1,468 1,293 4,322 -4,357

Веронда-Вестманн Mathcad 2,049 -0,402 0,994 0,041/0,9809

Примечание: СКО - среднее квадратичное отклонение; r - коэффициент корреляции; ц, а, C10, C01, C11, C20, C02 - материальные константы гиперупуругих моделей; параметры вычислялись двумя методами: в системе Mathcad 13.0 и пакете программ ANSYS 2022 R2

а

0,45 0,4 0,35 0,3

g 0,25 н

£ 0,2 «

& 0,15

а На

0,1

0,05

О

в

о

о

в

• ot эксп ■ ob эксп О ot расч □ ob расч

Ч>

-0,5

0,5 1,5 Деформация, в

2,5

Рис. 5. Опытные и расчетные кривые о-8 тела (b - body) и треугольника (t - trigone) мочевого пузыря пациентов в возрасте от 10 до 29 лет в продольном (l) и поперечном (t)

направлениях

Мочевой пузырь. Полый мышечный орган у людей и других позвоночных, который накапливает мочу из почек перед удалением при мочеиспускании. Деформационные свойства стенки мочевого пузыря были исследованы у 59 пациентов [9]. Изучали механические характеристики тела

и треугольника Льето - образования в дне мочевого пузыря. При тех же напряжениях тело мочевого пузыря имеет гораздо большие удлинения, чем треугольник (рис. 5). Явная неоднородность упругих свойств стенок мочевого пузыря выражена безразмерным отношением усредненных модулей

0

БИОМЕДИЦИНЫ 2023, T. 7 (2)

Юнга треугольника Et и тела пузыря ЕЬ: А=Е1ср/ЕЬср=2,29 (ЕЪр=316 кПа, ЕЬср=137 кПа), что соответствует более развитому мышечному слою треугольника, чем тела мочевого пузыря. Этот слой пузыря, сокращаясь, обусловливает мочеиспускание. Отношение максимальных значений Е дает

BIOMEDICINE 2023, Vol. 7 (2)

еще большую величину А: Е^ах/ЕЬшах=3,88 (Е1шах=2,79 МПа, ЕЬшах=0,72 МПа, А=3,88) [12].

Результаты исследований гиперупругих свойств мочевого пузыря представлены на рисунке 6 и в таблице 3.

0.45

0.4

a

é •• Щ aNH(t)

g aMR(t) 0.2

^ aOgden(t) «

& aPolynom(t)

й -

К aVW(t)

0

- 0.1

1 1.5 2

1 Л, t 2.3

Коэффициент деформации Рис. 6. Гиперупругие модели стенки мочевого пузыря Примечание: NH - неогуковская; MR - Муни-Ривлина; Ogden - Огдена; Polynom - полино-

миальная; У^ - Веронда-Вестманн

Таблица 3

_Параметры гиперупругих моделей мочевого пузыря (треугольник)_

Гиперупругая модель Метод C10, ц, 2ц C01, а C20 C02 C11 СКО/r

Неогуковская Mathcad 0,05 0,1/0,747

ANSYS 0,100

Муни-Ривлина, 2-х параметрическая Mathcad 0,214 -0,329 0,068/0,874

ANSYS 0,214 -0,329

Огдена Mathcad 5,07105 10,988 0,028/0,9792

ANSYS 1,55E-06 16,417

Полиномиальная Mathcad -2,759 2,987 1,224 5.318 -4,559 0,022/0,9869

ANSYS -2,759 2,987 1,224 5,318 -4,559

Веронда-Вестманн Mathcad 2,188 -0,287 0,784 0,047/0,9407

Примечание: СКО - среднее квадратичное отклонение; г - коэффициент корреляции; ц, а, С10, С01, С11, С20, С02 - материальные константы гиперупуругих моделей; параметры вычислялись двумя методами: в системе МаШсаё 13.0 и пакете программ ANSYS 2022 R2

Матка. Матка представляет собой средний отдел репродуктивной системы женщин и самок животных. Деформационные свойства матки нескольких крольчих были изучены T. Ohara (1953) (рис. 7-8,

табл. 4) [13]. Характеристики механических свойств ткани матки важны для понимания механических повреждений стенок матки и путей коррекции пролапса тазовых органов женщин.

0,2 0,18 Я 0,16 S 0,14

<и 0,12 к

я 0 1

|Ц 0,1 ^ 0,08 с 0,06

CÖ

К 0,04

0,02 0 • •

0

9

• o эксп О o расч

0,5 1

Деформация, в

1,5

Рис. 7. Кривые о-8 матки самки кролика. Продольное направление (опытная и расчетная

кривые)

1 Л, t 2.5

Коэффициент деформации Рис. 8. Гиперупругие модели матки самки кролика Примечание: NH - неогуковская; MR - Муни-Ривлина; Ogden - Огдена; Polynom - полиномиальная; VW - Веронда-Вестманн

БИОМЕДИЦИНЫ BIOMEDICINE 2023, T. 7 (2)_2023, Vol. 7 (2)

Таблица 4

Параметры гиперупругих моделей матки (самка кролика)_

Гиперупругая модель Метод C10, ц, 2ц C01, a C20 C02 C11 СКО/r

Неогуковская Mathcad 0,026 0,033/0,892

ANSYS 0,052

Муни-Ривлина, 2-х параметрическая Mathcad 0,078 -0,111 0,014/0,974

ANSYS 0,078 -0,111

Огдена Mathcad 2,17103 4,841 0,001/0,9999

ANSYS * *

Полиномиальная Mathcad 0,032 -0,029 0,012 -5,55103 -0,018 0,0004/1

ANSYS 0,032 -0,029 0,012 -0,006 -0,018

Веронда-Вест-манн Mathcad 0,462 -0,322 0,192 0,006/0,9943

Примечание: СКО - среднее квадратичное отклонение; r - коэффициент корреляции; * - некорректность процедуры Curve fitting; ц, a, Cio, C01, C11, C20, C02 - материальные константы гиперупуругих моделей; параметры вычислялись двумя методами: в системе Mathcad 13.0 и пакете программ ANSYS 2022 R2

Влагалище. Влагалище - это полая эластичная мышечная трубка, который соединяет область наружных половых органов и матку.

T. Ohara (1953) [13] исследовал упругие свойства стенки влагалища нескольких крольчих (рис. 9-10, табл. 5). На рисунке 9 показаны кривые напряжения деформации стенки влагалища крольчих в продольном и

поперечном направлениях. Видно, что стенка влагалища жестче в продольном направлении, чем в поперечном. Об этом говорит и значение коэффициента упругой анизотропии, определенного как безразмерное отношение среднего модуля упругости в продольном к среднему модулю упругости в поперечном (радиальном) направлении Е1ср/Е^р = 1,83, т.е. почти 2 раза.

0,7 0,6

с 0,5 Па

S 0,4

<0

g °,3 е

а0,2 р

§ 0,1 На

0

8

8

о в

■ в ■§

0,5

1

;

1,5

Деформация, s

• cl эксп ■ ct эксп О cl расч □ ct расч

2,5

Рис. 9. Экспериментальные и расчетные кривые о-8 стенки влагалища самки в продольном

(1) и поперечном (^ направлениях

0

2

БИОМЕДИЦИНЫ 2023, T. 7 (2)

BIOMEDICINE 2023, Vol. 7 (2)

g aMR(t)

^ aügden(t) «

aPolynom(t) E aVW(t)

Л, t

3

3.1

Коэффициент деформации Рис. 10. Гиперупругие модели стенки влагалища (самка кролика) Примечание: NH - неогуковская; MR - Муни-Ривлина; Ogden - Огдена; Polynom - полиномиальная; VW - Веронда-Вестманн

Таблица 5

Параметры гиперупругих моделей влагалища самки кролика

Гиперупругая модель Метод C10, ц, 2ц C01, a C20 C02 C11 СКО/r

Неогуковская Mathcad 0,051 0,107/ 0,854

ANSYS 0,102

Муни-Ривлина, 2-х параметрическая Mathcad 0,156 -0,272 0,051/ 0,956

ANSYS 0,156 -0,272

Огдена Mathcad 6,27 10-4 5,96 0,008/0,9991

ANSYS 0,00096 6,56

Полиномиальная Mathcad 0,223 -0,25 0,0097 -0,117 0,009 0,002/ 0,9999

ANSYS 0,222 -0,250 0,0097 -0,116 0,009

Веронда-Вестманн Mathcad 1,769 -0,205 0,491 0,024/ 0,990

a

2

Примечание: СКО - среднее квадратичное отклонение; r - коэффициент корреляции; ц, а, Cio, C01, C11, C20, C02 - материальные константы гиперупуругих моделей; параметры вычислялись двумя методами: в системе Mathcad 13.0 и пакете программ ANSYS 2022 R2

Заключение: 2. Касательно адекватного выбора той

1. Анализ данных, приведенных в или иной модели для описания гиперупру-таблицах 1-5, показал, что результаты, гих свойств органов, как показали рисунки полученные с помощью приложений 1-10, результаты могут существенно разли-Mathcad 13.0 и ANSYS 2022 R2, совпадают чаться. Об этом свидетельствуют представили очень близки. ленные в таблицах численные значения

среднего квадратичного отклонения СКО и коэффициента корреляции r. Наименьшие значения СКО наблюдались в моделях Огдена, полиномиальных моделях и моделях Веронда-Вестманн, соответственно для этих моделей зафиксирована наибольшая степень корреляции между опытными и расчетными данными (например, СКО=0,0004 в полиномиальной модели, r=1 и СКО=0,0001, r=0,9999 в модели Огдена стенки матки). Наибольшие значения СКО и наименьшие значения r были обнаружены у простейших гиперупругих моделей: неогу-ковской и Муни-Ривлина (например, СКО=0,015, r=0,788 у неогуковской модели паренхимы почки, а также СКО=0,068, r=0,874 в модели Муни-Ривлина мочевого пузыря). Численные значения постоянных, рассчитанные в моделях Муни-Ривлина и полиномиальной в Mathcad 13.0 и ANSYS 2022 R2 для мочеточника человека, матки и влагалища самки кролика, полностью совпали.

3. Для всех типов исследованных тканей мочевыводящей и репродуктивной систем условие механической устойчивости (стабильности) Hill-Drucker Cio+Coi>0, Coi>0 в моделях Муни-Ривлина материалов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Roccabianca, S. Understanding the mechanics of the bladder through experiments and theoretical models: where we started and where we are heading / S. Roccabianca, T. R. Bush // Technology. -Vol. 4. - № 1. - pp. 30-41.

2. Пушкарь, Д. Ю. Пролапс гениталий / Д. Ю. Пушкарь, П. И. Раснер, М. Ю. Гвоздев // Русский медицинский журнал. - 2013. - № 34. -С. 11.

3. Шмурак, М. И. Анализ гиперупругих моделей для описания поведения мягких тканей организма человека / М. И. Шмурак, А. Г. Кучу-мов, Н. О. Воронова // Master's Journal. - 2017. - № 1. - С. 230-243.

4. A review on material models for isotropic hyper-elasticity / S. K. Melly, L. Liu, Y. Liu, J. Leng // Int J Mech Syst Dyn. - 2021. - № 1. - pp. 71-88.

5. Ogden, R. W. Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids / R. W. Ogden

не выполняется. На отдельных участках деформирования теряет устойчивость модель Веронда-Вестманн, а также полиномиальная модель (последняя - кроме тканей стенки матки самки кролика). Неогуковская модель и модель Огдена стабильны во всем диапазоне деформаций.

4. Параметры гиперупругой модели Огдена 1-го порядка стенки матки животных в приложении ANSYS получены не были, очевидно, вследствие несовершенства процедур итерации в работе программы при расчете данной модели.

5. Результаты работы могут быть использованы для интерпретации связи параметров моделей с физическими свойствами материала и выбора модели, подходящей для конкретных практических целей.

В заключении отметим, что определенные в данном исследовании коэффициенты гиперупругих моделей могут быть использованы при численном моделировании напряженно-деформированного состояния (НДС) тканей органов урогенитальной зоны, а характеристики деформационных свойств тканей - при реконструктивных вмешательствах и разработке эндопротезов.

// Proc. R. Soc. Lond. A. - 1972. - Vol. 326. - № 1567. - pp. 565-584.

6. Rackl, M. Curve Fitting for Ogden, Yeoh and Polynomial Models / M. Rackl // ScilabTEC 2015, 7th International Scilab Users Conference. Paris, France, 21st and 22nd May 2015. - 18 p.

7. Calvo-Gallego, J. L. polynomial hyperelastic model for the mixture of fat and glandular tissue in female breast / J. L. Calvo-Gallego, J. Martínez-Reina, J. Domínguez // Int. J. Numer. Meth. Bio-med. Engng. - 2015. - № 31(9). - Art. № e02723. DOI: 10.1002/cnm.2723.

8. Chanda, A. Biomechanical Modeling of Human Skin Tissue Surrogates / A. Chanda // Biomimetics. - 2018. - Vol. 3. - Art. № 18. DOI: 10.3390/biomi-meticcs3030018.

9. Asami, I. Study on the strength of human urinary organs / I. Asami // J. Kyoto Pref. Med. Univ. -1961. - Vol. 70. - pp. 767-788.

10.Hill, R. General theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids / R. Hill // Journal of the

Mechanics and Physics of Solids. - 1958. - № 6 (3). - pp. 236-249, DOI: 10.1016/0022-5096(58)9 0029-2.

11. Drucker, D. C. A definition of a stable inelastic material / D. C. Drucker // Journal of Applied Mechanics. - 1959. - № 26 (1). - pp. 101-195. DOI: 10.1115/1.4011929.

12. Муслов, С. А. Упругость и гиперупругость урогенитальных тканей человека и животных / С. А. Муслов, Е. А. Лапшихина, Д. С. Кобзев // Эффективная фармакотерапия. Урология и нефрология. - 2021. - Т. 17. - № 25. - С. 6-24.

13. Ohara, T. On the comparison of strengths of the various organs-tissues / T. Ohara // J. Kyoto Prev. Med. Univ. - 1953. - Vol. 53. - pp. 577-597.

REFERENCES

1. Roccabianca S., Bush T.R. Understanding the mechanics of the bladder through experimentsand theoretical models: where we started and where we are heading. Technology, vol. 4, no. 1, pp. 30-41.

2. Pushkar' D.Yu., Rasner P.I., Gvozdev M.Yu. Genital prolapse. Russian Medical Journal, 2013, no. 34, p. 11 (in Russ.)

3. Shmurak M.I., Kuchumov A.G., Voronova N.O. Hyperelastic models analysis for description of soft human tissues behavior. Master's Journal, 2017, no. 1, pp. 230-243. (in Russ.)

4. Melly S.K., Liu L., Liu Y., Leng J. A review on material models forisotropic hyperelasticity. Int J Mech Syst Dyn. 2021, no. 1, pp. 71-88.

5. Ogden R.W. Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for

incompressible rubberlike solids. Proc. R. Soc. Lond. A, 1972, vol. 326, no. 1567, pp. 565-584.

6. Rackl M. Curve Fitting for Ogden, Yeoh and Polynomial Models. ScilabTEC 2015, 7th International Scilab Users Conference. Paris, France. May 21st and 22nd, 2015. 18 p.

7. Calvo-Gallego J.L., Martínez-Reina J., Domínguez J. A polynomial hyperelastic model for the mixture of fat and glandular tissue in female breast. Int. J. Numer. Meth. Biomed. Engng, 2015, no. 31(9), art. no. e02723. DOI: 10.1002/cnm.2723.

8. Chanda A. Biomechanical Modeling of Human Skin Tissue Surrogates. Biomimetic, 2018, vol. 3(3), art. no. 18. DOI: 10.3390/biomimetics3030018.

9. Asami I. Study on the strength of human urinary organs. J. Kyoto Pref. Med. Univ, 1961, vol.70, pp. 767-788.

10.Hill R. General theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1958, vol. 6 (3), pp. 236-249. DOI: 10.1016/0022-5096(58)90029-2.

11. Drucker D.C. A definition of a stable inelastic material. Journal of Applied Mechanics, 1959, no. 26 (1), pp. 101-195. DOI: 10.1115/1.4011929.

12. Muslov S.A., Prof., Lapshikhina E.A., Kobzev D.S. Elasticity and Hyperelasticity of Urogenital Tissues of Human and Animals. Effective Pharmacotherapy. Urology and Nephrology, 2021, vol. 17, no 25, pp. 6-24. (in Russ.)

13. Ohara T. On the comparison of strengths of the various organs-tissues. J. Kyoto Prev. Med. Univ, 1953, vol. 53, pp. 577-597.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

Сергей Александрович Муслов - кандидат физико-математических наук, доктор биологических наук, профессор кафедры нормальной физиологии и медицинской физики МГМСУ им. А.И. Евдокимова, Москва, elibrary AuthorID: 185513, ORCID ID 0000-0002-9752-6804, e-mail: mus-lov@mail.ru.

Александр Анатольевич Солодов - доктор медицинских наук, профессор, врач анестезиолог-реаниматолог, главный врач Клинического медицинского центра «Кусково» МГМСУ им. А.И. Евдокимова, заведующий кафедрой анестезиологии, реаниматологии и интенсивной терапии лечебного факультета МГМСУ им. А.И. Евдокимова, Москва, e-mail: Docsol@mail.ru. Карен Григорьевич Караков - заслуженный врач РФ, доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой терапевтической стоматологии, Ставропольский государственный медицинский университет, Ставрополь, e-mail: terstomsgma@yandex.ru.

Игорь Анатольевич Рева - член Европейской ассоциации урологов (EAU), Американской урологической ассоциации (AUA), Российского общества онкоурологов (РООУ), Российского общества урологов (РОУ), кандидат медицинских наук, исполняющий обязанности заведующего отделением урологии Клинического медицинского центра «Кусково» МГМСУ им. А.И. Евдокимова, Москва, e-mail: rewa-igor@rambler.ru.

Сергей Дарчоевич Арутюнов - Заслуженный врач РФ, Заслуженный деятель науки РФ, доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой цифровой стоматологии МГМСУ им. А.И. Евдокимова, Москва, e-mail: sd_arutjunov@mail.ru.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS:

Sergej Aleksandrovich Muslov - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Doctor of Biological Sciences, Professor of the Department of Normal Physiology and Medical Physics, Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, elibrary AuthorID: 185513, ORCID ID: 0000-0002-9752-6804, e-mail: muslov@mail.ru.

Aleksandr Anatol'evich Solodov - Doctor of Medical Sciences, Professor, Intensivist, Chief Physician of the "Kuskovo" Medical Center, Head of the Department of Anesthesiology, Resuscitation and Intensive Care of the Medical Faculty, Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, e-mail: Docsol@mail.ru.

Karen Grigor'evich Karakov - Honored Doctor of Russia, Doctor of Medical Sciences, Professor, Head of the Department of Therapeutic Dentistry, Stavropol State Medical University, Stavropol, e-mail: terstomsgma@yandex.ru.

Igor' Anatol'evich Reva - Member of the European Urologist Association, American Urologist Association, Russian Association of Oncological Urology, Russian Society of Urology, Candidate of Medical Sciences, acting as a Head of the Urology Department in the "Kuskovo" Medical Center, Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, e-mail: rewa-igor@rambler.ru. Sergej Darchoevich Arutyunov - Honored Doctor of Russia, Honored Scientist of Russia, Doctor of Medical Sciences, Professor, Head of the Department of Digital Dentistry, Moscow State University of Medicine and Dentistry, Moscow, e-mail: sd_arutjunov@mail.ru.

Для цитирования: Параметры гиперупругих моделей биологических тканей урогенитальных органов человека и животных / Муслов С. А., Солодов А. А., Караков К. Г. [и др.] / Современные вопросы биомедицины. - 2023. - Т. 7. - № 2. DOI: 10.24412/2588-0500-2023_07_02_38

For citation: Muslov S.A., Solodov A.A., Karakov K.G., Reva I.A., Arutyunov S.D. Parameters of hyper-elastic models of biological tissues in urogenital organs of human and animals. Modern Issues of Biomedicine, 2023, vol. 7, no. 2. DOI: 10.24412/2588-0500-2023_07_02_38