Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.9

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СЕТКИ БИКВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ ДИРИХЛЕ 2)

А.С. Герцог

Тульский государственный педагогических университет им. Л.Н. Толстого, пр. Ленина, 125, Тула, 300026, Россия, e-mail: asg316@rambler.ru

Аннотация. Рассматривается вопрос о приближенном интегрировании четырехкратных интегралов по методу К.К. Фролова. Предлагается использовать биквадратичные поля Дирихле. С этой целью построена параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле.

Ключевые слова: биквадратичные поля, алгеблаические сетки, метод К.К. Фролова.

1. Введение

В работе рассматриваются вопросы приближенного интегрирования функции многих переменных по единичному s-мерному кубу по методу К.К. Фролова [3] для непрерывных периодических функций с периодом равным единице по каждой из переменных ху, V = 1,б, принадлежащих классу Еа(С), который состоит из периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье вида

то

f (х) = С(т)е2п|(т,х),

т1 ,...,тБ=-м

где

с

|С(т)| < ---------------- -— , а > 1,

1 v п (т 1 ....Шб)“ ’ ’

и т = тах{1, |т|} для любого вещественного т. Областью интегрирования является единичный Б-мерный куб Сб:

Сб = { х | 0 < XV < 1, V = 1,2,...,б} = [0;1]б,

Сб = { х | 0 < XV < 1, V = 1,2, ...,б } = [0; 1)б.

В работе [1]дано полное и подробное изложение метода К. К. Фролова (см.[?], [3]) с вычислением констант, входящих в оценки погрешности метода, и уточнением отдельных деталей метода. Для классов функций ЕБа(С), (а > 1) получены неулучшаемые

по порядку оценки сверху погрешности квадратурных формул для вычисления кратных интегралов с помощью алгебраических параллелепипедальных сеток, так как они совпадают с нижними оценками И.Ф. Шарыгина [4].

2Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №11-01-00751.

Обозначим через ns(T), Ks, E(x, t) и q, соответственно, параллелепипед

1 1 ns(T)= x |tv 1 xi + ... + tvsXsl < 2, v = 1,..., s ,

s-мерный куб

Ks = {x l |Xv l < 1, v = 1,..., s}, характеристическую функцию [0, t],

e(x,t)=10' если,<£,10'‘]; v ' 0, если x e [0, t].

и целое, положительное, нечетное число q.

Лемма 1. Параллелепипед ns(T) содержит куб Ks тогда и только тогда, когда

s

l|TII1 < 12, где ||T||1 = max |tvjl .

2 1 v sj=1 Если параллелепипед ns(T) содержиткуб Ks, то | detT| < 2s .

Теорема 1. Пусть параллелепипед ns(T) содержиткуб Ks и зафиксирована сетка

из N = qs узлов ^(k1..ks) = (^(k), ...,^s(k)) с весами p(k1...ks), определенными

равенствами

1 q -1

S(k) = (qT)-1 k, |kvl ■ v =1 s,

p(k) = (1 -|?v (k)l) ■ E (l^v (k)|, 1).

v = 1

Тогда погрешность квадратурной формулы

... |detT|-1 22 _ ]

... f (x)dx =----N------ ... p(k)fft(k)) -rn [f] (4-1)

0 0 k1 = - ^-j-1 ks=- ^-j-1

на классе функций Ea(C), (1 < a < 2) удовлетворяет оценке

Rn (Ea(C))= sup |Rn(f)| <

feEsa(C)

< C ■ (2(1 + Z(a))) + (1 +2Z(a))2a)sZH (q ■ Л(Г)|a),

где гиперболическая дзета-функция ZH(q ■ Л(T)|a) решетки q ■ Л(T) при a > 1 задается абсолютно сходящимся рядом

Zh (q ■ Л(Г )|a) = (x ■...xs)-a.

xeq Л(1 )\{0}

Особую роль в методе Фролова играют алгебраические сетки построенные с помощью чисто вещественных алгебраических полей степени б.

Пусть все коэффициенты многочлена

s—1

Р5(х) = +xS (4-2)

у=0

целые рациональные, и он неприводим над полем рациональных чисел. Пусть, кроме того, все корни 0У (V = 1,..., s) многочлена (4.2) действительные.

Обозначим через Т = Т(а), где а = (а0, а1,..., а^-і) - вектор целочисленных коэффициентов многочлена Р^х), матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01,... ^ - корней многочлена р5(х):

Теорема 2. Если все корни 0У, V = 1,..., s) неприводимого многочлена

s-1

Р5(х) = а^ + х5

v=0

с целыми коэффициентами действительны и Т = Т (а) - матрица, порождаемая этим набором корней, а - фиксированное действительное число больше единицы, то для гиперболической дзета-функции решетки £н ^Л(Т )|а), связанной с матрицей Т = Т (а) и числом а, справедлива оценка:

( ^ ЙЛ(Т )|а)

5а(5 - 1) 1од2 ^ ^ ^ „ 5-1

q-sа 65' (5 + 1) -----а- 1 2 + 5 1од,(Х2(Т)) + 2 £ (а) +

25+а-1Ба 1 5 £(а) 5-1

+ ---------------- 1 +-------- 1 + ---------- .

(а- 1)А(Т )а-1 А(Т) да

Цель данной работы: предложить для^реализации метода Фролова при 5 = 4 биквад-

ратичные поля Дирихле и для поля 0( _2 + 3) найти такую параметризацию точек

алгебраической сетки, которая исключает «холостую работу» по проверки принадлежности точек области интегрирования, такую параметризацию сетки будем называть точной.

V- V-

2. Использование биквадратичных полей Дирихле О( р + q)

Таким образом, при s = 4 в методе Фролова возникает необходимость использовать биквадратичные поля. Среди всего множества биквадратичных полей выделяются простотой задания биквадратичные поля Дирихле. Общим случаем биквадратичного поля Дирихле является поле вида

О(Вр + В|) = О(Вр, В|) = {а + ЬВр + сВ| + dVpq | а, Ь, с, d е О}.

где (р, |) = 1, 1 < р < | — натуральные чиула свободные от квадратов. Минимальным многочленом для примитивного элемента р + |является многочлен

Ра(х) = х4 - 2(р + q)x2 + (p-q)2 =

= (х2 - (q - р) - 2х^р)(х2 - (q - р) + 2х^“р) =

V V V V V V V V (х - - ^Ч)(х - - ^ч)(х + р - ^^(х + V +

(4.3)

с целыми рациональными коэффициентами, неприводимый над полем рациональных чисел, имеющим четыре действительных корня:

V—. V- ~ V— V- V л/_ _ V V_

01= р + q, 02= р - р, 03= - р+ ^ 04 = - р- ^

Вектором а целочисленных коэффициентов многочлена Ра(х) является а = ((р - р)2,0, -2(р + р), 0). Матрицей Т = Т(а) степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01, 02, 03, 04 - корней многочлена Ра(х) является:

01,

1 1 1 1

V-. V- V- V- V- V V V

р + р р - р - р - р- р

+ р + 1^ р + р - 2V-q „V-р+р-2 - 2^- + р + q

V- + V- V- V- ^р V-

р1 р + р1 р р1 р- р1 Г р1 р-р1 р -р1 р- ^1 р

с ЬеіТ = 64— ■ (р - р). И, наконец,

Хі(а) = ||Т (а) 111 = тах {|0і |к + |02Ік + |0з1к + |04Ік} =

0<к<3

= тах{4, 4, 4(р + р), 4(3р + р)^} = 4(3р + р),

Х2(а) = ||Т (а) 112 = у ті^Х4{ 1 + |0У| + 02| + 03|} = ||ТТ (а)||і =

= 1 + |011 + |02І + |01І = 1 + р + р + (1 + р1)^р + (1 + р1)^^ +2Vpq.

V- V

Ташм образом, в случае s = 4, используя биквадратичное поле Дирихле 0( р + д) = 0( р, д), получаем матрицу / ^

Т-1 =

г- -г- Г+1 1 Г+1

Г+ г+ г-1 -1 -г-- 1

Г+ - г+ г-1 -1 г-- 1

г2 г2 Г+1 1 -Г-1

г± = и все необходимое для вычисления четырехкратных интегралов по методу

Фролова имеется.

Квадратурные формулы Фролова с алгебраическими сетками имеют точный порядок погрешности. Анализируя квадратурную формулу (2) видим, что реально в приближенном вычислении кратного интеграла участвуют не все N = (2д + 1^ точек сетки, а меньшее число —толькоте, которые попадают в s-мерный куб [-1; 1р.

Таким образом, возникает проблема сокращения работы по генерации точек сетки, реально используемых в квадратурной формуле по методу Фролова.

3. Ограничение области изменения параметров сетки

Для численного эксперимента была выбрана функция 1п(х) = 3s(1 - 2{х1})2... (1 -2{х5})2, которая является граничной функцией для параллепипедальных сеток на классе Е2(1,6/п2) и используется как основа для количественной меры качества наборов оптимальных коэффициентов.

V V-

В качестве биквадратичного поля Дирихле было взято поле 0( 2+ 3). Для этого

пол^ сопряженными биквадратичными иррациональностями для примитивного элемента _2 + 3 являются:3)

V- V-

а1 : = 2+ 3,

V- V-

а2 := 2 - 3 ,

При этом степенная матрица

МТ : =

V- V-

а3 := 3 - 2 ,

1

а1

а12

а13

1

а2

а22

а22

1

а3

а32

а33

1

а4

а42

а43

)■

V V

а4 := - Т- 3.

в числовом выражении принимает вид

1 1

МТ =

1

1

3.1462643699 - 0.3178372452 0.3178372452 -3.1462643699 9.8989794856 0.1010205144 0.1010205144 9.8989794856 -31.1448064542 -0.032108082 0.032108082 -31.1448064542

3Здесьи далее используется знак := из системы МАТИСАй, означающий определение того или иного объекта.

Следующая константа

X := тах^4, |а11 + |а2| + |а3| + |а4|, а12 + а22 + а32 + а42, |а1|3 + |а2|3 + |а3|3 + |а4|3 позволяет задать основную матрицу для вычисления сетки ^

0.00802 0.00802 0.00802 0.00802

1 _, I 0.02523 -0.00255 0.00255 -0.02523

Т1 = — ■ МТ Т1 = 1

1 1 : 2Х М 1 ’ 1 1 ' 0.07938 0.00081 0.00081 0.07938 ^ ‘

0.24974 -0.00026 0.00026 -0.24974

Непосредственная реализация квадратурной формулы (2) в виде программ-функций, написанных в системе MATHCAD, для случая в=4 показала существенный рост временных затрат, связанных со значительной холостой работы программы, затраченной на проверку принадлежности точек сетки области интегрирования.

Рассмотрим равномерную сетку

1(

к к

М5(д) =

- д к1...........ks д

2д + 1 ’ ■ ■ ■

, 2д + 1

из N = (2д + 1 ^ точек, лежащих в в-мерном кубе -12 1 !!. Сетка Фролова М (Т1, 2д + 1) является образом равномерной сетки Ms(д) при линейном преобразовании с матрицей Т1-1: М (Т1, 2д + 1) = Т1-1 ■ Ms(д). Для матрицы Т1 = ■ Т выполнено Т1 1 = 1-,

поэтому по лемме 1 параллелепипед

1

1

^(Т1)= х |^1 Х1 + ... + tvsXs| 2 , V =1’...’S ,

содержит куб

К = {х | | XV I 1, V =1,...^}.

Из определения параллелепипеда П(Т1) следует, что он является образом s-мерного

1; 1 "

2 2

куба -2 1 s при линейном преобразовании с матрицей Т1 1

2 s 1 1 1 S Пs(Т1) = т 1-1 ■ -2;2 .

Положим

М1(Т 1,2д + 1)= М (Т1,2д + 1) Ks

и

М;(ч,Т 1) = Т1 ■ М1(Т 1,2д + 1). Тогда квадратурная формула

11

| Т 11-1 д д

... 'р(х)ах =-------ТТ---- ... р(к)f£(к)) -RN [f] (4-4)

N к = к =

0 0 к1—Ч кБ—д

с N = (2д + 1^ узлами и весами

1

^(к) = -2дт^Т 1-1 к, (|М ч, V =1’...’S;),

Р(к) = 1 -&(к)| Е &(к)|, 1

v=1

перепишется в виде

1 1 -1

... f(х)ах = !^-П^ Р1(к)f(5(к))-и«И■ (4-5)

0 0 кеМ|(ч ,Т 1)

где

)

Р1 (к) = 1 -|^(к)| .

v=1

Лемма 2. Целочисленная сетка (2д + 1)М;(ч,Т 1) содержится в прямоугольном параллелепипеде v=1[-gv; дv], где4)

8

S

gv = (2д + 1) |tv’j | , v =1’...’S.

j=1

П Так как

М; (ч,Т 1) = Т1 ■ М (Т1,2д + 1) Ks = Ms (д) (Т1 ■ К),

то для любого к е (2д + 1)М;(ч,Т 1) найдется единственный х с х 1 1 такой, что

к = (2д + 1)Т 1 ■ х. Отсюда следует, что

S S

|^| = (2д + 1) tv’jXj (2д + 1) |tv’j| .

j=1 j=1

Переходя к целым частям, получим утверждение леммы, так как

8 s 2 s 1 qv = (2д + 1) |tv’j| (2д + 1)^ = Ч, v = 1,..., s. И

j=1

Утверждение леммы 2 было использовано при составлении новой усовершенствованной версии программы-функции на MATHCAD, которая позволила ускорить время

4В выражении для qv квадратные скобки означают знак целой части.

работы приблизительно в 500 раз. С использованием леммы 2 была написана более эффективная программа-функция, которая вычисляла узлы сетки и подсчитывала число точек сетки, имеющих нулевые веса.

Использование леммы 2 оказалось недостаточно, так как анализ результатов работы программы показал, что большинство точек имеет нулевой вес. С целью ликвидации холостой работы пришлось предпринять дополнительные теоретические исследования для поиска точной параметризации сетки.

4. Точная параметризация сетки

Введем следующие обозначения:

V V

3 6 1

а---ь = — + —

216 ’ ь 216 72

1

V-

6

с =

V-

2

216 36

V-11 6 1

д = 216 + 8

її =

72 216

V

1 11 ъ

V V-

2 5 3 - + -,

36 216

8 216

О = 2q + 1.

Тогда в новых обозначениях имеем:

Т1

а а а Ь -с с d f f її

а

-Ь

d

и нас интересует область ПZ(Т1) изменения целочисленных параметров к!, к2, к3, к4,

заданных соотношениями

к = О' а ■ (Х1 + Х2+ Хэ + Х4),

к2 = О ■ (Ь ■ (Х1 - Х4) + с ■ (Х3 - Х2)),

I к3 = О ■ ^ ■ (Х1 + Х4) + f ■ (Х3 + Х2)),

к4 = О ■ (д ■ (Х1 - Х4) + ї ■ (Х3 - Х2))

|Х11, |Х2І, |Х3і, |Х4і

}

1 Г

Определим величины

к = с = 5 -2^, т = £ = 49 - 2^6, п = Ь = 485- 198V6 Ь d д

Вычисления в MATHCAD дают следующие значения:

V-

V-

к =0.101, т = 0.01021, п = 0.00103.

Ясно, что справедливо матричное равенство Т1 = D/ М, где

1 11 1 , . а 0 0 0

М =

1 -к к -1

1

т т

1

D =

1 -п п -1

0 Ь 0 0 1| 0 0 d 0 ' 000д

Рассмотрим образ П(М0) четырехмер^ого куба [-1; 1]4"^заданный матрицей:

Мо

, 1 11 1 і

і 1 т т 1 і

= \1 -к к -1 /

п

(

1-

1

т

к

п

-1

П(Мо) =

z1 = Х-1 + Х2 + х3 + х4, гг = (х1 + Х4) + т ■ (хз + Х2),

I 2з = (Х1 - Х4) + к ■ (Хз - Х2),

1

|Х11, ІХ2І, |Хз|, ІХ4І 1

и

Z4 = (X! - Х4) + П ■ (Хз - Х2)

Сразу видно, что к = О ■ а ■ 2-1, к2 = О ■ Ь ■ 23, к3 = О ■ d ■ гг, к4 = О ■ д ■ гА. Введем новые переменные у! = X! + х4, у2 = х2 + х3, у3 = X! - х4, у4 = х3 - х2. Тогда в этих новых переменных получим: ^

2- = у- + У2,

ІУ11, ІУ2І, ІУзІ, ІУ4І 2;

П(Мо) =

ІУ1 + УзІ, ІУ1

2з = Уз + к ■ У4,

I 22 = У1 + т ■ У2, г4 = Уз + П ■ У4

ІУ2 + У41, ІУ2 -УзІ 2, \ ■

Последняя сис

ема неравенств может быть переписана эквивалентным образом:

ІУ11, ІУ2І 2

I тах{-2, -У1 - 2,У1 - 2} Уз тіп{2, -У1 + 2,У1 + 2} ■

тах{-2, -У2 - 2,у2 - 2} У4 тіп{2, -У2 + 2,У2 + 2}

Рассмотрим при -2 у 2 функции т1(у) = тах{-2,-у - 2,у - 2} и т2(у) =

тіп{2, -у + 2,у + 2}. Нетрудно видеть,что

т1(у) =

т2(у) =

_ -2-У

-2 + у

У+2 -у + 2

при

при

при

при

-2

0

-2

0

У о,

У2

У о,

У2

= -2 + = 2 - Іу

Следовательно, необходимые и достаточные условия на параметры уьу2,у3,у4 переписываются в более простом виде

I 1У11,1У21 2,

I -2+ |у-| У3 2 - |у11,

-2+ |у21 у4 2 - |у21.

Определим две матрицы:

( 11 м 1 к

М1 = Л , Мо л

1 1 ГП 2 1 П

и области

П* (М1) = 21 у1+ у°’

22 = у1 + т ■ у2

П*(М2, у) =

23 = у3+ к^у4, -2+ М у3 2 -

24 = у3 + П ■ у4 -2 + |у2| у4 2 - |у2 |

Ясно, что

П(М0) = 2 X П*(М2, М-2).

2бП*(М1)

Для области П*(М1), исключая переменные у1, у2, имеем: ^

I -4 21 4, I

П* (М1) = 121,22 -2 (1 -т)-1(21 -22) 2, I =

v -2 (1 -т)-1(22 - т ■ 21) 2J

( „ 4, I

= I 21,22 22 -2(1 - т) + тах{21, т ■ 21}, I

22 2(1 - т) + т1п{21, т ■ 21}

1

Отсюда следует, что П*(М1) = П1(М1) П|(М1), где

П1(М1)= 21,22

1

П2(М1)= 21,22

-4 21 0,

-2(1 - т) + т ■ 21 22 2(1 - т) + 2!

0 <21 4,

- 2(1 - т ) + 21 22 2(1 - т ) + т ■ 21

Так как справедливы формулы перехода от 2 к у:

у1 =

22 - т ■ 21 1 - т

у2 =

21 - 22 1 - т ’

у3 =

к ■ 24 - П ■ 23 П

у4 = 23 - 24

к - П ,

то область П*(М2, М-12) запишется следующим образом

I

к2л-П23

к-П

2-

22-т21

1

П* (М2 ,М-12)= ,2

12

-2+

1-т

23-24

К-П

1-т

21 -22 1 -т

Преобразуем запись соотношений, задающих область П*(М2, М/ 2), получим:

П*(М2 ,М1-12) =

I

I

( У( У

П ■ 23 - 1 - П 2 -

1-т

( У( У

к ■ 23+1 - П 2 - 22-т21

1-т

21, 22 ( у

23 - (к - П) 2 - 21-?

( У

24 23 + (к - П) 2 - 21-2

}

1

Требование непустоты множества П*(М2,М112) позволяет выписать неравенство для концов, пересекающихся промежутков, получим:

П*(М2, М1-12) =

( у( у

П ■ - 1 - П к2 - 22-т 21

к 3 1 к ^ 1

1-т

(

23 + (к - П) 2 - ^

( У(

2

23 - (к - п) 2 21 -22

1-т

к ■ 3

23 + 1 - П

22 т 21 1-т

21,22,23,24 ( У( У

пк ■ 23 - (1 -П (2 - 22-т21

1-т

(1 -П У(2

2 п ■ 2 + 1 - П ч2 - ■22-т:г1

24 к 23 + 1 к 2 1-т

1-т

1-т

I

( 2 -2 У 23 - (к - п) 2 - 21-22

( У I

24 23 + (к - п) 2 - 21-22

П*(М2, М1-12) =

|231

( У ( У

к К2 - 21 -22 + К2 22-т 21

14 ^ 1-т 1-т

1

(

У

2 - 2р-т 21

2 , 2 , 2 , 2 таХ П ■ 2 - ^ - П , 2 - (к - П) (2 - 21-2 У

1 2 3 4 к 3

I у (

г

к

1-т 3

У

I

, ( У( _ У ( _ У I

24 тип П ■ 23 + 1 - П 2 - 22 т21 , 23 + (к - п) 2 - 21 22

Для перехода к целочисленным точкам удобно использовать модифицированную функцию целой части [■]1, определяемую следующим образом:

1

при х е Z,

[Х]1 =

х

[х] + 1, при X е Z.

Если дан произвольный промежуток [А; В], то перечисление всех его целых точек задается равенством к = [А]1,..., [В]. Из всего выше изложенного следует, что область П(М0) можно записать следующим образом:

П(Мо) =

| 1| 4,

-2(1 - т) + тах{2 1 ,т^ 21} 22 2(1 -т)+тт{21,т^ 21},

| 3 | к 2 -

1

21, 22, 23, 24

1-т

1-т

, ( У( У ( У

тах' *■ 23 - 1 -П 2 - 22-т21 , 23 - (к-п) Ъ ^

,

I'

4

I ,(У(- у ( - у I

24 т1п П ■ 23 + 1 - П 2 - 22 т21 , 23 + (к - п) 2 - 21 22

Переходя к целочисленный параметрам к1, к2,1-т, к4, получим, что облить ПZ (Т1) задается соотношениями

-2(d

И2І

I

k , k , k , k max

12 3 4

ПZ (Ті) =

4aQ,

I

-f )Q + max^d k1,f k1 k3 2(d - f )Q +min

dk1 fk1

dk1 -ak3

ak3-fk1

a(d-f )

+ b■ 2Q —

c ■ 2Q —

a(d-f )

h \s С« hbУ огл ak3-fk1

a(d-f )

С у

ab v a:Ç

dk1 -ak3

h С

— b2Q —

bb

h^b

aa

aa

c

c

c

а^-Г)

к,, I

I I

■ к2 +

к4 т1п

а (d

У

д - 20 -

Г)

дс

акр

М1 -ак3

I

( у

ь + ь - И 20 - а (Л)

Положим

(

q1

^ к

= [4а0], q2(k1)= -2(d - Г)0 + тах -----1 ,£^4

(

qз(k1) = 2(а - Г)0 + т1п

а ■ К Г ■ к1

аа

2 С

q4(k1, к3) = с ■ 20 -

а ■ к - а ■ к3 а ■ (d - Г)

+

(

Ь ■ 20 - а ■ к3 - Г ■ к

а ■ (d - Г)

(И | ( И ■ Ь ( _ к Г к

q5(k1 ,к3,к2)= тах - ■ к2 - д----------------------- 20- а ■ к3 - Г ■ к1

с с а ■ (d - Г)

д ■ к2 - !_£ - И 20 - d ■ К - а ■ к3 ь ь а ■ (а - Г) 1 ’

/11 1х 2 (И. ( ИЬ ( а ■ к3 - Г ■ к1

Яе(к1 ,к3,к2)= тт - к2+ д-----------------------— 20- --------------—

с с а ■ (а - Т)

д ■ к2 + - И (20 - d ■ к1 - а ■ к3

Ь Ь

а ■ (а - Г)

с

1

Теперь перечисление целых точек из nZ (T-i) задается равенствами

ki-------qi > ■ ■ ■ > qi >

кз= q2(ki), ■■■, qs(ki),

k2 = — q4(ki. k3), ■ ■ ■ , q4(ki, кз) ,

k4= qs(ki,кз,к2), ■■■, qe(k-,кз,k2)■

5.

Заключение

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что для численного вычисления четы- рехкратных интегралов по методу К.К. Фролова можно использовать биквадратичные поля Дирихе. Для алгебраических сеток, соответствующих

холостую работу по проверки точки сетки области интегрирования.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профес- сору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезные советы и внимание к ра- боте.

1. Герцог А.С., Ребров Е.Д., Триколич Е.В. О методе К.К. Фролова в теории квадра- турных формул// Чебышевский сборник. 10;2(30)/ Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2009. - С.10-54.

2. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. 2-е изд. / М.: МЦ- НМО, 2004.

3. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. - 1976. - 231;4. -С.818-821.

4. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функ- ций // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1963. - №№2,3. - C.370-376.

Abstract. Approximate integration of four-fold integrals by K.K. Frolov's method is under consideration. It is proposed to use Dirichlet's biquadratic fields for the problem solution. For this aim, the parametrization of four-dimensional grid of the Dirichlet biquadratic field is constructed.

адратичному порю Ди 2ихле Q( _ 3), су

3), существует точная параметризация, которая позволяет исключить

Литератур

а

PARAMETRIZATION OF FOUR-DIMENSIONAL GRID OF DIRICHLET’s BIQUADRATIC FIELD

A.S.

Gertsog

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University,

Lenin Av., 125, Tula, 300026, Russia, e-mail: asg316@rambler.rU

Key words: Dirichlet's biquadratic field, algebraic grids, K.K.Frolov's method.