ЧИСЛЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХКРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО МЕТОДУ ФРОЛОВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СЕТОК БИКВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ ДИРИХЛЕ $\mathbb Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 22-30

Математика

УДК 511.9

Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле

Аннотация. Рассматривается вопрос о приближенном интегрировании 4-х кратных интегралов по методу К.К. Фролова. Приводятся результаты численного интегрирования с использованием алгебраической сетки биквадратичного поля Дирихле <Ц>(%/2 + %/3).

Ключевые слова: биквадратичные поля Дирихле, алгебраические сетки, метод К.К. Фролова.

Метод оптимальных коэффициентов приближенного вычисления кратных интегралов был предложен Н.М. Коробовым в 1959 г. в работе [5]. Достаточно быстро в ряде работ было установлено, что это одно из наиболее перспективных направлений исследований в рамках теоретико-числового метода в приближенном анализе, разрабатываемого с 1956 года в Математическом институте им В.А. Стеклов АН СССР на семинаре под руководством Н.С. Бахвалова, Н.М. Коробова и Н.Н. Ченцова. Результаты многолетних исследований в этой области были отражены в монографии [6]

Н.М. Коробова в 1963 г.

Следующий принципиальный шаг был сделан в 1976 г. в работе [8] К.К. Фроловым под руководством В.М. Солодова, ученика Н.М. Коробова. Последующий анализ метода К.К. Фролова показывает, что он базировался на трех новых идеях:

(1) Задача о вычислении многомерного интеграла по единичному в-

А. С. Герцог

Введение

мерный куб С3:

Gs = { х | 0 < хи < 1, V = 1, 2,..., в } = [0; 1]5,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00751).

Gs = { х I 0 ^ хи < 1, V = 1, 2, ...,в } = [0; 1)^

с помощью домножения на весовую функцию сводилась к вычислению равного интеграла по в-мерному кубу

К = {х IXI ^ 1, V = 1,...,в } от функции, обращающейся в ноль на границе Ks.

(2) Узлы многомерной квадратурной формулы брались как точки произвольной взаимной решетки Л*, попавших в К.3, а погрешность оценивалась через величину дзета-ряда по ненулевым точкам решетки Л.

(3) В качестве решетки Л предлагалось брать алгебраическую решетку, состоящую из точек, координаты которых являются алгебраически сопряженными числами из некоторого чисто-вещественного алгебраического поля степени в над полем рациональных чисел 0>.

Для классов функций Е^(С), (а > 1) К.К. Фроловым были получены неулучшаемые по порядку оценки сверху погрешности квадратурных формул для вычисления кратных интегралов с помощью алгебраических параллелепипедальных сеток, так как они совпадают с нижними оценками И. Ф. Шарыгин [10]. Эти результаты составили основу диссертации К.К. Фролова, которую он защитил в 1979 г. в Вычислительном центре АН СССР ([9]).

Дальнейшие усовершенствования метода К.К. Фролова были сделаны Н.М. Добровольским в работах [2], [3]. В результате оказалось, что методы Н.М. Коробова и К.К. Фролова можно рассматривать, как два противоположных полюса в общей теории многомерных квадратурных формул с обобщенными параллелепипедальными сетками. Несмотря на наличие асимптотической формулы для величины гиперболической дзета-функции гиперболической решетки (см. [4], [7], стр. 248) актуальным оставался вопрос о вычислении констант для оценки погрешности метода К.К. Фролова. Эта задача была решена в работе [1], где дано полное и подробное изложение метода К.К. Фролова с вычислением констант, входящих в оценки погрешности метода, и уточнением отдельных деталей этого метода.

Цель данной работы: описать реализацию простейшего варианта метода Фролова для класса Е^а при в = 4 и а = 2 с использованием биквадратичныго поля Дирихле 0>(\/2 + \р3) и точной парметризации точек алгебраической сетки, которая исключает «холостую работу» по проверки принадлежности точек области интегрирования.

1. Метод Фролова для класса Е2

В работе рассматриваются вопросы приближенного интегрирования функции многих переменных по единичному 8-мерному кубу по методу

К.К. Фролова ([8]) для непрерывных периодических функций с периодом равным единице по каждой из переменных хи(и = 1,..., в), принадлежащих классу Еа(С) при а = 2. Такое ограничение связано с тем, что в оригинальном методе Фролова многомерная квадратурная формула зависит от параметра гладкости а класса Еа наиболее простой вариант получается при а = 2.

В общем случае класс Еа, введенный Н.М. Коробовым, состоит из периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье вида

/(х) = ^2 С (т )е2

02пі(тп,х)

С (/10 ) е

ті,. . . ,Шв=—^

где

С

С(й)|< т-тт ■ (а> 1)

и т = тах(1, |т|) для любого вещественного т. Областью интегрирования является единичный в-мерный куб С3.

Обозначим через П(Т), Е(х,£) и q, соответственно, параллелепипед

П(Т) = { X

1

\и 1X1 + ... + и.3Хз\ ^ 2’V = 1

характеристическую функцию [0, і],

І, если х Є [0, і]

Е(х і) = / 1’ если х Є [0,і]

( , ) | 0, если х Є [0,і].

и целое, положительное, нечетное число q.

Приведем без доказательства необходимые для дальнейшего факты из работы [1].

Лемма 1. Параллелепипед П3(Т) содержит куб К3 тогда и только

в

тогда, когда \\Т\\1 ^ 2, где \\Т\\1 = шах ^ \і„^\ .

Если параллелепипед П3(Т) содержит куб К3, то \ det Т\ ^ 2І.

Теорема 1. Пусть параллелепипед П3(Т) содержит куб К3.

Пусть дана сетка из N = д3 узлов £(к1,..., к3) = (^1(к),...,^3(к)) с весами р(к1,..., к3), определенными равенствами

І(к) = - Т-1к, (к \ < ^-1 = 1’...’S)’

рй = П(1 -\«„ (к)\) • е (% 1).

и=1

S

Тогда погрешность квадратурной формулы

1 1 q-1 q-1

I... jf (x)dx =1 detN 1 ^ ... ^ p(k)f (i(k)) - rn [f] (1)

0 0 ki = — — ks = ——

на классе функций Ef(C), (І < а ^ 2) удовлетворяет оценке

Rn(Es(C)) = sup IRn(f)| <

f eEa(o)

^ C ■ (2(І + ((а))) + (І + 2C(а))2а)S ZH(q ■ Л(T)|а),

где гиперболическая дзета-функция (н(q ■ Л(T)|а) решетки q ■ Л(T) при а > > І задается абсолютно сходящимся рядом

(н(q ■ Л(Г)|а)= (Х1 ■ ... ■ xs)—a.

xeq-A(T )\{0}

Особую роль в методе Фролова играют алгебраические сетки построенные с помощью чисто вещественных алгебраических полей степени s.

Пусть все коэффициенты многочлена

s— 1

Ps(x) = ^ av xv + xs (2)

v=0

целые рациональные, и он неприводим над полем рациональных чисел. Пусть, кроме того, все корни 0^ (и = 1,...,з) многочлена (2) действительные.

Обозначим через Т = Т(а), где а = (а0,а1,... ,а3-1) — вектор

целочисленных коэффициентов многочлена Р3(х), матрицу степеней алгебраически сопряженных целых алгебраических чисел 01,...,03 — корней многочлена Р3(х):

T=

/ І ... І \

01 . . . 0s

V01—1 ... 0s—1 )

Теорема 2. Если 0v, (v = І,...^), действительные корни

неприводимого многочлена

s— 1

Ps(x) = ^ avxv + xs

v=0

с целыми коэффициентами, матрица Т = Т(а) и а — действительное число больше единицы, то для гиперболической дзета-функции решетки (и (дЛ(Т)|а) справедлива оценка:

(и (дЛ(Т)|а) <

< ( 6е • (8 + 1) ^

ва23+а-1

+

ва(в - 1) 1о§2 д

(а - 1)А(Т)

а—1

а1

1 +

+ в 1о§2 ( А2 (Т ^+2 С (а) +

5—1

1

А(Т)

5 \+ С(а)\3—1

да

-

д

1

ва

2. Численный эксперимент

Для численного эксперимента была выбрана функция

Н(х) = 33(1 - 2{ж1})2... (1 - 2{хв})2,

которая является граничной функцией для параллепипедальных сеток на классе Е2 (1, и используется как основа для количественной меры качества наборов оптимальных коэффициентов.

В качестве биквадратичного поля Дирихле было взято поле |Щл//2 + л/3). Для этого поля сопряженными биквадратичными иррациональностями для примитивного элемента л/2 + л/3 являются: *

а1 := л/2 + л/3, а2 := л/2 - л/3, а3 := л/3 - л/2, а4 := -л/2 - л/3

Степенная матрица

МТ :=

( 1 1 1 1 \

а1 а2 а3 а4

а1 2 2 2 а 2 3 а а42

а13 2 2 а а со со а43 )

и ее числовое значение / 1

МТ =

1

1

1

3.1462643699 -0.3178372452 0.3178372452 -3.1462643699 I

9.8989794856 0.1010205144 0.1010205144 9.8989794856 I .

31.1448064542 -0.032108082 0.032108082 -31.1448064542

Следующая константа

А := тах (4, |а1| + |а2| + |а3| + |а4|, а12 + а22 + а32 + а42, , |а 113 + |а2|3 + |а3|3 + |а4|3) позволяет задать основную матрицу для вычисления сетки

* Здесь и далее используется знак := из системы МАТИСАБ, означающий определение того или иного объекта.

Т1 :=-------МТ, Т1

2А

( 0.00802 0.00802 0.00802 0.00802 \

0.02523 -0.00255 0.00255 -0.02523

0.07938 0.00081 0.00081 0.07938

0.24974 -0.00026 0.00026 -0.24974

Введем следующие обозначения:

= /3 = /6 1 =1 /6 = /2 5/3

а =216 ’ =216 + 72 ’ С =72 - 216 ’ = 36 + 216" ’

,5/3 у_

/ = ~^Г7- ^

/2 36 ’

11/6 1

9 =^77Г + -,

216 36 216 8

Тогда в новых обозначениях имеем:

, 1 11 л/б

Н — — — -----------,

8 216 ’

Q — 2д + 1.

Т1 =

аа Ь -с й / V 9 -Н

а

с

/

Н

а

-Ь й -9

и нас интересует область П^(Т1) изменения целочисленных параметров к1, к'2, к3, &4, заданных соотношениями

к1 = Q • а • (х1 + Х2 + Х3 + Х4)

к2 = Q • (Ь • (Х1 - Х4) + с • (Х3 - Х2))

к3 = Q • (й • (х1 + Х4) + / • (х3 + Х2))

к4 = Q • (9 • (Х1 - Х4) + Н • (Х3 - Х2))

|Х11, |Х2|, |хэ|, |Х4| ^ 1.

Определим величины

с / Н

к =7=5 - 2/6, т = 4 = 49 - 20/6, и = - = 485 - 198/6.

Ь й 9

Вычисления в ЫЛТНСЛБ дают следующие значения:

к = 0.101, т = 0.01021, п = 0.00103.

Ясно, что справедливо матричное равенство Т1 = Б • М, где

М=

/ 1 1 1 1 \

1 -к к -1

1 т т 1

1 -п п -1

Б

а000 0Ь00 00й0 V 0 0 0 9 )

Для перехода к целочисленным точкам удобно использовать модифицированную функцию целой части [•]1, определяемую следующим образом:

N1 =

х при х е Ъ,

[х] + 1, при х е Ъ.

Если дан произвольный промежуток [А; В], то перечисление всех его целых точек задается равенством к = [А] 1,..., [В].

Можно показать, что область П^(Т1) задается соотношениями

П^(Ті) :

\к\\ ^ 4aQ

-2(б - /)Q + шах (^,^) < кз < 2(б - / ^ + шіп (^, /_кі)

\ к2 \ < с • (2Q - |^а^|)+&• (2Q - |ак/|)

шах^ | • к2 - (д - ^) (2Q -

9-^2 (дс — ) (2Q _ й-кі-а-кя

Ь ) Ь — ^2Q а-(й-/)

< шіп ( | • к2 + )д - ^^ -

. 9Ь2 + ( 9т - Л) (ЭД -

а-кз-/кі а-(й-/)

й-кі -а-кз а-(й-/)

) < к4 <

а-кз-/-кі а-(й-/)

Положим

91 = [4aQ], 92(к1) =

-2(б - /)Q + шах

б • к1 / • к1

94 (кі, кз) =

9з(кі) =

с • I 2Q -

2(б - /^ + шіп б • к1 - а • к3

б • к1 / • к1

а • (б - /)

+ Ь• I2Q -

а • кз - / • к1

а • (б - /)

9б(к1 ,кз,к2) =

д • к2 Ь

9б(к1,кз ,к2) =

д • к2

ша^( - • к2 - (д - -С- ) ( 2Q -

а • кз - / • к1

а • (б - /)

д • с

б • к1 - а • кз а • (б - /)

шіп ( — • к2 + (д - —-^Ь ) ( 2Q -

а • кз - / • к1

а • (б - /)

б • к1 - а • кз а • (б - /)

Теперь перечисление целых точек из П^(Т1) задается равенствами

к1 = -91,... ,91 кз = 92(к 1),... ,9з(к1) к2 = -94(к1,кз),..., 94(к1, кз) к4 = 9б(к1 ,кз, к2),..., 9б(к1, кз, к2).

Положим

Т3 :=

1

29 + 1

Т2, к := (к1, к2, кз, к4)

т

1

1

тогда приближенное значение I(/) интеграла функции /(х) е Е2 по методу Фролова можно записать в виде

<?1 9э(^1) Я4,(к!,кз) Яв(к1,кз,к2)

1 (/):= \Т 1||(2д + 1)4 Т, £ £ £ /(Т3 • ^

к1=—<л &з=<?2(&1) к2=—Я4(к1,кз) к4=дб(к1,кз,к2)

и реализовать эту формулу в виде конкретной программы-функции в системе ЫЛТНСЛБ не представляет труда.

Заключение

Анализ результатов численног эксперимента позволяет сделать вывод, что для численного вычисления четырехкратных интегралов по методу К. К. Фролова можно использовать биквадратичные поля Дирихе. Для алгебраических сеток, соответствующих биквадратичному полю Дирихле 0>(\/2 + л/3), существует точная параметризация, которая исключает холостую работу по проверки точки сетки области интегрирования. При малых значениях д < 135, когда количество точек N, реально используемых в вычислениях, меньше 137035 преимущество метода Фролова перед методом оптимальных коэффициентов Коробова не обнаруживается, так как хотя

оценка погрешности имеет вид КN = О ^1п^ ), но константа в знаке 0()

оказывается по порядку равной 104.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезные советы и внимание к работе.

Список литературы

1. Герцог А.С., Ребров Е.Д., Триколич Е.В. О методе К.К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. Тула: ТГПУ, 2009. Т. X. Вып. 2(30). С.10-54.

2. Добровольский Н.М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, №6090-84.

3. Добровольский Н.М. О квадратурных формулах на классах Е^(с) и Н^(с). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, №6091-84.

4. Добровольский Н.М., Ванькова В.С., Козлова С.Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, №2327-В90.

5. Коробов Н.М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т.124, №6. С.1207-1210.

6. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

7. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004.

8. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №4. С.818-821.

9. Фролов К.К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ...канд.

физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.

10. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1963. №2, №3. С.370-376.

Герцог Александр Сергеевич (asg316@rambler.ru), аспирант, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

Numerical calculation of quadruple integrals by Frolov’s method with use of algebraic grids of a biquadratic field of Dirichlet

Q(V2 + V3)

A. S. Gertsog

Abstract. The question about the approximate integration of fourfold integrals by K.K. Frolov’s method is considered. Outcomes of numerical integration with use of an algebraic grid of a biquadratic field of Dirihle are resulted Q(\/2 + \/3)

Keywords: biquadratic field of Dirichlet, algebraic grids, K.K. Frolov’s method.

Gertsog Alexandr (asg316@rambler.ru), postgraduate student, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 21.09.2011