CC BY
4Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 72
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 531.36: 534.1
Параметрическое управление с ограничением движениями
двухмассового маятника Безгласный С.П.*, Батина Е.С.**, Пиякина Е.Е***.
Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева (национальным исследовательский университет),ул. Московское
шоссе, 34, Самара, 443086, Россия *е-тай: bezglasnsp @ rambler. ru.
**е-таИ: katja4-2 @mail. ru * * *е-тиИ: snait2009@yandex. ru
Аннотация
Рассматривается задача о параметрическом управлении плоскими движениями двухмассового маятника (качелями). Предложен новый закон управления раскачкой и успокоением качелей при предположениях об ограничениях на перемещения подвижной массы и о гладкости закона управления. Управляющим параметром является непрерывно изменяющаяся и зависящая от фазового состояния длина участка стержня от точки подвеса маятника до подвижной массы. Построены функции Ляпунова, доказывающие асимптотическую устойчивость и неустойчивость нижнего положения маятника в случаях его успокоения и раскачки соответственно.
Ключевые слова: двухмассовый маятник, ограниченное управление, функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость
Введение
Изучение движений математического маятника обнаруживает много качественных свойств динамики нелинейной системы и вызывает самостоятельный интерес у современных исследователей. Кроме того, очень часто в задачах механики плоские движения исследуемых систем и объектов при различных упрощениях моделируют математическим маятником. Так, например, в работе [1] получены бифуркационные диаграммы равновесий, исследованы резонансы и показано наличие стохастической паутины вблизи равновесий в задаче о колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании при больших частотах вибраций и малых амплитудах колебаний длины маятника и точки его подвеса. В [2] при помощи КАМ-теории в близком к резонансному случаю проведен анализ периодических и условно-периодических движений системы в задаче о движении двух одинаковых маятников, связанных линейной упругой пружиной, в окрестности их устойчивого вертикального положения равновесия. В работе [3] с помощью метода предельных функций и предельных систем [4] решена задача о стабилизации релейным управлением программных движений маятника в переменном поле силы тяжести при наличии неучтенных воздействий.
Одной из классических задач механики о маятниковых движениях является задача об управлении качелями. Рассматривают две основные модели качелей - одномассовый и двухмассовый маятники. Для одномассовой модели
в виде математического маятника переменной длины авторами в ряде работ, например [5-10], исследовались вопросы устойчивости и неустойчивости верхнего и нижнего положений, влияния сил (сухого, вязкого трений и аэродинамического сопротивления), выбора оптимальных режимов раскачки, гашения колебаний и возникновения резонансов. Двухмассовая модель качелей использована в работах [11-13]. В [11] методами усреднения [14] и принципа максимума [15] решены задачи управления и оптимизации для случаев малых колебаний и быстрых вращений путем регулируемой по скорости длиной маятника. В работе [12] решены задачи об оптимальной раскачке и оптимальном торможении качелей релейным и «релейно-непрерывным» управлением длиной подвеса подвижной массы для случаев движения без трения и с наличием разных видов трения. В работе [13] решены задачи о диаметральной переориентации и гравитационной стабилизации плоских движений спутника на круговой орбите с помощью подвижной массы по принципу качелей.
В большинстве указанных выше работ задачи об управлении качелями решались с помощью скачкообразного (релейного) изменения величины перемещения подвижной массы. В силу инертности масс на практике реализация релейного изменения длины представляется затруднительной. Авторами работ [16, 13] предложен непрерывный закон движения подвижной массы, позволяющий раскачивать и тормозить качели. В [16] исследованы управляемые движения в окрестностях нижнего и верхнего положений
равновесия качелей и оценены зоны застоя, возникающие при влиянии сил вязкого трения. Но управляющий закон, предложенный в этих работах, предполагает неограниченность расстояния от точки подвеса до подвижной массы в обе стороны, в частности, в [16] авторами приведен численный пример, в котором теоретически считается, что стержень продлен вверх за точку подвеса маятника с предоставленной возможностью движения по нему подвижной массы, что является нецелесообразным и крайне затруднительным с точки зрения практической реализации. В работе [17] был предложен новый закон управлением подвижной массой по принципу качелей, который предполагает ограниченность относительного перемещения этой массы вдоль стержня. Но он имеет точки излома, значит, как и для релейного закона управления, при его реализации будет возникать эффект биения вследствие скачкообразного изменения скорости движения управляемой массы.
В данной работе предложен закон управления движениями для двухмассовой модели качелей посредством непрерывного изменения длины подвеса маятника при условии, что перемещения подвижной массы ограничены с двух сторон, непрерывны и имеют непрерывную производную. Ограниченность и гладкость закона управления позволяют на основе классической теории устойчивости аналитически доказать асимптотическую устойчивость и неустойчивость различных движений качелей и предоставляют более удобные возможности для его практической реализации.
1 Постановка задачи
Рассмотрим в поле силы тяжести плоские движения закрепленного в неподвижной точке О невесомого стержня с двумя точечными массами -двухмассового маятника (рис. 1).
Рис. 1. Двухмассовый маятник. Пусть 11 - расстояние от точки подвеса О до неподвижно закрепленной на
стержне массы т1, а материальная точка т2 может перемещаться вдоль стержня. Угол отклонения маятника от вертикали обозначим через р. Как и в [16], управлением будет расстояние от точки подвеса О до подвижной массы т2, являющееся непрерывной функцией вектора фазового состояния:
/2 = ¡2(р,р)
(1.1)
где точка обозначает производную по времени.
Кинетическая и потенциальная энергии маятника имеют вид
t=m (&+#2)+m &\
П = -m2gl2 cos p - mgll cos tp.
Запишем уравнение движения маятника в виде уравнения Лагранжа второго
рода
(m2l2 + mxlx2) ip + 2m2l2l2 ф + (m2l2 + mlll) g sin p = 0 (1.2)
где g - ускорение сил тяготения.
Поставим и решим задачи об управлении плоскими движениями двухмассового маятника - построить непрерывные законы (с непрерывной производной) управления движением подвижной массы т2 при двусторонних
ограничениях на перемещения этой массы, реализующие раскачку и асимптотическое успокоение колебаний соответственно в окрестности нижнего положения равновесия.
2 Закон управления для асимптотического успокоения качелей Решение задачи об асимптотическом успокоении колебаний двухмассового маятника относительно его нижнего положения равновесия (р = <р = 0 управлением (1.1) получим на основе второго метода классической теории устойчивости. Выберем управляющий закон в виде:
l2 =
l0 + A sin ф sin p, при ф g[-—;П];
2 2 (2.1) 7 Л • • / П П -
l0 + A • sinp • зщпф, при фg -—) и (—;
где величина l0 = const > 0 задает некоторое начальное положение подвижной массы m2, относительно которого будут происходить ее движения вдоль стержня. Число 0 < A = const < l0 является нормирующим множителем, ограничивающим амплитуду движения массы m2. При выборе управления (2.1) движение подвижной массы вдоль стержня происходят аналогично движениям центра масс человека на качелях, останавливающего колебания качелей с помощью периодических приседаний. А именно, при движении качелей вниз человек сначала приседает, а потом привстает, поднимая свой центр масс. При движении качелей вниз - наоборот.
Производную для величины l2 определим равенствами:
& =
фАcos psinф + Aipsinpcosф, при фg [-П;П];
2 2 (2.2) Aфcos psignФ, при ФG (-те; - —-) и (—; +те).
С учетом предложенного закона (2.1) для величины 12 и ее производной (2.2) уравнение движения маятника (1.2) равносильно системе:
(2.3)
(lf m + m2(l0 + A sinpsincp )2 + 2m2(l0 + A sinpsin(>) Asinpcospp • •cp)p> = -2m2(l0 + Asin psin (>) (>2Acos psin (>- (l1ml + (l0 + Asin psin (>) • •m2) g sinp,
. r п п
cp e[ -7T 22
(m2 (l0 + Asinpsigncp)2 + m^2) p = -2m2 (l0 + A • sinp • signcp) Acp2 cos p• •sign(p - (m2 (l0 + A • sinp• signcp) + m1l1) g sin p,
. п. п . (>e --) u (-; 22
Уравнения возмущенного движения системы в окрестности исследуемого нулевого положения равновесия имеют вид
.. _ 2m2(l0 + A sin х sin x) x2 A cos x sin x + (l1m1 + (l0 + A sin x sin x)m2) g sin x_
x =
20
l12m1 + m2 (l0 + A sin x sin x)2 + 2m2x(l0 + A sin x sin x) A sin x • cos x>
■ г П П
x e [—;—1,
2 2 (2.4)
.. _ 2m2(l0 + A sin x • signx) Ax2 cos x • signx + (m2(l0 + A sin x • signx) + m1l1) g sin x _
2
x =
m2 (l0 + A • sin x • signx) + m1l12
хе (-то;- —) и (—;
где х = р - отклонение угла маятника от нижней точки покоя.
Для доказательства асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.4) рассмотрим функцию Ляпунова V = V (х, х):
V =
m2l0 (l0 + 3 Ax sin x) + m1l12 , 2
x +
2
m
v
A
l0 +— x sin x 02
+ m1l1 g (1 - cos x)
m2l0 + m1l12. x 2 + m2l0 + ml1 gx 2 +
(2.5)
2
2
Эта функция V (х, х) в окрестности нижнего положения равновесия
х = X = 0 является положительно определенной и допускает бесконечно малый высший предел по переменным х, X. Производная этой функции по времени в силу системы (2.4) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости имеет вид:
• ^ Хщщ + М %т2 4 (2 ^Утт + М^тт + 3 л .2 1 ,, &4 V---~-~-х------х хх — А10т2 хх
4(/12т1 + /02т2) 4(/12т1 + /02т2) 2 0 2
Таким образом, положительно определенной функции (2.5) отвечает отрицательно определенная производная, поэтому на основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [18] нижнее положение х = х = 0 маятника является асимптотически устойчивым.
Для сколь угодно больших значений отклонения х^0) и скорости х(?0) в
силу анализа энергии маятника, проведенного в [6] для похожего (ступенчатого) закона управления, имеем убывание полной энергии маятника по геометрической прогрессии, что приводит к асимптотическому уменьшению текущих значений скорости х^0) и отклонениях(^0) . В частности, если в силу выбора начальных
условий маятник совершает вращательные движения, то при перемещениях подвижной массы вдоль стержня согласно закону (2.1) с течением времени происходит переход от вращения к колебаниям с последующим затуханием амплитуды колебаний до значений из сколь угодно малой окрестности одной из
точек х = 2пк, х = 0, где к е Т - целое число. Так как все точки множества х = 2пк, х = 0 физически соответствуют одному и тому же нижнему положению равновесия маятника, то управление (2.1) является стабилизирующим это положение равновесия для любых начальных отклонений. При этом точка х = х = 0 системы уравнений (2.4) строго говоря не является асимптотически устойчивой в целом.
Проведенные численные расчеты подтверждают сделанные выводы об асимптотической устойчивости нижнего равновесия и демонстрируют асимптотическое затухание амплитуды колебаний не только в малой окрестности, но и при произвольно больших начальных отклонениях. На рисунке 2 изображен график зависимости угла х от времени, полученный численным интегрированием уравнения движения при следующих значениях параметров системы: т1 = т2 = 1 кг, 10 = 5 м, 11 = 12 м, А = 1 м • с, g = 9,81 м / с2 и начальных данных: х(г0) = 2,2рад, х^0) = 0рад / с. Интегрирование проведено на временном промежутке г е [0,280] с.
х=рад
Рис. 2. Зависимость угла х от времени На рис. 3 изображен фазовый портрет решения уравнения (2.4) с управлением (2.1). Фазовая траектория отображает затухание амплитуды и скорости колебаний маятника вокруг нулевого положения равновесия, начинающихся с достаточно больших значений х(г0) = 2,2 рад начальных отклонений. Графики, представленные на рисунках 2 и 3, иллюстрируют очень медленную сходимость решений к нулевому положению равновесия после значений х = 0,3 рад, что позволяет сделать вывод о слабой эффективности предложенных управлений при малых углах отклонений. Тем не менее, численное интегрирование, проведенное на больших интервалах времени, подтверждает асимптотическую сходимость решений и отсутствие ненулевых предельных циклов.
Рис. 3. Фазовый портрет
Рис. 4. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения. Рис. 4 демонстрирует поведение величины 12 в окрестности величины 10, и из него видно, что перемещения подвижной массы вдоль стержня ограничены и происходят в пределах плюс минус одного метра около значения 10 = 5 м .
3 Раскачка качелей
Применим аналогичный подход к решению задачи о раскачке качелей из произвольной окрестности нижнего положения равновесия. Как отмечалось в [11], при нулевых начальных значениях х(г0) = 0, х(г0) = 0 система (1.2) является неуправляемой для всех г0 < г < ^ при любом законе управления вида 12 = 12 ( р, ф). Однако если выбором этого закона добиться, чтобы положение х = х = 0 системы было неустойчивым по Ляпунову, то действующие на систему внешние возмущения выведут ее из положения равновесия, и станет возможным эффективный процесс управления - раскачка.
Выбрав закон управления в виде
12 =
l0 - Asinфsin <р, при фе[-у^]; l0 - Asinp • signф, при Ф£(-те;-П) и (П;
(3.1)
& =
-фАcos рsinф- A&»sin рcos<&, при фе [-^т^]; - A<&cospsign<&,при <&е -П) и(П;
(3.2)
где l0 = const > 0, 0 < А = const < l0, получим для отклонения x = р уравнения возмущенного движения системы в окрестности исследуемого нулевого решения
_ 2ш2 (/0 - а 81п х 81п х) х2а 008 х 81п х - (11т1 + (/0 - а 81п х 81п х)т2) g 81п х
12
х =
/1 т + Ш2 (/0 - А 8Ш х 81п х) - 2ш2х(/0 - А 81п х 81п х) А 81п х 008 х
• г П П
хе [- —;—], 2 2
2ш2(10 - А81пх • signX)Ах2 008х • signX - (Ш2(10 - А81пх • signX) + Ш1/1) g 81пх
х =
Ш2 (/0 - А 81п х • signX) + Ш1/1
хе (-то;-—) и (—; +то).
(3.3)
Возьмем положительно определенную в окрестности нижнего положения равновесия х = х = 0 функцию Ляпунова
V =
Ш,
2/0 (10 - 3 Ах 81П х) + ш1/12 .
2
х +
Шо
V
А
10--х 81П х
02
+ Ш111 g (1 - 008 х) у
шЛ0 + Ш,/,2 ,2 Ш210 + Ш,/, 2
-хх7 + —^-gx + к
2
2
Ее полная производная по времени в силу уравнений (3.3) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости включительно по переменным х, хх
имеет вид
V « ^ 2/1Ш1Ш2 + ^ 2/0Ш22 х4 + (2Аg/0/1Ш1Ш2 + ^Ш1Ш2 + 3^Ш22) х2¿2 + 1А/ Ш 4
/2 , /2 \ """ ' /1/72 . ;2 ч -V „V .
" 4(/1 ш1 + /0 ш2) 2
4(/12ш1 + /02ш2)
и является положительно определенной функцией. На основании первой теоремы Ляпунова о неустойчивости [18] нижнее положение х = хх = 0 маятника
неустойчиво.
На рис. 5 изображен график зависимости угла х от времени, полученный численным интегрированием уравнения движения при следующих значениях параметров системы: т1 = т2 = 1 кг, 11 = 10 = 12 м , А = 1,5 м • с , g = 9,81 м / с2 и начальных данных: х(г0) = 0,4рад, х(г0) = 0рад / с. Интегрирование проведено на временном промежутке г е [0,215] с.
Рис. 5. Зависимость угла х от времени
Рис. 6 . Фазовый портрет 15
На рис. 6 изображен соответствующий фазовый портрет. Фазовая траектория отображает нарастание амплитуды и скорости колебания двухмассового маятника и переход от колебаний к вращательному движению. Рис. 7 демонстрирует поведение величины 12, которая, несмотря на нарастание отклонений и скоростей, остается ограниченной в пределах плюс минус полутора метров около значения 10 = 12 м .
14 / /ч : \ А
1 / \ / \
1 / \ \
V 7 А/. .. V
-№ 1 ) 1 5 2 а
Рис. 7. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения.
4 Заключение.
В работе для задачи параметрического управления плоскими движениями
двухмассового маятника (качелей) предложены законы ограниченного гладкого
управления его раскачкой и асимптотическим успокоением путем непрерывного
изменения длины подвеса маятника, зависящей от фазового состояния. Для
предложенных законов управления методом функций Ляпунова доказана
асимптотическая устойчивость и неустойчивость соответственно разных движений.
Теоретические результаты подтверждены и проиллюстрированы численными
расчетами. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании управляемых маятниковых движений различных механических систем.
Библиографический список
1. Красильников П.С. О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании // ПММ. 2012. Т. 76, вып. 1. С. 36-51.
2. Маркеев А.П. Нелинейные колебания симпатических маятников // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 3. С. 605-622.
3. Андреев А.С. Метод функций Ляпунова в задачах управления // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 4. С. 64-73.
4. Андреев А.С. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы //ПММ. 1996. Т60. Вып. 3. С. 388-396.
5. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». -Алма-Ата : Наука, 1981. 253 с.
6. Magnus K. Schwingungen. Stuttgart: B.G. Teubner, 1976. = Магнус К. Колебания. М. : Мир, 1982. 304 с.
7. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л. : Изд-во ЛГУ, 1983. 219 с.
8. Сейранян А.П. Качели. Параметрический резонанс // ПММ. 2004. - Т. 68. Вып. 5. С. 847-856.
9. Зевин А.А., Филоненко Л.А. Качественное исследование колебаний маятника с периодически меняющейся длиной и математическая модель качелей // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 6. С. 989-1003.
10. Акуленко Л. Д., Нестеров С.В. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // ПММ. 2009. Т.73. Вып. 6. С. 893-901.
11. Акуленко Л.Д. Параметрическое управление колебаниями и вращениями физического маятника (качели) // ПММ. 1993. Т.57. Вып. 2. С. 82-91.
12. Лавровский Э.К., Формальский A.M. Оптимальное управление раскачиванием качелей // ПММ.1993. Т. 57. Вып. 2. С. 92-101.
13. Асланов В.С., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация спутника с помощью подвижной массы // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 565-575.
14. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М. : Изд-во МГУ, 1971. 508 с.
15. Математическая теория оптимальных процессов. / Л.С. Понтрягин [и др.]. М. : Наука, 1969. 384 с.
16. Асланов В.С., Безгласный С.П. Устойчивость и неустойчивость управляемых движений двухмассового маятника переменной длины // Известия РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 32-46.
17. Безгласный С.П., Пиякина Е.Е., Талипова А.А. Ограниченное управление двухмассовым маятником // Автоматизация процессов управления. 2013. Т. 34. № 4.
18. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.
