CC BY
3Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 79
УДК 531.36: 534.1
www.mai.ru/science/trudv/
Ограниченное управление движениями двухмассового маятника
Безгласный С.П.*, Краснов М.В.,** Мухаметзянова А.А.***
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева, СГАУ, Московское шоссе 34, Самара, 443086, Россия
*e-mail: bezglasnsp@rambler.ru **e-mail: maxasgard@mail.ru ***e-mail: Alain.20@mail.ru
Аннотация
Рассматривается задача об ограниченном управлении плоскими движениями двухмассового параметрического маятника. Маятник моделируются двумя одинаковыми невесомыми стержнями с двумя равными точечными массами, двигающимися по окружности вокруг точки закрепления. Управление реализуется путем непрерывного изменения угла между стержнями и является функцией, зависящей от движения центра масс маятника. Предложены законы управления раскачкой и успокоением маятника в окрестности нижнего положения равновесия при предположении об ограничениях на перемещения центра масс маятника. Построены функции Ляпунова, доказывающие асимптотическую устойчивость и неустойчивость нижнего положения маятника в случаях его успокоения и раскачки
соответственно. Теоретические результаты проиллюстрированы графическим представлением численных расчетов.
Ключевые слова: двухмассовый маятник, управление, функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость.
Введение
В различных задачах механики плоские движения исследуемых систем и объектов при некоторых упрощениях моделируют математическим маятником. Между тем изучение движений самого плоского маятника обнаруживает много качественных свойств нелинейной системы и вызывает самостоятельный интерес у современных исследователей. Так, например, в работе [1] в задаче о колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании при больших частотах вибраций и малых амплитудах колебаний длины маятника и точки его подвеса получены бифуркационные диаграммы равновесий, исследованы резонансы и показано присутствие стохастической паутины вблизи равновесий. В [2] при помощи КАМ-теории в близком к резонансному случаю проведен анализ периодических и условно-периодических движений системы в задаче о движении двух одинаковых маятников, связанных линейной упругой пружиной, в окрестности их устойчивого вертикального положения равновесия. В работе [3] с помощью метода предельных функций и систем решена задача о стабилизации произвольных программных движений
математического маятника в переменном поле силы тяжести при наличии неучтенных воздействий с помощью релейного управления. Задачи о построении асимптотически устойчивых заданных маятниковых движений волчка Лагранжа на подвижной платформе и руки робота-манипулятора, моделируемой двустепенным маятником переменной длины, решены в работах [4, 5] соответственно.
Одной из классических задач механики о маятниковых движениях является задача об управлении качелями. Встречаются две основные модели качелей - одномассовый и двухмассовый маятники. Для одномассовой модели в виде плоского математического маятника переменной длины авторами в ряде работ, например [6-8], аналитически и численно исследовались вопросы устойчивости и неустойчивости верхнего и нижнего положений, влияния сил (сухого, вязкого трений и аэродинамического сопротивления), выбора оптимальных режимов раскачки, гашения колебаний и возникновения резонансов. Двухмассовым маятником качели моделируются в работах [9-14]. В [9] методами усреднения и принципа максимума решены задачи управления и оптимизации для случаев малых колебаний и быстрых вращений путем регулируемой по скорости длиной маятника. В работе [10] построены процессы оптимальных раскачки и торможения качелей релейным и «релейно-непрерывным» управлением длиной подвеса подвижной массы для случаев движения без трения и с наличием разных видов трения.
В отличие от большинства указанных выше работ, в которых решались задачи об управлении качелями с помощью скачкообразного (релейного) изменения величины перемещения подвижной массы, невозможного для практической реализации в силу инертности масс, авторами работы [11] был предложен непрерывный закон движения подвижной массы, позволяющий раскачивать и тормозить качели. В [12] решены задачи о диаметральной переориентации и гравитационной стабилизации плоских движений спутника на круговой орбите с помощью подвижной массы по принципу качелей. Но управляющий закон, предложенный в этих работах, предполагает неограниченность расстояния от точки подвеса до подвижной массы в обе стороны, в частности, в [11] авторами приведен численный пример, в котором теоретически считается, что стержень продлен вверх за точку подвеса маятника с предоставленной возможностью движения по нему подвижной массы. На практике реализация таких движений затруднительна. В работах [13, 14] были предложены новые законы управлением подвижной массой по принципу качелей, которые предполагают ограниченность относительного перемещения этой массы вдоль стержня.
В данной работе рассматривается модель параметрического маятника, представляющего собой совокупность двух симметрично отклоненных от оси симметрии одинаковых по длине и массе маятников, с возможностью управлять величиной угла между ними. Предложены законы управления этим углом, позволяющие раскачивать и гасить колебания рассматриваемой модели
по принципу качелей. Предполагается ограниченность с двух сторон перемещений центра масс маятника. Ограниченность и непрерывность закона управления позволяют на основе классической теории устойчивости аналитически доказать асимптотическую устойчивость и неустойчивость различных движений маятника путем построения соответствующих функций Ляпунова и предоставляют более удобные возможности для его практической реализации. С помощью численного моделирования движений рассматриваемой системы графически иллюстрируется асимптотическая устойчивость полученных решений.
1 Постановка задачи
Рассмотрим параметрический двухмассовый маятник, состоящий из двух равных точечных масс т, неподвижно закрепленных на концах двух невесомых стержней одинаковой длины Ь (Рис.1). Свободные концы стержней шарнирно закреплены в неподвижной точке О. Угол между стержнями обозначим , тогда на пересечении его биссектрисы с отрезком, соединяющим обе точечные массы, будет находиться центр масс маятника. Расстояние от точки О до центра масс обозначим I.
Рис. 1. Двухмассовый маятник За обобщенную переменную, описывающую движение маятника, примем величину угла р между биссектрисой и вертикалью. Движения маятника происходят в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Управлением будем считать величину угла ц/ = ц/ (ф,ф), являющуюся непрерывной функцией вектора фазового состояния маятника, где точка обозначает производную по времени.
Кинетическая и потенциальная энергии маятника имеют вид:
Т = тЬ"(ф" + цг")
П = -2mgb соб р соб у.
Записав лагранжиан рассматриваемой системы
Ь = Т - П = + + 2mgbcos(pcosy/,
имеем уравнение движения маятника в виде уравнения Лагранжа второго
рода:
р-
(р + —ътсрсоъц/ = О 6
где g - ускорение сил тяготения.
Поставим и решим следующие задачи управления плоскими движениями параметрического маятника - построить непрерывные законы управления величиной угла у , реализующие раскачку и асимптотическое успокоение колебаний соответственно в окрестности нижнего положения равновесия. Решать задачу будем в предположении, что движения центра масс маятника вдоль биссектрисы угла 2у ограничены с двух сторон.
2 Управление затухающими движениями маятника
Решение задачи об асимптотическом успокоении колебаний двухмассового маятника относительно его нижнего положения равновесия получим на основе второго метода классической теории устойчивости. Выберем управляющий закон в виде:
¥ =
L + афйпт . . arceos —-, при -с < atpsmqx с;
, ■ (\ ■ w
l0+c-sign{sm(p)-sign(p . . . .
arceos-----, при a(psm(p<-c U Аф$т(р>с,
b
где величина /0 = const > 0 задает некоторое положение стержней маятника,
соответствующее его нижнему положению равновесия, число a удовлетворяет условию 0 < a = const < /0.
Подставив (2) в уравнение (1), получим:
.. (l0+a(psm(p)g
(p Л—----sm^ = 0, при - с <скрът(р <c\
b
g(lQ+c-sign(sm(p)-sign<p) . . . .
(рл--^---sm^ = 0, при скрът(р<-с U А(рът(р> с.
(3)
Sin (p)-Slgn(p) . . . . .
^ ----sin 0 = 0., при скоъшф <-c U A(psm(p> c.
Для доказательства асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3) выберем функцию Ляпунова V = У{ср,ф) в виде:
V = ф2(\ + ксрф) + —- cos<p) (4)
Ъ
Эта функция У(<р,ф) при любых значениях коэффициента к в окрестности нижнего положения равновесия <р = ф = 0 является положительно определенной и допускает бесконечно малый высший предел по переменным (р, ф. Оценим полную производную этой функции по времени в силу уравнения (3):
О /
F = --^-(/0 + аф^\п(р)^\п(р{2ф + Ък(рф2^ + кфА + (/?sin(р. (5)
Разложив в правой части равенства (5) функцию sin^ в ряд, выполнив элементарные преобразования и отбросив слагаемые старше четвертой степени по переменным ср, ф, получим, что в окрестности положения ср = ф = О производная (4) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости представима выражением:
т> 7-4 2 *2/ ^>kgL+2ag, V « кср + ср хср\---—).
При выборе коэффициента к согласно условиям:
2a
3l0
< к < 0,
например, выберем
к=~а., з/„
будем иметь оценку производной функции Ляпунова V в виде:
а . л ая . 7 7 а . 4 К *--<рА-^ср2(р2<--(р\
з/0 ь 3/0
Таким образом, функция Г будет отрицательно определенной по скорости ф функцией. Множество {ф = 0} не содержит решений системы (3), кроме р = 0. На основе теоремы Барбошина-Красовского [15] имеем асимптотическую устойчивость нижнего положения равновесия (р = ф = 0 маятника.
Проведенные численные расчеты подтверждают сделанные выводы об асимптотической устойчивости нижнего положения равновесия (р = ф = 0 маятника и демонстрируют асимптотическое затухание амплитуды колебаний не только в малой окрестности, но и при произвольно больших начальных отклонениях. На рис. 2 изображен график зависимости угла р от времени, полученный численным интегрированием уравнения движения (3) при следующих значениях параметров системы:
/0 = 2м, а = 1, Ь = 4м, с = 1, g = 9,81 м / с2 и начальных данных: р(70) = 0 рад, ф{хй) = 4 рад / с. Интегрирование проведено на временном промежутке г е [0,100]с .
Из рис. 2 видно, что, начав движение с большой начальной скоростью, маятник сначала совершает два оборота против часовой стрелки вокруг точки подвеса, а потом происходит асимптотическое затухание его колебаний в окрестности точки ср = 4ж, ф = О, которая физически соответствует положению (р = ф = 0 . Поэтому строго говоря, положение равновесия <р = ф = 0 маятника не является асимптотически устойчивым в целом, тем не менее затухание его колебаний при управлении (2) происходит при любых начальных условиях.
15
10
5
20
40
60
80
100
Рис. 2. Зависимость угла ф от времени
л
<ар ад
Рис. 3. Фазовый портрет
На рис. 3 изображен фазовый портрет решения уравнения (3) с управлением (2). Фазовая траектория отображает затухание амплитуды и скорости колебаний маятника вокруг нулевого положения равновесия. Графики, представленные на рис. 2 и 3, иллюстрируют очень медленную сходимость решений к нулевому положению равновесия после значений ф = 0.3 рад, что позволяет сделать вывод о слабой эффективности предложенных управлений при малых углах отклонений. Тем не менее, численное интегрирование, проведенное на больших интервалах времени, подтверждает асимптотическую сходимость решений и отсутствие ненулевых предельных циклов.
Рис. 4. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения
1.м
3.0
2.5
2.0
1.5
Рис. 4 демонстрирует поведение величины расстояния / от точки подвеса до центра масс маятника в зависимости от угла р. Из него видно, что перемещения центра масс вдоль биссектрисы угла 2ф происходят в окрестности значения /0, задаваемой константой с = 1, как при колебательных, так и при вращательных движениях маятника. Точка С с течением времени асимптотически приближается к положению /0.
3 Раскачка маятника
Применим аналогичный подход к решению задачи о раскачке маятника из произвольной окрестности нижнего положения равновесия. Заметим, что при нулевых начальных значениях ф(^0) = ф(^0) = 0 система (1) является
неуправляемой для всех ?0 < ? < ад при любом законе управления вида ц/ = ц/ (ф, ф). Но если выбором этого закона добиться, чтобы положение равновесия ф = ф = 0 системы было неустойчивым по Ляпунову, то действующие на систему силы (внешние возмущения) выведут ее из положения равновесия, и станет возможным эффективный процесс управления - раскачка.
Выбрав закон управления в виде:
¥ =
к-аф^то) . . arccos-^-, при - с <аф$тф <с\
l0-c-sign(smq>)-signq> . . ,, ■ •
arccos-----, при аф$тф < -с U аф$тф> с.
b
и подставив (6) в уравнение (1), получим:
.. (/„ -аът(р-ф)е .
фЛ—----ыгмр = 0, при -с <а<рът.ф <с,
ъ (?)
.. (/0 - с • $щп (эт ф) ■ slgnф)g . . . . .
(рл--^-г—--(р = 0, при аф%тф<-с и Аф%тф> с.
Для доказательства неустойчивости нулевого решения системы (7) воспользуемся положительно определенной функцией Ляпунова (4). Ее полная производная по времени в силу уравнений (7) с точностью до слагаемых четвертого порядка малости включительно по переменным <р, ф имеет вид:
(8)
Ъ
При выборе коэффициента к согласно условиям:
а 7 2а 0 < к <—,
3/о
например, выберем
к=а.
31
о
будем иметь оценку производной функции Ляпунова V в виде:
• а . 4 . 22 К +^Т<Р <Р •
3/0 ь
На основании первой теоремы Ляпунова о неустойчивости [15] имеем неустойчивость нижнего положения ср = ф = 0 маятника.
У,рад
Рис. 5. Зависимость угла ф от времени
На рис. 5 изображен график зависимости угла ф от времени, полученный численным интегрированием уравнения движения (7) при следующих значениях параметров системы: /0 = 2м, а = 1, Ь = 4м, с = 1, g = 9,81 м / с2 и начальных данных: ф^0) = 0,5рад, = 0рад / с. Интегрирование проведено
на временном промежутке ? е [0,35] с .
На рис. 6 изображен соответствующий фазовый портрет. Фазовая траектория отображает нарастание с течением времени амплитуды и скорости колебания двухмассового маятника и переход от колебаний к вращательному движению.
4
- <^рад
Рис. 6 . Фазовый портрет
Рис. 7 демонстрирует поведение величины расстояния / от точки подвеса до центра масс маятника в зависимости от угла р. При нарастании отклонений и скоростей и переходе маятника от колебательных к вращательным движениям при управлении (6) величина / остается в окрестности значения /0, задаваемой константой с = 1.
1.М
п
5
10
Рис. 7. Зависимость длины подвеса подвижной точки от угла отклонения
Заключение
В работе для задачи параметрического управления плоскими движениями двухмассового маятника предложены законы управления его раскачкой и асимптотическим успокоением путем непрерывного изменения величины угла между стержнями, зависящей от фазового состояния центра масс при ограничениях на его движения. Для предложенных законов управления методом функций Ляпунова доказана асимптотическая устойчивость и неустойчивость соответственно успокоения и раскачки маятника относительно нижнего положения равновесия. Теоретические результаты подтверждены и проиллюстрированы численными расчетами. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании управляемых маятниковых движений различных механических систем.
Представленные результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России №9.540.2014/К.
Библиографический список
1. Красильников П.С. О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибрирующем основании // Прикладная математика и механика. 2012. Т.76. № 1. С. 36-51.
2. Маркеев А.П. Нелинейные колебания симпатических маятников // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 3. С. 605-622.
3. Андреев А.С. Метод функций Ляпунова в задачах управления // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. Т. 12. № 4. С. 6473.
4. Безгласный С.П., Мысина О.А. Стабилизация программных движений твердого тела на подвижной платформе // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 8. №. 4. С.44-52.
5. Безгласный С.П., Батина Е.С., Воробьев А.С. Синтез асимптотически устойчивых движений руки робота-манипулятора. Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 4, ч. 1. С. 36-42.
6. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». - Алма-Ата: Наука, 1981. - 253 с.
7. Сейранян А.П. Качели. Параметрический резонанс // Прикладная математика и механика. 2004. Т.68. № 5. С. 847-856.
8. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. № 6. С. 893-901.
9. Акуленко Л.Д. Параметрическое управление колебаниями и вращениями физического маятника (качели) // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57. № 2. С. 82-91.
10. Лавровский Э.К., Формальский А.М. Оптимальное управление раскачиванием качелей // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. № 2. С. 92-101.
11. Асланов В.С., Безгласный С.П. Устойчивость и неустойчивость управляемых движений двухмассового маятника переменной длины // Известия РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 32-46.
12. Асланов В.С., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация спутника с помощью подвижной массы // Прикладная математика и механика. Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. № 4. С. 565-575.
13. Безгласный С.П., Пиякина Е.Е., Талипова А.А. Ограниченное управление двухмассовым маятником // Автоматизация процессов управления. 2013. Т. 34. № 4.С. 35-41.
14. Безгласный С.П., Батина Е.С., Пиякина Е. Е., Параметрическое управление с ограничением движениями двухмассового маятника // Электронный журнал «Труды МАИ», 2014, № 72: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=47314 (дата публикации 27.01.2014).
15. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. - 530
с.
