CC BY
9«Труды МАИ». Выпуск № 82
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 531.36: 534.1
Параметрическое управление плоскими движениями
спутника-гантели
1* 2** IÄÄÄ
Безгласный С.П. , Краснов М.В. , Мухаметзянова А.А.
1 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева, СГАУ, Московское шоссе 34, Самара, 443086, Россия 2Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-Прогресс», ул. Земеца, 18, Самара, 443009, Россия *e-mail: bezglasnsp@rambler.ru **e-mail: maxasgard@mail.ru ***e-mail: Alain.20@mail.ru
Аннотация
Рассматривается плоское движение спутника-гантели на эллиптической орбите, моделируемого весомым стержнем с двумя закрепленными массами на его концах и с перемещающейся вдоль стержня четвертой массой. Управлением является непрерывный закон движения подвижной массы вдоль стержня по принципу качелей. Получены управляющие законы, переводящие спутник-гантель из одного устойчивого радиального положения равновесия в другое и стабилизирующие по отношению к плоским возмущениям двух диаметрально противоположных положений относительного равновесия спутника на круговой орбите. Решение получено в замкнутом виде на основе второго метода классической теории устойчивости с построением соответствующих функций Ляпунова.
Асимптотическая сходимость решений подтверждена результатами численного моделирования движения системы.
Ключевые слова: гантелеобразный спутник, подвижная масса, гравитационный момент, функция Ляпунова, асимптотическая устойчивость.
Введение
Проблеме устойчивости относительных равновесий и различных движений спутника вокруг центра масс на кеплеровской орбите под действием гравитационного, аэродинамического и других моментов посвящены работы Белецкого В.В., Сарычева В.А., Маркеева А.П. и других авторов [1-10]. В предложенной работе исследуются задачи о гравитационной стабилизации положения относительного равновесия спутника-гантели на круговой орбите и его переориентации с помощью параметрического управления. Управление реализуется путем периодических перемещений точечной массы вдоль оси симметрии спутника по принципу действия качелей. Обычно качели моделируются одномассовым [11,12] или двухмассовым [13,14,15] маятником переменной длины и могут использоваться для решения прикладных задач. Так, в работе [16] принцип действия качелей применен для осуществления орбитального маневрирования центра масс спутника. В статье [17] двухмассовая модель качелей используется для решения задачи о гравитационной стабилизации и переориентации спутника на круговой орбите. В работе [18] обсуждаются возможности повышения орбиты спутника посредством раскачивания космической тросовой системы (космической пращи) по принципу качелей.
В настоящей статье исследуются управляемые плоские движения спутника-гантели с подвижной массой. Спутник-гантель представляет собой две точечные массы, соединенные тонким весомым однородным стержнем, вдоль которого может перемещаться четвертая точечная масса. Движение центра масс спутника-гантели на орбите происходит под действием сил центрального ньютоновского притяжения. Управляющим параметром является расстояние от общего центра масс двух концевых грузов и стержня до подвижного груза. Закон управления спутником-гантелей реализуется посредством непрерывного изменения этого расстояния, являющегося функцией фазового состояния системы. Непрерывность закона управления позволяет строить функции Ляпунова, обосновывающие асимптотическую устойчивость и неустойчивость по отношению к плоским возмущениям различных плоских движений спутника-гантели относительно его центра масс.
В первой части работы записано уравнение плоского движения спутника-
гантели с подвижной массой вокруг общего центра масс на кеплеровской орбите
произвольного эксцентриситета под действием гравитационного момента и на
круговой орбите. Во второй части предложенным в [15] законом управления решена
задача об управлении процессом «раскачки» спутника-гантели в окрестности его
устойчивого положения равновесия и перевода его в диаметрально
противоположное асимптотически устойчивое положение (переворот спутника на
угол п). В третьей части работы решена задача о гравитационной стабилизации
(успокоении плоских колебаний) после переворота в окрестности нового положения
относительного равновесия спутника-гантели, когда он расположен вдоль местной
вертикали. Решение проведено аналитически путем построения соответствующих функций Ляпунова.
1. Уравнение маятникового движения спутника-гантели с подвижной
массой.
Рассмотрим движения спутника-гантели относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле с центром в точке O. Воспользуемся общепринятым предположением [2] о независимости движения центра масс спутника от его движения относительно центра масс. Рассматриваемая система (спутник-гантель) представляет собой весомый неупругий стержень массой m3, на концах которого закреплены грузы с точечной массой т1 и m2. Вдоль стержня может перемещаться подвижная масса - точечный груз массы m4 (рис.1). Общий центр масс грузов и стержня лежит в точке O1. Обозначим через l и d расстояния от точки O1 до груза m4 и до центра масс O2 всего спутника соответственно. Для них будет выполняться соотношение
(m1 + m2 + m3) d = m4(/ - ^ (1.1)
Орбитальную систему координат 02ХУ2 выберем так, что ось 02Х направлена по орбитальной касательной, ось 02У перпендикулярна плоскости орбиты, ось 022 дополняет систему координат до правой тройки. Оси связанной со спутником системы координат Охху2 совпадают с его главными центральными осями инерции. Ориентация системы координат Охху2 относительно орбитальной
Рис. 1 - Схема спутника-гантели задается при помощи углов Эйлера у, в, р. Обозначим главные центральные моменты инерции спутника-гантели без подвижной массы В1 = 0,
„ ЬЬт т24тт + тт + тт
А1 = С1 =-3 + Ь —^-г2-—-^^, где Ь - длина стержня.
12 4 (т1 + т2 + т3)
Следуя [17], запишем уравнение плоского движения спутника-гантели с подвижной массой вокруг общего центра масс. Из соотношения (1.1) имеем:
г т 41
Л =-4--(1.2)
т1 + т2 + т3 + т4
Моменты инерции А2 , В2 , С2 спутника-гантели с подвижным грузом относительно осей, проходящих через точку 02 и параллельных соответственно осям жестко связанной со стержнем системы координат 0хху2 в силу (1.2) определим равенствами:
,, (m + m + m ) m.
B2 С0, A2 =ml2 = m + 2, = ^-2-(1.3)
m1 + m2 + m3 + m4
Известно [2], что существуют относительные плоские маятниковые движения спутника-гантели
ц/ = ж, @ = r = Ф+v, p = q = о
на эллиптической орбите под действием гравитационного момента
Mz = -3n2 k12 к2 A2sin р cos р,
_ 3
к1 = (1 _ в2) 2, к2 = 1 + вcos v где p, q, r - компоненты угловой скорости вращения спутника-гантели, точка обозначает производную по времени, n = const > 0 - среднее движение центра масс спутника, v - истинная аномалия, в - эксцентриситет орбиты, Mz -
гравитационный момент относительно оси, проходящей через точку O2 и перпендикулярной плоскости орбиты. Учитывая равенство (1.3), запишем кинетический момент системы в виде
Kz = C2 r = (A1 + ml 2)( ф + v) Тогда на основании теоремы об изменении кинетического момента получим уравнение плоских движений системы с подвижной массой:
(A + ml 2)( ф + V) + 2mll( ф + V) = _3n2k12 к2 A2 sin р cos р (1.4)
где l = l (р, ф).
Если считать истинную аномалию v новой переменной с производной
V = nk1k22, (1.5)
то первая и вторая производные для величины ф = <(t) в силу (1.5) будут иметь вид
ф = фпк1к2, ф = n 2к2к2 [ к«"- 2e sin v<\, (1-6)
где штрихом обозначена производная по v. Учитывая справедливость равенств
l = l 'nkfi2, v = -2n 2вк2к2 sin v (1.7)
и соотношений (1.5) и (1.6), запишем уравнение плоских движений спутника-гантели с подвижной массой на кеплеровской орбите под действием гравитационного момента в виде:
с
к2ф + 2
mil'
К A1 + mi2 2
к - e sinv
2mii'
<p'= -3sinp cos ф + 2e sinv--2 к2 (18)
A + mi
При движении по круговой орбите (e = 0, к2 = 1) уравнение (1.8) примет вид:
<р" = -2—mll 2 (ф +1)-3sin<cos< (1.9)
A + ml
Заметим, что уравнение (1.8) совпадает с соответствующим уравнением плоских движений динамически симметричного спутника на эллиптической орбите, полученным в работе [17], если в нем положить B = 0. Кроме того отметим, что, хотя в [17] уравнение плоских движений спутника было выведено в предположении малости подвижной массы по сравнению с массой самого спутника, на самом деле оно остается справедливым при любых значениях масс.
2. Уравнение управляемых движений спутника-гантели.
Применим принцип действия качелей (плоского маятника переменной длины) для решения задач об управлении движениями спутника-гантели. А именно, необходимо осуществить раскачку системы и перевод ее из окрестности положения
относительного равновесия р = р' = 0 в диаметрально противоположное р = п, р' = 0. Также покажем возможности гравитационной стабилизации по отношению к плоским возмущениям системы на круговой орбите в окрестностях этих положений равновесия. Будем считать, что управление суть расстояние от O1 до подвижной точки m4:
l = l (р,р) (2.1) Сначала поставим и решим задачу об асимптотическом успокоении плоских колебаний спутника-гантели с помощью подвижной массы в окрестности положения относительного равновесия р = р' = 0. Решение проведем вторым методом классической теории устойчивости. Как и в [15], управление (2.1) выберем в виде:
l = l0 + ар' sin р (2.2)
где l0 = const > 0, а = const > 0. С учетом (2.2) и равенства
Г = ар sin р + ар'1 cos р
перепишем уравнение (1.9)
р"( A1 + ml (l0 + 3ар^тр + 2а sinр)) = = _2mla cosр(р' + 1)р'2 _ 3(A1 + ml2)sinрcosр
(2.3)
Уравнение (2.3) имеет нулевое решение р = р' = 0, соответствующее исследуемому положению относительного равновесия спутника-гантели. Оно является уравнением возмущенного движения в окрестности этого положения равновесия.
Выберем функцию Ляпунова:
T. A + mL(L + 3aj'sinj + 4asin®) ,2 3 f . , a , . . V = --—-~2---— V + 4 ^ A + m!0(!0 + ^Jsrn j)
x(1 - cos2¥) + p(1 - (( + v)
(2.4)
где коэффициент p = const > 0 определим позже. Функция V(vV) в окрестности положения относительного равновесия ( = ( = 0 представима рядом, начинающимся с положительно определенной квадратичной формы. Согласно признаку знакоопределенности функций [19], функция (2.4) является положительно определенной. Вычислим полную производную этой функции V = V( j, () по времени в силу уравнения (2.3). Так как на круговой орбите v = n, то
c^V 3
-= n [ A1 + mi0 (i0 + 3aJ sin ( + 4a sin ()] j'j" + — nami0('2(" sin ( +
dt 2
3 f 3
+— nami0 sin ((1 - cos 2 j)( + n < — ami0('4 cos ( + 2ami0('3 cos ( + 8 12
3 3
+—ami0cos ((1 - cos2()j'2 + — 8 2
+p((1 - cos2 j + 2 jsin2()
a
A1 + mi0 (i0 +~V sin j)
j'sin2( > +
В силу уравнения (2.3) эта производная с точностью до слагаемых четвертой степени по переменным р, <р' имеет вид:
1 т> 9 F 4
—V =--( +
n 4
12 F'
(V - 6(F - p)(
J
21F 2 ,2 4 F
V (
-3 F „ .4
G"v - y(
где обозначено ¥ = та10 > 0, О = А1 + т102 > 0. Выберем коэффициент р = ¥, тогда
производная V будет являться однородной формой четвертой степени по переменным р, р, и согласно критерию Сильвестра [19] при выполнении
неравенства G >yj6,4F будет отрицательно определенной функцией. На основании
теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [19] положение относительного равновесия р = р' = 0 спутника-гантели на круговой орбите является асимптотически устойчивым. Функция (2.4) является возрастающей с
ростом |р| для всех р
п п
Следовательно, управление (2.2) будет гасить плоские колебания спутника-гантели, начинающиеся не только в малой окрестности положения равновесия р = р' = 0, но и при начальных отклонениях р^0) <
п п
Для сколь угодно больших значений р(?0) и скорости р'(0 в силу анализа энергии, проведенного в [12] для похожего (ступенчатого) закона управления подвижной массой, имеем убывание полной энергии по геометрической прогрессии, что приводит к уменьшению р'(?). Тем самым хотя тривиальное решение р = р' = 0 строго говоря и не является асимптотически устойчивым в целом, но физически при любых начальных отклонений и скоростях происходит затухание движений в окрестности нижнего положения равновесия гантели. Численное интегрирование уравнений движения подтверждают сделанные выводы.
На рис. 2 изображен фазовый портрет системы (2.3) с управлением (2.2), полученный численным интегрированием уравнения движения при следующих числовых значениях параметров системы: т1 = 400 кг, т2 = 300 кг, т3 = 100 кг, т4 = 200 кг, Ь = 32 м, 10 = 9 м, а = 5 м• сек
и начальных данных: р(t0) = 1,5 рад, р(/0) = 0.1 рад/сек. Интегрирование проведено на промежутке уе[0;150] рад. Эти значения взяты в качестве иллюстративного примера, их выбор не опирается на параметры какого-либо конкретного объекта. Фазовая траектория отображает асимптотическое затухание амплитуды и скорости колебаний спутника-гантели вокруг нулевого положения равновесия, начинающихся с достаточно больших значений начальных отклонений. На рис. 3 показана зависимость расстояния I от угла отклонения р, демонстрирующая ее асимптотическую сходимость к величине 10.
Рис. 3 - Зависимость l (ф)
3. Раскачка и разворот спутника-гантели.
Известно [2], что наряду с положением относительного равновесия на орбите, при котором спутник направлен по радиусу местной вертикали, система имеет и диаметрально противоположное положение равновесия. Применим закон управления вида (2.2) к реализации задач о раскачке спутника-гантели из произвольной окрестности относительного положения равновесия и его диаметральной переориентации. Будем считать, что в законе управления (2.2) параметр
a = const < 0 (3.1)
Уравнение управляемого движения спутника-гантели сохранит свой вид (2.3). Функция V(ф,ф') (2.4) в окрестности равновесия (р = ф = 0 является положительно определенной. Для производной этой функции по времени в силу уравнения (2.3) с точностью до слагаемых четвертого порядка справедливо равенство:
1 V = p'21 -Ф2 + —У2 + 4-qxA + 3p21 5p'2 + V + 4-qxp' | (3.2)
и|¥| ^ 2 4 О ^ ^ 2 4 О где ¥ = та10 < 0. Согласно критерию Сильвестра [19] при выполнении неравенства
О > производная (3.2) будет отрицательно определенной функцией. На
основании теоремы Четаева о неустойчивости [19] положение относительного равновесия ( = ( = 0 спутника на круговой орбите является неустойчивым. Кроме
п п
того, в силу возрастания функции (2.4) с ростом || на множестве ( любая траектория, начинающаяся в окрестности равновесия ( = ( = 0, покинет это
. Тем самым управляющий закон (2.2) с отрицательным
множество x
п п
параметром a реализует процесс раскачки спутника-гантели относительно местной вертикали.
Покажем, что в дальнейшем после диаметрального разворота спутника управление (2.2) при отрицательных значениях параметра a стабилизирует этот спутник в окрестности противоположного положения равновесия p = п, p = 0. Введя отклонение р = п + x, запишем уравнение возмущенного движения
3
x"(A1 + ml (l0 - 3ax'sinx - 2asinx)) = 2mlacosx(x' +1)xX2 -— (A1 + ml2)sin2x (3.3)
Так как согласно условию (3.1) a = const < 0, то уравнение (3.3) с управлением (2.2) совпадает с уравнением (2.3) с a = const > 0, поэтому нулевое решение x = x' = 0 уравнения (3.3) согласно полученному результату п. 2 будет тоже асимптотически устойчивым.
Итак, управление (2.2) при условии (3.1) реализует асимптотически устойчивую диаметральную переориентацию спутника-гантели. Раскачавшись в окрестности положения относительного равновесия, спутник переворачивается на угол п в плоскости орбиты и совершает затухающие колебания в окрестности его противоположного положения относительного равновесия на орбите.
Этот процесс на рис. 4-5 наглядно иллюстрируют графики численных расчетов. Интегрирование проведено при а = -5 м•сек и начальных данных: р^0) = 0.4 рад, р(^) = 0.1 рад/сек на промежутке уе[0;200] рад. Остальные
параметры системы те же, что и были раньше в пункте 2. На фазовом портрете (рис. 4) поведение величины угла р сначала отображает процесс раскачки спутника вокруг нулевого положения равновесия р = р = 0. После разворота мы видим асимптотическое приближение к новому положению равновесия р = п, р' = 0. На рис. 5 показано поведение расстояния I в зависимости от угла отклонения р. Сначала при раскачке спутника-гантели периодически нарастают отклонения длины I относительно величины 10 в окрестности равновесия р = 0, а после переворота происходит ее асимптотическая сходимость к 10 в противоположном положении р = п. Переворот спутника-гантели осуществляется против часовой стрелки.
Рис. 4 - Фазовый портрет.
Численные исследования показали, что направление разворота спутника-гантели зависит от начальных условий движения и от параметра а. Более того, зависимость направления разворота спутника-гантели от параметра а позволяет изменением величины этого параметра управлять переходным процессом (реализовывать желаемое направление переворота и ограничивать величину наибольшего отклонения I подвижного груза в процессе переориентации) при одних и тех же начальных условиях.
Заметим, что использованный в работе управляющий закон (2.2) вообще говоря не предполагает ограниченности расстояния I = I(р,р) от 01 до подвижной точки т4. С ростом величины р' растет значение I, теоретически предоставляя возможность подвижной массе т4 передвигаться вдоль стержня за его пределы, что является нецелесообразным и крайне затруднительным с точки зрения практической реализации. Поэтому вместо закона (2.2) можно использовать подобные ограниченные законы, например, следующий:
I =
10 + ар Бт рпри - Ь < шри р < Ь Ь eonst
10 +Ь sign(sin р) • sign4рí), s\шр' р<-Ь Sjnгр р>Ь
который был предложен в работе [20] и предполагает ограниченность относительного перемещения подвижной массы т4 вдоль стержня выбираемой величиной Ь в обе стороны от значения 10 при любых значениях переменных
P, р.
Заключение. В работе решена задача о параметрическом управлении плоскими маятниковыми движениями спутника-гантели на круговой орбите. Выведено уравнение управляемых плоских движений относительно центра масс спутника-гантели с подвижной массой на эллиптической орбите. Решены задача гравитационной стабилизации относительно плоских возмущений относительного равновесия спутника-гантели на круговой орбите и задача о диаметральной переориентации спутника-гантели с помощью управления подвижной массой под действием гравитационного момента. Для предложенного управления построены функции Ляпунова, необходимые для строгого доказательства асимптотической устойчивости и неустойчивости исследованных движений.
Представленные результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России № 9.540.2014/К.
Библиографический список
1. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов // Прикладная математика и механика. 1963. Т.27. Вып. 3. С. 474 - 483.
2. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. - М.: Изд. МГУ, 1975. - 308 с.
3. Sarychev V.A., Mirer S.A. Relative Equilibria of a Satellite Subjected to Gravitational and Aerodynamic Torgues// Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2000. V. 76. № 1. P. 55-68.
4. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 63 - 85.
5. Холостова О.В. Об устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. № 2. С. 27 - 42.
6. Дорошин А.В. Эволюция прецессионного движения неуравновешенных гиростатов переменного состава // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 3. С. 385 - 398.
7. Любимов В.В. Об особенностях в возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту // Известия. ВУЗов. Авиационная техника. 2009. № 2. С. 29-31.
8. Безгласный С.П., Мысина О.А. О реализации одноосной и трехосной ориентации системы двух тел // Вестник Самарского государственного университета. 2011. № 83. С. 80-90.
9. Безгласный С.П. Худякова М.А. Построение и стабилизация программных относительных движений спутника // Общероссийский научно-технический журнал «Полёт». 2012. № 12. С. 17-21.
10. Безгласный С.П. Активная ориентация гиростата с переменными моментами инерции // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 6. С. 766-777.
11. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа «маятник». - Алма-Ата: Наука, 1981. 253 с.
12. Магнус К. Колебания. - М.: Мир, 1982. 304 с.
13. Акуленко Л.Д. Параметрическое управление колебаниями и вращениями физического маятника (качели) // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57. Вып. 2. С. 82-91.
14. Лавровский Э.К., Формальский А.М. Оптимальное управление раскачиванием качелей // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 92-101.
15. Асланов В.С., Безгласный С.П. Устойчивость и неустойчивость управляемых движений двухмассового маятника переменной длины // Известия РАН. Механика твердого тела. 2012. № 3. С. 33-46.
16. Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, Gislaine de Felipe An analytical study of the powered swing-by to perform orbital maneuvers // Advances in Space Research. 2007. V. 40. P. 102-112.
17. Асланов В.С., Безгласный С.П. Гравитационная стабилизация спутника с помощью подвижной массы // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 563-573.
18. Безгласный С.П., Пиякина Е.Е. Параметрическое управление маневрированием космической тросовой системы // Космические исследования. 2015. Т. 53. Вып. 4. С. 353-359.
19. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. 530 с.
20. Безгласный С.П., Пиякина Е.Е., Талипова А.А. Ограниченное управление движениями двухмассового маятника // Автоматизация процессов управления. 2013. № 4 (34). С. 35-41.
