CC BY
451
ВЕСТНИК 4/2011
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС В ТРУБОПРОВОДАХ ИНЖЕНЕРНЫХ СИСТЕМ, СТРОИТЕЛЬНЫХ МАШИН И
ОБОРУДОВАНИЯ
PARAMETRIC RESONANCE AT PIPES OF ENGINEERING SYSTEMS, BUILDING MACHINES AND EQUIPMENT
Дано математическое описание и решение для частных случаев краевых и начальных условий задачи о параметрическом резонансе в трубопроводах инженерных систем, строительных машин и оборудования при их поперечных колебаниях.
The mathematical formulation and solution for special cases of edge and initial conditions of the parametric resonance at pipes of engineering systems, hydro drive building machines and equipment in case of transversal oscillation are proposed.
При описании процессов, происходящих в трубопроводах различного функционального назначения, наибольшую сложность представляют динамические процессы, значительная часть которых является следствием переходных процессов, неравномерности течения жидкости, вызванной как колебанием внешней нагрузки, так и неравномерностью подачи насосов, и нарушения линейности трубопроводов как конструктивно-технологического, так и монтажно-эксплуатационного характера.
В представленной работе рассматривается задача о поперечных колебаниях труб с капельной или газообразной жидкостью, давление которой р меняется во времени t по закону:
где р0 - статическая составляющая давления; е=А/р0 - отношение амплитуды А колебания давления в системе к статической составляющей давления; ю - круговая частота пульсации давления.
Очевидно, что в случае максимально приближенном к реальным условиям характер изменения давления имеет много более сложное описание и учитывает не только величину пульсации давления, но и её неравномерность во времени. Последнее во многом связано не только с изменением режима течения жидкости, но и с тем как меняются свойства жидкости (вязкость, плотность, сжимаемость, температурное расширение и т.д.) при изменении температуры анализируемой системы (при протекании по разным участкам; при смешивании разнотемпературных потоков и т.п.).
Однако представленное выше описание позволяет оценить основные составляющие колебательного процесса с последующим усложнением задачи наложением до-
М.Л. Каган, Д.Ю. Густов
M.L. Kagan, D.Yu. Gustov
ГОУ ВПО МГСУ
(1)
4./2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
полнительных как ограничений, так и расширений, приближающих модель к реальным условиям.
Инженерная практика показывает, что в большинстве случаев в законе изменения давления статическая составляющая давления существенно превышает амплитуду пульсации. Однако при этом известно, что в некоторых случаях наблюдаются значительные поперечные колебания труб различных инженерных систем, среди которых можно отдельно выделить:
• водопроводные трубы;
• трубопроводы гидро- и пневмосистем машин (строительных, дорожных, коммунальных и пр.) и оборудования;
• трубы системы теплообмена холодильных установок;
• топливоподводные трубопроводы в дизельных двигателях.
Источником пульсации давления, а, следовательно, и колебания трубопроводов, в
водопроводных системах служит автоколебательный режим, возникающий при плохо отрегулированной водоразборной арматуре (смесителях, кранах и т.п.). Данная проблема хорошо известна как «задача Жуковского» [1].
Пульсации давления в гидравлических (пневматических) системах машин, оборудования, инструмента и т.д., а также системах теплообмена холодильных установок вызывается неравномерностью подачи рабочей (охлаждающей) жидкости применяемыми насосами (компрессорами): шестеренными, пластинчатыми, аксиально- и ради-ально поршневыми (плунжерными).
В случае трубопроводов, подводящих топливо к форсункам дизельного двигателя, помимо неравномерности подачи насоса накладывается и цикличность работы самих форсунок.
Для начального описания возникающих при этом процесса рассмотрим задачу о поперечных колебаниях прямолинейного отрезка трубы с жидкостью, давление которой меняется по закону (1).
Выбирая систему координат как указано на рис. 1, для отклонения точек трубы от положения равновесия и(^х) - функции времени и координаты по длине, можно получить дифференциальное уравнение, предполагая, что изгибная жёсткость трубы линейным образом зависит от давления жидкости [2]:
8 2и тА . лд 4и
- + а2 (1 + е- )—4 = 0, (2)
812 8хл
где а - коэффициент, определяемый модулями Юнга и плотностями материала трубы и жидкости, геометрическими характеристиками поперечного сечения трубы и статической составляющей давления.
Рис 1. Расчётная схема поперечных колебаний трубы с жидкостью
При анализе дополнительно предполагается, что движением жидкости в трубе можно пренебречь. В действительности, очевидно, что именно движение жидкости
является обязательным условием возникновения колебаний в трубопроводе. Однако на начальном этапе анализа системы, основываясь на инженерном опыте, можно сделать допущение о ничтожности кинетической составляющей удельной энергии системы (потока жидкости) и рассматривать жидкость как условно неподвижную.
Для нахождения частного решения уравнения (2) необходимы краевые и начальные условия.
В зависимости от характера закрепления концов трубопровода х=0 и х=1 возможны следующие варианты [3]:
жесткая заделка:
шарнирное закрепление:
свободное положение:
и1 -о =0;
% .о =0;
ди дх
= 0
х=0
д 2и
а2 и
дх
= 0;
дх2 д3и
= 0
(3)
х=0
х=0
дх
= 0
х=0
Возможны также и всевозможные линейные комбинации таких условий. Начальные условия имеют вид:
начальное отклонение: и|_0 — f (х)
ди
начальная скорость:
С*
Р(х)
(4)
t=0
Таким образом, в частном случае шарнирного закрепления трубы (является наиболее распространённым вариантом в инженерной практике) необходимо решить задачу описания частного решения уравнения (2) при начальных условиях (4) и краевых условиях:
а2 и
и1х .0 =0;
и1х=/ = 0
дх д2 и
= 0
х=0
дх
= 0
х=1
При отсутствии пульсации давления, когда е=0, уравнение (2) примет вид:
82и 2 84и
а его решение имеет вид [2]:
812
- + а
8хА
• = 0
и(x,t)= ^ 81п — х ]•[ancos(at)+ Ьп sin(at)],
V 1 у
(5)
(6)
(7)
П—1
где a и bn - коэффициенты, определяющиеся при разложении функций f(x) и F(x) в
Г (np
ряды Фурье по системе собственных функций краевой задачи < sin -x >
l v 1 У]
В нестационарном случае , когда е^0, решение определяется методом разделения переменных (Фурье) в виде u(x, t)= T(t)• X(x). В этом случае уравнение (3) примет вид:
T"(t) • X(x) + a2 (1 + e- sino* )r(t) • XIV (x) = 0, (8)
или
T»
X
IV
= -A4.
(9)
a2 (l + £■ sin^t )Т X
Поскольку левая и правая части полученного уравнения не зависят от x и t, то обе равны const, что приводит решение задачи к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:
XIV-AX = 0
14 2/
(10)
T " + Л4а2 (1 + ssinat )T = 0
Для первого уравнения системы (10) краевые условия (5) принимают вид: X(0) = 0 ; X(0) = 0 X(/) = 0; X^ = 0 (11)
Как известно, общее решение первого уравнения системы (10) может быть представлено в виде:
X(x) = C1 cos Ax + С2 sin Ax + СъеХх + C4e'bx. (12)
Учитывая, что из (12):
X¡;) = -I2 (c1 cos Ax + С2 sin Ax + C3eAx + С4е'Ях). (13)
и подставляя краевые условия (13), получим систему уравнений для Ci:
х(0 j — С1 + С3 + С4 = 0
X¡0)=-A2 (С1 + С3 + С4 ) = 0
С1 0; С4 С3
X(1) - C1 cos At + С2 sin Ax + С3еАх + С4е = 0 ) - -A2 (c1 cos Ax + С2 sin Ax + С3еЬ: + С4е^
С3 = С4 = 0 sin^,/ = 0
(14)
Последнее соотношение позволяет определить X, при которых краевая задача имеет нетривиальное (ненулевое) решение Хп=пп/1. В итоге найдены собственные функции краевой задачи, которых часто называют нормальными [2] или координатными функциями:
X n(xx = sin
—-x /
V
(15)
Эта система функций ортогональна на интервале [0, /]. Уравнение (14) иногда называют частотным уравнением. Решение (15) определяет с точностью до множителя форму колебаний по координате (синусоиде).
В случае краевых условий другого вида, краевая задача приводит к частотным уравнениям более сложного вида, чем (14), решение которых возможно только численно [2].
Подставляя найденные 'k—=nnll во второе уравнение системы (10) получаем дифференциальное уравнение второго порядка по времени t:
4 4
T" + a (1+ e • sin®t)T= 0. (16)
Это хорошо изученное уравнение Матье, которое в [3, 4] обычно записывается в виде [2]:
X + (р2 +Д- sin^t )t = 0. (17)
к которому заменой коэффициентов легко приводится уравнение (16). Система линейно независимых решений уравнений (17) T1(t) и T2(t) - функции малые первого и второго рода, к сожалению, краткого аналитического выражения не имеют, и могут быть представлены в виде рядов.
В результате общее решение уравнения (2), удовлетворяющее краевым условиям (3) в силу линейности можно представить в виде ряда: ш ш (— л ^
u (x,t )=£ u— (x,t )=2 sin -y x МЪщТщ (t)+ b2— T 2— (t)], (18)
П—1 n=1 V l J
где b1n и b2n - коэффициенты, определяемые на основе ортогональности системы собственных функций краевой задачи (15) с применением краевых условий (5).
Следует отметить, что последняя задача представляет собой значительные вычислительные трудности. Поскольку нас интересует вопрос устойчивости решения (18), то есть поведение решения при росте t, последнее сводится к использованию свойств решений уравнения Матье (16).
Показано [4] (теорема Флоке), что решение уравнения Матье (в зависимости от величин p, Дий) могут быть ограниченными и неограниченно растущими функциями от t. Существующие диаграммы [2] позволяют по значениям параметров определить, будет ли решение устойчивым или неустойчивым. На рис. 2 приведён пример такой диаграммы [2], где заштрихованы области устойчивого решения.
Анализ этой диаграммы показывает, что даже при малых значениях А (для нашего случая соответственно е) при некоторых значениях остальных параметров (p и ю) возможны быстро растущие решения, то есть неустойчивость искомого решения задачи.
Таким образом, при определённых соотношениях между частотами собственных колебаний труб (при отсутствии пульсации давления (е=0) и частотой пульсации давления жидкости возможны быстро растущие во времени поперечные колебания труб. Поскольку внутреннее давление жидкости приводит к изменению параметра трубы -изгибной жёсткости, соответствующее явление можно назвать параметрическим резонансом.
На практике наиболее важны первые две области неустойчивости, в которых можно ожидать параметрический резонанс, где частота пульсаций давления ю примерно совпадает (первая гармоника) или в два раза больше (вторая гармоника) частоты собственных колебаний трубы.
Рис 2. Диаграммы для определения устойчивости решения уравнения Матье
Учёт диссипативных сил, как и в случае системы с одной степенью свободы сужает области неустойчивости, но не приводит к их исчезновению [2]. Такой вывод справедлив и в случае систем с конечным и (как в нашей задаче) бесконечным числом степеней свободы.
Инженерная практика показывает, что возникновение резонанса даже по второй гармонике приводит к серьёзным нарушениям в целостности инженерных систем. В трубопроводах, возможно, если не собственно разрушение труб, так вибрационное развинчивание разборных соединений (болтовых и винтовых соединений муфт, фланцев опор, а также стыковых резьбовых соединений трубопроводов и рукавов высокого давления).
Литература
1. Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений. В 9 тт., Т. 7. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
2. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. Н. А. Шошина. М.: Гос. Изд. Физ. Мат. Лит., 1959.
3. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964.
4. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
Literature
1. Zjukovstiy N.E. Polnoe sobranie sochineniy. V 9 t., T. 7. M.-L.: ONTI, 1937.
2. Timoshenko S.P. Kolebaniia v ingenernom dele. Per. s angl. N.A. Shoshina. M.: Gos. Izd. Phis. Mat. Lit., 1959.
3. Ango A. Matematika dlia elektro I radio ingenerov. M.: Nauka, 1964.
4. Spravichnik po specialnim funkciiam. M.: Nauka, 1979.
Рецензент: Локшин Б.Я., ведущий научный сотрудник НИИ Механики МГУ им. М.В. Ло-
моносова
