CC BY
29
УДК 624.07:534.1
КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА ПОД ДЕЙСТВИЕМ БЕГУЩИХ ВОЛН ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ
МУНИЦЫН А.И., канд. техн. наук.
Исследуются свободные и параметрические изгибные колебания трубы с неподвижными шарнирными опорами. Возбуждение колебаний осуществляется бегущими волнами давления в теплоносителе. Учитывается геометрическая нелинейность, обусловленная изменением длины средней линии стержня при его пространственном движении. Рассматриваются колебания трубы с различными собственными частотами в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вследствие несовпадения изгибных жесткостей либо жесткости опор в разных направлениях.
Ключевые слова: колебания, нелинейность, труба, бегущая волна, параметрический резонанс.
OSCILLATIONS OF A PIPELINE LOADED BY RUNNING WAVE OF HEATING MEDIUM
A.I. MUNITSYN, Candidate of Engineering
The free and parametric flexural oscillations of a pipe with hinged supports are investigated. The pipe is loaded by running wave of heating medium. The geometrical non-linearity due to the change in the length of the central line of the pipe accompanying its motion is taken into account. The oscillations of a pipe with different natural frequencies in two mutually perpendicular directions as a consequence of a variance in the flexural stiffnesses of a pipe or the stiffnesses of the supports in the different directions are considered.
Keywords: oscillations, non-linearity, pipe, running wave, parametric resonance.
В работах [1, 2] исследовались поперечные колебания трубы под действием внутреннего потока идеальной несжимаемой жидкости. Колебания трубы под действием бегущих волн давления в жидкости рассмотрены в [3]. В этом случае в системе возможны периодические параметрические колебания и хаотические колебания.
В исследованиях колебаний струны и стержня с закрепленными опорами [4, 5] обнаружена взаимосвязь колебаний в различных направлениях, что приводит к существованию как плоских форм движения струны, так и пространственных, при которых точки струны совершают движение по кругу.
При численном исследовании пространственных колебаний нерастяжимой [6] и упругой [7] нити с натяжным устройством также обнаружено существование плоских и пространственных форм движения, с той разницей, что система имеет мягкую, а не жесткую упругую характеристику.
Постановка задачи. Пусть центральная ось в недеформированном состоянии совпадает с осью х прямоугольной системы координат, главные оси инерции поперечного сечения параллельны осям у и г. Концам трубы соответствуют координаты х = 0 и х = £. Обозначим через и, V, w перемещения точек средней линии стержня. Исходя из технической теории изгиба балок, продольная деформация ех волокна, проходящего через точки с координатами у и г, равна
(v )2 +(w' )■
л2
- yv
■zw".
(1)
Здесь и далее штрихом обозначена производная по х; два последних слагаемых в правой части - деформация волокна от изгиба стержня; два первых слагаемых - деформация средней линии стержня; слагаемым
(и)¡2 пренебрегаем.
Принятая зависимость позволяет учесть удлинение средней линии, вызываемое перемещениями вдоль осей у и г. Выражения для потенциальной и кинетической энергии стержня имеют вид
U = — j и' +— ( + w'2j
dx-
EJz
2dx + jw',2dx,
(2)
T =
pF
и 2
V 2
W2)dx,
где Е - модуль упругости; рр - погонная масса трубы с учетом теплоносителя; иу, - осевые
моменты инерции сечения; точкой обозначена производная по времени.
Воспользуемся принципом Гамильтона-Остроградского и получим систему трех уравнений в частных производных:
рРи - ЕР&0 = 0,
рFV + EJzvIV - ЕР (^) = ду, (3)
рЯл/ + EJywIV - ЕР (е0ш') = ,
где е0 = и' + 2(2 + w'2) - продольная деформация средней линии стержня.
2
0
(4)
Избыточное давление в теплоносителе состоит из постоянной части и бегущей волны давления. При изгибе трубы возникает распределенная нагрузка, зависящая от кривизны упругой линии:
Яу (х, t) = -п г д- [( х, t) • V ],
qz (х, t) = -п г -д[р(х, t) • w' ], дх
где р(х,t) = р0 + рsin(юt + 2пх/1^); г - внутренний радиус трубы; ^ - длина волны давления.
Система (3) должна быть дополнена граничными условиями. В частности, для стержня с неподвижными шарнирными опорами на концах имеем граничные условия
и = V = w = V = w" = 0 при х = 0, L.
(5)
Параметрические колебания. Для
стержня, совершающего преимущественно изгибные колебания, в первом из уравнений (3) можно пренебречь величиной и, откуда следует независимость е0 от координаты х. Предполагая отсутствие относительного продольного смещения опор согласно уравнениям (5), получаем
і
єо = 2 І(^2 + *2 )х ■
(6)
Подставляя это выражение в остальные два уравнения (3), имеем два интегро-дифферен-циальных уравнения в безразмерных переменных:
гс4\/ + vIV + [р0 + р1 sin(at + 1х )]v" +
+Р2 cos(at + 1хV -1 '
-2 у | (V'2 + w'2 )х V" = 0,
гс4Й/ + w,v + [р0 + р2 зіп(а? + їх)] w" -+Р2 ооз(а? + їх-
(7)
-2У
)х
w" = 0.
Здесь все перемещения и координата х отнесены к длине стержня L; точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени, которое получается из исходного умножением на частоту малых свободных колебаний в плоскости ху
-Ш г
и введены следующие параметры:
во
¡Зжг
¡Зжг
Ро ; Рі “ г- I Р ’ в2 “ 2п^/Рі ;
EJ,
Я.2
а =—; I =—; у =--; с = —■
Ограничимся случаем одномодового приближения и представим решение в виде
v(х, t) = ф.^) • sin(пx); w(х, t) = ф2^) • sin(пx).
Подстановка в (5) и применение процедуры Бубнова-Галеркина приводит к системе с двумя степенями свободы:
Ф і
■2Лєооз2і
Фі
4 ( '>\і'2
-2 2і-Ро2) ■
а ' ’
+єу ( + ф2 )і = 0,
■ 4 і 2 \і/2 /
ф2 + —2 (і -Р02) (і + є8) + 2Лє ооз2?
_а ' '
+єу 2+ф2 і ф2=°
Ф2
(8)
Здесь с = 1 + е8 и введен малый параметр е, так что нелинейность системы, амплитуда параметрического возбуждения и разность собственных частот малы, что позволяет применить эффективные методы нелинейной механики [8, 9]. Параметр еh зависит от величины переменной части давления и длины волны.
Собственная частота полученной системы зависит от величины постоянной составляющей давления, и при р = 1 происходит потеря устойчивости трубопровода. Далее предполагаем давление теплоносителя много меньшим критического и без ограничения общности поло-4 /- 2\1/2
жим
2
/ 2 V 2
(і -Р02 ) = і. Произведя в системе (8)
(9)
замену переменных
ф = а • cos((1 + гХУ + а),
(ф. = -а(1 + еХ) • sin((1 + гХу -Ф2 = Ь • cos((1 + еХу + Р), ф = - Ь(1 + еХ) • sin((1 + еХ^ + Р) и применяя метод усреднения, получим достаточно простую систему уравнений в медленных переменных:
1 2 1
і 2
а = — єуаЬ зіп2(а -Р) -8
-єЛа зіп2(єЛ? + а), -єЛЬ зіп2(єЛ? + Р),
—еуЬ (2 + ооз2(а - Р)) -
(10)
і 2
Ь = —еуа2Ь зіп2(а-Р)-8
■ л 3 2 і
а = -єЛ +—єуа 8
і
+^ єЛ ооз2(єЛ? + а),
(З = — є(8 - 2Л) + — єуЬ2 +
2 8
і і
+—єуа2 (2 + ооз2(а - Р)) + —єЛ ооз2(єМ + Р),
8 2
где a, Ь и а, Р - амплитуды и фазы парциальных колебаний; Л - частотная расстройка; колебания рассматриваются в малой окрестности единичной частоты.
К
4J,
Для случая установившихся колебаний производные по времени в левой части равны нулю и система (10) имеет три решения:
1) Ь = 0 - колебания в плоскости ху. Из первого уравнения получаем эт2(еХ? + а) = 0 , что позволяет получить амплитудно-частотную зависимость из третьего уравнения (10):
или
а(Х) = ■ 37Г + 2
1/2
(11)
2) а = 0 - колебания в плоскости хz, аналогично из второго уравнения віп2(єХґ + Р) = 0 и из четвертого
1/2
, 6 3 ,2 h ( 8 („6 h'
X = —+ —yb ± — или b(X) = 1—IX— + —
2 8 2 ^ 3yI 2 2
(12)
3) а - р = ±п /2 , в этом случае из первых двух уравнений (10) следует
sin2(sXf + а) = sin2(sXf + р) = 0 ,
два последних уравнения принимают вид
3 2 1 t.2 h
■ — уа +—уЬ ± —:
8 8 2
-X-
0,
0.
5 3,2 1 2 Л
— Х+—уЬ +—уа ±—-2 8 8 2
Решением полученной системы уравнений является амплитудно-частотная зависимость пространственных колебаний стержня, соответствующая движению точек средней линии по эллипсу в плоскости уг:
X:
35
1 и2 h
— +—Y b ± —, 4 2 2
X:
5
4
или
b(X)-
2(Х + 5/4 + h/2)
Y
2(Х -35/4 + h/2)
Y
1 2 h -Yа ±-,
2 2
1/2
1/2
(13)
Анализ результатов. Полученные решения (11)-(13) позволяют исследовать свободные колебания трубы, положив h = 0. Соотношения (11)-(12) описывают известную зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний стержня в плоскости [5] (рис. 1, кривые 1, 2 для Y = 5 = 1). В решении (13) действительным значениям Ь соответствует область частот больших X = 35 /4 и для возникновения пространственных колебаний необходимо, чтобы амплитуда а превышала критическое значение а* = (25 / Y)1/2. На рис. 1 зависимостям (13) соответствуют кривые 3 (а(Х)) и 4 (Ь(Х)). При а < а* в рассматриваемой системе возможны только плоские колебания, при а > а* наряду с плоскими существует пространственная форма движения стержня.
Рис. 1. Зависимость парциальных амплитуд от частотной расстройки
Таким образом, в зависимости от начальных условий, свободные колебания стержня - это либо независимые между собой колебания во взаимно ортогональных плоскостях с двумя разными частотами, либо к ним добавляется еще и пространственная форма движения с третьей частотой колебаний. В общем случае в результирующем движении присутствуют три гармоники с близкими частотами. В случае 5 = 0 качественная картина колебаний соответствует решению, полученному для колебаний струны [4, 6, 7], которое может быть представлено как сумма плоского и пространственного движений.
Решения (11)-(13) для значения параметра h = 0,2 представлены на рис. 2. Каждая пара решений повторяет очертания соответствующих амплитудно-частотных зависимостей, образуя вдоль них области шириной h по оси X. Из анализа решений следует, что при -Л/2<Х<(5-Л)/2 существует одно решение, соответствующее параметрическим колебаниям трубопровода в плоскости меньшей изгибной жесткости. При (5- Л)/ 2 <Х< 35 / 4 - Л / 2 возможны колебания в той и другой плоскостях, и при 35 /4 - Л /2 < X существует параметрический резонанс с пространственной формой движения трубопровода. Для более детального анализа требуется исследование устойчивости полученных решений.
Рис. 2. Зависимость амплитуд параметрических колебаний от частотной расстройки
Список литературы
1. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. - М.: Машиностроение, 1982.
2. Феодосьев В.И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб. - 1951. -Т.10. - С.169-170.
3. Ильгамов М.А., Мишин В.Н. Поперечные колебания трубы под действием бегущих волн в жидкости // Изв. АН, МТТ. - 1997. - № 1. - С.181-192.
4. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Нелинейные колебания струны // Изв. АН. МТТ. - 1993. - № 4. - С. 87-92.
5. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания стержня с неподвижными шарнирными опорами // ПММ. - 2006. - Т.70. - Вып 1. - С. 82-90.
6. Муницын А.И. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством // Изв. РАН. МТТ. - 2001. - № 2. -С. 24-30.
7. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания упругой нити с натяжным устройством // Пробл. машиностр. и надежн. машин. - 2001.-- № 2. - С. 21-28.
Муницын Александр Иванович,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной механики, e-mail: [email protected]
