CC BY
47
Том ХЬШ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2012
№ 2
УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В ХАРАКТЕРИСТИКАХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
А. В. ГУБЕРНАТЕНКО, В. В. ЛЫЩИНСКИЙ, В. А. МОСУНОВ, А. А. РЫБАКОВ
Собственные колебания механических систем с различным числом степеней свободы. Поиск закономерностей в характеристиках колебаний двухстепенных и многостепенных конструкций. Сходство и различия параметрических зависимостей. Возможность изменения фаз колебаний при варьировании параметров.
Ключевые слова: теория подобия, механические системы, авиационные конструкции, динамически подобные модели, параметрические исследования, закономерности, частотные испытания.
Хорошо известно, что успех применения моделирования при изучении любого явления зависит, прежде всего, от правильного выбора параметров, определяющих его особенности, что является весьма сложной задачей. Но когда система определяющих параметров установлена, дальнейшая работа регламентируется правилами теории подобия. Строгое их выполнение является непременным требованием при проведении модельных опытов.
Все сказанное, конечно, относится к моделированию флаттера, уже более 80 лет [1] широко применяемому при решении проблем обеспечения безопасности от флаттера летательных аппаратов (ЛА). Флаттер является сложным динамическим процессом, происходящим в потоке воздуха, и в первую очередь необходимо проверить выполнение требований подобия натуре динамических характеристик модели в наиболее простых условиях (без потока)
С этой целью проводятся частотные испытания ЛА и их моделей, изучаются спектры частот и формы колебаний. Надежность этого способа обусловлена тем обстоятельством, что при колебаниях без потока воздуха достаточно выполнить у сравниваемых объектов подобие лишь по упруго-массовым и геометрическим характеристикам.
ГУБЕРНАТЕНКО Андрей Вячеславович
инженер 1-й категории ЦАГИ
ЛЫЩИНСКИИ Вячеслав Владимирович
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
МОСУНОВ Валерий Аркадьевич
кандидат технических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ
РЫБАКОВ Анатолий Алексеевич
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
Частотным испытаниям подвергается каждый опытный ЛА и некоторые серийные экземпляры, чтобы оценить влияние на динамические характеристики условий эксплуатации. С полученными результатами сравниваются динамические характеристики моделей (в соответствующих масштабах). Накопленный за несколько десятилетий опыт таких исследований показал, что в большинстве случаев соответствие натурных и модельных характеристик оказывается вполне удовлетворительным: в пределах ±5% значений частот колебаний. Но, вместе с тем, бывает, что для некоторых тонов колебаний нужного соответствия нет.
Последнее свидетельствует либо о погрешностях, допущенных при создании модели, либо о некорректном сопоставлении натурных и модельных величин, либо об ошибках при испытаниях.
В таких случаях обычно проводятся дополнительные исследования для выяснения причин расхождений и поиска возможных способов их устранения.
Одна из причин очевидна: натура и модель не являются консервативными системами. Поэтому, например, при гармоническом возбуждении частоты и формы колебаний должны зависеть от выбора точек расположения вибраторов и их количества, от величины возбуждающих сил. Из-за этого можно при испытаниях воспринять один и тот же тон колебаний как два различных тона. Или, наоборот, не суметь возбудить один из существующих тонов колебаний.
Поэтому, если сопоставлять частотные спектры модели и натуры в порядке возрастания частот, может оказаться, что сопоставляться будут тона колебаний различной природы и оценить степень подобия модельных и натурных характеристик не удастся. Сложности усугубляются тем, что возможны и другие причины нарушения подобия. Это и неточности в расчетных исходных данных ЛА, и технологические отклонения, и упрощения при конструировании модели и т. п.
В такой ситуации, кроме необходимости решать конкретные задачи, следует изучить вопросы об общих закономерностях, которые должны проявляться при колебаниях механических систем. Выявлению этих закономерностей посвящена предлагаемая работа.
1. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Соотношения амплитуд Д, А^, В в каждой из координат, описывающих собственные колебания системы с двумя степенями свободы, приведены, например, в [2]:
B = а n2-»2 = а í± 2 1
л ~а1 2 = а1 л »2
v»1
(1)
л2 n2 -»2
— = а2 2 2 2 =а2
B2
»
2
í П2 ^ nL-1
2
v »2 у
(2)
Здесь ai, а2 — численные коэффициенты; ni, П2 — парциальные частоты; »1, »2 — собственные частоты.
Известно, что при любых параметрах такой системы будут выполняться неравенства: ni >» (для первого тона колебаний) и П2 <»2 (для второго тона колебаний). Тогда получится, что BilЛ > 0, а Л^!B2 < 0. Из формул (1), (2) видно, что изменить знаки этих неравенств с помощью вариации параметров в системе с двумя степенями свободы невозможно.
Эти выводы являются весьма важными. Они означают, что во всех точках обеих зависимостей »1 = »1 (n) и »2 = »2 (n) при вариации n фаза колебаний не будет изменяться. Изменится лишь соотношение амплитуд. В соответствии с формулами (1), (2) изменение будет плавным. Особых точек на графиках зависимостей Д/B1 = / (»1) и Л2/B = /2 (»2) при любых значениях n не может быть. Это обстоятельство понадобится при анализе частотных характеристик ЛА и их моделей.
Вопрос о возможности распространения полученного результата на системы с большим числом степеней свободы, конечно, может быть решен только приближенно.
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ФИЗИКИ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим колебания балки, подвешенной в центре масс (точка А) на вертикальной пружине жесткости К (рис. 1).
В момент достижения максимальной амплитуды, когда балка остановится и начинает двигаться в обратном направлении, силы инерции будут действовать вниз. Очевидно, что упругая балка в соответствии с направлением действия сил инерции начнет изгибаться, как изображено на рис. 1. В таком случае обычно говорят, что колебания концов балки ук опережают смещение точки А. Воспользовавшись этим обстоятельством, рассмотрим вопрос о совместных симметричных колебаниях двух свободных упругих балок (1 и 2), соединенных между собой под прямым углом в центре масс, как показано на рис. 2.
В общем случае следует считать, что балки 1 и 2 неодинаковы. Их массы Му, М2, жесткости Е]х, Я/2 и низшие частоты колебаний каждой изолированной балки в свободном состоянии П, П2 отличаются. Нулевые тона рассматривать не будем. Примем, что М1 > М2, а Я/1 и Я/2 зададим такими, чтобы выполнялось неравенство П2 > П\.
Пусть балка 1 колеблется с частотой П[. Мысленно прикрепим к ней балку 2. В системе соединенных балок нас будут интересовать два низших тона собственных колебаний с частотами Ю1 и Ю2. Рассмотрим колебания соединенных балок 1 и 2 при частоте Ю1 (рис. 3), воспользовавшись рис. 1. Точка В на рис. 3 при частоте колебаний ^ является аналогом точки А на рис. 1. При условии Ю2 >®1 балка 1 будет выполнять роль пружины К. Тогда точно так же, как на рис. 1, концы балки 2 будут опережать колебания точки В (рис. 3), перемещаясь в том же направлении, что и точка В. Обычно такие колебания называют «седло». Видно, что балки 1, 2 колеблются в противофазе.
Рассуждения о колебаниях системы с частотой Ю2 аналогичны. При Ю2>Ю[ балка 2 должна колебаться с двумя узлами. В этом случае форма колебаний будет такой, как изображено на рис. 3. Обычно такую форму колебаний называют «купол».
Воспользовавшись рис. 3 и пояснениями к нему, можно сделать важный вывод. Подчеркнем, что амплитуды колебаний концов балки 2 (рис. 3)
рШШтШШЛЩл р^
Рис. 1. Форма колебаний балки при низшей собственной частоте
Рис. 2. Соединенные в точке А перекрещивающиеся балки
Рис. 3. Форма колебаний перекрещивающихся балок (вариант 1)
Рис. 4. Форма колебаний перекрещивающихся балок (вариант 2)
превышают амплитуды колебаний точки В, в которой балки 1, 2 соединяются. Это может происходить только при низшем тоне колебаний системы и обусловлено направлением сил инерции — в сторону движения точки В к максимальной амплитуде. Но направления перемещений между узлами и за узлами (ближе к концам) балки 2 противоположны.
Поэтому, если точку В, где балки 1, 2 соединяются, расположить за узлами (рис. 4), то направление колебаний балки 2 тоже изменится на противоположное. И тогда колебания балок 1, 2 при низшей частоте Ю1 следует называть «купол», а при высшей Ю2 — «седло». Физика колебаний при этом, конечно, не изменяется, и поэтому можно говорить о некоторой условности названий «седло», «купол».
3. РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ПРИМЕРАХ, РАССМОТРЕННЫХ ПРИ АНАЛИЗЕ
ФИЗИКИ КОЛЕБАНИЙ
Целью таких исследований было изучение параметрических зависимостей, характерных для рассматриваемой задачи. При этом одновременно проверялась правильность выводов, сделанных путем анализа физики колебаний. Расчеты выполнялись на ЭВМ по апробированным программам. Перекрещивающиеся соединенные балки считались свободными. Нулевые тона не рассматривались.
Исследуемая конструкция представляется в виде набора тонких плоских упругих поверхностей (УП), произвольно расположенных в пространстве и соединенных между собой упругими связями (пружинами). Расчет колебаний ведется методом Ритца [3].
Каждая УП может содержать различные элементы, отражающие реальную конструкцию ЛА (или его модели) — балки, пластины, сосредоточенные массы и массы с моментами инерции. В балках и пластинах тоже учитываются их распределенные массы.
Задача о колебаниях перекрещивающихся балок решалась в двух вариантах крепления балки 1 к балке 2: в пучности колебаний балки 1 (вариант 1) и при смещении балки 1 к концу балки 2 (вариант 2).
В обоих случаях жесткость балки 1 на изгиб варьировалась, а жесткость балки 2 оставалась неизменной. Вариация жесткостей балки 1 осуществлялась умножением исходной жесткости на коэффициент жесткости К 1, изменявшийся в широких пределах: 0.2 < < 3. При = 1 реализовывался исходный вариант. Графики зависимости собственных частот и>1, Ю2 строились в виде функций Ю1 (К^) и
(02 (-\jKgi )> поскольку собственные частоты (О, Рис. 5. Графики зависимости собственных колебаний
первого и второго тонов перекрещивающихся балок пр°п°рци°нальны квадратн°му к°рню ГО жест-от коэффициента жесткости балки [^ч/К?!] кости колеблющейся конструкции Гра-
фики функции ю^ = ю^ (К?1) и Ю2 = Ю2 (К^1) построены для указанных вариантов расположения балки 1 по длине балки 2 (рис. 5). Формы колебаний перекрещивающихся балок представлены на рис. 6, 7.
На рис. 5 видно, что в данном случае графики для систем с большим числом степеней свободы не имеют качественных отличий от диаграмм Вина [3] для двух степеней свободы. Сравнивая результаты, представленные на рис. 3 и 6, видим, что при первом тоне колебания происходят по типу «седла», а при втором — по типу «купола». Тогда как на рис. 4 и 7 картина колебаний принципиально иная: первый тон — «купол», а второй тон — «седло». Этим подтверждается, что при анализе физики колебаний не было допущено ошибок.
юр 8.23 Гц ю2= 17.03 Гц
Рис. 6. Расчетные формы собственных колебаний перекрещивающихся балок при изменении жесткости балки 1 в К^1 раз (симметричное расположение балок)
ю1= 9.11 Гц
ю2= 11.33 Гц
К„, = 3
\ 1
ю1= 10.62 Гц ю2= 16.79 Гц
Рис. 7. Расчетные формы собственных колебаний перекрещивающихся балок при изменении жесткости балки 1 в К^ раз (несимметричное расположение, X = 0.7)
На рис. 6, 7 видно, что изменение соотношения жесткостей балок не приводит к изменению фазовой картины колебаний в представленных вариантах взаимного расположения балок 1, 2.
4. РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛИ
ОПЫТНОГО САМОЛЕТА
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НА ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЖЕСТКОСТЕЙ КРЫЛА К§кр ПРИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ ИЗМЕНЕНИИ ИХ ВО ВСЕХ ЭЛЕМЕНТАХ КРЫЛА
Эти исследования были проведены в исходном варианте модели. Органы управления считались жестко прикрепленными к фюзеляжу и крылу. Расчеты проводились так же, как в п. 3. Схема модели представлена на рис. 8. Результаты расчетов приведены на рис. 9, 10 в величинах частот натурного ЛА.
Рис. 8. Расчетные схемы модели: а — упруго-массовая; б — аэродинамическая
Рис. 9. Графики зависимости частот собственных колебаний первого (ю1) и второго (ю2) тонов от коэффициента жесткости ^К??кр крыла модели
При сравнении результатов, представленных на рис. 5 и 9, видно, что характер зависимостей Ю1 = Ю1 (К?кр ), Ю2 = Ю2 (К?кр ) на этих рисунках не имеет качественных различий.
Формы колебаний показаны на рис. 10. Для всех значений параметра К?кр при частоте Ю1 реализуются колебания по типу «седло», а при частоте Ю2 — «купол», так же, как представлено на рис. 6.
Прослеживая распределение амплитуд на рис. 10, отметим, что при малых значениях К кр деформации фюзеляжа на первом тоне колебаний (ю1) очень малы, а на втором тоне (Ю2) они явно превалируют. С увеличением К? кр на первом тоне (ю1 ) проявляются деформации фюзеляжа, которые увеличиваются с ростом К?кр. А на втором тоне (Ю2) наблюдается обратная картина: с ростом К деформации фюзеляжа уменьшаются.
ю 1= 8.7 Гц ю 2= 14 Гц
Рис.10. Формы собственных колебаний первого (ш) и второго (ю2) тонов модели при варьировании
коэффициента жесткости крыла К?кр
Это является основанием при малых К?кр называть тон с частотой ш симметричным изгибом крыла первого тона (СИКр 1), а тон с частотой > Ю1 — вертикальным изгибом фюзеляжа (ВИФ1). С ростом К?кр для обоих тонов возникают затруднения при выборе их названий. Но далее становится очевидным, что тон колебаний с частотой следует называть уже ВИФ1, а тон с ю2 — СИКр1. Иными словами, происходит «смена форм колебаний». Подчеркнем, что
при этом не происходит «смены фаз». На всей кривой ш = ш ((К?)) это «седло», а при Ю2 >Ш — «купол».
Отметим также, что для каждого тона при смене форм характер колебаний не изменяется. Происходит лишь количественное изменение соотношения амплитуд. На рис. 10 показано, что изменение картины колебаний происходит плавно. Это отмечалось в п. 1.
Конечно, присвоение тонам колебаний того или иного названия условно, хотя в практике частотных испытаний это оказывается полезным. Сложности с названием тонов особенно заметны при частотных испытаниях натурных объектов и их динамически подобных моделей, поскольку в условиях эксперимента возможность варьирования параметрами испытываемого объекта либо отсутствует, либо весьма ограничена. При расчетных же исследованиях всегда можно проварьировать в необходимом диапазоне тот или иной параметр и выявить характерные закономерности.
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НА ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЖЕСТКОСТЕЙ ФЮЗЕЛЯЖА К^ф ПРИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ ИЗМЕНЕНИИ ИХ ВО ВСЕХ ЭЛЕМЕНТАХ ФЮЗЕЛЯЖА
Условия проведения расчетов были аналогичными изложенным в п. 4, а. Результаты расчетов в натурных величинах представлены на рис. 11, 12. При сравнении данных на рис. 9
и 11 видно, что характер зависимостей ш =Ю1 ((К?кр ), Ю2 =Ю2 ((К?кр ) и ш =Ю1 ((К~ф),
Ю2 =Ю2 (К?ф ) не имеет качественных различий. Формы колебаний представлены на рис. 12.
Для всех значений параметра при частоте ш реализуются колебания по типу «седло»,
а при Ю2 — по типу «купол», так же, как на рис. 10.
Рис. 11. Графики зависимости частот собственных колебаний первого (с) и второго (со2 ) тонов от коэффициента жесткости фюзеляжа ,jKgф
Первый тон ((»1) — «седло»
Kg ф = 0.5
ю 1= 6.17 Гц
Второй тон (ю 2) — «купол»
ю 2= 9.6 Гц
Kg ф = 1
ю 1= 8.62 Гц
ю 2= 10.87 Гц
Kg ф = 3
ю 1= 11.65 Гц ю 2= 14.92 Гц
Рис.12. Формы собственных колебаний первого (ее) и второго (ю2) тонов при варьировании коэффициента
жесткости фюзеляжа Kgф
Прослеживая распределение амплитуд на рис. 12, можно видеть, что при малой величине Kgф для Ю1 амплитуды колебаний фюзеляжа превышают амплитуды крыла. С ростом К^ф они
уменьшаются, а затем амплитуды крыла становятся превалирующими. Аналогичная картина наблюдалась и на рис. 10, с той лишь разницей, что последовательность слов «крыло и фюзеляж» нужно изменить: «фюзеляж и крыло». С учетом этого можно утверждать, что комментарии к рис. 10 справедливы и для рис. 12. Полученные при варьировании жесткостей фюзеляжа Kg ф = var результаты были использованы для оценки применимости схематизации модели самолета системой с двумя степенями свободы.
Как при Kgкр = var, ^ф = const, так и при ^ф = var, Kgкр = const можно найти варианты
с одинаковыми отношениями KgKgф , но с различными численными значениями Kg кр и Kg ф. Поскольку все остальные параметры оставались при варьировании неизменными, эти варианты будут подобны друг другу, но с различным масштабом жесткостей. С помощью пре-
Рис. 13. Результаты пересчета по теории подобия вариантов yjKgкр = var, ф = const к вариантам ,jKgф = var, ,jKgкр = const
образований подобия их можно привести к одинаковым масштабам жесткостей и после этого сравнить между собой, нанеся преобразованные величины с графиков рис. 9 на рис. 13.
Видно, что точки с графиков на рис. 9, пересчитанные по теории подобия и нанесенные на графики рис. 13, совпадают. Это свидетельствует о допустимости сопоставления при низших тонах колебаний многостепенных механических систем с двустепенными.
ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ВЛИЯНИЯ НА ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАСС КРЫЛА
Km кр И ФЮЗЕЛЯЖА Km ф
Так как частоты колебаний любой конструкции прямо пропорциональны корню квадратному из ее жесткостей sjKg и обратно пропорциональны корню квадратному из ее масс 1Д/Кт , были проведены расчеты, аналогичные п. 4, а и б, но при варьировании Kmкр и Ктф. Результаты расчетов были представлены в виде графиков зависимостей Юр Ю^Д/Кткр ), Ю2 = Ю2 ((Кткр )
и Ю1= ю^У^Ктф ), Ю2 = Ю2 (Ктф ). При сопоставлении результатов с полученными ранее, когда варьировались жесткости Кё кр и К^ф, было обнаружено, что графики влияния масс крыла и фюзеляжа на собственные частоты Ю1, ю2 качественно похожи на графики рис. 9, 11.
Выбор аргументов функций в форме Кткр и Ктф обусловлен стремлением представить для сравнения результаты расчетов с учетом прямой (К^кр и Кёф) и обратной (1Д/ Кткр и 1ЦКтф ) пропорциональности.
О ВЛИЯНИИ КОНСТРУКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В описанных расчетных исследованиях собственных колебаний модели было выяснено, что при пропорциональном изменении всех жесткостных характеристик крыла или фюзеляжа изменения фазы колебаний двух низших тонов не происходит. Во всех обследованных вариантах при низшем собственном тоне с частотой Ю1 наблюдались колебания по типу «седло», а при втором
тоне (Ю2) — по типу «купол» (рис. 10, 12). Но при расчетах колебаний двух соединенных между
собой перекрещивающихся балок (рис. 6, 7), сместив одну из балок к концу другой, где колебания точек балки происходили в противофазе с колебаниями середины балки, удалось изменить очередность тонов («купол» — «седло»). Отметим, что такая возможность ранее была показана при анализе физики колебаний (см. рис. 3, 4).
Рассмотрим обнаруженные факты более подробно, базируясь на условии ортогональности. Это удобно сделать на примере изгибных колебаний балок. Хорошо известно (например [2]), что формы колебаний двух любых собственных тонов балки должны удовлетворять условию
| Бу (%)В О % = 0,
где Бjи Бк (£) — функции, характеризующие формыу-го и к-го тонов колебаний балки ((Ф к)
с учетом распределения масс; £ — координата по длине балки.
Условие обращения в ноль интегралов, содержащих попарные произведения функций, налагает определенные требования: обе функции не могут быть одного знака. Хотя бы одна из них должна иметь участки с разными знаками.
Первый тон («!) Второй тон (ю 2)
Х1 = 0.4
ю 1= 8.53 Гц «седло»
ю 2= 11.33 Гц «купол;
X = 0.55
X = 0.7
ю 1= 9.14 Гц
ю 2= 11.33 Гц
Формы вблизи точки смены фаз
ю 1= 9.11 Гц «купол»
ю 2= 11.33 Гц «седло»
Рис. 14. Формы собственных колебаний перекрещивающихся балок при смещении балки 1 от середины балки 2 на величину X
«седло»
«купол»
ДХкр =+0.2 м
кр
ю 1= 3.53 Гц
ю 2= 4.33 Гц
«седло»
«купол»
ДХкр =+0.3 м
кр
ю 1= 3.57 Гц
ю 2= 4.34 Гц
Формы вблизи точки смены фаз
ДХкр =+0.4 м
кр
ю 1= 3.58 Гц
ю 2= 4.35 Гц
«купол»
«седло»
а)
Kg ф = 1 — исходный вариант
ю!= 3.45 Гц ю 2= 4.35 Гц
«седло» «купол»
«седло» «купол»
Формы вблизи точки смены фаз
«купол» «седло»
б)
Рис. 15. Формы и частоты собственных колебаний модели самолета при изменении конструктивных параметров:
а — влияние смещения крыла модели к хвостовой части фюзеляжа; б — влияние увеличения жесткостей хвостовой части
фюзеляжа модели
Подчеркнем, что при параметрических расчетах условие ортогональности должно выполняться для каждого значения варьируемого параметра. Самым простым в этом случае является вариант, когда Бу и Бк будут изменяться по абсолютной величине, но знаки перемножаемых
функций на соответствующих участках значений аргумента изменяться не будут.
Это наблюдалось во всех приведенных ранее расчетных примерах. Но априори исключать варианты, когда при достижении некоторого значения варьируемого параметра будет происходить изменение знаков, конечно, нельзя. Однако при этом условие ортогональности нарушаться не должно. И тогда возникает вопрос, каким будет процесс смены знаков в окрестности того значения параметра, при котором знаки функций изменяются. Теоретически при этом может появиться скачок типа дельта-функции. Однако в многолетней практике экспериментальных исследований такие случаи не наблюдались.
Но, несмотря на вышеуказанные соображения, нами были обнаружены три примера, когда происходило изменение фаз при некотором значении варьируемого параметра.
Пример 1. Как упоминалось в п. 2, смещение одной из перекрещивающихся балок к концу другой приводило к смене фаз колебаний (см. рис. 3, 4) двух низших тонов. Этот факт подтвержден расчетами на ЭВМ, где варьировалось Х1 — смещение балки 1 от середины балки 2.
Были исследованы формы первого и второго тонов колебаний в окрестности того значения варьируемого параметра, при котором происходит смена фаз. Выяснены особенности наблюдавшегося процесса (рис. 14). На рисунке видно, что у первого тона при приближении к точке смены фаз (Х1 ~ 0.55) амплитуды колебаний балки 2 уменьшаются, затем обращаются в ноль и балка 2 становится неподвижной. При удалении от точки смены фаз амплитуды начинают от нуля возрастать, но уже с противоположным знаком. В этом можно наглядно убедиться, сравнив рис. 7 с рис. 14. Точно такая же картина, но с балкой 1, наблюдается и на втором тоне колебаний.
Подчеркнем, что именно плавное уменьшение амплитуд колебаний и обращение их в ноль устраняет опасность возникновения особых точек, разрывов и скачков при переходе через точку смены фаз.
Примеры 2, 3 объединяет то обстоятельство, что на одной модели самолета проварьиро-ваны различные конструктивные параметры.
На рис. 15, а представлены формы и частоты собственных колебаний при смещении крыла модели на ДХкр от исходного положения к хвостовой части фюзеляжа. Видно, что вблизи значения ДХкр = 0.3 м происходит смена фаз двух первых тонов колебаний модели.
На рис.15, б представлены формы и частоты собственных колебаний при увеличении жест-костей хвостовой части фюзеляжа от исходных значений.
Вариация жесткостей проводилась по методике изложенной в п. 4, б. Отличие состоит в том, что коэффициент К^ф изменялся не по всей длине фюзеляжа, а на выбранном участке
конструкции. Видно, что вблизи значения К^ф ~ 8 происходит смена фаз двух первых тонов
колебаний модели. Представленные на рис.15, а, б результаты весьма похожи между собой.
Подводя итоги, обратим внимание, что при варьировании жесткостных характеристик многостепенных систем графики зависимостей собственных частот двух низших тонов колебаний качественно похожи на диаграммы Вина [4] для двухстепенных систем.
Наряду с этим обнаружены и существенные различия в характеристиках колебаний. Точное решение показывает, что в двухстепенных системах, варьируя любой из параметров, невозможно изменить фазы колебаний. Но в многостепенных системах мы обнаружили, что существуют такие параметры, при определенном значении которых фазы колебаний в каждом из двух низших тонов изменяются на 180°. Происходит это без возникновения особых точек в функциях, описывающих колебания. При изменении исследовавшихся параметров амплитуды колебаний в одной из координат (для каждого тона в своей) уменьшаются, обращаются в ноль, а затем начинают возрастать, но уже с измененными на 180° фазами (рис. 14, 15).
Полученные сведения об общих закономерностях в колебаниях механических систем следует использовать, чтобы сократить область поисков в случаях возникновения несоответствий в характеристиках колебаний летательных аппаратов и их динамически подобных моделей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альхимович Н. В., Попов Л. С. Моделирование флаттера самолета в аэродинамических трубах // Труды ЦАГИ. 1947, вып. 623.
2. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. — М.: Наука, 1964, с. 233 — 288.
3. Буньков В. Г., Ишмуратов Ф. З., Мосунов В. А. Решение некоторых задач аэроупругости на основе современной версии полиномиального метода Ритца // Труды ЦАГИ. 2004, вып. 2664.
4. Вибрации в технике. Справочник, т. 1. — М.: Машиностроение, 1978, с. 62 — 67.
Рукопись поступила 5/Х 2011 г.
