CC BY
18
УДК 622.831:681.513
В.В. Куприянов, О.А. Мацкевич, И.С. Бондаренко
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕШТАТНЫХ СИТУАЦИЙ В ПОДЗЕМНЫХ ГОРНЫХ ВЫРАБОТКАХ
Показана перспективность применения непараметрических прогнозных методов в условиях, когда количество прогнозируемых переменных превышает число точек выборки исходных данных. Построены имитационные модели прогнозирования нештатных ситуаций (НшС), характеризующих аварии (завалы и обрушения выработок, их затопления, останов шахтного подъема и вентилятора главного проветривания (ВГП)). В качестве прогнозирующих моделей использовались переборные алгоритмы селекции объективного системного анализа (ОСА) по критерию непротиворечивости и паттерн-анализа, основанного на ортогональном преобразовании Карунена-Лоэва путем поиска аналога в предыстории. Показано, что каждая из непредсказанных НшС описывается не одной, а несколькими моделями в виде разностных уравнений, переключаемыми в зависимости от условий действия опасных факторов. Сделан вывод, что подземные аварии — это размытые объекты со сменой уравнений динамики, поэтому возможна неоптимальность их детального описания.
Ключевые слова: прогнозирование, подземные аварии, выработка, выборка данных, нештатная ситуация, алгоритм селекции, размытый прогноз, паттерн-анализ.
Введение
В настоящее время по-прежнему актуальна задача принятия решений по управлению техногенными рисками, возникающими на разных этапах горного производства, когда управляющими параметрами являются объемы знаний о техносфере подземных горных предприятий [8]. При ее решении следует учитывать, что общий риск аварийности определяется совместным воздействием всех основных видов подземных аварий (взрывы, пожары, загазирования, обрушения и завалы выработок и т.д.). Классический подход к ее решению опирается на эмпирический метод «проб и
DOI: 10.25018/0236-1493-2018-3-0-200-207
ошибок», базирующийся на принципе максимума Понтрягина. Его некорректность связана с невозможностью формально описать взаимовлияния между большим числом опасных факторов различной интенсивности [5]. С позиций аварийности это влияет на порядок действий оперативно-диспетчерского персонала в условиях возникновения НшС, когда они могут срывать плановый регламент угледобычи, а также на разработку различных прогнозов горно-производственной деятельности [10, 13]. В связи с этим важно оценить прогнозируемость нештатных ситуаций, характеризующих некоторые типичные подземные аварии.
ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2018. № 3. С. 200-207. © В.В. Куприянов, О.А. Мацкевич, И.С. Бондаренко. 2018.
Теория вопроса
Основу прогнозной экстраполяции или экстраполяционных методов прогноза составляет изучение эмпирических временных рядов, представляющих собой наборы измерений во времени тех или иных характеристик исследуемого процесса [1, 2, 14, 15, 16]. Временной ряд у включает детерминированную компоненту (тренд) х. и случайную составляющую Е. процесса. Задача прогноза состоит в определении вида экстраполирующих функций х. и Е на основе исходных эмпирических данных. Наиболее распространенными методами оценки параметров зависимостей являются метод наименьших квадратов (МНК) и его модификации, метод экспоненциального сглаживания и метод вероятностного моделирования [6, 11, 12].
Эти методы относятся к параметрическим алгоритмам, т.е. требуют оценки параметров прогнозной модели по МНК. По сравнению с ними переборные алгоритмы селекции и паттерны (или кластеры) будут давать прогнозы для большего числа переменных и при большем времени упреждения. Кроме того, математический аппарат паттернов и кластеров более адекватен «размытому» характеру многомерных процессов в экологических системах [3, 4]. Следует отметить, что целью алгоритма ОСА является получение результата полного перебора уравнений по критерию селекции, а не результата применения МНК (регрессионного анализа). ОСА относится к группе методов, основанных на математической обработке данных предыстории. В этом смысле он похож на обычный регрессионный анализ [9]. Принципиальное отличие состоит в том, что целью ОСА является достижение минимума выбранного критерия селекции, а целью регрессионного анализа — достижение минимума среднеквадратической ошибки на всех экспериментальных точках при заданном
виде уравнения регрессии. Цели различны, различны и результаты. Однако, методы на основе МНК сохраняют свои преимущества, например, для технических систем, военной техники, вооружения, имеющих более детерминированную природу.
Метод прогноза случайных процессов при помощи поиска аналога в предыстории впервые был применен для прогноза погоды и изменения климата [17]. В работе [4] использован метод комплексирования прогноза нескольких аналогов (метод групповых аналогов) для краткосрочного прогноза среднегодовых значений переменных в экологической системе (на примере одного из водохранилищ Украины) с временем упреждения один год. В данной статье сделана попытка применить алгоритмы ОСА и паттерн-анализа для прогноза процессов другой природы, а именно: НшС в подземных горных выработках.
Формализованную постановку задачи можно сформулировать так: в качестве исходных данных имеется выборка наблюдений многомерного процесса, причем множество переменных достаточно представительно. Поэтому то, что случилось в прошлом, повторяется еще раз в данное время, если исходное состояние было аналогичным. Как известно [15], параметрические методы требуют наличия длинной выборки исходных данных при стационарном характере процесса. Они обычно успешно прогнозируют только небольшое число переменных. Но, на практике, как правило, длина выборки данных мала, т.е. количество прогнозируемых переменных больше числа точек выборки (лет наблюдений). Тем не менее прогнозы нужны. В паттерн-анализе прогнозы не рассчитываются, а берутся из таблицы данных наблюдений. Процедуру прогноза логично представить как скольжение «окна наблюдения» процесса с постоянной шириной, равной одному году,
по выборке данных. Каждое положение окна, называемое паттерном, соответствует одной точке исходных данных [7]. При прогнозе выбирается выходной паттерн, и то, что будет наблюдаться после него (прогноз), принимается равным тому, что наблюдалось после аналога. Аналогом является паттерн, наиболее коррелированный с выходным.
Паттерн-анализ показывает, как изменяется процесс от одного положения окна к другому, последующему, и используется для изучения динамики процесса и его прогноза. Этот метод рекомендуется для прогноза квазистационарных процессов, свойства которых от одного паттерна к другому изменяются.
Описание методов решения.
Обработка данных. Обсуждение
результатов
Данные наблюдений были получены на шахте «Северная» шахтоуправления «Воркутауголь» за 16 лет (с 1998 г. по 2013 г.). Измерению подлежали тридцать переменных (М = 30): х1 — доля отсутствия крепления выработок; х2 — доля отставания крепления выработок; х3 — износ кровли; х4 — число нарушений паспортов крепления; х5 — доля выбивок крепи транспортными средствами; х6 — доля недостаточной плотности крепи; х7 — число тектанических нарушений; х8 — доля неправильного управления горным давлением; х9 — доля нарушений правил буровзрывных работ при бурении и заряжании; х10 — доля завалов и обрушений; х11 — доля обрывов каната; х12 — физический износ каната; х13 — число падений в ствол людей и техники; х14 — доля несовершенств защиты и стопоров; х15 — доля нарушений режима работы подъемной машины; х16 — доля механических повреждений клети; х17 — деформация направляющих; х18 — число внезапных отключений электроэнергии; х19 — число зависаний клети; х20 — число
остановов шахтного подъема; х21 — доля непробуренных опережающих скважин по результатам геолого-маркшейдерских работ; х22 — доля отсутствующих водоупорных перемычек под затопленными выработками; х23 — доля незатомпони-рованных скважин при подработке горными работами; х24 — число отказов водоотливных установок; х25 — доля затоплений горных выработок; х26 — число выходов из строя подшипников и электродвигателя ВГП; х27 — доля метеоусловий; х28 — доля повреждений линий связи; х29 — число отключений электроэнергии при работе ВГП; х30 — число длительных остановок ВГП.
Попробуем выделить из 30 переменных, характеризующих аварии типа завалы и обрушения горных выработок, их затопление, останов шахтного подъема и остановка ВГП, некоторое множество, поддающееся прогнозированию при помощи параметрических переборных алгоритмов селекции, основанных на полиномах — разностных аналогах дифференциальных уравнений [3]. Исходные данные для моделирования рассматривались в качестве координат шестнадцати точек наблюдений в тридцатимерном пространстве переменных. Они были нормированы по формуле
Xi(k) = (() - Ximax ) / (Ximax - Ximin ) ,
где i — номер переменной; k — номер наблюдения (года).
В результате данные были табулированы и представлены выборкой измерений размерности N*M (N = 16 — число точек наблюдений). Выходные величины априори не указаны, т.к. их находит алгоритм в результате синтеза системы разностных уравнений. Перебор систем-кандидатов выполняется по двум критериям. Оптимальная модель/система разностных уравнений должна отвечать минимуму критерия непротиворечивости и удовлетворять пороговому значе-
нию критерия краткосрочного прогноза S2 < 1,0. Для этого строятся вспомогательные выборки «А» и «Б» двух инструментальных переменных: выборка А — путем дискретизации данных исходной выборки на 16 уровней; выборка Б — дискретизацией на 8 уровней. Критерий
непротиворечивости определяется как:
А/- - \2 CN = ^(ХА - XB) ^ min.
i=i
По алгоритму ОСА производится определение структуры разностных уравнений оптимальной сложности (по числу членов полинома). Перебору подлежат полиномы, учитывающие два запаздывающих аргумента.
Полином первого ряда:
xi(k) = a0 + а1 xi(k-1) + a2 xi(k-2) ;
второго ряда:
Xi(k) = a0 + ai xi(k-1) + a2 Xi(k-2) + _ +a3 Xj (k) + a4 Xj (k-1) + a5 Xj (k-2)
третьего ряда:
Xi(k) = a0 + ai Xi(k-1) + a2 Xi(k-2) + a3 xj (k) + +a4 Xj (k-1) + a5 Xj (k-2) + a6 Xp(k)+ +
+a7 Xp(k-1) + a8 X,
p(k-2)
и т.д.
рения исключаются. Алгоритм ОСА находит модели только для тех переменных, поведение которых можно описать полиномиальными разностными уравнениями. В результате расчетов алгоритм выбрал следующие модели. Лучшие модели первого и второго ряда:
X12(k )= 2 1X12(k-1) 1,2 X12(k-2)
X13(k )= 2,06 xi3(k-1) 1,11 xi3(k-2)
-0,064 X14(k-1)
X14(k)= 0,015 + 1,67X14(k-1)
-0,62x
14(k-2)
^3(k )= 0,032 + 1,08 ХЩк-1) X14(k) = 1,9 X14(k-1) - 1,15 X14(k-2) +
+0,262Xi5(k),
X15(k) = 1,41 X15(k-1) - 0, 432X15(k-2) + +0,213X13(k) - 0,204X13(k-1) +
Алгоритм ОСА не выбирает моделей, содержащих более пяти-шести уравнений, т.к. данное число уравнений берет на себя всю дисперсию ошибки. Из этих уравнений по критерию СЫ^тт для каждой переменной находятся оптимальные модели каждого ряда, которые проверяются по условию 82 < 1,0, причем N N
з2 =1 ( - X )2/1 ( - х )2 ,
1 1
где х; — прогнозное значение; х, — среднее значение.
Положение минимума критерия СЫ указывает оптимальную сложность структуры модели. Все неоптимальные модели, а также модели, не удовлетворяющие порогу по точности прогноза, из рассмот-
+0,065Х14(к-1)
Минимум системного критерия СЫ = 1/3(СЫ1 + ... + СЫ3) = 4,34 • 10-5.
После третьего ряда минимум критерия начинает увеличиваться, поэтому перебор моделей прекращается. Пошаговое интегрирование систем уравнений дало следующие ошибки прогноза: 8212 = 0,34 ; 8213 = 0,184; 8214 = 0,482; 8215 = 0,158 для «детальных» переменных х12, х13, х14, х15 (время упреждения на 1 год на 2013 г.). Остальные переменные имеют размытый характер. Они прогнозировались по критерию СМ^тт в функции двух-трех собственных предыдущих значений и запаздывающих значений указанных выше существенных переменных х:. Последовательное использование переборных алгоритмов позволило найти оценки точности прогноза: 81 = 280,7; 82 = 7,9; 83 = 15,7 84 = 406,0; 85 = 4,7; 86 = 68,2; 87 = 3,4 88 = 430,0; 89 = 140,0 ; 810 = 10,4
5^ = 410,0; 5.
518 = и* 519 521 = 38,7; 5,
52. = 0,821; 5, =
; 517 = 0,69
520 = 102,0 5,з = 53,2 526 = 400,0 529 = 500
3 = 3,93 = 0,72; , = 4,4; = 2,85; 368,0; 528 = 251,0;
530 = 810,°.
Можно сделать вывод, что из 30-ти НшС/АС только 7 прогнозируются полиномиальными переборными алгоритмами удовлетворительно и хорошо (при 52 < 0,5 прогноз считается хорошим; при 52 < 0,8 — удовлетворительным; при 52 > 1,0 прогноз дает дезинформацию). Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Каждая из множества непредсказанных НшС описывается не одной, а несколькими моделями при достаточно большой ширине «скользящего» окна упреждения и полных исходных данных (ни одна из существенных переменных не забыта). По сути, переборные алгоритмы метода группового учета аргументов (МГУА) дают смещенные модели по отношению к действительной НшС в сторону упрощения структуры модели [3].
После применения алгоритма ОСА у нас осталось непредсказанным множество, содержащее 26 размытых НшС, которые будем прогнозировать при помощи непараметрического алгоритма,
использующего паттерн-анализ, путем поиска аналога в предыстории [4]. Прогноз НшС принимается таким, какими были эти НшС после аналогичного состояния техносферы шахты в прошлом. Ясно, что прогноз по аналогу возможен только для НшС, имеющих постоянное и значительное последействие (автокорреляцию). Кроме того, прогнозируемые НшС должны быть близкими к стационарным. Рассматриваемые НшС обычно изменяются монотонно: непрерывно возрастают или уменьшаются, т.е. имеется тренд. Аналоги ищут после исключения тренда. Для этого необходим переход от исходных значений НшС к вспомогательной переменной
Д.„л =
[ ^(к) х1(к-1)][ х(-1)
- х..
Ч(к) [л I (к) / (к-1 )_[ (-1) ¡(к-2)
Применяя метод ортогонального преобразования Карунена-Лоэва к исходным данным, было найдено множество паттернов, которые содержат в предыстории аналоги — копии изменения НшС на выходном интервале (т.е. непосредственно перед интервалом прогноза). В предыстории НшС можно указать выходной интервал и соответствующий ему выходной паттерн; интервал-аналог, имеющий паттерн-аналог; паттерн-прогноз аналога и паттерн-прогноз для выходно-
ю
о
0^5 к к 0,96
0,95 0,97 0,47 X X 0,95
0,95
-1- -1-1-1->
1
2 3 4 5
Ширина скользящего окна
Рис. 1. Выбор ансамбля признаков по критерию непротиворечивости р
6 и, годы
1о годы
Рис. 2. Графическая интерпретация паттерн-прогноза для выходного интервала: 1 — выходной интервал; 2 — интервал-аналог; 3 — прогноз по аналогу; 4 — прогноз для выходного интервала; 10 — выдача прогноза
го интервала. Зная последний паттерн, можно осуществить преобразование размытого прогноза НшС в более детальный прогноз.
Алгоритм паттерн-анализа реализует перебор множества паттернов, получаемых при перемещении «скользящего окна» наблюдений на плоскости: «состав ансамбля признаков» — «ширина скользящего окна». Оптимизируется ширина окна. Вычисляется коэффициент канонической корреляции р двух множеств (выходного паттерна и паттерна-аналога). Выходной паттерн соответствует интервалу наблюдений за 2008—2010 гг. При поиске максимума р использовался переборный алгоритм МГУА по ансамблям признаков. Результат перебора коэффициента р = (1 — ОЫ) на плоскости (А, приведен на рис. 1.
На рис. 2 показана графическая интерпретация паттерн-прогноза по аналогу.
Наиболее тесную корреляционную связь с выходным паттерном имеют паттерн-аналоги при следующем ансамбле признаков: А17, А19, А24. Для найденного перебором паттерн-аналога ртах = = 0,988. Далее, с помощью пошагового интегрирования уравнения связи х. и А. можно получить прогнозы деформации направляющих клети, числа ее зависаний и числа отказов водоотливных установок
в пространстве х. (). Было найдено, что соответствующие ошибки прогноза на интервале 2012—2013 гг. для указанных НшС составили 5217 = 0,80; 5219 = 0,66; 8224 = 0,78. Аналогом паттерна 2008— 2010 гг. является 2000—2002 гг.
Заключение
Выявлено, что часть НшС при ведении горных работ достаточно детальны. Их следует прогнозировать с помощью алгоритмов ОСА. Эти НшС указывает сам алгоритм. Другая часть НшС имеет размытый характер. Их лучше прогнозировать при помощи паттерн-анализа. Остальные НшС детально не восстанавливаются. Поэтому целесообразно последовательное использование нескольких переборных алгоритмов ОСА в зависимости от степени размытости математического языка описания НшС.
При применении паттерн-анализа оптимальную степень размытости языка моделирования (ширину окна) находит сам алгоритм по критерию непротиворечивости. Ясно, что придать прогнозирующим моделям такие свойства при обычном имитационном моделировании невозможно. Считаю полезным применить данный подход к оценке прогнозируемости и других типичных подземных аварий, например, взрывы, пожары, горные удары.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Л.А., Могирев А. М. Методы статистического прогнозирования в системах поддержки принятия решений экологической безопасности // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2011. — № 6. — С. 94—101.
2. БендатДж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. — М.: Мир, 1998. — 464 с.
3. Ивахненко А.Г. Переборные методы самоорганизации моделей // Автоматика. — 1989. — № 4. — С. 82—93.
4. Ивахненко А. Г., Тимченко И. К., Ивахненко Д. А. Непараметрические прогнозирующие модели // Автоматика. — 1990. — № 1. — С. 20—31.
5. Куприянов В.В., Соловьев А.Е. Методика автоматизированного мониторинга взаимодействия нештатных ситуаций при возникновении железнодорожных аварий // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2010. — № 5. — С. 143—149.
6. Куприянов В.В. Прикладная математика. Учебное пособие, ч. 1. — М.: Издательский Дом МИСиС, 2016. — 176 с.
7. Налимов В. В. Анализ оснований экологического прогноза. Паттерн-анализ как ослабленный вариант прогноза // Человек и биосфера. — 1983. — № 2. — С. 115—140.
8. Пучков Л.А., Аюров В.Д. Синергетика горно-технологических процессов. — М.: МГГУ, 1997. — 264 с.
9. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980. — 410 с.
10. Соловьев А.Е., Куприянов В.В. Обобщенный алгоритм действий оперативно-диспетчерского персонала железной дороги по управлению безопасностью // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2010. — № 5. — С. 297—301.
11. Хан Г. Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. — М.: Мир, 1980. — 395 с.
12. ХиммельблауД. Анализ процессов статистическими методами. — М.: Мир, 1983. — 957 с.
13. Шек В.М., Пасечник И.А. Моделирование обрушения горных пород в очистных забоях угольных шахт // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2010. — № 5. — С. 363—368.
14. Ezekiel M., Fox K.A. Methods of correlation and regression analysis. New York: Wiley, 1966, 430 p.
15. Hannan E. J. Time series analysis. New York: Wiley, 1977, 400 p.
16. Leeming J. J. Statistical methods for engineers. London, 1968. — 390 p.
17. Lorence E. N. Atmospheric predictability is revealed by naturaly occurring analogues // Atmospherics Science. 1969. Vol. 4, no4. pp. 636—646. Г¥тттт
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Куприянов Вячеслав Васильевич1 — доктор технических наук, профессор, e-mail: msmu_asu@mail.ru,
Мацкевич Ольга Александровна1 — магистрант, e-mail: olya_9414@mail.ru, Бондаренко Инна Сергеевна1 — кандидат технических наук, доцент, 1 НИТУ «МИСиС».
ISSN 0236-1493. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2018. No. 3, pp. 200-207.
V.V. Kupriyanov, O.A. Matskevich, I.S. Bondarenko
PARAMETRIC AND NONPARAMETRIC MODELS FOR PREDICTING OFF-NORMAL SITUATIONS IN UNDERGROUND MINES
Under discussion is an approach to the decision-making on risk management in anthropogenic systems. The parametric and nonparametric methods to predict multi-dimensional processes are compared. The perspective of the nonparametric prediction methods under conditions when the variables to be predicted exceed the number of initial data sampling points is demonstrated. The simulation prediction models of off-normal situations (rock falls and collapse in roadways, flooding, shutdown of mine hoist and main mine fan) are constructed. The prediction models were the selec-
tion algorithms of objective and system analysis by the consistency criterion and the pattern-analysis based on the orthogonal Karhunen-Loeve transform by searching analog in historical data.
It has been found that out of thirty off-normal situations, the satisfactory prediction is only obtained for seven ONS while the prediction is fuzzy in other cases. Each of the unpredicted off-normal situations is described by a number of models in the form of difference equations depending on the conditions of hazardous factors. The conclusion is made that underground accidents are fuzzy objects with varied dynamics equations and non-optimality is possible in their detailed description.
Key words: variable, history, prediction, underground accidents, roadway, data sampling, offnormal situation, nonparametric method, selection algorithm, fuzzy prediction, pattern-analysis.
DOI: 10.25018/0236-1493-2018-3-0-200-207
AUTHORS
Kupriyanov V.V.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: msmu_asu@mail.ru, Matskevich O.A1, Master's Degree Student, e-mail: olya_9414@mail.ru,
Bondarenko I.S.1, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor,
1 National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
REFERENCES
1. Bakhvalov L. A., Mogirev A. M. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2011, no 6, pp. 94-101.
2. Bendat Dzh., Pirsol A. Izmerenie i analiz sluchaynykh protsessov (Random data: analysis and measurement procedures), Moscow, Mir, 1998, 464 p.
3. Ivakhnenko A. G. Avtomatika. 1989, no 4, pp. 82-93.
4. Ivakhnenko A. G., Timchenko I. K., Ivakhnenko D. A. Avtomatika. 1990, no 1, pp. 20-31.
5. Kupriyanov V. V., Solov'ev A. E. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2010, no 5, pp. 143-149.
6. Kupriyanov V. V. Prikladnaya matematika. Uchebnoe posobie, ch. 1 (Applied mathematics. Educational aid, part 1), Moscow, Izdatel'skiy Dom MISiS, 2016, 176 p.
7. Nalimov V. V. Chelovek i biosfera. 1983, no 2, pp. 115-140.
8. Puchkov L. A., Ayurov V. D. Sinergetika gorno-tekhnologicheskikh protsessov (Synergetics of mining — technological processes), Moscow, MGGU, 1997, 264 p.
9. Seber Dzh. Lineynyy regressionnyy analiz (Linear regression analysis), Moscow, Mir, 1980, 410 p.
10. Solov'ev A. E., Kupriyanov V. V. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2010, no 5, pp. 297-301.
11. Khan G. Shapiro S. Statisticheskie modeli v inzhenernykh zadachakh (Statistical models in engineering problems), Moscow, Mir, 1980, 395 p.
12. Khimmel'blau D. Analiz protsessov statisticheskimi metodami (Process analysis by statistical methods), Moscow, Mir, 1983, 957 p.
13. Shek V. M., Pasechnik I. A. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2010, no 5, pp. 363-368.
14. Ezekiel M., Fox K. A. Methods of correlation and regression analysis. New York: Wiley, 1966, 430 p.
15. Hannan E. J. Time series analysis. New York: Wiley, 1977, 400 p.
16. Leeming J. J. Statistical methods for engineers. London, 1968. 390 p.
17. Lorence E. N. Atmospheric predictability is revealed by naturaly occurring analogues. Atmospherics Science. 1969. Vol. 4, no 4. pp. 636-646.
FIGURES
Fig. 1. Selecting group of signs on the criterion of consistency p.
Fig. 2. Graphic interpretation of the pattern forecast for the output range: 1 - output interval;
2 - intervals analogue; 3 - forecast analogue; 4 - forecast for the output of the interval; t0 - forecast issuance.
