CC BY
101
Popov Andrei Nickolaevitch
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: andypriest@mail.ru.
2, Chekhova Street, Taganrog, 347922, Russia.
Phone: +78634318090.
The Department of Synergetics and Control; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
УДК 621.396
В.П. Тепин, A.B. Тепин ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И АВТОИАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ
Исследуются особенности динамит нестационарных хаотических систем с внешним либо внутренним параметрическим управлением. В рассматриваемых системах скалярное управляющее воздействие контролирует скорость эволюции хаотического процесса. Это достигается синхронной вариацией значения производной каждой из переменных состояния. В результате обеспечивается управление временными и частотными показателями динамического хаоса за счет изменения свойств воздействия. Представлены результаты имитационного моделирования ряда параметрических и автопараметрических режимов хаотической , .
Динамический хаос; управление хаосом; нестационарные хаотические системы; па; .
V.P. Tepin, A.V. Tepin
PARAMETRIC AND AUTOPARAMETRIC SYSTEMS WITH CHAOTIC
DYNAMICS
In this paper, we study the peculiarities of the dynamics of non-stationary chaotic systems under external or internal parametric control. In the systems under consideration, a scalar control action governs the chaotic process evolution rate. This is achieved by the derivative value of each state variable synchronous variation. As the result, the dynamic chaos time and frequency domain characteristics control is provided by means of the control action behavior variation. Simulation results are presented for some parametric and autoparametric modes of chaotic system based on Chua's stationary prototype.
Dynamic chaos; chaos control; non-stationary chaotic systems; parametric control; autopa-rametric control.
Введение. Динамический (детерминированный) хаос представляет собой сложное нерегулярное движение, наблюдаемое в некоторых классах нелинейных систем различной физической природы [1]. Это движение имеет псевдослучайный характер - подобно случайному процессу оно является незатухающим, непериодическим, обладает непрерывным частотным спектром, быстро спадающей автокорре-, -стью предопределен уравнениями динамики системы и начальными условиями.
Возможности практического использования уникальных свойств систем с , -кополосных незатухающих непериодических процессов, привлекают пристальное внимание специалистов различных областей науки и техники. В течение двух десятилетий во всем мире ведутся многочисленные исследования и разработки, направленные на практическое использование хаотических систем. Наиболее значи-
тельны результаты внедрения, достигнутые в области информационных технологий. Передача информации на хаотической несущей, распознавание образов, имитация музыкальных инструментов - лишь некоторые из примеров успешного вне.
Известно, что хаос нельзя прогнозировать, однако им можно управлять [1]. Применительно к информационным технологиям основными задачами управления хаосом являются введение информационной компоненты в хаотический процесс (модуляция) и последующее извлечение этой компоненты (демодуляция) [1-4]. Задачу модуляции решают путем управления параметрами и режимами работы хаотической системы, при этом применяют различные методы: амплитудная модуляция, хаотическое маскирование, нелинейное подмешивание информационной компоненты, переключение хаотических режимов и параметрическая модуляция, т.е. вариация некоторых параметров системы [4, 5]. Для демодуляции применяются методы, основанные на самосинхронизации подобных систем [6], а также методы глобальной реконструкции динамического хаоса [7].
В параметрических и автопараметрических системах, предложенных в работах [8-11], модуляция осуществляется за счет управления параметром, задающим временной масштаб хаотического процесса, т.е. скорость его эволюции.
Цель настоящей работы - исследование особенностей динамики этого класса .
Математические модели параметрических хаотических систем. Ст ацио-нарные системы. Множество известных систем этого класса описываются уравнением динамики вида
х (0 = ¥[х^)], (1)
где х(?) и Х(?) - векторы переменных состояния и их производных, а Е[-] -
( , , . [5]).
Стационарность такой системы понимается в смысле независимости ее оператора эволюции от времени, ее структура представлена на рис. 1,а.
. , уравнение их динамики имеет вид
X() = g(t№(*)] , (2)
где g ^) - произвольное скалярное управляющее воздействие, синхронно изме-
няющее величину производной каждой из переменных состояния.
Структура системы показана на рис. 1,6.
Рис. 1. Системы с хаотической динамикой: а - стационарная, б - параметрическая, в - автопараметрическая
При единичном воздействии g({) =1 уравнения (1) и (2), а также соответст-
. (1) -зывать прототипом параметрической системы (2).
Параметрическая система может быть синтезирована на основе прототипа любого класса и порядка, с любым типом нелинейности. Динамика такой системы подобна динамике ее прототипа [9, 11].
Например, при постоянном управляющем воздействии g(t) = g0 решения
уравнений (1) и (2) отличаются лишь масштабом шкалы времени:
XPAR (t) = XPR (g0t), (3)
где XPAR (t) и XPR (t) - векторы переменных состояния параметрической системы и ее прототипа.
В общем случае связь между динамическим хаосом, порождаемым парамет-, , -ражается соотношением
t
X par (t) = X PR [ Jg (t)dt]. (4)
0
, , иной, «приведенной» временной шкале, связанной со шкалой реального времени
t
соотношением т = J"g (t)dt, идентична динамике прототипа в реальном времени,
0
Т.е. X PAR (t) = X PR (т ).
По причине необратимости реального времени (t >0) из соотношения (4) следует условие физической реализуемости параметрической системы, которому должно удовлетворять управляющее воздействие:
t
Jg (t)dt > 0. (5)
0
Это условие выполняется при следующих режимах работы и состояниях па:
♦ стационарный режим - воздействие отлично от нуля и не изменяется во времени ( g(t) = g0), при этом система генерирует ускоренную (при g0 >1) либо замедленную (при g0 <1) копию динамического хаоса прототипа;
♦ состояние замораживания (фиксации) - воздействие g(t) = 0 обращает в нуль производные переменных состояния, в результате значение всех переменных фиксируется;
♦ режим однополярного управления - воздействие принимает только положительные значения (g(t) >0);
♦ режим двуполярного управления - воздействие изменяет знак, однако при этом выполняется условие (5), т.е. в любой момент времени значение интеграла от этого воздействия остается положительным.
Автопараметртеские системы. Параметрическое у правление динамическим хаосом может осуществляться не только внешним по отношению к системе , , -ния самой системы - тогда систему логично называть автопараметрической [9, 11].
Аналитическое выражение автопараметрического воздействия может быть представлено в следующем виде:
8б
8 (г) = адо], (6)
где од - произвольный скалярный линейный либо нелинейный оператор, удовлетворяющий условиям физической реализуемости (5). Тогда уравнение динамики автопараметрической хаотической системы принимает вид
Х(г) = С[х(; )Мх(;)]. (7)
Структура этой системы представлена на рис. 1,в. Очевидно, что ее прототипом также является система (1), поскольку при С[х(г)] = 1 уравнения (7) и (1)
.
, , -СКОЙ системе управляющее воздействие 8 (г) изменяет лишь скорость эволюции системы, т.е. временной масштаб развития процесса, но никак не влияет на характер этой эволюции. Следовательно, динамика таких систем, наблюдаемая в про, , приложенного управляющего воздействия (детерминированное или случайное,
, ), величины и скорости его изменения. Это - фундаментальное свойство рассматриваемого класса систем.
Особенности фазового портрета параметрической системы. Как из вестно, состояние системы в любой момент времени можно отобразить точкой в фазовом пространстве. При исследовании стационарных систем координатами этого пространства служат переменные состояния. В случае нестационарных систем (включая параметрические и автопараметрические) для однозначного отображения положения изображающей точки фазовое пространство дополняют еще одной координатой - временем [12].
Так как управляющее воздействие 8 (г) параметрической либо автопараметрической системы не входит в уравнения фазовых траекторий, портрет этих систем, рассматриваемый в пространстве переменных состояния, совпадает с портре-. . 2.
Рис. 2. Фазовая траектория прототипа (а) и параметрической системы (б)
Для отображения различий в динамике систем достаточно, дополнив фазовое пространство временной координатой, "р^вернуть" эти траектории во времени, как показано на рис. 3,а,б.
, -ния изображающей точки при возрастании времени, отображаемым стрелкой.
( . 2, ),
однако в случае параметрической системы, когда знак производной переменных
состояния зависит от воздействия, направление перемещения зависит от его знака. Когда оно отрицательно, направление изменяется на противоположное. В стационарных системах это принципиально невозможно - оно соответствовало бы обратному течению времени.
Рис. 3. Фазовая траектория прототипа (а) и параметрической системы (б) в пространстве, дополненном временной координатой
Имитационное моделирование параметрических хаотических систем.
Р$р[сг-модель системы. Чтобы получить математическую модель такой системы, необходимо модифицировать уравнения прототипа в соответствии с (2). Напри,
х(г) = g (г) [с\ х) + с2 х(г) + п0 у (г) + щ г (г) ], у (г) = g (г) г (г), (8)
г (г) = g (г)[ х (г) + ё0 у (г) + ^ г (г)],
где Н(х) - статическая характеристика трехсегментного нечетно-симметричного кусочно-линейного элемента (PWL)
гх I/ |Х < Е,
Е х I/ |х| > Е.
Р8р1ее^^одель исследуемой системы показана на рис. 4.
Н (х) =
(9)
Рис. 4. РБр1св-модель параметрической системы на базе прототипа Чуа: d0 = -14,8064, = -1,01607, П0 = 0,150317, П1 = 9,35159, С1 = 3,88988,
С2 = -2,59552, Е= 1В, Т1 = Т2 = Т3 = 0,1с, х(0) = -0,4 В, у(0) =0, г(0) =0,4 В
Это - аналоговая модель для решения системы нестационарных дифференциальных уравнений (8), содержащая программируемые аналоговые интеграторы (каждый состоит из обычного интегратора и аналогового перемножителя), сумматоры и блоки коэффициентов. Модель представляет собой кольцо из двух программируемых фильтров: линейного фильтра второго порядка (РЬБ), и нелинейного фильтра первого порядка (Р№). Оба фильтра синхронно управляются общим параметрическим воздействием £ (£).
Моделирование прототипа На рис. 5 представлены результаты моделирования динамики прототипа.
-4
А _ к ■ А А
Ю1ТЛ г дД Л Л (
г\ / V А/ / У
Л Г ч ж / V
12ВДМ л л V \/\/ 1/
* V V V
0 1 2 3 4 5
'*и 1 г А
1 пт ч IV I Дм.
1 [«ГШЕВЯЕЙЯЯЯЯЯ
г
ОНг
5Нг
^0Hz
15Нг 20Нг
0.4
-0.4
п
Ш/.тЯШк*г/ШШ
ш1;№'*жтчшш; т
АШ
мт
I
1 I I
I
-4
-2
0
х, V
Рис. 5. Динамика прототипа: а - временная диаграмма выходного сигнала; б - спектр .мощности; в - хаотический аттрактор
, -
прерывным спектром, а его фазовый портрет содержит аттрактор типа «двойной завиток».
Моделирование параметрических режимов. На рис. 6 показана динамика системы Чуа в параметрических режимах под влиянием внешнего параметриче-. -му сигналу и параметрическому воздействию.
а
б
в
A J L
/и\ м tL Л 1
Л_1 ■ V \L u J - \
Л А / V \ Л ~7 4
\г~ /V/ /|/ Mi •Д/ V
О1 1 2 з' Time, s a 4 1 5і
a A
lJ % a/\ a /\ Д
и I Д I _j д ...
тг А А _ J □ A N -
1Z EHHWfiWfi V VV'I / f 1
w w
і 9 3 і 1 5
Time, v
б
Рис. 6. Динамика параметрической системы Чуа: а - при воздействии положительных импульсов; б - при воздействии биполярных импульсов
Можно заметить, что динамика системы остается хаотической в обоих случаях, однако форма выходного сигнала изменяется, при этом наблюдаются уникальные эффекты. Когда g(t) =1, обе параметрические системы движутся по тем же траекториям, что и прототип (см. рис. 5). Но если g (t) становится равным нулю (рис. 6,a), система входит в состояние фиксации - ее выходной сигнал (как и остальные переменные состояния) «заморадсивается» до тех пор, пока воздействие g (t) не изменит значение.
При отрицательных значениях g (t) (рис. 6,6) система переходит в состояние «реверса времени» - она движется по той же траектории, как и до того, но в про. , « », . . -, . , , -няется сменой знака всех производных в уравнениях (8).
. 5, .
Моделирование автопараметрического режима. Динамика системы в этом режиме иллюстрируется графиками на рис. 7 и 8.
В этом режиме управляющее воздействие выбрано в виде функции единственной переменной состояния - выходного сигнала системы. Как упоминалось ,
2
переменной. Четная степень выходного сигнала (X ) в сочетании с положительным смещением g0 гарантируют соответствие этому требованию.
Анализируя графики на рис. 7, можно заметить, что спектр мощности генерируемого сигнала стал более равномерным по сравнению со стационарным ре, ,
.
6 1—.11 к 11 I—ІЇЇ--1111,1 1.1 I II .1 1.1 11.1 .11
ІНШІШІІГІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ
І1ІШІІіа!ІІІ!ІІІІІ!ІІ!ІІГІІІІ1І
їй' І V II ,!І, ІГГІіНі.іі ІІПІ
■ПІІІІІІІІІВЛІІІ
№І!ІІІГІІ1Ііаі1І'І ■Ш'ІІІІІІІІ Іі'.Ш'їМ ШМіТ.Іл.ШМЧІ
зёййЁЗ
0 1 2 3 4 5
Тіте, я
С А 1-*- □ 1 |
у 2И І і £ ь N в № Ы ь_ к
Т— "Г п п п( г 1 т ГГ
/
ОНг 5Нг ЮНг 15Нг 20Нг
Рис. 7. Динамика автопараметрической систелт при g (г) = g0 + х2 (г), g 0 =1:
а - выходной сигнал (нижняя линия) и управляющее воздействие (верхняя линия); б - спектр .мощности; в - хаотический аттрактор
а
и
На рис. 8 показан эффект «замораживания», который характерен для автопа-раметрических систем в случаях, когда под влиянием выходного сигнала в некоторый момент времени управляющее воздействие обращается в нуль - здесь
8 (() = 80- х(ґ).
Очевидно, что когда х(ґ) ^ 80, производные всех переменных состояния
приближаются к нулю, и система стремится к состоянию «замерзания» - в результате формируется хаотический всплеск.
2 3
Тіте, ї
б
Рис. 8. Эффект «замораживания» в автопараметртеской системе при
8 (?) = 80~ х(?), 80 =1: а - выходной сигнал и управляющее воздействие, б - хаотический аттрактор
Заключение. Таким образом, переход от стационарных хаотических систем к параметрическим и автопараметрическим открывает перспективы радикального расширения возможностей управления динамическим хаосом. Представленные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Во-первых, в отличие от других способов, параметрическое управление снимает все принципиальные ограничения на частотный и динамический диапазон, , ,
воздействия (информационного сигнала), поскольку оно не затрагивает параметров и структуры аттрактора выбранного прототипа. В реальных системах ограничения могут возникать лишь из-за неидеальности применяемой элементной базы.
- , , принципы построения параметрических систем применимы к любому из них, описываемому стационарным уравнением динамики вида (1) - любого класса и порядка, с любым типом нелинейности.
В-третьих, новые эффекты, обнаруживаемые в рассматриваемых системах, -возможность «замораживания» динамического хаоса и его реверсирования (имитации обратного течения времени) - дают пищу для размышлений относительно новых приложений хаоса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Андриевский Б.Р., Фрадков АЛ. Управление хаосом: методы и приложения // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 5. - С. 3-45, а также 2004. - № 4. - С. 3-34.
4
0
а
2. Corron N.J. and Hahs D.W. A new approach to communication using chaotic signals. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. - 1997.
- Vol. 44, № 10. - P. 373-381.
3. Yang T. and Chua L.O. Secure communication via chaotic parameter modulation. IEEE Trans. Circuits Syst. I. - 1996. - Vol. 43. - P. 817-819.
4. Dmitriev A.S., Kuzmin L.V., Laktushin A.M. Amplitude modulation of chaotic signals. Proceedings of the 1st IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communication (ICCSC’04), Moscow, Russia, 2004.
5. Шахтарин Б.И. и др. Генераторы хаотических колебаний. - М.: Гелиос АРВ, 2007. - 248 с.
6. Pecora L., Carrol T. Synchronization in chaotic systems. Phys. Rev. Lett. - 1990. - Vol. 64.
- P. 821-824.
7. . . :
синергетический подход // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - №1 (90).
- С. 71-76.
A. Volkovskii. Synchronization of Chaotic Systems Using Phase Control. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. - 1997. - Vol. 44, . 10.
- P. 913-917.
8. . . .
- Труды 7-й Международной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации. - Харьков: ХТУРЭ, 2001. - C. 8-11.
9. Torres W.P., Oppenheim A.V., and Rosales R.R. Generalized Frequency Modulation, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications. - 2001.
- Vol. 48, № 12. - P. 1405-1412.
10. Tepin V.P. Self-Parametric Chaotic Oscillators for Secure Communication Systems, Proceedings of the 1st IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communication (ICCSC’02). St. Petersburg, Russia, June 2002. - P. 271-274.
11. Лан да П.С. Нелинейные ко лебания и волны. - М.: Наука: Физматлит, 1997. - 496 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор ИМ. Першин.
Тепин Владимир Петрович
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: vtepin@gmail.com.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: +78634613116.
Кафедра систем автоматического управления; к.т.н.; доцент.
Тепин Алексей Владимирович
E-mail: alexey.tepin@gmail.com.
Кафедра систем автоматического управления; аспирант.
Tepin Vladimir Petrovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”. e-mail: vtepin@gmail.com.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634613116.
The Department of Automatic Control Systems; Cand. of Eng. Sc.; Associate Professor.
Tepin Alexey Vladimirovich
E-mail: alexey.tepin@gmail.com.
The Department of Automatic Control Systems; Post-graduate Student.
