CC BY
37
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
УДК 621.311:621.331 Закарюкин Василий Пантелеймонович,
д. т. н., доцент ИрГУПС, e-mail: zakar@irk.ru Крюков Андрей Васильевич, д. т. н., профессор ИрГУПС, e-mail: and_kryukov@mail.ru Шульгин Максим Сергеевич,
аспирант ИрГУПС, e-mail: nomad_frantic@km.ru
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИЛОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ
V.P. Zakaryukin, A. V. Kryukov, M.S. Shulgin
PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF POWER TRANSFORMERS IN PHASE DOMAIN
Аннотация. Предложен новый метод параметрической идентификации двухобмоточных трансформаторов, отличающийся от известных использованием фазных координат и построением модели трансформатора в виде решетчатой схемы замещения, элементы которой соединены по схеме полного графа.
Ключевые слова: трансформаторы, параметрическая идентификация, фазные координаты.
Abstract. The new method of parametrical identification of two winding transformers by using phase domain is proposed. Transformer model represents as lattice equivalent circuit.
Keywords: transformers, parametrical identification, phase domain.
Введение
Задача расчета режимов электроэнергетических систем (ЭЭС) сводится к решению нелинейной системы уравнений
F(X,Y,D) = 0, (1)
где F - «-мерная вектор-функция; X - «-мерный вектор нерегулируемых параметров; D = П U Y -вектор исходных данных. Вектор D включает две группы параметров: структурные П и режимные Y. В состав вектора П входят параметры высоковольтных линий электропередачи (ЛЭП), трансформаторов, а также регулирующих и компенсирующих устройств. Вектор Y образуют активные и реактивные мощности генераторов и нагрузок. В современных ЭЭС компоненты вектора Y определяются на основании телеизмерений с использованием хорошо разработанных методов оценивания состояния [1], и потому вопрос об адекватности этой группы параметров можно считать решенным. Параметры П определяются на основании аналитических выражений, представленных,
например, в работе [2]. При этом могут возникнуть значительные погрешности, о чем свидетельствуют данные, приведенные в работе [3]. Уточнение параметров и получение адекватных реальным условиям математических моделей элементов ЭЭС может быть выполнено на основе методов параметрической идентификации [4]. Однако существующие методы идентификации параметров элементов ЭЭС разработаны применительно к однолинейным схемам замещения и потому не применимы для расчета режимов при наличии продольной и поперечной несимметрии, которая особенно проявляется в ЭЭС, питающих электротяговые нагрузки.
Адекватный метод параметрической идентификации ЛЭП, позволяющий корректно учитывать продольную и поперечную несимметрии в ЭЭС предложен в работе [5]. В настоящей статье предлагается новый метод параметрической идентификации двухобмоточных трансформаторов, основанный на использовании фазных координат.
Следует отметить, что на основе параметрической идентификации трансформаторов может быть решена задача их технического диагностирования. Действительно, на основе регулярных измерений параметров У, точной идентификации компонент вектора П и оценки его принадлежности допустимой области Вп , т. е. Пе Вп, можно выявить повреждения или отклонения от нормального режима работы трансформатора. Своевременное выявление дефектов позволяет принять меры по предупреждению их развития и сохранению работоспособного состояния трансформатора.
Уравнения состояния трансформатора
Ниже рассматривается трехфазный двухоб-моточный трансформатор со схемой соединения Ун/Ун и заземлением нейтралей, рис. 1. При его моделировании использовались следующие положения:
иркутским государственный университет путей сообщения
I 7
©о
© 01 > Оч. /2>
> © 2 ОГ-113 ^
(Т2) 0<-123
Ф 3
19
-— Ф 9
15
Рис. 1. Схема трансформатора трансформатор считается линейной сис-
темой;
• два крайних стержня характеризуются единичной магнитной проницаемостью, отображая магнитные потоки рассеяния; площади сечения крайних стержней одинаковы и равны 51, длины крайних стержней равны между собой;
• три средних стержня магнитопровода характеризуются постоянной величиной комплексной магнитной проницаемости л ' — У л ", определяемой из паспортных значений тока и активной мощности холостого хода; площади сечения этих стержней одинаковы и равны 52;
• каждая катушка обладает активным и реактивным сопротивлениями = Як + jшLik (/ -номер обмотки, к - номер фазы), которые определяются параметрами короткого замыкания;
• числа витков Wik определяются по значению рабочей индукции в сердечнике и номинальному напряжению катушки ик (именно катушки, а не обмотки в целом, последнее может быть боль-
и Л 42 4.502^,
ше первого на
(Яп + ]юЬп) 1п + у юм>пФ2 = ип = ф — ф; (^12 + У®112) 112 + У ® ^12®3 = и12 = ф2 — ф8 ;
(^13 + У®113 ) 1 13 + У ® ^13®4 = и13 =Фз — ф9 ;
(^21 + У®^)121 + У ® ^21®2 = и21 = ф4 — ф10 ;
(^22 + У® ¿22) 122 + У ®^22®3 = и22 = ф5 —ф11;
(Я23 + / ¿у /,23)/23 + / ¿у и'22Ф4 = и23=ф6-ф12; Фх + Ф2 - Ф6 = 0;
Фа
Ф6-Ф7=0;
Ф, + Ф<
Ф7 = 0;
л/3),
2
В2т^ 2
если ик - в киловольтах, амплитуда индукции 52т - в тесла, 52 - м2.
Предполагается симметрия конструкции трансформатора, то есть равные длины /х = /5, /6 = /7 = /8 = /9, /2 = /4 . При этом очевидно равны магнитные потоки Ф6 = Ф8, Ф7 = Ф9.
Уравнения электрического и магнитного состояний трансформатора с двумя обмотками и шестью катушками можно записать так [6]:
Щ\ = _/п Н11 1121; Н21 + 2Н616-Н3/3 = 4 +4 и>21 -/12 -4^22; Н3 /3 + 2Н1 /7 -Я4 /4 = /12 + /22 и-22 -/13 -/23 и-23;
Н414-Н515=1и м?и + /231Ф-23.
Записанная система включает шесть уравнений электрического состояния и семь - магнитного состояния. В уравнениях ик - напряжения фаз обмоток, И] - напряженности магнитного поля стержней или частей ярма с длинами /¿. Первый индекс в обозначениях напряжений, токов и чисел витков обозначает номер обмотки, второй индекс - номер фазы. Взаимосвязи напряженностей поля с потоками задаются следующими уравнениями:
В К
нк/к =-
}к /к /о лЛ
= Кшк ® к;
Шшк = '
Л о
^^_-_к__
(л п'—У Л п") ^ '
если к = 1, 5 ;
1
2
3
4
5
Ф 7
Ф 5
Ф 4
Ф 8
ш
Етк = '
Д С
если к = 2,3,4,6,7,
магнитные сопротивления
7 23 123 +1 ®^2зФ 4 = и.
' 23 >
Ет 1Ф1 - Ет 2Ф2 + 1 11 ™11 + 121 ^21 = С ; ^2Ф2+2ЛЖ6(Ф1+Ф2)-
-1мЪ®Ъ "4 % "4 ^21 +4 ^12 +4 ^22 =
£>З+2Д„7(Ф1+Ф2 + ФЗ)-
-^и4Ф4 -4 ^2 "4 ^22 + 4 % +4 ^23 =
^4Ф4+^5(Ф1+Ф2+Фз+Ф4)-
-Дз -/23 14-23 =
Симметрия сердечника трансформатора обусловливает равенства
Ет2 = Ет3 = Ет4 ; Ет6 = Ет7 , тогда
7 111 11 + ] 2 = ип; 7 21
121 + ] ®^21Ф2 = и21;
7 12 1 12 + 1 ®^12Ф3 = и12 ;
Ет1 = Ет5 ;
7 22 122 + 1 ®^22Ф 3 = и 2 7 13 1 13 + 1 ®^13Ф 4 = и:
22;
13
7 23 123 + 1 ®^23Ф 4 = и 2
23
Ет 1Ф1 - Ет 2Ф2 + ^11 ^11 + 1 21 ^21 = С I
ей!2(Ф2-Фз) + 2еи7(Ф1 + Ф2)-
-4 ^п - 4 +4 + 4 ^22 =
Еи2(фз-ф4) + 2Еи7(ф1+ф2+фз)-
"А2 ^12 " А2 ^22 + Аз ^13 + Аз ^23 = 0;
Ет1(Ф1+Ф2+Ф3+Ф4) +
+Ет 2Ф4 " Аз ^13 " 4 ^23 = О-
Определение параметров трансформатора
К числу определяемых параметров трансформатора можно отнести магнитные сопротивле-Еи7 , магнитные потоки Ф1, Ф2 ,
ния Ет, , Ет-,
—т 1 ' —т 2
Ф3 , Ф4 , числа витков w1ь w12, w1з, W21, W22, W23 и активно-индуктивные сопротивления фаз обмоток
где Ет = Ет1'+]Ет'
магнитных ветвей.
С учетом магнитных сопротивлений система преобразуется следующим образом:
7 111 11 +1 ®^11Ф 2 = ип;
7 21
121 + ] Ю^Ф2 = и21; 7 12 1 12 + 1 ®^12Ф3 = и12 I 7 22 122 + 1 ®^22Ф 3 = и 221 7 13 1 13 + 1 ®^13Ф4 = и13 ;
7 7
711' 712 :
713, 721, 722, 723 • Работа со столь
большим числом неизвестных трудоемка и малоперспективна, поэтому целесообразно ввести некоторые упрощающие предположения и сократить число неизвестных. Для трансформатора с симметричным сердечником можно полагать, что
и 1 2 /7
Ет7 = Ет2-Г = Тк72Ет2 , где к72 = — • 12 2 12
Для определения параметров потребуется рассмотрение двух режимов работы:
• холостой ход или близкий к нему режим;
• нагрузочный режим с нагрузками, близкий к номинальному, или режим короткого замыкания.
Исходной информацией для параметрической идентификации трансформатора служат результаты измерений модулей и фаз токов первичной и вторичной обмоток. Практически реализуемый алгоритм определения параметров включает следующие этапы.
1. Из замеров режима холостого хода можно определить число витков фаз обмоток:
С.СС45С2ЦД
В2т$ 2
(1)
где напряжение катушки Uik - в вольтах, амплитуда индукции B2m - в тесла, площадь сечения стержня сердечника S2 - м2. Для масляных трансформаторов мощностью от 25 кВА до 100 кВА максимальная индукция лежит в пределах от 1.2 до 1.6 Тл, для трансформаторов мощностью более 160 кВА максимальная индукция находится в пределах от 1.4 до 1.65 Тл (верхние значения соответствуют современным трансформаторам).
2. По замерам в нагрузочном режиме или режиме короткого замыкания определяются магнитные потоки и активно-индуктивные сопротивления фаз обмоток. Предварительная оценка осуществляется по следующим формулам:
2
ик -
2
ЧСС РКЛ
V ^н
7 _3иы2р 3и 1„
7 л — ~ + /
_1 2£„ 2СС
7, = 7 и2п
2
21 и 2
и1п
где Рк - потери короткого замыкания; ик - напряжение короткого замыкания, %; $н - номи-
I
2
гк =
иркутским государственный университет путей сообщения
нальная мощность трансформатора; Uln, U2iJ -фазные номинальные напряжения обмоток;
U -17 U -17
Ж _ U11 М!71 . Ж _ U12 11271 . Ф 2 — . • Ф 3 — •
j rnwn j mwu
U -1 7
U13 J13 71 .
Ф 4 =-
j gW13
(2)
7 —
7 21 —
7 —
722 —
7—
7 23 —
U21 - j 2 .
121
U 22 - j gW22Ф3
122
U 23 - j g W23Ф4
(3)
2 2 Wn W,,
7 — 7 11 • 7 — 7 7 11 — 7 21 2 • 712 — 7
w,
7 Л -> - 7 '
22 2 w,
w
13
L13 -^23 2 • W^
(4)
Далее выполняется уточнение на основании следующих выражений:
U - 1 7
U11 Jn711 .
Ф 2 -
Ф 3 —-
Ф 4 -
j gW11
U -1 7
U12 112 712 .
j ©W12 ' U -1 7
U13 J13 713 .
711 —
7—
712 —
7—
713 —
7—
7 21 —
7—
722 —
7—
7 23 —
j gW13
Un - j g W11Ф 2 .
(5)
1 11 ^
U12 -j ®^2Ф3
112 !
U13 - j ®^3Ф 4
113
U21 - j 2
121
U 22 -j gW22Ф3
122
U 23 - j g ^3Ф4
(6)
(7)
23
3. Определение магнитных сопротивлений, потока рассеяния и коэффициента к72 производится итерационным методом Ньютона. Для этого вычисляются начальные приближения по формулам:
Rm 1 —
А
Mo S1 '
к — 2h. к 72 — , •
2
п _ п ^L-it Е> • Rm7 — Rm2 j — r^ k72Rm2 •
(8)
ßö —
100
2
Pö =-
q3 = -
Rm2 —
Ii
2g W112 Pö
U i2
2g w112 ßö
-P
Ui
4ö
(9)
6 + 4 k
+ j
Pö
72
6 + 4k
72
Ф1 —
Rm 2Ф2 -111 W11 1 21 W21 Rm 1
(10)
где С/н - номинальное фазное напряжение первичной обмотки, Бн - номинальная мощность трансформатора, Рх - активная мощность холостого хода. После вычисления начальных приближений реализуется итерационный цикл метода Ньютона
X<*+1> = X<к> - [^Х<*> )]1 • е(Х<*> ), (11)
Х<к >
—
Rm1
<к >
я», <к> Ф1<к> k72<k>f - £-е
— т2 "-72
приближение метода Ньютона.
Для корректного определения магнитного сопротивления необходим несимметричный
режим работы трансформатора с существенной нулевой последовательностью токов.
4. Определение параметров решетчатой схемы замещения осуществляется с учетом заземления нейтралей обмоток по методике, изложенной в работе [6]. Из полученных на предыдущих этапах параметров трансформатора и правилам работы [6] составляется матрица обобщенных сопротивлений ЪТ, отвечающая матричному уравнению
^П ^n Inn Ir
где \т ±п ±хъ вектор токов
и —¡ип u,2 U,3 U
'22 23
магнитных
(Ц Ф2 Ф3 ФА
потоков;
1 т
Ii Ii Ii Ii Ii (1(1 п г
'т — U11
вектор напряжений катушек трансформатора.
Разрешив систему уравнений относительно
токов
Jj7 — Tjrp Uy7 J
получим матрицу проводимостей Dj — Z. Матрица Zt имеет симметричную подматрицу размером 3nx3n, поэтому и матрица Dj имеет симмет-
2
2
23
2
т
ш
ричную подматрицу Б такого же размера, которая и используется в матрице проводимостей решетчатой схемы замещения. Из матрицы Б образуется матрица решетчатой схемы
У =
- Б Б Б - Б
Коэффициенты матрицы У представляют собой проводимости ветвей полносвязной решетчатой схемы замещения. Проводимость ветви между узлами 1, k (нумерация узлов по рис. 1) равна значению элемента матрицы У Л •
Для учета схемы соединения обмоток трансформатора производится обработка соединений фаз обмоток. Эта обработка связана с переводом проводимостей ветвей между началами и концами фаз в шунты соответствующих узлов; так, в шунт узла 1 собираются проводимости ветвей 1-7, 1-8, 1-9, 1-10, 1-11, 1-12. Для двухобмоточного трансформатора со схемой соединения обмоток Ун/Ун это соответствует проводимостям шунтов 12
узлов у Уь. , k = 1...6, и проводимостям
г=7
ветвей между незаземленными узлами у = У й, 1 = 1.6, k = 1.6, г ^ к, У Л - элементы матрицы У • Проводимости ветвей между заземляемыми узлами игнорируются.
Общее количество ветвей итоговой решетчатой схемы равно 15.
Пример идентификации параметров трансформатора
Для проверки представленной методики идентификации параметров трансформатора применен четырехступенчатый метод расчетов с использованием программного комплекса Ба20П0М, разработанного в ИрГУПСе [7]:
• получение измерительной информации на основе компьютерного моделирования; для этого выполняются расчеты режима по исходной, «правильной» модели трансформатора;
• параметрическая идентификация трансформатора по предложенной методике;
• составление решетчатой схемы из ЯЬ-элементов;
• расчеты режимов идентифицированной модели и сравнение полученных данных с результатами по «правильной» схеме.
В качестве примера рассмотрен трансформатор ТД-10000-38.5/11 Ун/Ун с параметрами, принятыми по справочным данным.
На рис. 2 показана расчетная схема ПК Ба-20шМ с «правильной» моделью (рис. 1 а) и с решетчатой схемой замещения из КЬ-элементов (рис. 1, б). Узлы 8, 9, 10 и 20, 21, 22 объявлены балансирующими с симметричной системой напряжений 22,25 кВ. Дополнительные модели трехфазных линий длиной 0,01 км слева и справа от решетчатой схемы добавлены для удобства оперирования со схемой и практически не искажают результаты расчетов. В табл. 1 представлены напряжения и токи «правильной» модели трансформатора, использованные для идентификации его параметров.
По формуле (1) из режима холостого хода определяются числа витков обмоток трансформатора:
w11 = w12 = w13 =430,8; w21 = w22 = w23 =122,0.
Предварительная оценка потоков и сопротивлений по формулам (2) ... (4) дает следующие значения:
Ф 2 = - у 0.16439 Тл; Ф 3 = - 0.14236 + у 0,08219 Тл;
Ф 4 =0,14236 + у 0,08219 Тл;
' 0,44397 Ом; ' 0,43583 Ом;
721 = 0,02492
722 = 0,04 1 28
723 = 0,04508
7П = 0,3110 +
712 = 0,51528
713 = 0,5627 +
у 0,45968 Ом; : 5,54124 Ом; у 5,43970 Ом; ■ 5,73734 Ом.
Уточнение по формулам (5)...(7) приводит к небольшой корректировке значений:
Таблица 1
Напряжения и токи холостого хода и нагрузочного режима трансформатора
Узел Холостой ход Нагрузочный режим
^ кВ ^ град I, А I, град ^ кВ ^ град I, А I, град
8 22,25 0 1,31 -92,0 22,25 0 65,49 -43,3
9 22,25 -120,0 1,04 160,6 22,25 -120,0 100,01 -150,4
10 22,25 120,0 1,30 52,8 22,25 120,0 70,58 72,1
11 6,298 0,0 0 -172 6,144 -1,2 230,16 133,8
12 6,298 -120,0 0 -172,1 6,123 -122,5 365,16 31,0
13 6,298 120,0 0 -172,1 6,132 118,8 230,61 -106,2
Ф 2 = -0,00185 - у 0,16244 Тл;
Ф 3 = -0,13868 + у 0,08385 Тл;
Ф4 = 0,14116 + у 0,07944 Тл;
7И = 0,311 + у 5,54124 Ом;
712 = 0,51528 + у 5,43970 Ом;
713 = 0,5627 + у 5,73734 Ом;
721 = 0,0474 + у 0,44094 Ом;
722 = 0,03233 + у 0,45106 Ом;
723 = 0,0267 + у 0,42399 Ом.
По формулам (8) ... (10) находятся начальные приближения магнитных сопротивлений и потока Ф1 :
Ет! = 2,6526-106 Гн-1;
Ет 2=1853,45 + у 341,60 Гн-1;
Ф1 = -3,9779• 10-4-у 4,5599 10^ Тл; = 1.
Реализация метода Ньютона (11) обеспечивает стабилизацию значений уже после двух шагов итерации со следующими величинами: Ет 1 = 3,539 • 106 - у 6,15 84-104 Гн-1;
Ет2 = 1978,76 + у 343,26 Гн-1;
= -2,919910^ - у 3,5258-10-4 Тл;
= 0,9411 - у 0,0091.
Составление матрицы обобщенных сопротивлений и ее обращение с последующим определением проводимостей узловых шунтов и сопротивлений ветвей с учетом заземления нейтралей дает параметры решетчатой схемы, представленные в табл. 2 и 3.
В табл. 4.7 приведены сравнительные расчеты режимов холостого хода и нагрузочного режима по «правильной» модели и по решетчатой схеме.
Приведенные данные показывают практически полное совпадение режима исходной «правильной» модели и режима восстановленной решетчатой схемы.
Таблица 2 Проводимости узловых шунтов (со знаком плюс для индуктивного шунта)
Узел Акт. проводимость, См Реакт. проводимость, См
1 -0,02057 -0,14501
2 -0,01775 -0,14299
3 -0,01693 -0,14871
4 0,07382 1,09806
5 0,06386 1,09102
6 0,06096 1,11114
Таблица 3
Сопротивления ветвей решетчатой схемы
Между узлами Акт. сопр-е ветви, Ом Реакт. сопр-е ветви, Ом
1-2 1,91753 -162,44964
1-3 0,86096 -172,38526
1-4 0,29292 3,34969
1-5 1,64755 -47,4735
1-6 1,7892 -44,84497
2-3 -5,40276 -169,26336
2-4 -1,79797 -45,82794
2-5 0,29832 3,35747
2-6 0,1311 -44,08956
3-4 -2,23888 -48,61393
3-5 -0,44668 -49,51423
3-6 0,29023 3,34424
4-5 -0,21892 -13,40819
4-6 -0,14114 -12,66915
5-6 0,33335 -12,88713
Таблица 4 Режим первичной обмотки при холостом ходе _(нумерация узлов по рис. 2)_
Узел 8 20 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град. 0,0 0,0 -
Узел 9 21 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град. -120,0 -120,0 -
Узел 10 22 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град. 120,0 120,0 -
ш
Примечание. Активная мощность холостого хода «правильной» модели равна 14,5 кВт, активная мощность холостого хода решетчатой схемы равна 15,4 кВт. Реактивные мощности соответственно равны 78,6 квар и 87,0 квар, что соответствует небольшому завышению тока холостого хода трансформатора - от 0,79 % в «правильной» модели до 0,87 % в решетчатой схеме.
Таблица 5 Режим вторичной обмотки при холостом ходе
Узел 11 23 Различие
Напряжение, кВ 6,298 6,296 0,0%
Угол, град. 0,0 0,0 0,0°
Узел 12 24 Различие
Напряжение, кВ 6,298 6,296 0,0%
Угол, град. -120,0 -120,0 0,0°
Узел 13 25 Различие
Напряжение, кВ 6,298 6,296 0,0%
Угол, град. 120,0 120,0 0,0°
Таблица 6
Узел 8 20 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град, 0,0 0,0 -
Ток, А 65,49 65,59 0,15%
Ток, град, -43,3 -43,4 -0,1°
Узел 9 21 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град, -120,0 -120,0 -
Ток, А 100,02 100,03 0,0%
Ток, град, -150,4 -150,5 -0,1°
Узел 10 22 Различие
Напряжение, кВ 22,25 22,25 -
Угол, град, 120,0 120,0 -
Ток, А 70,59 70,71 0,2%
Ток, град, 72,1 72,1 0,0°
Таблица 7
Режим вторичной обмотки при включении нагрузки
Узел 11 23 Различие
Напряжение, кВ 6,144 6,144 0,0%
Угол, град. -1,2 -1,2 0,0°
Ток, А 230,2 230,2 0,0%
Ток, град. 133,8 133,8 0,0°
Узел 12 24 Различие
Напряжение, кВ 6,123 6,123 0,0%
Угол, град. -122,5 -122,5 0,0°
Ток, А 365,2 365,3 0,0%
Ток, град. 31,0 31,0 0,0°
Узел 13 25 Различие
Напряжение, кВ 6,132 6,132 0,0%
Угол, град. 118,8 118,8 0,0°
Ток, А 230,6 230,7 0,0%
Ток, град. -106,2 -106,2 0,0°
Выводы
1. Предложен новый метод параметрической идентификации двухобмоточных трансформаторов, отличающийся от известных использованием фазных координат и построением модели трансформатора в виде решетчатой схемы замещения, элементы которой соединены по схеме полного графа.
2. Компьютерное моделирование, выполненное применительно к реальному трансформатору, показало высокую точность предложенного метода параметрической идентификации.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. М.: Наука, 1976. 220 с.
2. Идельчик В.И. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. 592 с.
3. Шелюг С.Н. Методы адаптивной идентификации параметров схемы замещения элементов электрической сети: автореф. дисс. канд. техн. Екатеринбург: УГТУ (УПИ), 2000. 23 с.
4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
5. Шульгин М.С., Крюков А.В., Закарюкин В.П. Параметрическая идентификация линий электропередачи на основе фазных координат // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 1(29). 2011. С. 140-148.
6. Закарюкин В.П., Крюков А.В. Сложнонесим-метричные режимы электрических систем. Иркутск: Иркут. ун-т. 2005. 273 с.
7. Свидет. об офиц. регистр. программы для ЭВМ №2007612771 (РФ) «Fazonord-Качество - Расчеты показателей качества электроэнергии в системах электроснабжения в фазных координатах с учетом движения поездов» / Закарюкин В.П., Крюков А.В. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Зарегистр. 28.06.2007.
