Отслеживание программного изменения угла атаки для продольной динамики ракеты класса «Воздух-воздух» с помощью метода обхода интегратора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ИБН 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Отслеживание программного изменения угла атаки для продольной динамики ракеты класса «воздух-воздух» с помощью метода обхода интегратора

# 11, ноябрь 2013

Б01: 10.7463/1113.0622518 Голубев А. Е.

УДК 519.71

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана mathmod@bmstu.ru

Введение

Задаче синтеза автоматического управления летательными аппаратами на основе нелинейных моделей в последние десятилетия уделяется большое внимание. Учет нелинейностей модели при моделировании полетных режимов современных самолетов и ракет часто играет принципиальную роль [1]. Так, например, для перехвата быстро движущейся и высоко маневренной воздушной цели от системы автоматического управления ракеты в любом полетном режиме требуется быстро и с высокой точностью отслеживать сигналы, генерируемые системой наведения на цель, что приводит к необходимости использования нелинейных моделей и алгоритмов управления [1,2,3,4].

Для перехвата движущейся цели системе автоматического управления ракеты класса «воздух-воздух» необходимо отслеживать программное изменение ускорения, направленного в направлении нормали к вектору скорости ракеты, формируемое системой наведения на цель. Для продольной динамики ракеты задача отслеживания ускорения, нормального к вектору скорости, как правило, решается при помощи отслеживания соответствующего программного изменения угла атаки [3,4,5,6].

В настоящей работе для продольной динамики ракеты класса «воздух-воздух» представлено решение задачи отслеживания программного изменения

угла атаки при помощи метода обхода интегратора [7]. В отличие от работы [4] рассмотрена более подробная модель продольной динамики, учитывающая динамику управляющих органов ракеты, а также зависимость аэродинамических коэффициентов от модуля угла атаки.

В разд. 1 описывается нелинейная модель продольной динамики ракеты, выводятся уравнения, характеризующие динамику угла атаки, и формулируется задача отслеживания программного изменения угла атаки. В разд. 2 осуществлен синтез нелинейного управления с использованием метода обхода интегратора. В разд. 3 приводятся результаты численного моделирования замкнутой управлением системы.

1. Модель движения и постановка задачи

Рассматривается продольная динамика ракеты как твердого тела при условии, что центр давления совпадает с центром масс, масса ракеты постоянна, сила тяги двигателя равна нулю, органы управления расположены в хвостовой части ракеты. Предполагается, что угол крена, угол бокового скольжения, а также угловые скорости по крену и рысканью равны нулю. Силы, действующие на корпус ракеты, и используемые для описания движения системы координат приведены на рис. 1. Уравнения движения ракеты записываются следующим образом [1,2]:

U = — (L sin а — D cos а) — g sin в — qw,

m4 '

W =------(L cos а + D sin а) + g cos в + qu,

m

• MV /14

{ q = , (1)

в = q,

x = V cos y,

= V sin y,

где u и w — проекции вектора скорости V на оси Obxb и Obzb системы координат xbObzb, жестко связанной с корпусом ракеты и началом в центре масс; V = = л/u2 + w2 — скорость ракеты; а — угол атаки, определяемый равенством tg а = w/u; y = в — а — угол наклона траектории; в — угол тангажа; q —

угловая скорость по тангажу; Ь — аэродинамическая подъемная сила; Б аэродинамическая сила сопротивления; Му — аэродинамический момент; х, г — координаты центра масс корпуса ракеты в земной системе координат хОг; т — масса ракеты; 1у — момент инерции ракеты; д — ускорение свободного падения; 5 — угол отклонения хвостовых стабилизаторов.

Рис. 1. Силы и момент, действующие на корпус ракеты

Аэродинамические силы и момент, действующие на корпус ракеты, имеют

вид

Ь = QSCL(а,М,5), Б = QSCD(а,М,5), Му = QSdCm(а,М,5,я), (2)

где О = 1 дУ2 — динамическое давление; д — плотность атмосферы, как

2

функция высоты; М =----------число Маха; а — скорость звука; S — рас-

четная площадь; d — расчетное расстояние. Аэродинамические коэффициенты Сь (а, М, 5), Со (а, М, 5), Ст (а, М, 5, д) записываются следующим образом [2,5,6]:

Сь = — О соб а, Св = СВо — О біп а,

8М'

У

Ст = ат с° + Ьт а\а\ + ст ^—7 + —^ а + dm 6 + ет

(3)

где

Сх = аиО? + Ьпа1а1 + сп^2-----------—^ а + (1п5,

а С0о, ап, Ьп, сп, dn, ат, Ьт, ст, dm, ет — некоторые постоянные.

В качестве управляющего воздействия рассмотрим угол 5 отклонения хвостовых стабилизаторов ракеты. Уравнение, описывающее динамику органов управления, имеет вид [1,5]:

5 = — (5с - 5), (4)

Та

где та — некоторая положительная константа; 5с — управление.

Требуется найти закон управления 5с, при котором отслеживается задаваемое системой наведения на цель программное изменение ат (£) угла атаки,т.е.

|а(£) — ат(£)| ^ 0 при £ ^ +го.

Предположим, что функция ат (£), а также функции аг (£) и аг (£) кусочно гладкие и ограничены при всех £ > 0. С учетом соотношений

Ш Ш тг г~о-----------------О л г У Л

tg а — —, бш а — . =, У — у и2 + ш2, М — —, 7 = 0 — а

и .и2 + ш2 ^

производная по времени функции х1 — а — аг (£) в силу системы (1) имеет вид

1 Ши — иш . , Л

х1 =-------2------2------аг(£) =

1 + _ и2

1 + 2 и2

иах — шах + ид сое 0 + шд Бт 0 + д(и2 + ш2)

и2 + Ш2

— аг (£) —

ах сое а — ах Бт а д сое а сое 0 + д вт а Бт 0 . , ,

-----------------------1---------------------------------+ Я — аг (£) —

Ма Ма ч т\ )

ах сое а — ах Бт а д сое 7 . , ч

х х + ^г^ + д — ат (£) —

Ма Ма

Ь д сое 7 . , ч

+------71т------+ Я — ат (t), (5)

где

тМ а М а

ах — —1 (Ь сое а + Б вт а), ах — — (Ь вт а — Б сое а).

т т4 '

Отметим, что величины ax и az представляют собой соответственно ускорения вдоль осей координат Obxb и Obzb без учета силы тяжести.

Стандартной моделью динамического давления является следующее соотношение [2,5,6]:

Q = 0,7Po M2, (6)

где Р0 — статическое давление. С учетом равенств (2), (3) и (6) из (5) получаем

QSCb(a,M,S) g cos y .

Z1 =—mMa.— + ма^+q—ar (t) =

QSCz(a,M,0)cosa gcosy . , N

=----------- ---------+ ———— + q — ar (t) =

mMa Ma

0,7P0S ^ r ^* g cos y / ч

=--------Cz(a, M, 6)M cos a +---—-----+ q — ar (t) =

ma Ma

0,7PoS ( 3 7 , , / M\\ъ,

=-------- ana + bna|a| + cn[ 2-------)a)M cos a +

ma \ \ 3 / J

0,7poSdn gcosy . .

+----------.M о cos a + —~~— + q — ar (t).

ma Ma

Таким образом, динамика ошибки z1 = a — ar (t) отслеживания заданного программного изменения угла атаки описывается уравнением

0,7PoS ( 3 . . / M\ \ „

z1 =-------- ana + bna|a| + cn[ 2-------)a)M cos a +

ma 3

0,7poSd^ gcos y . . пл

+--------.Mо cos a + —~~— + q — ar(t). (7)

ma Ma

Отметим, что в этом уравнении слагаемые

°.7poSd~x gcos Y

---------Mo cos a, ——— (8)

ma Ma

описывают непосредственное воздействие соответственно управляющих органов ракеты и силы тяжести на динамику угла атаки.

В силу физического смысла [3,4, 5,6] для простоты синтеза далее будем рассматривать уравнение (7) без слагаемых (8), а также предполагать, что скорость V ракеты и, следовательно, число Маха M являются постоянными. Тогда

динамика угла атаки определяется следующей системой уравнений:

0,7PoS( 3 / M

a =

ana3 + bna|a| + cn{ 2--------------^ajM cos a + q,

ma 3

0,7PoSd 2( 3 7 , , / 8M\ \

--------M I ama + bmalal + cmy— 7 +--------—j a + emq J +

oS

q = j M I ama i bma |a 1 i cm I 1 i Q la i

-y \ \ 3 / ; (9)

+ 0,7PoSddm M20

■1 1У ,

о = -(0C — 0).

Ta

2. Синтез стабилизирующего управления

Для решения задачи отслеживания программного изменения угла атаки воспользуемся методом обхода интегратора [7]. Основная идея метода состоит в построении функции Ляпунова замкнутой системы одновременно с синтезом обратной связи, используя нижнетреугольный вид уравнений системы [7].

Для синтеза управления рассмотрим сначала функцию

vi (zi)=2z<2,

где z1 = a — ar(t). Введем обозначение z2 = q — vi(a,ar(t),ar(t)), где v1( ) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, определяемая далее. Производная по времени функции V1(z1) в силу системы (9) имеет вид

• . (0,7PoS ( 3 , . . / M \ \ . ,Л

\/i = zi zi = zi I ma yana + bna|a| + c^ 2 — — J aj cos a + q — ar (t) I =

(0,7PoS ( 3 , . . / M\ \ . . Л

= zi ma \ a + bna|a| + c^ 2 —3J ajM cos a + z2 + vi — car (t) I.

Выбрав

vi(a, ar(t),ar(t)) =

0,7PoS ( 3 , . . / M\ ,

=-----------ana + bn a|a| + c^ 2--------)a)M cos a + ar (t) — cizi,

ma 3

где ci > 0 — произвольная положительная константа, получим

Vi = — cizj2 + ziz2.

Далее рассмотрим функцию

V2(zi, z2) = Vi (zi) + 2z2.

Для удобства используем обозначение z3 = 0 — v2(a, q, ar(t),ar(t),ar(t)), где v2( ) — некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, определяемая далее. Производная по времени функции V2(zi,z2) в силу системы (9) имеет вид

V2 = — ci z2 + ziz2 + z2;z2 = — ciz2 + zi z2 +

(0,7PoSd, 3 7 . . / 8M\ \

+ z2 ( ---—---M yama + bma|a| + cmy— 7+---------a + emqJ +

0,7PoSdd^ 2X dvi • •• _ 2 , ,

+-------- ----m о —-—a — ar(t) — ciar(t) i — — cizi + ziz2 +

—y da J

(0,7PoSd 3 7 . . / 8M\ \

+ z2 ( ---—---M [ama + bma|a| + cm[^— 7+--------a + emqJ +

0,7PoSddm л о 0,7PoSddm^ о dvi . N , Л ^ N

+ ^4—mм z.3 + ^4—mм —2 — a, — ar(t) — ci<a(t) . (10)

—y —y da J

dv

Заметим, что слагаемое — -7-1 a в выражении (10) может быть записано

da

следующим образом:

d-i • Ф( ) + 1,4PoSbn м ,

-а = Ф(с) +------------M |a|q cos a,

да та

где функция Ф(а) непрерывно дифференцируема всюду, где определена, а оставшаяся часть не является дифференцируемой по а в точке а = 0.

Выберем

v2(a,q,ar (t),a r (t),ar (t)) =

—y ( 0,7PoSdtf2r .3 . , , . . ( 8M\

~M 2^ ama? + bma|a| + cm(^ — 7 +-M^j a + em^j —

0,7PoSddmM2V -y V m m 1 1 '4 3

1 4P0Sb

— Ф(с)---- ----- Mr(a)q cos a + ar (t) + ciair (t) — zi — c2z2 —

ma

, , 1,4PoSbn

— di

ma

Mq cos aj z2 j ,

где с2 > 0 и С1 > 0 — произвольные положительные константы, а функция Г(а) имеет вид

|а|, |а| > е;

Г(с) =

2

a , е II

— + _, |a| < е.

2е 2’ | |

Здесь е > 0 — произвольный фиксированный положительный параметр. Заметим, что функция Г(с) является непрерывно дифференцируемой в^ду, где определена.

Тогда для производной по времени функции V2(zi, z2) в силу системы (9) справедлива следующая оценка:

V 2 2 + 0,7PoSddm м2 d f1,4PoSbn м \2 2 +

V2 = — ci z-, — c2z2 +--- ------M z2z3 — du------------Mq cos a z2 +

-y \ ma /

+ 1,4PoSbn M (| | Г( )) 2 2 + 0,7PoSddm M2

+---------M z2(|a| — l(a))q cos a = — cizi — c2 z2 +------------M z2z3 —

ma -y

( f1,4PoSbn M \2 2 1,4PoSbn M (| , r( )) +

— “и-------------Mq cos a z2------------------Mz2(|a| — 1(a)) q cos a +

ma ma

+ (|a| — Цс))2\ + (|a| — Цс))2 c z2 c z, + 0,7P()Sddm ,f,z z

+-----4dr---------------j +-^----= - cizi - z2 + —Тя---------M Ж -

f r-f1,4PoShn^ \ |a| — r(a)\2 (|a| — Г(с))2

ly/dil , o nMq cos aU — | ' ^-( M + (| | — / )) <

V V ma J 2\ di 4di

2 , 07,PoSddm 2 , , (|a| — Г(с))2

^ 2 2 | ' и---"1 Л /Г 2 |

< — С\ХХ — С2^2 +-------7-----М 2223 + А1 -

1у 4С

Чтобы найти стабилизирующее управление 5С, рассмотрим функцию

^3(^1,^2,^з) = V(^1,^2) + 1 Хз > 0.

Оценка сверху для производной по времени функции У3(г1, 22, 23) в силу системы (9) имеет вид

• 2 2 0,7РоЗМт11,2 (|а| — Г(а))2

У3 < — С12? — а4 + -,—0-тМ22223 + (1 1 — " + 2323 =

1у 4«1

2 2 , 0,7Р<„Ш„ М , (|а| — Г(а))2 ,

= — Сл21 — С,22 + ----- -М 2223 + -----------—- +

1у 4С1

1 х 1 х д-2 . д-2 . д-2 . д-2 .. д-2 (3)

—0С-------о — —а — —q — -г—ar(t) — ar(t) — -—ar H

Ta Ta aa дq aar aar дar

Выбрав

_ / 1 _ 3^2 . д^2 . 3^2 . ^ 9^2 .. . ,

$о — та\ —$ + —— а + д + — а г (і) + ТТГ- «г (і) +

\та д а дд д а г д а г

0,7Рп5Ж

+

д^2аГ3>(()-°,,Ри"““^г2

д а

I,

М Х2 — С3Х3 , (11)

где с3 > 0 — произвольная положительная константа, получим

^3 — — С1 х\ — С2^2

где А — |а| — Г(а). В переменных

2 +(!«!- Г(а))

С3г3 +

2

м

1

— —С1г1_

С2^|

Сз х3 +

|А

Мл

х1 — а — аг (і),

^2 — С — , «г(і), «г(і)),

г3 — 5 — и2(а, с, аг(і), аг(і), аг(і))

система (9) запишется следующим образом:

21 — —С1^1 + ^2, %2

0,7Р{)Бййт .

—С2^2 — 21 +--------=-----М хз —

—d^

1у

1,4РоБЬг

М \2 , 1,4Р0^Ьи М А

Мд сое а г2 +------------------М Ад сое а,

/ та

та

07 ,Рп5Ж

гз —

т л /г2

1у

М 22 — Сз2з.

(12)

(13)

(14)

Из неравенства (12) следует, что динамическая система (14) обладает свойством устойчивости по отношению к возмущениям входа А [7, 8]. Тогда согласно работам [7, 8], если для некоторого положительного числа Б > 0 при всех £ > 0 выполнено неравенство |А(£)| < Б, то справедлива оценка

II х(£)|| < Е при всех £ > 0. Здесь Е > 0 — некоторая положительная постоянная, г(£) = (£\(Ь), х2(£), £3(£))т — произвольное решение динамической системы (14), ||х(£)|| = \]^2(£) + х|(£) + х2(£). Кроме того, если |А(£)| ^ 0 при £ ^ +то, то, согласно работам [7,8], имеет место асимптотическое поведение ||х(£) || ^ 0 при £ ^ решений системы (14).

г

Заметим, что при всех е, 0 < £ < +то, и а £ К справедливо неравенство

|А| = ||а| — Г(а)| < 2е.

Следовательно, для любого а £ К при е ^ 0 имеем А ^ 0. Тогда в силу свойства устойчивости системы (14) по отношению к возмущениям входа А из соотношений (13) следует, что при любом положительном е для любого ограниченного при всех £ > 0 программного изменения угла атаки аг (£) такого, что аг (£) и аг (£) ограничены при всех £ > 0, и любого решения системы (9) с управлением (11) значение ошибки г1(£) = а(£) — аг (£) отслеживания, а также значения переменных д(£) и 6(£) ограничены при всех £ > 0. Более того, при е ^ 0 выполнено |а(£) — аг(£)| ^ 0 при £ ^ +то.

3. Численное моделирование замкнутой системы

Результаты численного моделирования системы (1) с управлением (11) представлены на рис. 2 при следующих значениях параметров рассматриваемой системы и управления: 1у = 247,43662кг• м2; ё = 0,2286м; Б = 0,0409м2; т = 204,108 кг; д = 9,81 м/с2; а = 315,89472 м/с; Ро = 46600,284 Н/м2; та = 1/150 с; ап = 19,373; Ьп = —31,023; сп = —9,717; ёп = —1,948; Сп0 = = 0,3; ат = 40,440; Ьт = —64,015; ст = 2,922; ёт = —11,803; ет = —1,719; с1 = 5; с2 = 5; с3 = 5; ё1 = 1; е = 0,01. Отметим, что числовые значения параметров рассматриваемой модели соответствуют некоторой гипотетической ракете и приводятся, например, в работах [2,5,6,3].

По результатам моделирования можно сделать вывод о высокой точности отслеживания рассмотренного программного изменения угла атаки, несмотря на использование для синтеза управления упрощенной модели без учета слагаемых, описывающих непосредственное воздействие управляющих органов и силы тяжести на динамику угла атаки.

Заключение

В настоящей работе для продольной динамики ракеты класса «воздух-воздух» рассмотрена задача отслеживания задаваемого системой наведения на цель программного изменения угла атаки. Синтез нелинейного управления

, рад

0.8---------------1-----------1-----------1----------1-----------г

с

Рис. 2. Программное изменение угла атаки (пунктир) и переходные процессы

системы (сплошная линия)

осуществлен при помощи метода обхода интегратора. В отличие от работы [4] решение задачи отслеживания получено для более подробной модели продольной динамики, учитывающей динамику управляющих органов ракеты, а также зависимость аэродинамических коэффициентов от модуля угла атаки.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 11-01-00733, 13-07-00736, 12-07-00267).

Список литературы

1. Menon P., Yousefpor M. Design of nonlinear autopilots for high angle of attack missiles // Guidance, Navigation, and Control Conference (San Diego, CA, July 29-31, 1996). AIAA, 1996. D0I:10.2514/6.1996-3913.

2. Xin M., Balakrishnan S.N. Missile longitudinal autopilot design using a new suboptimal nonlinear control method // IEEE Proc. Control Theory and Application. 2003. Vol. 150, no.6. P. 577-584. DOI: 10.1049/ip-cta:20030966.

3. Bahrami M., Ebrahimi B., Ansarifar G.R., Roshanian J. Sliding mode autopilot and observer design for a supersonic flight vehicle // Proc. 2nd International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics (ISSCAA 2008) (Shenzhen, 10-12 Dec. 2008). IEEE, 2008. P. 1-5. DOI: 10.1109/ ISSCAA.2008.4776375.

4. Fan J., Su Z. Missile longitudinal autopilot design using backstepping approach // Proc. 2010 IEEE Aerospace Conference (Big Sky, MT, 6-13 March 2010). IEEE, 2010. P. 1-8. DOI: 10.1109/AER0.2010.5446743.

5. Reichert R.T. Robust autopilot design using ?-synthesis // Proc. American Control Conference (San Diego, CA, 23-25 May 1990). IEEE, 1990. P. 2368-2373.

6. Reichert R.T. Dynamic scheduling of modern-robust-control autopilot designs for missiles // IEEE Control Systems. 1992. Vol. 12, no. 5. P. 35-42. DOI: 10.1109/37.158896.

7. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York: John Wiley & Sons, 1995. 563 p.

8. Sontag E.D. Smooth stabilization implies coprime factorization // IEEE Trans. on Autom. Control. 1989. Vol. 34, no. 4. P. 435-443. DOI: 10.1109/9.28018.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421100025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Tracking a process of scheduled change in the angle of attack for longitudinal dynamics of an air-to-air missile with the use of an integrator back-stepping method

# 11, November 2013 DOI: 10.7463/1113.0622518 Golubev A. E.

Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation mathmod@bmstu.ru

This paper deals with missile longitudinal dynamics control. The angle of attack tracking problem is considered. The stabilizing control law is synthesized using the integrator backstepping approach. The simplified missile dynamics model used for control synthesis include actuator dynamics. The aerodynamic polynomials dependence on absolute values of angle of attack is considered from a perspective of applying integrator backstepping. The reference angle of attack tracking is shown through simulation.

References

1. Menon P., Yousefpor M. Design of nonlinear autopilots for high angle of attack missiles. Guidance, Navigation, and Control Conference, San Diego, CA, July 29-31, 1996. AIAA, 1996. DOI: 10.2514/6.1996-3913.

2. Xin M., Balakrishnan S.N. Missile longitudinal autopilot design using a new suboptimal nonlinear control method. IEEE Proc. Control Theory and Application, 2003, vol. 150, no. 6, pp. 577-584. DOI: 10.1049/ip-cta:20030966.

3. Bahrami M., Ebrahimi B., Ansarifar G.R., Roshanian J. Sliding mode autopilot and observer design for a supersonic flight vehicle. Proc. 2nd International Symposium on Systems and Control in Aerospace and Astronautics (ISSCAA

2008), Shenzhen, 10-12 Dec. 200S. IEEE, 200S, pp. 1-5. DOI: 10.1109/ISS-CAA.200S.4776375.

4. Fan J., Su Z. Missile longitudinal autopilot design using backstepping approach. Proc. 2010 IEEE Aerospace Conference, Big Sky, MT, 6-13 March 2010. IEEE, 2010, pp. 1-S.DOI: 10.1109/AERO.2010.5446743.

5. Reichert R.T. Robust autopilot design using ?-synthesis. Proc. American Control Conference, San Diego, CA, 23-25 May 1990. IEEE, 1990, pp. 236S-2373.

6. Reichert R.T. Dynamic scheduling of modern-robust-control autopilot designs for missiles. IEEE Control Systems, 1992, vol. 12, no. 5, pp. 35-42. DOI: 10.1109/37.15SS96.

7. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. New York, John Wiley & Sons, 1995. 563 p.

S. Sontag E.D. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. on Autom. Control, 19S9, vol. 34, no. 4, pp. 435-443. DOI: 10.1109/9.2S01S.