Численное моделирование следящего управления с наблюдением для модели продольной динамики самолета вертикального взлета и посадки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика к Математическое

моделирование

hItp:/AnalhmelpLtb.ru ISSN 2412-5911

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2018. № 06. С. 72-87

Б01: 10.24108/шаШш.0618.0000164

Представлена в редакцию: 21.11.2018

© НП «НЕИКОН»

УДК 62-503.54

Численное моделирование следящего управления с наблюдением для модели продольной динамики самолета вертикального взлета и посадки

Макаров Д.А.1'2'3'* *такаюу@Ба:ги

1 Институт системного анализа ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия 2МФТИ, Долгопрудный Московской области, Россия 3ООО "Технологии системного анализа", Москва, Россия

В работе с помощью численного моделирования исследуется нелинейное динамическое управление в задаче слежения на конечном интервале времени для выхода модели продольной динамики самолета вертикального взлета и посадки. Эталонное поведение выхода системы задается с помощью вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместо неизмеряемых переменных используются их оценки, полученные с помощью наблюдателя состояния полного порядка. Синтез управления и наблюдателя осуществляется на основе приближенного решения соответствующих дифференциальных матричных уравнений Риккати с зависящими от состояния системы коэффициентами с помощью одной и той же численно-аналитической процедуры. В экспериментах рассматривается набор сценариев, заданных различными начальными условиями. Показано, что в большинстве случаев построенные нелинейные управления превосходят линейные аналоги по рассмотренному квадратичному критерию качества.

Ключевые слова: задача слежения, нелинейное управление, наблюдатель состояния, дифференциальные матричные уравнения Риккати с зависящими от состояния коэффициентами, самолет вертикального взлета и посадки

Введение

Работы [1,2] положили начало активному исследованию в области построения нелинейного управления на основе решения алгебраического матричного уравнения Риккати с коэффициентами, являющимися функциями состояния. Для получения этого уравнения исходная модель системы представляется в псевдолинейной форме: элементы матриц при состоянии и управлении зависят от вектора состояния. Такие системы принадлежат к классу так называемых SDC (state dependent coefficients) систем. При рассмотрении квадратичного функционала качества, матрицы которого также могут быть функциями состояния, решение соответствующей задачи оптимального управления можно аппроксими-

ровать следующим способом: записать алгебраическое матричное уравнение Риккати и регулятор, совпадающие по форме с соответствующими уравнением Риккати и регулятором из задачи Калмана-Летова, но с зависящими от состояния коэффициентами. Такие уравнение и подход получили названия SDRE (от State-Dependent Riccati Equation) и SDRE техника соответственно.

Достоинством такого подхода является его относительная простота и субоптимальность. SDRE техника применима для множества практических задач (см. обзоры [3,4]). Основным недостатком этого метода является необходимость численного решения SDRE в темпе функционирования объекта, что может наталкиваться на ограничения, связанные с располагаемыми вычислительными ресурсами.

Для преодоления этой проблемы в работах [5-7] для класса слабо нелинейных систем был предложен подход, основанный на приближенном решении SDRE с помощью численно-аналитической процедуры. Применение аналитических выражений существенно снижает вычислительную сложность алгоритма управления. В работах [8] указанные подход получил свое развитие для задачи слежения за эталонной траекторией на конечном интервале времени. Конечность интервала управления приводит к рассмотрению матричного дифференциального уравнения типа Риккати с зависящими от состояния коэффициентами (State-Dependent Differential Riccati Equation). Достоинством метода из [8] по сравнению с аналогичными результатами в этой области (см., например, [9,10]) является отсутствие выполнения ряда трудоемких вычислительных операций в процессе регулирования. В [11,12] результаты из [8] были обобщены для задачи слежения выхода системы за выходом эталонной системы при неполном измерении состояния.

Данная работа посвящена численным экспериментам по применению результатов из [12] к задаче слежения для выхода модели продольной динамикой самолета вертикального взлета и посадки. Целью настоящей статьи является установление применимости метода [12] к не слабо нелинейной системе, а также оценка эффективности полученного управления по сравнению с линейными аналогами. Для этого рассмотрен ряд сценариев, отличающихся начальными условиями и наличием или отсутствием полного измерения вектора состояния. Перейдем к рассмотрению алгоритма построения динамической обратной связи и наблюдателя согласно работе [12].

1. Алгоритм синтеза управления и наблюдателя

Пусть дана управляемая слабо нелинейная система вида

х = A(x./i)x + B(i,/i)u, у = Сх, x(f0) = jcc.

A(x.fi) А+ /*400> В(х. ¿i) = B0 + /iB^x), (1)

jelcE'j е7с 1КИ; KeM'^e^i,], 0

где x, y и u - векторы состояния, выхода и управления соответственно, ц0 - некоторое заданное достаточно малое положительное число, A0, B0 и С - известные постоянные матрицы, А1{х>) Е Шпхп,В1(х) Е Епхг - известные матрицы с достаточно гладкими и ограни-

ченными по аргументу х элементами, X и У - некоторые ограниченные множества, ц - известный постоянный параметр.

Предположим, что эталонное поведение системы (1) описывается решением дифференциального уравнения

где хг и уг - вектор состояния и эталонный (желаемый) выход, Аг,0 - известная постоянная матрица, а Агд(хг) - известная матрица с достаточно гладкими и ограниченными по аргументу хг элементами. Начальные состояния х0 и хг0 в общем случае полагаются неизвестными.

Определим следующий функционал качества

1 1 1

I (и) = - ет (№&) + - ¡(ет0( у, у г, /)е + итЯи ) сН

^ Ш1П,

и

(2)

0(y, Уг, Л) = 00 + y, Уг), е = у - Уг,

где е - ошибка слежения выхода системы (1) за выходом эталонной системы (2), заданные симметрические матрицы у, уг, /) > 0, 0О > 0, Я > 0, Г > 0 при у, уг е У, 0 < /< /0.

Здесь и далее знаками >0 (>0) обозначается положительная определенность (полуопределенность) соответствующей матрицы.

Известно, что исходная задача (1)-(2) может быть представлена [13] в виде

где

расширенные векторы состояния и выхода,

нулевые блоки в матрицах и есть матрицы соответствующих размерно-

стей.

Поскольку измерению доступны не все координаты расширенного вектора состояния , рассмотрим также наблюдатель состояния полного порядка

где

- вектор оценки состояния х, т.е. х - оценка x, а хг - оценка xr, X, Xr е X,

~С О"

Z-Zr^X, с

[о с

12тх2п. а ТеП2"*2т

- подлежащая определению матрица коэффициентов наблюдателя. Зададим представления

Введем следующие условия:

I. Траектории замкнутой системы (1) существуют, единственны и принадлежат Х на [70, ^ ] для любого непрерывного управления u(t), где X - некоторое ограниченное множество пространства состояний; элементы матриц Ä ^ ( х) ,В !( х) ограниченные, непрерывные и достаточно гладкие при x, xr е X ; л е (0,л0 ].

II. Тройка матриц (Л 0 , В 0 , Нр } , где НрНр = Q 0, стабилизируема и наблюдаема.

III. Матрицы системы

ДДФАВД

и симметрические матрицы критерия R > 0, Q > 0, Q (у) > 0, F > 0, а также ¡0 > 0 таковы, что

Д + /Щ(ху£) > 0

при x, xr е X, t е [t0,tj, л е (0, ¡0]. В работе [12] при условиях I-III был предложен численно-аналитический алгоритм приближенного решения задачи (3) с помощью динамической обратной связи вида

где

- линейная часть, а

wizj-M) = -М-1 (ДгОт)Д + (4+/A(z)YPi(z,&Q)z

- нелинейная коррекция. Матрица коэффициентов регулятора Р0 находятся как положительно определенное решение уравнения

\Т Й п Ь В -1 ът

чл ^ =о ■ а ад^о

вычисляется как

Зд)=Л (л - ^ )+(А --А*Ь+й1.

Матрица коэффициентов наблюдателя Г находится из задачи, двойственной к задаче построения управления. Для приближенного решения этой задачи согласно [12] используется тот же численно-аналитический алгоритм, что и для нахождения матрицы коэффициентов регулятора. Алгоритм имеет в качестве параметров весовые симметрические матрицы

Матрица Г определяется как

Щх, м- ')=*<.+ Сг, м- О ■

Введем условия

IV. Траектории замкнутой системы (4) на [70, ^ ] существуют, единственны и X, Хг е X для любых непрерывных п(£) и Г (х , д, при х, е X, ^ е (0,/^0]; элементы матриц ограниченные, непрерывные и достаточно гладкие при X, Хг е X.

V. Тройка матриц [А0, Ст, Нм], где НЦНМ = стабилизируема и наблюдаема.

VI. Матрицы системы

и симметрические матрицы критерия

а также > 0 таковы, что

Я, + МЩХ-М-0>0 при ^^еХ./ер^),^ е(0. При условиях IV-VI матрица N находится как положительно определенное решение уравнения

■4Д: + - Д^^ОТ, + = 0,

N1 (x, д, t) вычисляется с помощью

где

A^^-NjfRiC,

Отметим, что применение аналитических выражений для P1 и М существенно снижают вычислительную сложность выработки сигнала управления по сравнению с SDRE техникой. Отметим также, что условия III и VI всегда выполняются при достаточно малом [11,12]. Однако, как показали численные эксперименты ниже, даже при их нарушении

полученное управление зачастую сохраняет работоспособность.

2. Управление моделью самолета вертикального взлета и посадки

Рассмотрим задачу управления продольной динамикой самолета вертикального взлета и посадки. Особенностью таких летательных аппаратов является возможность реализации режимов полета с нулевой и околонулеовой воздушными скоростями благодаря наличию одного или нескольких подъемных двигателей, а также вращению вектора тяги маршевого двигателя. Маршевый двигатель поворачивается вниз, чтобы помочь подъемным двигателям осуществить указанные режимы полета, тогда как при аэродинамическом полете он направлен вдоль продольной оси.

Предположим, что требуется осуществить маневр, характеризующийся желаемым изменяем вертикальной воздушной скорости, угла тангажа и его скорости. Воспользуемся нелинейной моделью продольной динамики из [14,15] с некоторыми упрощениями. А именно

где Ух -Уу - продольная и вертикальная составляющие воздушной скорости, 3 и а2 - угол тангажа и угловая скорость тангажа, 8В - угол отклонения руля высоты, £ - эффективная площадь крыла, р - плотность воздуха, Сх и Су - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связной системы координат, g - ускорение свободного падения, V = 2 + V2 - воздушная скорость, £52в - частная производная коэффициента момента

тангажа по углу отклонения руля высоты, Рп и Рм - сила тяги подъемного и маршевого двигателей, рс - угол отклонения сопла маршевого двигателя от нормали к продольной оси (рс = 0 - режим вертикального взлета и посадки, рс = ж /2 - аэродинамический полет). Используемые параметры модели приведены в таблице 1.

Таблица 1. Параметры модели продольной динамики самолета

Параметр Значение Параметр Значение Параметр Значение

Р 1.2, кг/м3 с, -1.1*10-4, 1/кг 8 40, м2

ё 9.81, м/с2 С, 8*10-4, 1/кг р р Z 1, 1/с2

Предположим, что t е [0,5], а эталонное поведение модели (7) задается с помощью системы уравнений со следующими матрицами и начальными условиями "-0.1 0 0.1 - 0.1"

4,о =

0 -0.2 0.1 -0.1 0.02 0.01 -1 -2 0 0 10

4Д() =

0 0 0 0" " Кг " " 10"

0 0 0 0 Кг -2

, хг = уг , хг(0) =

0 0 0 0 0) 2Г 0.1

0 0 0 0 Л _ 0.1

Система (7) может быть представлена в ББС форме как

А( х, /и) =

СЖр

С£Кр 0.0174К

-0.0174 + С^р Су$>Уур

0 0

0 0

0

-4.5-10-3 -У 1

-0.0174 - g 0 0 0

В( х, /) =

2 -10-4 0 0 0

-10-3 0 0 " Ух " ' Рп

0 1 0 уу р 1 М.

, х = , и =

0 0 1 р 1 ПМ

0 0 0 _ Л _3В

где рпм =-g +114-10~3 - рп +115-10_3 - рмс > Рм* = рм ^Рс , рмс = рм С0Рс - новые координаты управления, найдя которые, легко получить исходые координаты с помощью выражений РМ =у1РМ52 + РМс2 , рС = агее08(РМс / РМ) . Наконец, представим (8) в виде (1) с помощью следующих матриц

А =

-0.0318 0.0040 -0.0133 -0.1705

Л( х) =

0.2315 -0.0293 0 0 0 -0.0274

0 0 1

-0.0053У + 0.0318 -0.0174^+ 0.0384ГХ - 0.2315 0 0

0 0 0

- В0 =

2 • 100 0 0

1.15 • 100 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0

В = 0

1

4x4'

-0.0053У - 0.0040 0.0174У + 0.0133 0.0000

0.0384^ + 0.0293 0 0

00 -0.0045У + 0.0274 0 00

Отметим, что модель (8) не является слабо нелинейной, поэтому параметр л задается равным 1. Матрица получена с помощью линеаризации А(х, /) из (8) в точке х = хг(^ ) .

Определим следующие матрицы функционала качества (2) и матрицы процедуры синтеза наблюдателя

где Е - единичная матрица указанной размерности.

Ниже в численных экспериментах рассматриваются две постановки задач: в первой вектор состояния полностью доступен для измерения, поэтому в управлении (5) вместо х используется непосредственно х, т.е. наблюдатель не требуется и имеем управление по состоянию, которое будем обозначать как ис. Во второй постановке для измерения доступен лишь выход объекта и строится динамическая обратная связь с наблюдателем, которую будем обозначать как ис 0ьц. В обеих постановках целью управления является минимизация функционала (2), т.е. решается задача слежения выхода у за выходом эталонной системы уг.

Для анализа эффективности полученных нелинейных управлений ис и ис_0ья построим два линейных управления. Для первой постановки с помощью алгоритма синтеза линейного сервомеханизма [13] построим управление ицп. В качестве матриц модели и критерия возьмем определённые выше постоянные матрицы В0, Q0, Я и Е. Тогда ицп является оптимальным в задаче

ёх = Ах + В0и, х(г0) = х0, е = х - хг,

1 1 1

I(и) = - ет (г )) + - [ (ет^е + итЯи) ёг

9 2

^ Ш1П

и

0

и находится как пм = -R0 1ВТ (P(t)х + q(t)), где матрица Р(^) и вектор q(t) определяются из

уравнений

^ = -P(t)Aо - ArP(t)+P(t)BоRо-1BоrP(t) - а = 0, р(^) = F,

^ = (р(0ЗД-1 В0Т - ^^) д(0 + ^(t), ) = -Fxr(t1).

Для второй постановки определим управление и0 ^ как линейную часть управления ис_оЬэ, использующего (6) с постоянной матрицей коэффициентов усиления, т.е. о, = Ц>(*) и N= %

Для обозначенных двух постановок рассмотрим различные сценарии моделирования, определённые начальными состояниями Ух (0),^ (0). Для всех сценариев общим является следующие параметры:

Л(0) = 0, аг (0) = 0,

^(0) = 5, *2(0) = 2, ^(0) = 1, *4(0) = 0.5, *(0) = 9, *6(0) = 3, ^(0) = -5, ^8(0) = 1,

"0 1 0 0" Г у - у 1

у УГ

с = 0 0 1 0 , е = ЮГ -™гГ

0 0 0 1 Л -л _

Результаты численного моделирования приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты численных экспериментов

№ Начальные условия Постановка I: управление по состоянию Постановка II: управление с наблюдателем

УМ, м/с Уу(0), м/с 1(ис) !(ицп) 1(ис)/ !(ицп) 1(ис_оЬ*) 1(и0_оЬ*) 1(ис_оЬэ)/ 1(и0_оЬ^)

1 5 101.659 102.000 0.997 118.462 128.064 0.925

2 8 0 18.772 18.995 0.988 30.227 32.975 0.917

3 -5 15.594 15.893 0.981 29.214 34.808 0.839

4 5 76.814 76.854 0.999 113.771 106.574 1.068

5 0 0 5.896 5.899 1.000 11.545 14.648 0.788

6 -5 14.124 14.168 0.997 23.085 26.377 0.875

7 5 117.281 184.932 0.634 - - -

8 -8 0 33.455 99.338 0.337 - - -

9 -5 30.096 96.917 0.311 55.753 66.482 0.839

Рассмотрим результаты для постановки I. Как видно, в случае полного измерения вектора состояния построенное нелинейное управление оказалось эффективнее линейного по рассматриваемому критерию (2). В сценарии 5 наблюдается практически одинаковое качество работы ис и иц„. На Рис. 1 для замкнутой системы с ис, соответствующей этому сценарию, представлены эталонное и реальное поведение выхода ,, а также координаты вектора ошибки слежения е.

б

Рис. 1. Реальное и эталонное поведение выхода системы (а) и координаты ошибки слежения (б) для ис в

сценарии 5

а

Самым «выигрышным» для ис оказался сценарий 9 (см. Рис. 2 и Рис. 3, где сплошным и штрихпунктирными линями представлены ошибки слежения вдоль ис и ицп соответственно).

Рис. 2. Реальное и эталонное поведение выхода Рис. 3. Ошибки слежения для систем с ис и иип в

системы с ис в сценарии 9 сценарии 9

Рассмотрим результаты моделирования для постановки II. В сценариях 7 и 8 замкнутые системы теряют устойчивость. Во всех рассмотренных случаях, кроме сценария 4, ис_0ьэ оказалось эффективнее ио_0ьэ, иными словами, нелинейная коррекция, как правило, повышает качество управления. На Рис. 4 представлены результаты для сценария 4, на Рис. 5 приведены ошибки слежения для систем с ис и и0 в этом же сценарии. Ошибки слежения для ис ь оказались сопоставимы с ошибками для и0 ь и проигрыш первого, видимо, связан с повышенным расходом управления.

Рис. 4. Реальное и эталонное поведение выхода Рис. 5. Координаты ошибок слежения для систем с системы с ис лэ для сценария 4 ис 0Ь. и и0 0Ь. в сценарии 4

Наконец, в сценарии 9 синтезированное нелинейное управление имеет наибольший выигрыш над линейным аналогом (см. Рис. 6). На Рис. 7 представлено сопоставление ошибок слежения для систем вдоль ис_0ъэ и ис для постановок I и II. Как и предполагалось, в случае неполного измерения вектора состояния качество управления ухудшается.

Отметим, что в рассмотренных сценариях условия III и VI могли нарушаться. Однако, в большинстве случаев полученные нелинейные управления ис_0ъэ и ис сохраняли работоспособность.

Рис. 6. Координаты ошибок слежения для систем с Рис. 7. Координаты ошибок слежения для систем ис л. и и0 л. в сценарии 9 вдоль ис л. и ис в сценарии 9

Заключение

В работе рассмотрено построение управления и наблюдателя в задаче слежения на конечном интервале времени для выхода модели продольной динамикой самолета вертикального взлета и посадки. Синтез регулятора и наблюдателя осуществлялся с помощью одной и той же численно-аналитической процедуры приближенного решения матричного

дифференциального уравнения типа Риккати с зависящими от состояния коэффициентами. Достоинством такого подхода является уменьшение вычислительной сложности по сравнению с SDRE техникой за счет применения аналитических выражений.

В экспериментах рассмотрены две постановки задачи: с полным и частичным измерением вектора состояния. Для каждой из этой постановок исследован набор сценариев, различающихся начальными условиями продольной и вертикальной скоростей. Проведенные численные эксперименты показали, что в большинстве случаев синтезированные нелинейные управления превосходят свои линейные аналоги по рассмотренному критерию качества управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-38-60198-мол_а_дк, № 17-07-00281-а).

Список литературы

1. Mracek C.P., Cloutier J.R. Full envelope missile longitudinal autopilot design using the state-dependent Riccati equation method // AIAA Guidance, navigation and control conf. (New Orleans, LA, USA, August 11-13, 1997): Proc. Wash.: AIAA, 1997. Pp. 1697-1705.

DOI: 10.2514/6.1997-3767

2. Mracek C.P., Cloutier J.R. Control designs for the nonlinear benchmark problem via the state-dependent Riccati equation method // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. 1998. Vol. 8. No. 4-5. Pp. 401-433.

3. £imen T. Survey of state-dependent Riccati equation in nonlinear optimal feedback control synthesis // J. of Guidance, Control and Dynamics. 2012. Vol. 35. No. 4. Pp. 1025-1047.

DOI: 10.2514/1.55821

4. Cloutier J.R. State-dependent Riccati equation techniques: an overview // American control conf. (Albuquerque, NM, USA, June 6th, 1997): Proc. Vol. 2. N.Y.: IEEE, 1997. Pp. 932-936. DOI: 10.1109/ACC.1997.609663

5. Дмитриев М.Г., Макаров Д.А. Гладкий нелинейный регулятор в слабо нелинейной системе управления с коэффициентами, зависящими от состояния // Тр. Ин-та системного анализа РАН. 2014. Т. 64. № 4. С. 53-58.

6. Даник Ю.Э., Дмитриев М.Г., Макаров Д.А. Один алгоритм построения регуляторов для нелинейных систем с формальным малым параметром // Информационные технологии и вычислительные системы. 2015. № 4. С. 35-44.

7. Dmitriev M.G., Makarov D.A. The near optimality of the stabilizing control in a weakly nonlin-

rd

ear system with state-dependent coefficients // 3 Intern. conf. on analysis and applied mathematics: ICAAM 2016 (Kazakhstan, Almaty, Sept. 7-10, 2016): Proc. College Park: AIP, 2016. Pp. 020016-1 - 020016-6. DOI: 10.1063/1.4959630

8. Макаров Д.А. Подход к построению нелинейного управления в задаче слежения с коэффициентами, зависящими от состояния Часть I. Алгоритм // Информационные технологии и вычислительные системы. 2017. № 3. С. 10-19.

9. Khamis A., Naidu D. Nonlinear optimal tracking using finite-horizon state dependent Riccati equation (SDRE) // Recent advances in electrical engineering: 4th Intern. conf. on circuits, systems, control, signals: CSCS '13; 1st intern. conf. on electronics and electrical engineering: ELEL'13 (Valencia, Spain, August 6-8, 2013): Proc. WSEAS Press, 2013. Pp. 37-42.

10. Khamis A., Naidu D.S., Kamel A.M. Nonlinear finite-horizon regulation and tracking for systems with incomplete state information using differential state dependent Riccati equation // Intern. J. of Aerospace Engineering. 2014. Vol. 2014. Article ID 178628. 12 p.

DOI: 10.1155/2014/178628

11. Макаров Д.А. Синтез управления и наблюдателя для слабо нелинейных систем на основе техники псевдолинеаризации // Моделирование и анализ информационных систем // 2017. Т. 24. № 6. С. 802-810. DOI: 10.18255/1818-1015-2017-6-802-810

12. Макаров Д.А. Построение управления и наблюдателя в слабо нелинейной задаче слежения с помощью дифференциальных матричных уравнений Риккати // Информационные технологии и вычислительные системы. 2018. № 4. С. 63-71.

DOI: 10.14357/20718632180407

13. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник: в 5 т. / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. 2-е изд. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 741 с.

14. Дубовик С.А., Кабанов А.А. Синтез управления посадкой летательного аппарата с вращающимся вектором тяги // Информационно-измерительные и управляющие системы.

2009. Т. 7. № 2. С. 41-48.

15. Кабанов А.А. Система автоматической посадки летательного аппарата корабельного базирования. Часть 1. Подсистема торможения // Мехатроника, автоматизация, управление.

2010. № 11(116). С. 69-73.

Mathematics i Mathematical Modelling

Witt ri

rtlFJlL' }OUl*fUli

litrp:/ArralhinelpLiti.ru

ISSN 2412-591 i

Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 06, pp. 72-87.

DOI: 10.24108/mathm.0618.0000164

Received: 21.11.2018

© NP "NEICON"

Simulation of Observer Based Tracking Control for the Longitudinal Dynamics Model of a Vertical Takeoff and Landing Aircraft

D.A. Makarov1'2'3'*

makajov^isaju

institute for Systems Analysis, FRC CSC RAS, Moscow, Russia 2Moscow Institute of Physics and Technology, Dolgoprudnyj, Russia 3LLC "Technologies for systems analysis", Moscow, Russia

Keywords: tracking problem, nonlinear control, state observer, matrix differential state-dependent

Riccati equation, vertical takeoff and landing aircraft

The article describes a method for constructing a nonlinear finite-horizon tracking control for the output of a weakly nonlinear dynamic system obtained by the author earlier and also presents the results of numerical experiments, which have used this method to control the output of the longitudinal dynamics model of a vertical takeoff and landing aircraft. The article aim is to demonstrate a performance capability of the method for non-weakly non-linear systems, as well as to evaluate the effectiveness of the obtained control in comparison with linear analogues.

The method is based on the approximate solution of a matrix Riccati-like differential equation with state dependent coefficients. In the English literature, such a constructing approach to control is called a SDRE technique. The latter has become quite widespread in practical applications due to the relative ease of implementation. The disadvantage of the SDRE technique is that there is the need to numerically solve the Riccati-like matrix equation in the course of operation for each new system state, which may come up against the limited computational resources. To overcome this drawback, a number of methods for approximate solution of this equation were developed, including that of for the finite-horizon tracking problem.

A feature of the method under study is an approach to the approximate equation solution based on the formal asymptotic small- parameter expansion of this solution in case of system nonlinearity. A numerical-analytical procedure for constructing the control was obtained. In contrast to the known results, with such an approach there is no need to perform a number of computationally expensive operations in the control process. This allows potential application of this method for problems with highly limited computational resources, for example for the problem of an autonomous robotic control.

The article considers several scenarios where initial conditions of the aircraft dynamics model differ from each other. It is shown that in most cases, the obtained nonlinear controls exceed the linear analogues by the quadratic quality criterion considered.

References

1. Mracek C.P., Cloutier J.R. Full envelope missile longitudinal autopilot design using the state-dependent Riccati equation method. AIAA Guidance, navigation and control conf. (New Orleans, LA, USA, August 11-13, 1997): Proc. Wash.: AIAA, 1997. Pp. 1697-1705.

DOI: 10.2514/6.1997-3767

2. Mracek C.P., Cloutier J.R. Control designs for the nonlinear benchmark problem via the state-dependent Riccati equation method. Intern. J. of Robust and Nonlinear Control, 1998, vol. 8, no. 4-5, pp. 401-433.

3. Çimen T. Survey of state-dependent Riccati equation in nonlinear optimal feedback control synthesis. J. of Guidance, Control and Dynamics, 2012, vol. 35, no. 4, pp. 1025-1047.

DOI: 10.2514/1.55821

4. Cloutier J.R. State-dependent Riccati equation techniques: an overview. American control conf. (Albuquerque, NM, USA, June 6th, 1997): Proc. Vol. 2. N.Y.: IEEE, 1997. Pp. 932-936.

DOI: 10.1109/ACC.1997.609663

5. Dmitriev M.G., Makarov D.A. Smooth nonlinear controller in a weakly nonlinear control system with state-dependent coefficients. Trudy Instituta sistemnogo analiza RAN [Proc. of the Institute for Systems Analysis of RAS], 2014, vol. 64, no. 4, pp. 53-58 (in Russian).

6. Danik Yu.E., Dmitriev M.G., Makarov D.A. An algorithm for constructing regulators for nonlinear systems with the formal small parameter. Informatsionnye tekhnologii i vychislitel'nye sistemy [Information Technology and Computer Systems], 2015, no. 4, pp. 35-44 (in Russian).

7. Dmitriev M.G., Makarov D.A. The near optimality of the stabilizing control in a weakly nonlinear system with state-dependent coefficients. 3rd Intern. conf. on analysis and applied mathematics: ICAAM 2016 (Kazakhstan, Almaty, Sept. 7-10, 2016): Proc. College Park: AIP, 2016. Pp. 020016-1 - 020016-6. DOI: 10.1063/1.4959630

8. Makarov D.A. A nonlinear approach to a feedback control design for a tracking state-dependent problem. Part I. An algorithm. Informatsionnye tekhnologii i vychislitel'nye sistemy [Information Technology and Computer Systems], 2017, no. 3, pp. 10-19 (in Russian).

9. Khamis A., Naidu D. Nonlinear optimal tracking using finite-horizon state dependent Riccati equation (SDRE). Recent advances in electrical engineering: 4th Intern. conf. on circuits, systems, control, signals: CSCS '13; 1st intern. conf. on electronics and electrical engineering: ELEL '13 (Valencia, Spain, August 6-8, 2013): Proc. WSEAS Press, 2013. Pp. 37-42.

10. Khamis A., Naidu D.S., Kamel A.M. Nonlinear finite-horizon regulation and tacking for systems with incomplete state information using differential state dependent Riccati equation. Intern. J. of Aerospace Engineering, 2014, vol. 2014, article ID 178628. 12 p. DOI: 10.1155/2014/178628

11. Makarov D.A. Synthesis of control and state observer for weakly nonlinear systems based on the pseudo-linearization technique. Modelirovanie i analiz informatsionnykh system [Modeling and Analysis of Information Systems], 2017, vol. 24, no. 6, pp. 802-810. DOI: 10.18255/18181015-2017-6-802-810 (in Russian)

12. Makarov D.A. The design of observer based tracking control for weakly nonlinear systems using differential matrix equations Riccati. Informatsionnye tekhnologii i vychislitel'nye sistemy [Information Technology and Computer Systems], 2018, no. 4, pp. 63-71.

DOI: 10.14357/20718632180407 (in Russian)

13. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravleniia [Methods of classical and modern theory of automatic control]: A textbook: in 5 vols. / Ed. by K.A. Pupkov, N.D. Egupov. 2nd ed. Vol. 4: Teoriia optimizatsii sistem avtomaticheskogo upravleniia [Theory of optimization of automatic control systems]. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2004. 741 p. (in Russian).

14. Dubovik S.A., Kabanov A.A. Synthesis of landing control of flight vehicle with rotating thrust vector. Informatsionno-izmeritel'nye i upravliayushchie sistemy [Information-Measuring and Control Systems], 2009, vol. 7, no 2, pp. 41-48 (in Russian).

15. Kabanov A.A. Automatic landing system of ship basing aircraft. Part 1. Braking subsystem. Mekhatronika, avtomatizatsiia, upravlenie [Mechatronics, Automation, Management], 2010, no. 11(116), pp. 69-73 (in Russian).