Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2000, Том 2, Выпуск 3

ОЦЕНКИ В ЗАКОНАХ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ РЕГУЛЯРНЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ

Ф. X. Доев

В большинстве работ, посвященных методам суммирования рассматривались частные методы. Этим исследованиям придается некоторый систематизированный характер. Рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.

В большинстве работ, посвященных методам суммирования (= м. с.) рассматривались частные методы. В данной работе попытаемся придать этим исследованиям некоторый систематизированный характер. Ниже рассмотрен класс регулярных методов суммирования, содержащий такие методы, как Абеля, Чезаро, Бореля, Эйлера, скользящих сумм и др. Для взвешенных сумм с весами из этого класса получены оценки в законах больших чисел в виде сходимости интегралов от вероятностей больших уклонений. Установлена асимптотика по малому параметру этих интегралов.

Пусть 0 < a < 1. Определим класс функций (или в случае дискретного параметра — класс матриц с&(п)), задающий регулярные м. е.:

Da = {о < с*(А) < 1, к = 1,2,...; А > 0;

supcfc(A) ~ 6iA"tt при А —оо; к

оо

при А —оо;

к=1

оо

в2(а) = 4W ~ ъ1х^а при А к=1

Легко проверить, что элементами 1)\ являются м. с. Чезаро порядка г > 1 (С, г), Абеля (Л). Множеству Dпринадлежат методы Эйлера порядка q > 0 (E,q), Бореля (В) и др.

© 2000 Доев Ф. X

Пусть Л |, Л •_>,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин (н. о. р. с. в.). Обобщая классическую постановку задачи о законе больших чисел, рассмотрим взвешенные средние

оо

,ЛП)

к=1 к=1

= ^ск(А)Хк №) = ]ГСк(п)Хк)

и выясним условия сходимости интеграла

т(е,д,г) = / Аа9*-а-1Р(|5(А)| > еАа(9_1))^А,

а в случае дискретного параметра — ряда п0"1*^а^1Р(\8(п) \ > еп

Сходимость этого интеграла трактуется как информация о скорости сходимости в законе больших чисел для метода суммирования (с&(А)}.

Для с^ (А) е /Я, введем в рассмотрение следующий набор индексов по степени убывания с/г (А) по А:

I = {к : с/г(А) = 0(Х^а) при А —оо}.

Через с, иногда с индексами, будем обозначать положительные постоянные.

Теорема 1. Пусть Л' |. Л'_>.... последовательность и. о. р. с. ц1 > 1.

Я > \} с^(Л) е Т),Л. Кроме того, пусть при А —оо

^ 4(А) = О (А^1^) (О < г < 1). (1)

к

Для сходимости т{-~. (]. I) при любом е > 0 достаточно, чтобы Е\Х\\Ь < оо и НХ | = 0 в случае / > 1.

Эти условия необходимы, если при А ^ оо

сагс! (/) = 0(Аа). (2)

< Зафиксируем зависимость т(>л/./) от а в виде нижнего индекса та(е,д, £). Подстановкой А = уа выражение тх(е, д, переводится в та(в, д, £). Соответствующий вид приобретают и условия (1) и (2). Следовательно, доказательство теоремы 1 достаточно провести для случая с/,.( А) е /)|.

Достаточность. Пусть Е\Х1\* < х. О < / < 1. Воспользуемся аналогами неравенств Нагаева — Фука [2]. Тогда для любого 7 > О

= J А^2Р(|5(А)| > еХ^йХ 1

оо

(3)

Ь к

1/7

ёХ = Аг + А2.

Так как нас интересует только сходимость интегралов, то при их оценке будем пользоваться асимптотическими свойствами А) при А —>■ оо. Получающиеся при этом интегралы, сходятся и расходятся одновременно с исходными.

Преобразуем Л|:

А,

к= 1 1=к

с»+1 (А)

оо

< / / ¿Р(\Х1\<у)<1\,

с1,Х

i=l

(4)

где Ь

а{\) — " а+1 (А))

Очевидно, Ь не пусто, если А) > с^+^А). Пусть {<4 (А)} С (с&(А)} убы-

2 п

вающая последовательность при фиксированных А. Поскольку ^ (А) —У О

к=п

2 п

при п —у оо и при этом ^ > Пс2п(^)' т0 = °(7) ПРИ ^ 00• Следо-

к=п

вательно, из (4) имеем

/1, < — / А^4"1)-1

оо ,,

^ / У(1Р{\ХХ\ КУ)

i=l {

(IX

< — [

1 у>е^Х1/Ь!

ус№{|Хх| < у)с1Х

(£7)

1 у>е^Х"/Ъг

оо (г/Ь1/(е7))1/<г

< у) < сЯЩ4.

1

с ] у

е^/Ъг

2

(5)

Перейдем к оценке .1_>. По условию (1), ,1_> сходится одновременно с интегралом

00

1

Легко заметить, что при 7 < 1

А2 < оо.

(6)

В силу произвольности 7 < 1 из (3), (5) и (6), получаем доказательство достаточности для 0 < £ < 1.

При доказательстве достаточности для остальных значений параметра £ следует воспользоваться соответствующими вариантами неравенств Нагаева — Фука.

Необходимость. Нам понадобится

Лемма [7]. Если {.V „. }• последовательность симметричных независимых с. в., то при 0 < \ак\ < '//,•. к = 1,2,... . п. для любого е > О

Р

У; "к А'/,-

к=1

> е\ <2 Р

У; <к' А'/,-

к=1

>

Обозначим через Л'„ — симметризованные с. в. ¿>п = V] Д';.. ^'(Л)

к=1

^2ск(Х)Хк. По неравенствам симметризации к

00

= J

1

> еА9"1) й\ < оо.

Применив лемму с

ск = ск{ А) и ак

ск{А), /.: е /. О, /,:ё /.

получим

к£1

> еХ^1

^ ¿А.

Следовательно, сходится интеграл

00

,1 = I ХЧ'^-П

1

С учетом условия (2) будем иметь

™ П+1

к£1

> се А9

^ г!Х.

,1 £ / (1%! > сеА9) йХ

п= 1 {

пч

п= 1

1 \ 9

се (1 Ч— п

)

-

п= 1

где = 29се. _

Отсюда по известной теореме Баума — Каца [5] следует £71^х | < оо.

Согласно следствию из неравенств симметризации получаем Е^Хх]* < оо. Теорема 1 доказана. >

Если вместо (с&(А)} взять метод средних арифметических (С, 1), то из теоремы 1 получаем теорему Баума — Каца из [5]. Теорема 1 для м. с. (Л) была доказана в [4] для = 1, £ = 2.

Теперь рассмотрим асимптотику т(-т. ц. I) при е —0. Очевидно, для м. с. из I),, выполнен аналог условия Линдеберга:

^ оо ,,

У 4 (А) / у2йР(Хк < у) ->• 0 при А ^ оо.

В^ к-1

Таким образом, справедлива центральная предельная теорема (ц. п. т.) для Я(Х). Легко устанавливается оценка, аналогичная известной оценке А. Бикя-лиса из [1].

Если ЕХ1 = 0, ЕХ1 = 1, то

р{А, х) вирск{А)

|Р(5(А) < хВ{А)) - Ф(х)\ < с + |ж|"3д(А) > (7)

где

р{ Х,х)< ! \и\3г1Р(Х1 <и) + (1+\х\)В(Х) ! и2г1Р(Х1<и).

I" I — вирс^А) вирс^А)

к к

Обозначим , I = •> 2д—а = гДе ' — гамма-функция.

Теорема 2. Пусть ЕХ\ = 0, ЕХ2 = 1. Тогда справедливы соотношения:

' е4-0 Щ а б) Пте2Ме,<?,£) = приЯЩ* < оо.

< Ввиду схожести рассуждений, ограничимся докажзательством пункт а). Представим г(е, 1,1) в виде суммы двух интегралов

т(е,1,1) = Ц

1

оо

Д1 /а

Р(\Б( Х)\>е)^2Ф'

°° V + / АФ '--'—е )г1Х = тг + г2.

йХ

2

Покажем, что

lim ^V = 0. (9)

е4-0 ln-

Выберем no (в) > 0 так, чтобы по(е) —У оо, —У 0 при £ —У 0. Тогда

J + J =т[ + т^. (10)

1<А<ехр по (е) А>ехрпо(е)

Очевидно, что

т[< 2 J jdX = 2n0(£).

1<А<ехр по(е)

Следовательно, при £ —у 0 выполняется

->• 0. (11)

П

1пе

Рассмотрим т" и разобъем его на два интеграла по областям (ехрп0(е), е^2//а) и оо):

т" = j + j = Гц + Т12. (12)

ехрп0(е)<А<е-2/а е-2/а<А

Обозначим А(Л) = sup.,, |Р (S(X) < хВ(Х)) — Ф(ж)|. По ц. п. т. для S(А), А(Л) — 0 при Л —У оо. Поэтому

lim sup А(^) = 0.

е^°ехр п0(е)<А<е-2/а

С учетом этого, легко получаем следующую оценку:

£-2/а

Til < sup Д(А) I ^

ехрп0(е)<А<е-2/а J Л

ехр по (е)

/2 1

= sup А(^) ( —1П--^о(е)

ехрп0(е)<А<е-2/а \a £

Следовательно, при f 0

Для оценки Т|-_> воспользуемся неравенством Нагаева — Фука со вторым моментом. При этом, для любого 7 > 0 получим

Т12< [ > е7)<*А

Л>е-2/а к

А

к

+ / I

Л>е-2/а

(А)

I к

1

2 7

(IX

/1 / \а/2\

^ф1-£—ЫХ = П1 + П2 + П3. (14)

Л>е-2/а

Пользуясь теми же приемами, что и при доказательстве достаточности теоремы 1, выводим

О, < J Х^1 ! уйР (|-Х"х| < у) (1,Х

д>е-2/а Ъгу>е^Ха

оо (Ь1?//(е7))1/а

= -!- I у ! Х^(1Х(1Р (\Хг\ < у)

7е-1 е-2/а

оо (Ь1?//(е7))1/а

<с£ J у ! Ха^г(1,Х(1Р [\Х\\ < у)

7е~1 е-2/а

<>1

ОО ОО

2 -- " ~ 1 - - 1

с / у^РаХх! <у) + с- / ^Р(|Х!|<у)

<>1 оо

,2

< С / ^^((Хх! <у).

Отсюда следует, что

!'пи<>1 = 0. (15)

е4.0

Используя свойства с*(А), будем иметь

1>2 < <■■? ' I X 1 £rdX = cJ у 1 2'т(1у< оо,

Л>е-2/а 1

1

поскольку 7 > 0 произвольно. Следовательно,

lim —y = 0. (16)

е^о In— ^ '

Очевидно и для fi3 выполнено соотношение

fi

lim ^4=0. (17)

е^о lni ^ ;

Из (10)—(17) следует (9).

Рассмотрим интеграл 72, который подстановкой ~ = sfx приводится

к виду

00 оо

/1 ( Xa'2 \ 2 Г 1

-ф (--:-£ I г/Л = — / -ф(~^/x)dx

X \ b2 J a J X

1 еУЪ1

-е/Ъ-2 t2

_¿ f 1 e 2 / —dxdt a\/2v J J x

еУЩ

£_ 4 1 (' ñ er~lnt dt-\--=ln- / e^~dt

«V ¿ж J «у ¿к £

—00 —00

-е/Ьъ

41nb2 f 21

+ —/ e^~dt ~ c+ - In- (18)

а,\/2ж J a £

—00

при f —0.

Из (8), (9) и (18) получаем утверждение пункта а). Теорема 2 доказана. > При t = 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) из пункта б) теоремы получаем результат Хейди [6]. При t > 2 и q = 1 для м. с. (С, 1) теорема 2 доказана в [4].

Справедлив равномерный (в смысле исходного распределения) вариант теоремы 2.

Пусть Wt — класс функций распределения /-'(.г) = Р{Х < х) обладающих свойствами:

оо оо

xdF{x) = о. / = ,

— оо —оо

оо

lim sup / x2dF{x) =0, / \x\bdF{x) < 00. 0^00 F£V J J

|ж|>о ^OO

Обозначим

где Рр — вероятностная мера, соответствующая функции распредления /-'(.г). Теорема 3. Пусть ск(А) е /Л,. Тоща верны соотношения

а) Пте;о вир^2

б) Птгч.(|8ир/,6 (

т(р)(е,1,1) 2

.2«,

0:

о, г > 2.

В отличие от теоремы 1, рассмотрим критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы.

Пусть на [1,оо) заданы строго положительные и неубывающие функции /(ж) и </?(ж), удовлетворяющие условиям

Ж

Ж

(19)

Обозначим

Я(А)=А"/2¥р(А), Л С./'- //)= /^Р(|А^(А)|>Ь2Я(А))<*А,

где &2 из определения класса Я 1(ж) — функция обратная к Н(х).

Теорема 4. Пусть Л' |. Л •_>.... — последовательность и. о. р. с. в. Предположим, что выполнены условия (19), ЕХ\ = 0, ЕХ2 = 1, А) е I),,. кроме того,

Е[Я^1(|Х1|)]а/(Я^1(|Х1|))1пЯ^1(|Х1|) < оо. (20)

Тогда равносильны условия а) *(/, Я) < оо;

61 7 ^^

J хг-а/2Н(х)

е зла ¿л < оо.

< Запишем \ (/. Я) в виде суммы двух интегралов:

оо

/(А)

А

Р(|Аа5(А)| > Ь2Я(А)) - 2Ф( - у>(А))

(¿А

2

3

+2 / - ^(А))^ = Ь + Ь.

Воспользовавшись неравенством (7), выводим

1л< С

ДА) А^а/2

Н( А)

А <рЗ{\)

1 о

ьгс1Р(\Хг\ < ь)с1Х

+

оо оо

7/( А) 1

У А ^(А)

1 Н{ А)

и'

'йР{\Хг\ < ь)йХ = ![ + !'{.

Меняя порядок интегрирования, получим

оо

Г' [

= с / и

оо оо

3

Я(1) Н-г(и)

Х^а/2^1^-с1Хс1,Р(\Х1\ < и) А)

<с I ц3 /(# Ч")) [Д-1(ц)]-а/^Р(|Х1| < ц)

Я(1)

'(Я"1(и))

с / /(Я^1^)) < и)

Я(1)

^сд/Гя-ЧиШя-Чи)

< оо.

Аналогично устанавливаются оценки

оо я-^и)

/" = с I и2 Я(1)

/(А)

< и)

(21)

(22)

(23)

<с I и2 1и//"1 (>/)г//>( Л'| < и)

Н{ 1)

»(Я"1(и))

с I [я_1(и)] /(Я-1(и))1пЯ"1(и)йР(|А:1| <и)

Я(1)

< сЕ /Г^Х, )]"/(//-'(.V, )^ 111//1 ( .V| ) < оо. (24)

Следовательно, при условиях теоремы из (22)-(24) имеем

1г < оо. (25)

Так как Ф( — </?(А)) ~ "71^(л)в 5 ПРИ ^ 00' т0 °ДновРеменная сходимость и расходимость /•_> и интеграла из пункта б) очевидна.

Отсюда, учитывая (21) и (25), получаем утверждение теоремы. > В частности, для м. с. средних арифметических, из теоремы 4 получаем соответствующую теорему из [4].

Рассмотрим частный случай, когда </?2(ж) = (2+е)1п1пж, г > 0, f(x) = </?2(ж). Легко проверить, что при х —У оо

х2

(2 + е)1п1пж_ Тогда условие (20) теоремы 4 принимает вид

ЕХ2\п\Хг\ < оо. (26)

Введем в рассмотрение с. в.

оо

А£ = I > 62л/(2 + е)А^а1п1пА| йХ.

X

Из предыдущей теоремы следует, что при выполнении (26) ЕХе < оо при каждом е > 0, но в то же время Ае растет при £ —у 0. Поэтому представляет интерес асимптотика Ае при £ —у 0.

Теорема 5. Пусть Л'|. Л'_>----— последовательность и. о. р. с. в., ЕХг = О,

ЕХ2 = 1, выполнено (26). Тоща при £ —у О

ЕХе = ^(1 + о(1)).

< Представим ЕХе в виде суммы двух интегралов

оо

1п1пА

ЕХе

X

е

Р (^(А)! > 2 + е)А-«1п1пА)

1

-2Ф(—(2 + e)lnlnA)

dX

/]Г1]Г1\

Ф( \/2 I сlnliiA) г/А A (s) I 21)(s). (27)

е

Покажем, что еч/еА^) —0 при е —0. Для этого разобъем А(е) на два интеграла

ехр(е-3/4)

А(е)= [ \р (^(Л)! > Ъ2>/(2 + e)A-"lnlnA

Л

2Ф( - 7(2 + е)1п1пЛ)

cíA

+

оо

lnlnA

А

ехр(е-3/4)

Р (^(А)! > 62\/(2 + е)А^а1п!пА

2ф( - 7(2 + е)1п1пА) dA = Лх(г) + А2(е). (28)

Очевидно

ехр(е-3/4)

< 2 I ^г/А < 2е"3/41пе"3/4.

е

Отсюда следует, что при г 0

£3^2Ai(e) —0. (29)

Для оценки воспользуемся неравенством (7):

оо , Я(А)

„ ^ f lnlnA X^a/2 f 3 .

Л2(е) < с J —QnlnA^3/2 J u dp(\Xi\<u)dX

exp(e-3/4) 0

00 00

+c j j u2dP{\X1\<u)dX = A'2 +A'¡. (30)

ехр(е-з/4) Я(А)

Меняя порядок интегрирования, будем иметь

оо оо

А2= с í u3 [ -?х. dP{\Xx\ < и).

Я(ех ре-3/4) Я-1 (и)

Так как а > 0, то

оо

Я(ехре-3/4)

Используя определение //(Л), легко получаем, что

А'2<с J u2dP(\Xi\ < и) < cE\Xi\2. (31)

Я(ехре-3/4)

Аналогично для .I".

оо Н-Ци)

А2 = с j и2 J X^dXdPdX^Ku)

iï(expe-3/4) ехре-3/4 оо

2l„ TT^l !

<с J и ЫН^ (и) dP(\Xi\ < и).

Я(ех ре-3/4)

Поскольку iî(expe^3/4) —оо при е —у 0, то учитывая асимптотику iî""1 (Л), получаем

оо

I" ^ „ / лпл v I / »л / 2i

^2<c J и lnudP(\Xi\ < и) < сЕХ{[п\Х\\. (32)

Я(ехре-3/4)

Итак, из (30)-(32) следует, что при в О

е3/2Л2(е) 0. (33)

Следовательно, из (28), (29), (33) имеем

е3/2А{е) 0 (34)

при f —у 0.

С помощью элементарных преобразований получаем при е —у 0

1

D(e) = —= + o(e^2). £у ¿Е

Отсюда, с учетом (27) и (34), вытекает утверждение теоремы. >

Литература

1. Бикялис А. Т. Асимптотические разложения для сумм независимых ш-решетчатых случайных векторов // Лит. мат. сб.—1972.—Т. 12.—С. 118189.

2. Гафуров М. У. Применение аналога неравенств Нагаева С. В. и Фука Д. X. для взвешенных сумм независимых случайных величин по закону больших чисел // Banach center publication, Warszawa.—1979.—V. 5.—P. 260-271.

3. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: Физматгиз, 1963.—1514 с.

4. Сираждинов С. X., Гафуров М. У. Метод рядов в граничных задачах для случайных блужданий.—Ташкент: ФАН, 1987.—140 с.

5. Ваши L. Е, Katz М. Convergence rates in the law of large numbers // Trans. Amer. Math. Soc.—1965,—V. 120, No. 1. P. 108-123.

6. Heyde С. C. A supplement to the strong law of large numbers // J. Appl. Probab.—1975,—V. 12, No. 1. P. 173-175.

7. Sztencel R. On Boundednes and convergence of some Banach space valued random series // Probab. Math. Statist.—1981.—V. 2, No. 1.—P. 83-88.

г. Владикавказ

Статья поступила 22 июля 2000 г.