Оценки в принципе инвариантности для процессов восстановления со специальными разнораспределенными скачками Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 г. Выпуск 2 (21). С. 51-56

УДК 519.214

ОЦЕНКИ В ПРИНЦИПЕ ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ РАЗНОРАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СКАЧКАМИ

А. И. Саханенко

1. Введение

Пусть Х1з Х2, ... - конечная или бесконечная последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих следующему условию:

Главная цель работы состоит в том, чтобы описать метод, который позволяет процессы восстановления потраекторно приближать пуассоновскими процессами с явными вероятностными оценками для точности такого приближения (см. теорему 2 и следствия 1). Причём наш метод одновременно, на том же вероятностном пространстве дает (см. теорему 1) потра-екторное приближение для сумм {¿к} при помощи сумм показательно распределенных случайных величин, определяемых точками скачков пуассоновского процесса.

Это исследование появилось под влиянием некоторых математических задач, возникших в теории массового обслуживания, при изучении очередей, работающих в условиях большой нагрузки (см., например, [1, 2, 3]). Наш метод позволяет аппроксимировать входные процессы и процессы обслуживания в сетях обслуживания при помощи пуассоновских процессов, что даёт возможность приближать процессы длин очередей аналогичными процессами, возникающими в самых простых сетях с пуассоновскими входными процессами и пуассонов-скими процессами обслуживания. Самое простое из утверждений работы - следствие 3 - даёт лучшую оценку для применения в теории очередей, чем полученная автором ранее теорема А.1 в [4].

В качестве простого следствия основных результатов получена возможность одновременно приближать суммы {¿к} и процесс восстановления N0 некоторыми различными вине-ровскими процессами с явными оценками точности (см. лемму 1 и следствие 2). Ранее этот результат был известен [5] только для одинаково распределенных величин {X}, причём оценки зависели неявно от распределения величины Х;.

Есть два существенных различия между доказательством теоремы 4.1 в [5] и нашим выводом следствия 2. Во-первых, мы используем пуассоновский процесс в качестве промежуточного аппроксимирующего процесса. Этот приём упрощает доказательство, поскольку и процесс Пуассона и обратный к нему процесс монотонны и легко аппроксимируются различными винеровскими процессами Ж() и Ж0(^). Когда работа была уже готова, автор нашёл аналогичную идею в [6], но там используется менее удобный промежуточный процесс и получены менее точные оценки.

Второе отличие нашего доказательства состоит в том, что вместо оценок Комлоша-Майора-Тушнади [7] мы используем результаты из [8] и [9] (см. леммы 1-3). Это позволяет нам использовать разнораспределённые случайные величины {X} и получать оценки в принципе инвариантности, которые неулучшаемы с точностью до абсолютной постоянной. Полученные оценки также явно зависят от характеристик распределений величин {Х} (см. определения в (3)), что может быть полезно также и в случае одинаковых распределений, но в схеме серий. Такая ситуация возникает, например, в теории очередей (см. [1-4]), в случае, когда распределения времён ожидания и обслуживания зависят от растущей нагрузки.

V/ 0 < ЕХ = ЬОХ < ю для некоторого Ь > 0.

При I > 0 введем в рассмотрение процесс восстановления Щ) = шт { к : ¿к> ^ }, где ¿к = Х} + ... + Хк.

(1)

(2)

2. Основные результаты

Пусть n > 1, а > 2, x > 0 и у > 0 - произвольные числа. Положим £ = b(X, - EX, ), £ * = max<n |£\, A = ]Г D£, = D[bS„] = Е[ВД

Z„,„ (у) = £ E min { |^/|“/ya, £2 /у2 } <y*£ E |£г|а . (3)

\a/ya, £2 /у2 i=1 i=l

И введём ещё обозначение ДпЖ у) = (Ln,a(y)Yy + Ane-x/x2. (4)

Подчеркнём, что в работе символы С0, С1, С2, ... всегда обозначают абсолютные постоянные. Кроме того, не уменьшая общности, далее считаем, что введённые в (1) случайные величины {X} заданы на достаточно богатом вероятностном пространстве. То есть предполагается существование не зависящей от {X} случайной величины с непрерывным распределением.

Теорема 1. Для любых фиксированных чисел n > 1 и a > 2 на одном вероятностном пространстве с величинами Х1, Х2, ... - можно построить такую последовательность т1, т2,... независимых случайных величин, имеющих одинаковое показательное распределение с единичным средним, что будет верно следующее неравенство

V x >у > 0 P[ Sn > Ci x, £n <у ] < Дп,а(х, у), (5)

где

A( k )

Sn = maxk < n | bSk - £ Ti |, при A(k) = [Ak]. (6)

i=1

Обозначим через П(-) стандартный пуассоновский процесс с единичными скачками в точках т1 + ... + Tk при k = 1, 2, ... .

Теорема 2. Для любых фиксированных чисел n > 1 и а > 2

V х >у > 0 P[ S * > 1+С2х, £*<у ] < An,a(x, у), (7)

где

S n = maxk < n | n(bSk) -Ak |. (8)

Приведенное утверждение является основным результатом работы. Получим теперь из него несколько следствий. Положим

a n = b maxi < n EX,, T(n) = min { An/b, Sn }, An,n = maxf < m | AN(t) - n(b(t)) |. (9)

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 2 и у > 0

V x >у + a * P[ Sn,n > 1 + С3 x, £n* <у ] < Лп,а (x, у). (10)

Следствие 2. При всех фиксированных n > 1 и a > 2 существует стандартный винеров-ский процесс W( ) такой, что

Vx >у + a* P[ Sn,w > 1+С4x, £n <у ] < Лп,а (x, у), (11)

где у > 0 и

Sn,w = maxt < T(n) | AN(t) - bt- W(bt) |. (12)

Замечание 1. Рассмотрим частный случай, когда

V i a = Ex, > 0 и 0 < о2 = DX < ^. (13)

В этом случае произойдут упрощения в формулировках всех приведенных выше результатов, так как при сделанных предположениях

Vk Ak = abk, b = a/о2 > 0, T(n) = min { an, Sn }. (14)

2=1

А в случае одинаково распределенных случайных величин несколько упростится также и вид функции А*,а(х, у).

Приведём один простой частный случай следствия 2.

Следствие 3. Пусть случайные величины {X,} независимы, одинаково распределены и выполнено условие (13). В этом случае при всех фиксированных п > 1 и а > 2 существует такой стандартный винеровский процесс W ( ), что

Vz > a Р(А * > 1+2C4 z) < п P[ \ Xi - a \ > z ] + (n E min { \£\а/у а, £2 /у2 })2 (15)

где £ = £1 и

А * = maxf < T(n) | aN(t) - t - W*(t)lyfb |. (16)

Замечание 2. Нетрудно проверить, что неравенство (15) существенно точнее, чем соответствующие утверждения в теореме А.1 в [4] и в теореме 4.1 в [5]. В частности, разбивая величины {X,} на блоки растущей длины из (15) можно получить, что в условиях следствия 3

при E| X1 |а < го

a N(t) - t - W\t)l4b = o(t1/a) п. н. при t ^ го.

Отметим, что эта сходимость не следует из теоремы 4.1 в [5]. И по этой причине в [5] это утверждение пришлось доказывать другим способом.

Замечание 3. В данной работе используется метод одного вероятностного пространства, предложенный в работе [8], что существенно при выводе леммы 1. По этой причине способ построения процессов ПО, Wo(-), W(-) и W (•), появляющихся в работе существенно зависит, во-первых, от распределений величин {X,}, а, во-вторых, от выбора чисел п > 1 и а > 2, которые всюду, следуя [8], мы называем фиксированными.

Подчеркнём, что способ построения этих процессов не зависит от выбора чисел х, у и z, используемых во всех вероятностных неравенствах работы.

3. Вспомогательные леммы

Существующее утверждение вытекает из теоремы 1 в [8].

Лемма 1. Для любых фиксированных чисел п > 1 и а > 2 существует такой стандартный винеровский процесс Ж0 ( ), что

V х >у > 0 Р[ ёп.8 > СоX, £п <у ] < (Ьпл(у))х/У, (17)

где

n

ön,s = maxk < n | £ £i - Wc(Ak) | = maxk < n | bSk - Ak - W0(Ak) |. (18)

n

i=1

Лемма 2. Для любого фиксированного числа А ^ 0 существует такая последовательность т1, т2,... независимых случайных величин, имеющих одинаковое показательное распре-

деление с единичным средним, что

V х > 0 Р[ 4(А) > Сз х ] < Ае~х/х2, (19)

где

и

4(А) = Бирг <а | 2(1) - Жо({) | при 2(1) = £ Т . (20)

i=1

Доказательство. Из явного вида плотности величины т = Т1 вытекает, что 3 1 > 0 Е[ (т - 1)2 еХ]т- 11 ] < 3 = 3Бт.

Значит мы можем воспользоваться утверждением теоремы 1 в [9]. В итоге получаем существование абсолютной постоянной с > 0 и величин {т} таких, что

сЕ[ ё2г(Л) ехр(с!4(А)) ] < А. (21)

Но отсюда и из неравенства Чебышева при Сз = 1/шт { 1с, 4с } вытекает (19).

Напомним, что символом П(-) обозначается пуассоновский процесс со скачками в точках т1 + ... + тк при к = 1, 2, ... .

Лемма 3. При любом фиксированном А > 0 существует такой винеровский процесс Ж( ),

что

Доказательство. Разобьём интервал [0, А] на m > 0 равных частей. В этом случае случайный процесс П(-) можно рассматривать как частный случай процесса £(•) из работы [9], со скачками в точках {kA/m, к = 0, ..., m}. При этом приращения

рк = П((к + 1)A/m, kA/m), к = 0, ..., m - 1,

имеют распределение Пуассона с параметром 1lm. Значит, при некотором m < го.

E[ (р1 - 1lm)2exp( | р1 - 1/m | ) ] < 3lm = 3Dp1.

Повторяя теперь вывод предыдущей леммы, мы получим, что неравенство (21) справедливо, при замене в нём величин Sz и X на ёП и 1, соответственно.

Значит, (22) доказывается аналогично (19), но с другой постоянной.

Введём следующее обозначение e(h, A) = max { | W(v) - W(n) | : 0 < u < v < min {u + h, A}}. (24)

Лемма 4. При всех h > 0 и A > 0

V z > 0 P[ e(h, A) > 5z ] < Aexp(-z2/h)lz2. (25)

Доказательство. Введём разбиение промежутка [0, A] :

0 < t1 < ... < tm = A, t, - t,-1 < h/2, 1/(H(ti - t,- 1)) > X2/16

при , = 0, ..., m - 1, и положим w, = max { | W(t) - W(t,-1) | : t,-1 < t < t, }.

Повторяя вывод леммы 5 в [9] получим:

P[ e(h, A) > 2x ] < P[ max, w, > x ] < 6Aexp(-X2x2/16)lx2.

Отсюда при X2 = 8/h и x2 = 6z2 получим (25).

Важную роль далее играет следующее обозначение £*(h) = max { | n(v) - П(и) | : 0 < u < v < min {u + h, A*}}. (26)

Лемма 5. При всех n > 1, K > 0 и x > 0

V x > 0 P[ ön(A) > Сбx ] < Ae-x/x2,

(22)

где

Sn(A) = sup { | n(t) - W(t) | : 0 < t < A }.

(23)

p(K, x) = P[ e*(Kx) > C(K)x ] < A*e x/x2,

(27)

где постоянная С(К) зависит только от К.

Доказательство. Сравнивая определения (24) и (26), получаем, что

£*(h) < h + 2ön(A„) + 2e(h, A*),

(28)

где использована ещё оценка (23). Но из (28) имеем

P[ s*(h) > h + 2С6z + 10z ] < P[ ön(An) > C6z ] + P[ e(h, An) > 5z ]. Подставляя в это неравенство оценки из (22) и (25), находим:

Р[ еп(И)) > И + 2С62 + 101 ] < 2Апехр(—22/И)/22.

Отсюда при И = Кх и г = тах { у[К ,42 }х следует (27).

Нетрудно понять, что из (27) вытекают следующие два полезных неравенства

P[ £n(ön) > С7x, ön < C1 x ] <p(C 1, x) < Ane x/x2,

(29)

(30)

при Су = С(С}) и С8 = С(1).

Нам потребуется также следующая элементарная

Лемма 6. Пусть случайная величина С и событие и таковы, что неравенство

P[ Z > x, ü ] < An,a(x, у) + 3Ane x/x2

(31)

справедливо при некоторых п, а и х > у > 0. В этом случае

Р[ С> 2х, и ] < Апл(х, у). (32)

Доказательство. Если Ьп,а(у) > 1, то Ап,а(х, у) > 1 в силу (4), и неравенства (32) очевидно верно. Если же Ьп,а(у) < 1, то при х >у > 0

(Ьп,а(у))2х/ < (1п,а(у))ху и 4Апе-2х/(2х)2 < Апе^/х2.

Из этого факта, (4) и (31) следует (32) и во втором случае.

4. Доказательства основных утверждений

Утверждение (5) теоремы 1 немедленно следует из утверждений (17) и (19) лемм 1 и 2 при С1 = С0 + С5, поскольку

ёп тахк < п 1 Ъ5к 2(Ак) 1 < ёп,5 + ё1(Ап)

в силу определений (6), (18) и (20).

Таким образом, из теоремы 1 вытекает, что

V к < п 2(Ак) - ёп < ЬБк < 2(Ак) + ёп . (33)

А из формулы (20) с учетом определения процесса П(-), приведенного перед теоремой 2, получаем

V г > 0 г - 1 < П(2(г)) = [г] < г. (34)

Но из (33) и (34) немедленно находим:

V к < п П(ЪБк) < П(2(Ак) + ёп) < П(2(Ак)) + £п(ёп) < Ак + £*(ё*), (3 5)

V к < п П(Ь&) > П(2(Ак) - ёп) > П(2(Ак)) - £п(ёп) > Ак - 1 - £*(ё*). (36)

При выводе неравенств (35) и (36) мы также существенно использовали определение (26) величины £*(').

Доказательство теоремы 2. Из (35), (36) и (8) немедленно получаем, что ё *п = тахк < п | ПДОк) - Ак | < 1 + £п(ёп).

А из этого факта имеем:

Р[ ё * > 1+Сух, £ * < у ] < Р[ £п(ёп) > Су х, £ * < у ] <

< Р[ ёп > С1 х, £ * <у ] + Р[ £п(ёп) > Сух; ёп < С} х ].

Подставляем в это неравенство оценки из (5) и (29), получаем:

Р[ ё п > 1+Сух, £п <у ] < Ап,а(х, у) + Апе-х/х2. (37)

Из (37) и леммы 6 вытекает (7) при С2=2Су.

Доказательство следствия 1. Из определений (2) и (9) нетрудно получить, что Бг < ЬБщг) < Ы + Ь maxi < п Х^ < Ы + а* + £ * . (38)

А отсюда, с учётом (35), имеем:

П(Ы) < П(Ь£щ)) < Ам(г) + £п(ёп) при N(0 < п. (3 9)

С другой стороны, из (36) и (38) находим, что АЩ) - 1 - £п(ёп) < П(Ь^(0) < П(Ы+а * +£* ) < П(Ы) + £п(а * +£* ) (40)

опять же при Ы(г) < п. Но последнее условие, в силу (2), выполнено при г < 8п. Значит, оно и

подавно верно при г < Т(п), так как Т(п) < Бп ввиду (9). Следовательно, из (39) и (40) мы получаем, что

| АМ(() - П(Ы) | < 1 + £*(ёп) + £*(а * + £ * ) при г < Т(п). (41)

Таким образом, из (9) и (41) мы имеем: ёпп < 1 + £*(ёп) + £п(а * + £ *).

Но из этого неравенства немедленно вытекает, что

V х > y + a* P[ S*,n > l+C? x+Cg x, £ * < y ] < P[ S* > Ci x, £ * < y ]

+ P[ en(Sn) > C7 x, S* < Cl x ] + P[ en(a* + £ * ) > Cg x, a* + £ * < a* + y < x ].

Подставляя в полученное неравенство оценки из (5), (29) и (30), находим, что P[ Sn,n > l+C?x+Cgx, £ * <y ] < An,a(x, y) + 2A*e-x/x2. (42)

Из (42) и леммы 6 следует (10) при Cs = 2C7 + 2Cg.

Доказательство следствия 2. Из определений (9), (12) и (23) немедленно получаем, что

Sn,w < S*,n + ¿n(An).

Следовательно

P[ Sn,w > l+Cs x+Ce x, £ * < y ] < P[ Sn,n > 1 + C3 x, £ * < y ] + P[ Sn(A*) > Cs x ].

Подставляя в это неравенство оценки из (10) и (22), находим:

P[ S*,w > 1+Cs+Cex, £n <y ] < A*,a(x, y) + A*e x/x2. (43)

Неравенство (43) и лемма 6 немедленно влекут справедливость (11) при Cn = 2Cs + 2Ce. Доказательство следствия 3. Поскольку процесс W*(bt)/yjb - винеровский, то, учитывая равенства (13) и (14), мы можем воспользоваться утверждением следствия 2 при

y = bz, x = 2bz, S*,w = bA * . (44)

Несложно убедиться, что в этом случае неравенство (15) следует из (11), а (16) вытекает

из (12), (14) и (44).

ЛИТЕРАТУРА

1. Reiman, M. I. Open queueing networks in heavy traffic // Mathematics of operations research. - 1984. - V. 9. - P. 441-458.

2. Chen H., Mandelbaum A. Stochastic discrete flow networks : Diffusion approximations and bottlenecks // Ann. Probability. - 1991. - V. 19. - P. 302-308.

3. Horvath, L. Strong approximations of open queueing networks // Mathematics of operations

research. - 1992. - V. 17. - P. 487-508.

4. Sakhanenko, A. I. Approximations of open queueing networks by reflection mappings //

Queueing Systems. - 1999. - V. 32. - № 1-3. - P. 41-64.

5. Csorgo M., Horvath L., Steinebach J. Invariance principle for renewal processes //

Ann.~Probability. - 1987. - V.15. - P. 1441-1460.

6. Боровков, К. А. О скорости сходимости в принципе инвариантности для обобщенных процессов восстановления [Текст] / К. А. Боровков // Теория вероятностей и ее применения. - Т. 27. - 1982. - № 3. - С. 434-442.

7. Komlos J., Major P., Tusnady G. An approximations of partial sums of independent RV'-s and sample DF // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verv. Geb. - 1975. - Bd. 32. - S. 111-133.

8. Саханенко, А. И. Оценки в припципе инвариантности в терминах срезанных степенных моментов [Текст] / А. И. Саханенко // Сибирский математический журнал. - 2006. -Т. 47. - № 6. - С. 1355-1371.

9. Саханенко, А. И. О точности аппроксимации в принципе инвариантности [Текст] / А. И. Саханенко // Труды ИМ СО АН СССР. - 1989. - Т. 13. - С. 40-66. (Английский перевод в: Siberian Advances in Mathematics. - 1991. - V. 1. - № 4. - Р. 58-91).