CC BY
928. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova O.A. Continuum models of discrete heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions //J. Phys.: Conference Series. 2007. 62. 1-22.
29. Гришаев А.Г. К моделированию свойств наполненных пористых сред // Упругость и неупругость / Под ред. И.А. Кийко, Р.А. Васина, Г.Л. Бровко. М.: Эдиториал, 2006. 124-129.
30. Гришаев А.Г. Влияние параметров связности в моделях двухфазных наполненных пористых сред // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2005. 11, вып. 2. 30-39.
31. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
32. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann et Fils, 1909.
Поступила в редакцию 16.01.2008
УДК 532.5.031 + 517.927.25
ОЦЕНКИ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РЭЛЕЯ
Д. В. Георгиевский1
Получены верхние оценки параметра, характеризующего временной рост возмущений в ряде задач на собственные значения для уравнения Рэлея. На границах слоя приняты либо условия непротекания, либо условия свободной поверхности.
Ключевые слова: устойчивость, уравнение Рэлея, спектральная задача, свободная поверхность, возмущение.
Several upper estimates for the parameter characterizing a time increase of perturbations in some eigenvalue problems for the Rayleigh equation are obtained. Either the impermeability conditions or the free surface conditions are accepted on layer boundaries.
Key words: stability, Rayleigh equation, spectral problem, free surface, perturbation.
1. В линеаризованной теории устойчивости уравнение Рэлея, записываемое обычно в одном из следующих видов [1-4]:
(а + ¿sv°)(p'' - s2p) - isv°'V = 0, 0 <ж< 1; (1)
(v° - c)(p" - sV) - v°'' p = 0, 0 <ж< 1, (2)
моделирует развитие со временем плоской картины возмущений (в плоскости ОЖ1Ж2, Ж2 = ж), налагаемых на одномерное плоскопараллельное сдвиговое течение идеальной несжимаемой жидкости в слое -то < Ж1 < то, 0 <ж< 1. Это невозмущенное течение характеризуется известными параметрами
v° = v° (ж), v°° = 0, p° = p° (ж), (3)
где v°(x) и p° (ж) — профили продольной скорости и давления, причем давление р°(ж) в случае распределения скоростей (3), согласно уравнениям Эйлера, зависит только от массовых сил.
В (1) и (2) положительный параметр s — волновое число для отдельной гармоники возмущения вдоль оси xi; а = а* + ¿а** и c = ¿а/s = c* + ¿c** — комплексная частота и комплексная фазовая скорость, рассматриваемые как спектральные параметры в соответствующих (1) и (2) задачах на собственные значения. Невозрастание возмущений равносильно неположительности при любом s действительных частей всех собственных частот: a*n) ^ 0 либо мнимых частей всех собственных фазовых скоростей: с*П ^ 0, n = 1, 2,... .
Комплекснозначная функция р(ж) связана с возмущением функции тока ф (vi = ф;2, V2 = -фд) соотношением
ф(ж1, ж, t) = p(x)eisx1 +at = p(x)eis(x1 -ct). (4)
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: georgiev@mech. math. msu. su.
Все равенства записаны в безразмерной форме. Знаки вариаций для краткости опущены, а параметры невозмущенного движения помечены верхним индексом о. Штрихом обозначены производные по x. Нижним и верхним пределами всех интегралов, встречающихся в работе, по умолчанию являются 0 и 1. Верхние и нижние грани функций, зависящих от x, также берутся на интервале 0 < x < 1.
Для общности профили (3) обычно полагают произвольными функциями заданных классов гладкости: v° G C2(0; 1), p° G Ci(0; 1). В реальном же течении прилагаемыми массовыми силами и поверхностными нагрузками реализовать тот или иной профиль v°(x) в идеальной среде не представляется возможным. Ввиду этого с точки зрения механики сплошной среды (МСС) интерпретация задач на собственные значения для уравнений (1), (2) именно как проблем сдвиговой устойчивости относительно малых вариаций требует отдельных комментариев [5].
Вид (2) уравнения Рэлея удобен для записи не зависящего от s непрерывного спектра inf v° < c < sup v°, лежащего на действительной оси в комплексной плоскости.
Не ограничиваясь пока какими-либо однородными граничными условиями при x = 0 и x = 1, воспользуемся методом интегральных соотношений, который нашел широкое применение в линеаризованной теории устойчивости в МСС (см. обзоры [4, 6]). Полагая <^(x) элементом гильбертова пространства H с нормой
\ 1/2
|^>|2 dx ) < то,
домножим обе части (1) на и проинтегрируем от 0 до 1:
«(if + s2I^) — (а + isv°)^>'<^|X=0 + is J v°V<£ dx — isJ = 0, (5)
где
In = (/ Mn)|2 dx)1/2 = ||p(n) II, n = 0,1; J = — f [v°"M2 + v° |2 + s2M2)
dx G R.
Внеинтегральное слагаемое в (5) зависит от вида граничных условий, налагаемых на Так как на границе идеальной среды можно задавать лишь нормальные компоненты векторов скорости и напряжений (см., например, [7, с. 374-376]), то возможные пары таких условий следующие.
1. Условия непротекания на стенках х = 0 и х = 1, остающихся, следовательно, прямолинейными и в возмущенном движении. Чаще всего в силу простоты выбираются именно эти условия.
2. Условие непротекания на одной из границ, например х = 0, и задание постоянного давления на другой: р°(1) = Р°. При этом величина Р° в возмущенном течении не меняется, но граница слоя перестает быть прямолинейной. Если Р° = 0, то речь идет о свободной поверхности.
3. Задание постоянных давлений на обеих границах (в случае равенства этих давлений нулю это условия на свободной поверхности).
Ниже рассмотрим подробнее каждый из вариантов 1-3.
2. Условия непротекания
р(0) = р(1) = 0 (6)
совместно с (1) либо (2) образуют классическую задачу Рэлея. Если <^(х) — одна из собственных функций этой задачи с собственным числом а из дискретного спектра, то также собственная функция этой задачи с собственным числом -а. Отсюда следует, что колебательный режим имеет место тогда и только тогда,
когда все собственные числа при любом в лежат на мнимой оси: а!" =0, п =1, 2,... . Асимптотическая устойчивость отсутствует, поэтому ниже будут получены не оценки затухания, а верхние оценки роста возмущений.
С учетом условий (6) запишем равенство (5) для действительных частей:
_ 5 / (IX
11 + 841 {П
и оценим сверху правую часть (7) с помощью неравенства Шварца в Н2:
? = вир И. (8)
В линеаризованной теории устойчивости оценка (8) для инкремента роста возмущений применительно к задаче Рэлея хорошо известна еще с работ Дж. Сайнджа (см., например, [4]). Она следует и из оценок
Джозефа-Йи [8] в задаче Орра-Зоммерфельда при формальном устремлении числа Рейнольдса в бесконечность. В тривиальном случае v° = const, q = 0 в инерциальной системе координат, движущейся со скоростью v°, жидкость покоится. При этом возмущенный режим является колебательным с постоянной амплитудой (квазистационарным), что подтверждается и оценкой (8): а* ^ 0. 3. Пусть
Р(0) = 0, (9)
а уравнение другой границы при действии возмущений неизвестно: ж = 1+п(ж^), причем предполагается, что n ^ 1, дп/дж1 = n,1 ^ 1. Компоненты вектора напряжений на ней равны (p° + p)x=1+4 ni, где n — компоненты внешней единичной нормали (nin = 1). Зададим нормальное напряжение, или проекцию вектора напряжений на n:
Р° lx=1 = P°, (Р° + p)lx=1+n = P° • (10)
Проводя линеаризацию условия (10), тем самым с помощью разложения в ряд Тейлора снося его на прямолинейную границу ж = 1, можно записать
p°' П + Р = 0, ж = 1. (11)
Так как dn/dt = v2(1), продифференцируем (11) частным образом по t:
p,t = р°'ф,1, ж = 1 (12)
и примем во внимание одно из двух линеаризованных уравнений движения Эйлера, продолженных вплоть до границы ж = 1:
-p,1 = vM + v°'v2 + v° vM. (13)
Чтобы исключить давление, продифференцируем (12) по ж1, (13) по t и сложим эти два соотношения. Переходя, согласно (4), к функции р(ж), в итоге получим искомое граничное условие:
а(а + ¿sv°)p' - ^v^ + sp°')sp = 0, ж = 1. (14)
Задача (1), (9), (14), очевидно, является более сложной для анализа по сравнению с задачей Рэлея (1), (6) прежде всего из-за присутствия спектрального параметра а в (14).
Возвратимся к равенству (5) для квадратичных функционалов и с учетом (9) и (14) приравняем в нем к нулю действительную и мнимую части:
(а2 - а**)(/2 + s2/o2) + (а*^°' - sp°')(1)s|p|2(1) -
- a*s У v°'(p'p)** ^ж - а^ У v°'(p'p)* ^ж + а**sJ = 0, (15)
2а*а**(I? + s2I02) - а*sv°'(1)|p|2(1) + + a*s У v°'(p'p)* ^ж - а^ У v°'(p'p)** ^ж - а*sJ = 0. (16)
Сложим умноженные уравнения (15) и (16) соответственно на а* и а**. Инкремент роста возмущений а* выразится следующим образом (в том числе через |а|):
s f v°'(p'p)** ^ж
а* =
/2 + в2/2 - (52/|а|2)ро/(1)|^|2(!)•
Если ро' ^ 0, то заведомо справедлива оценка, сходная с (8): а* ^ д/2. Если же ро' ^ 0, то общую не зависящую от в оценку сверху для а* представить затруднительно.
4. Пусть теперь на обеих границах слоя заданы условия (14). Тогда, осуществляя выкладки с квадратичными функционалами, аналогичные проведенным в п. 3, получим следующее выражение для а*:
в [
а* =
I2 + s2Io2 + (s2/|а|2)(p°'(0)|p|2(0) -p°'(1)|p|2(1))-
Видно, что если верна система неравенств р°'(0) ^ 0 и р°'(1) ^ 0, то справедлива оценка а* ^ q/2.
Этот вывод не противоречит одному из первых результатов [9], полученных в задаче об устойчивости
течения идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 08-01-00231, 08-01-00251 и 08-01-00353).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lin C.C. The Theory of Hydrodynamic Stability. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1955. (Рус. пер.: Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.)
2. Betchov R., Criminale W.O. Stability of Parallel Flows. N.Y.; L.: Academic Press, 1967. (Рус. пер.: Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.)
3. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977.
4. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1991. 3-89.
5. Георгиевским Д.В. О единственности исследуемых на устойчивость решений некоторых задач МСС // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 48-52.
6. Георгиевским Д.В. Вариационные оценки и метод интегральных соотношений в задачах устойчивости // Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 23. М.: ВИНИТИ, 2007. 96-146.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. СПб.: Лань, 2004.
8. Георгиевским Д.В. Критические числа Рейнольдса в задачах на собственные значения для уравнения Орра-Зоммерфельда // Современные проблемы математики и механики. Т. II. Вып. 2. М.: Изд-во МГУ, 2009. 17-25.
9. Седенко В.И., Юдович В.И. Устойчивость стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей // Прикл. матем. и механ. 1978. 42, вып. 6. 1049-1055.
Поступила в редакцию 24.04.2009
