Оценки пороговых вероятностей для свойств дробной раскрашиваемости случайных гиперграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.175.4, 519.179.1

Д. А. Шабанов, Т.М. Шайхеева

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Оценки пороговых вероятностей для свойств дробной раскрашиваемости случайных гиперграфов

В работе исследуется известная задача о поиске пороговых вероятностей для свойств раскрасок случайных гиперграфов. Рассматривается биномиальная модель случайного ^-однородного гиперграфа Н(п, к,р) в разреженном режиме, когда среднее число ребер гиперграфа линейно по числу вершин. В качестве основного результата получены оценки точной пороговой вероятности для свойства правильной (5 : 2)-дробной раскрашиваемости Н(п,к,р).

Ключевые слова: случайные гиперграфы, дробные раскраски, метод второго момента

D. A. Shabanov, Т. М. Shaikheeva Moscow Institute of Physics and Technology

Bounds for threshold probabilities for fractional colorability properties of random hypergraphs

The paper deals with the well-known problem concerning the threshold probabilities for coloring properties of random hypergraphs. We consider the binomial model of a random fc-uniform hypergraph H(n, k,p) in the sparse regime, when the expected number of edges is a linear function of the number of vertices. As the main result we obtain the estimates of

(5 : 2)

H(n, k,p).

Key words: random hypergraphs, fractional colorings, second moment method

1. Введение

В работе исследуется задача о поиске пороговых вероятностей для свойства наличия правильной дробной раскраски в случайном гиперграфе в биномиальной модели Н(п, к,р). Сначала напомним основные определения.

1.1. Основные определения

Классической моделью случайного ^-однородного гиперграфа является биномиальная модель Н(п,к, р). Напомним, что Н(п,к,р) формируется как схема Бернулли на ^-подмножествах п-элементного множества: каждое из их включается в качестве ребра в Н(п, к,р) независимо от других с вероятностью р. При к = 2 мы получаем знаменитую биномиальную модель случайного графа С(п,р), также называемую моделью Эрдеша -Реньи. Модели С(п,р) и Н(п,к,р) являются одними из центральных объектов изучения вероятностной комбинаторики, с их базовыми свойствами можно ознакомиться, например, в монографиях [1], [2], [3].

© Шабанов Д. А., Шайхеева Т. М., 2024

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

В работе исследуются дробные раскраски случайных гиперграфов. Пусть Н(п,к,р) — гиперграф, а а > Ъ ^ 1 — натуральные числа. Дробной (а : Ь)-раскщской множества вершин гиперграфа Н называется произвольное отображение f : V ^ ({1''ь''а}), т.е. каждой вершине мы сопоставляем ровно b цветов из единого множества, состоящего из а цветов. Дробная (а : 6)-раскраска f называется правильной, если в ней в каждом ребре нет одного и того же цвета, сопоставленного всем вершинам, формально: для любого А £ Е выполнено

П f (v) =0-

veA

В частности, при b = 1 правильная (а : 1)-раскраска вершин гиперграфа совпадает с классической правильной раскраской, в которой нет одноцветных ребер. Дробным хроматическим числом гиперграфа Н называется величина

г и

Xf (Н) = inf | — : для Н существует правильная дробная (а : 6)-раскраска

Дробные хроматические числа графов и гиперграфов активно изучаются с 70-х годов прошлого века. С основным фактами по дробной теории графов можно ознакомиться, например, в [4].

Одним из наиболее важных направлений исследований по раскраскам случайных графов и гиперграфов является поиск пороговых вероятностей для свойств наличия раскрасок определенного вида. Напомним, что для фиксированных k ^ 2, а > b ^ 1 функция Рк,а,ь = Рк,а,ь(п) является точной пороговой вероятностью для свойства наличия правильной дробной (а : 6)-раскраски, если для любого фиксированного е > 0 выполнено

г ТЗ(ТТ( 1 \ f гл il^ еслир < (1 - е)рк,а,Ь,

lim F (Н (п, к, р) допускает правильную (а : о)-раскраску) = <

" |0, если р ^ (1 + e)pk,a,b-

Существование точной пороговой вероятности для всех троек (к, а, Ь), за исключением особого случая (2, 2,1), вытекает из общего результата X. Хатами и М. Моллоя [5] о точных пороговых вероятностях для свойств, выражаемых гомоморфизмами. Целью настоящей работы является получение оценок для Рк,ь,2(п).

1.2. Известные результаты

Наиболее активно пороговая вероятность рк,а,ь(п) изучалась при b = 1, т.е. для случая классических правильных раскрасок. Первые результаты здесь были получены Н. Ал оном и Дж. Спенсером [6] в начале 90-х годов прошлого века. Ими были получены первые оценки Рк,2,i(n)i н0 из работы также можно сделать важный вывод о том, что каждой пороговой вероятности рк,а,ь(п) отвечает так называемый разреженный случай, когда среднее число ребер линейно по числу вершин. А именно функция р = р(п) должна иметь вид р = сп/ (П), где величин а с > 0 не зависит от п. Тем самым, удобно вместо самой р оценивать величину

В дальнейшем оценки рк,2,i(n) Алона и Спенсера были последовательно улучшены в работах [7-9], а наилучший из известных результатов был получен А. Коджа-Огланом и К. Панайоту в [10], который мы сформулируем в следующей теореме.

Теорема 1. (А. Коджа-Оглан, К. Панайоту, [10]) Пусть р = сп/(П), где с > 0 не зависит, от, п. Тогда существует такая функция е(к) = 2-к(1+0к(1^\ что

lim Р (Н(п, к, р) допускает, правильную 2-раскраску) = ¡1, при с < 2к-1 - ^ - 4 - е(к),

2 4

0, при с > 2к-1 - 1n22 - 4 + £(к)-

малом промежутке, чья длина экспоненциально быстро стремится к нулю с ростом к. Отметим, что для случая правильных раскрасок в большее, чем два, число цветов подобный результат неизвестен. В работах [11,12] были получены оценки 'Рк,а,\(п), в которых

чья длина не зависит от к и а. Однако, как оказалось, при Ь > 1 можно добиться гораздо более точных оценок в духе теоремы 1. Впервые подобный феномен был обнаружен в работах Д. Кравцова, Н. Крохмаля и Д. Шабанова [13,14], которые рассматривали особый случай Ь = а — 1. Данный случай интересен тем, что существует взаимно-однозначное соответствие между правильными дробными (а : а — 1)-раскрасками и полноцветными раскрасками в а

а — 1 а

выбираем тот цвет, который не берем. Но если, наоборот, в него и раскрасить вершину, то

а

можно суммировать следующим образом.

Теорема 2. (Д. Кравцов, Н. Крохмаль, Д. Шабанов, [13,14]) Пусть р = сп/{^), где с > 0 не зависит от п. Существует такое к®, что при к ^ ко и 3 ^ а выполнено

1) если

lna / а \к lna ^ ( а(а — 2)\fc,

с>—(а=г) — -+С'{v—w) lna

для некоторой абсолютной константы С > 0; то

i Р (Н (т

ХЭ

2) если

lim Р (Н(п,к, р) допускает, правильную дробную (а : а — 1)-раскраску) = 0;

га—> оо

lna / а \k lna j2 / а ( а2 \\\

с<-^\—1) —^ — 20к vа—iтаЧа ,(ОПу)) Ыа,

то lim Р (Н(п, к, р) допускает правильную дробную (а : а — 1 )-щскраску) = 1.

Теорема 2 также показывает, что при фиксированном а ^ 3 критическое значение пара-к

( а : ) 1 < < а — 1

получен П. Захаровым и Д. Шабановым [15] для случая а = 4, & = 2.

Теорема 3. (П. Захаров, Д. Шабанов, [15]) Пусть р = сп/, где с > 0 не зависит п

функции д\(к) и д2(к), чт,о для всех достаточно больших к выполнено

lim Р ( Н( п, к, ) (4 : 2) ) =

il, при с < 2к-2 ln 6 — ln26 — 9г(к),

0, при с > 2к— ln 6 — ln26 + 92(к).

Как и ранее, теорема 3 дает очень сильную концентрацию, экспоненциально маленькую

1.3. Новый результат

Основной результат настоящей работы дает сильные оценки пороговой вероятности для свойства наличия правильной дробной (5 : 2)-раскраски. Отметим сразу, что это первый результат экспоненциальной по к точности для случая а/Ъ > 2.

Теорема 4. Пусть р = cn/fä), где с > 0 не зависит от п. Существуют такие экспоненциально быстро стремящиеся к нулю положительные функции w1(k) и w2(k), что для всех достаточно больших к выполнено

lim Р (Н(п, к, р) допускает, правильную дробную (5 : 2)-щскраску) =

п—>оо

'l, при С < ^ (2f - ^ - Wl(k), 0, при с > ^ (55)к - Цр + W2(k).

5 V 2 / п10 (5^ 5 \2) 2

Утверждение теоремы 4, по сути, состоит из отдельных оценок пороговой вероятности, верхней и нижней. Перейдем сначала к доказательству верхней оценки.

2. Доказательство верхней оценки

Будем использовать метод первого момента. Тонкость его применения состоит в том, что среднее число правильных дробных (5 : 2)-раскрасок удобнее считать в другой модели случайного гиперграфа. А именно, рассмотрим равномерную модель Н(п, к, т), в которой т, = \сп\ ребер выбираются независимо среди всех возможных ^-подмножеств множества вершин. С помощью метода каплинга (см., например, [12]) легко проверить, что при с' > с выполняется соотношение

Р ^ Н(п, к, с'п/ ^^) допускает правильную дробную (5 : 2)-раскраску^ ^

^ Р (Н(п, к, т) допускает правильную дробную (5 : 2)-раскраску) + оп(1).

Тем самым, достаточно доказать, что вероятность наличия правильной дробной (5 : 2)-раскраски у Н(п, к, т) стремится у нулю при т = \сп\ и

1п10 (5\к 1п 10

С > — {2) - — + ^ V

для некоторой стремящейся к нулю функции и)2(к).

Пусть Хп — число правильных дробных (5 : 2)-раскрасок. Найдем его математическое ожидание. Для этого рассмотрим множество векторов Уп размерности 10, индексированных парами (ц), 1 ^ г < ] ^ 5, у которых все элементы являются целыми неотрицательными числами и их сумма равна п. Тем самым, V € Уп имеет вид и = (у^), 1 ^ г < ] ^ 5).

(5 : 2)

^(ч) буДет равно количеству вершин, которым была присвоена пара цветов (г^- Введем также обозначение Уг = ^¡=1 У{ц) ■ Тогда

ш (х_ £5=1(2)

ЕХп = Еп^-Ч (

«iv„n(Ü) W \

П(У) W V (П)

Используя формулу Стирлинга, получаем следующую оценку ЕХ,:

ЕХп = О

/ _ \

п

Е П ?—+Т ■ exp [" ■ (Н('"/") + с ■ ln(1 - a(v/»M П ,

где

5

н(х) = lnx(íj), °(х) = ^2,х>к Xi = ^х(а).

(ij) г=1 (ij) j=i

Далее, нам понадобится лемма об оценке выражения в экспоненте.

Лемма 1. Существуют тлкие положительные функции гш2{к) и а(к), что при с ^ 1п10(1 (I)к — 2 + ,ш2(к)) для всех достаточно больших к и для любого вектора х = (х1 ^ г < .] ^ 5) с неотрицательными элементами и ^(у) х(%]) = 1 выполнено

Н(х) + с1п(1 — С(х)) ^ —а(к) < 0.

При этом w2(к) можно выбрать экспоненциально быстро стремящейся к нулю с ростам, к

Из леммы 1 сразу вытекает искомая оценка ЕХп, ведь мощность множества V«, не (

превосходит п10:

ЕХ„ = О

п

\ Ы

Остается доказать лемму 1.

£ п

. е-па(к) I = о (п10.5е-'па(к)\ ) = 1 ;

0.

3. Доказательство леммы 1

Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений элементов вектора х = (х1 ^ г < .] ^ 5). Зафиксируем малое число е > 0, значение которого можно будет эффективно выбрать. Будем также считать, что е < 0.05.

3.1. Случай 1

Пусть сначала для всех г,] выполняется неравенство х^ < тЦ(1 — в). Функция Н(х) является функцией энтропии, поэтому из неравенства Иенсена получаем, что Н(х) ^ 1п 10. Оценим функцию С(х) и 1п(1 — С(х)). Учитывая, что Y^i=lXí = 2, получаем, что

од=¿хк—£х&л > 5 (2)к—(5У (1—^.

г=1 (И) 4 7 V4 7 )

Далее,

1п(1 "«<х)) < — ОД ^ = —5 (2 )к + | (§)" + О (((2)2 (1 ->)

Подставляя нижнюю оценку (1), получаем

Н(х) +с1п(1 — С(х)) <

<1пш—-0 (1 (2 )к—|+-2(к)).(. (5 )к+25 (5 )2к+о((( 5 )2 (1—.)}и<

< — 51п1^5) ^(к)+ ^(5) (1 — £)к) < 0

при подходящем выборе ,Ш2(к).

3.2. Случай 2

Пусть нашлось такое г, что Хг ^ |(1 + е). Тогда снова воспользуемся тем, что Н(х) ^ 1п 10, а функцию С(х) можно просто оценить снизу величиной хк. В итоге, из (1) получаем, что

Н (х) + с1п(1 - С(х)) < 1п 10 - с ■ С(х) < 1п 10 - с ■ ^ 0 (1 + е)к < 1п1^ ■ Л/с , ^ {(Л ,

((5)

^ 1п 10 -—(1+еГ + ^ (1 + еГ )< 0

3.3. Случай 3

Пусть для некоторой пары ( г/) выполнено х^) ^ (1 — е), но при этом для всех 1,1 выполнено Х1 ^ 5(1 + е), и х< |(1 — е). В этом случае функцию С(х) можно оценить следующим образом:

од = (2)*(1 -> 5 ■ (5)*+о((5)*(1 -£)к)•

Благодаря тому, что у нас есть элемент, отделенный от 1/10 функцию энтропии Н(х)

1п 10

Н(х) = -Хф) 1пХф) - ^ Х(Ы) 1п Х(ц) <

тлю

(пользуемся неравенством Иенсена)

< -Х(гз) 1п Х(гз) - 9 ■ 1 ^ 1п 1 ^ = -Х(г3) 1п Х(г3) - (1 - Х(Ц)) 1п1 ^ •

Приведенная выше функция убывает по Х(^) при Х(^) > 1/10, поэтому в силу условия рассматриваемого случая получается соотношение

4 25 21 225

Н(х) ^ — 1п--1--1п--+0(е).

у ' 25 4 25 21

Собирая все вместе, получаем

4 25 21 225 Н(х) + с 1п (1 - ОД) < ^^ 1п 25 + ^^ 1п 225 + О(е) - сС(х) <

4 25 21 225 < — 1п — + — 1п — + О(е) - 1п 10 + 0((1 - е)к) < 0 25 4 25 21 и ' '

для всех достаточно больших к.

3.4. Случай 4

Осталось рассмотреть случай, когда для некоторой пары ( г?) выполнено Х(^) ^ | (1 - е), но при этом для всех I выполнено Хг ^ 5 (1 + £)-

Заметим сначала, что такой большой элемент Х(^) может существовать только один. Если их хотя бы два, то индексы не могут повторяться, иначе будет слишком большой, например, Х1 ^ I(1+е). Но и в таком случае из тех же соображений получаем, что все остальные Х(1Ц) не могут превышать 4е/5, что противоречит условию нормировки ^1(ы)Х(ы) = 1

Пусть Ж(у) = ! + а. Если а ^ 0, то С(х) легко оценивается снизу следующим образом:

од > ±4 - (5)к+о ((5)к с1 - в)') >4 (5)к+„ ((2)к с1 - в)').

Если же а > 0, то £5=1 х' минимизируется при Хг = х^ = | + а и остальных XI = § — 2р. Это вытекает из того факта, что для а > / > 5 верно, что (а + 5)к + (/ — 5)к ^ ак + /к.

Таким образом,

£«Í-4 > (I+<>)' + 3 (2 - f)' >

(2 у+(I Г*^ (2 г+з (I )' - з (I)'

а

а = 5(к—1) ■ Следовательно,

ОД = ¿ ;Хк - х' + О ^ (2) к (1 - ^ ^

■( 2 У (=-1 к-Г ) = («+«Ж 2 У

Осталось оценить функцию Н(х). Учитывая, что Х(^) £ [|(1 -е), §(1+е)] и Xi, Xj лежат в том же отрезке, получаем, что X(t¿) ^ е для всех других пар (tí), в которых присутствуют г или j. Остаются три элемента, которые в сумме должны давать 3/5 + О(е), поэтому

2 I 3 н(х) < 2 ln i + 3 ln I + О(е).

I 2 I

В итоге,

2 I 3

Н(x) + cln(1 -G(x)) < 2^+ 3lnI +О(е) -c-G(x) <

I 2 I

2 I 3 1

< — ln — + 3 ln I + О(е) - 0.7 ■ ln 10 + О T < 0 I 2 I \k)

4. Доказательство нижней оценки

Пусть р = сп/('к). Нужно доказать, что при

ln 10 /1\к ln 10 ...

с< — {-2) - ~2~-Wl(k) (2)

случайный гиперграф Н(п, к, р) допускает правильную дробную (I : 2)-раскраску. Доказательство использует метод второго момента, подробную схему применения которого мы берем из работы [12]. Здесь лишь кратко опишем ее, не повторяя детали переходов. Первый шаг состоит в том, чтобы использовать факт наличия точной пороговой веро-

( : 2)

liminfP (Н(п, к, р) допускает правильную дробную (I : 2)-раскраску) > 0. (3)

Второй шаг состоит в том, чтобы рассмотреть другую модель случайного гиперграфа Н'(п, к, т), в которой выбираются т = \сп\ независимых случайных ребер, при этом в каждом ребре все вершины также выбираются независимо и равновероятно среди всего множества из п вершин. С помощью метода каплинга легко показать, что при с' < с выполняется неравенство

Р ^Н(п, к, с') допускает правильную дробную (5 : 2)-раскраску^ ^

^ Р (Н'(п, к, т) допускает правильную дробную (5 : 2)-раскраску) + оп(1).

Тем самым достаточно проверить неравенство, аналогичное (3), для модели Н'(п,к,т).

п

10

Далее, рассмотрим для п, кратных 10, случайную величину Хп, равную числу сбалансированных правильных дробных (5 : 2)-раскрасок случайного гиперграфа Н'(п, к, т).

(5 : 2)

ра цветов присвоена ровно п/10 вершинам. Согласно неравенству Пэли - Зигмунда имеет место соотношение:

(ЕХ )2

Р (Н'(п, к, т) допускает правильную дробную (5 : 2)-раскраску) ^ — "2 .

ЕХп

Тем самым достаточно показать, что при условии (2) второй момент Хп не слишком велик по отношению к квадрату первого. А именно, мы хотим показать, что существует такая функция а(к) > 0, что для всех достаточно больших п выполнено

ЕХ2п < а(к) ■ (ЕХп)2.

Вычислим первые два момента Хп.

Первый момент Хп вычисляется легко по стандартным комбинаторным формулам:

п! / /2/ 1 /1' 4 т

ЕХ-- 5 (о'+10ш'+ош)

= в ^/2-5е1^10+с 1п(1-5(2)к+10(то)к. (4)

Для вычисления второго момента введем некоторый набор матриц Мп размер а 10 х 10. Обозначим через 5 набор всех пар чисел из набора {1,2,3,4,5}. Каждая матрица М = (т^^/у), (у), (г^') €5) € Мп состоит из целых неотрицательных чисел и имеет равные суммы элементов по всем строкам и столбцам: для любой пары (г?) € 5 выполнено

Еп ^ п

тШг'з') = 10 , 'Ш = 10.

(%'] ')ея (г'Г )ея

Тогда второй момент Хп можно представить как следующую сумму по элементам Мп: ЕХ2 = V -^¡-^-- 21 + /(М/п)+о(

где

'=» (2 Г+10 (¿0 У ■

к ь ( 4 к

Я м/п) = £ I £ I - £ £ I £ „

г,г '=1 \з=,]'=%' ) (ч)е Si '=1 \з'=г'

к

к

^ ^ т(ч)(г'з') I + ^ ^т(у)(г'Лу ^

г=1 3= " I П

Далее, рассмотрим отношение второго момента Хп к квадрату первого, из выражений (4) и (5) имеем

= О I"1"2 £ П п+т■ еч> [-^Я(м) - СЧ1+С(М)))

(ЕХп)2 V м7Мп 1+т(ч)(г'з')

где функции Н(О) и С(О) определены для матриц О = (Ц,ц),г^'), (^з), (ъ'з') ^ 5) следующим образом:

+ 2

Н(О) = Е ЧШг'Г) \п{тдш*Г)), о(О) = ](О) .

Ключевую роль в доказательстве играет следующая лемма, обоснование которой мы опустим в силу его громоздкости.

Лемма 2. Существуют две т,акие положительные функции 'Ш1(к) и [(к), что если с удовлетворяет соотношению (2); то для любой матрицы О = (д,гз)(г'з'), (И), (^3') ^ >>) с неотрицательными элементами и равным,и суммами 1/10 по всем, строкам и столбцам выполняется неравенство:

Н(О) - С\п(1+Ст (к) ■ £ (д,гз),г'з') - .

При этом ,Ш1(к) можно выбрать экспоненциально быстро стремящейся к нулю с рок

Применим лемму 2 к оценке отношения ЕХП/(ЕХп)2:

ЕХ = О (п1д/2 £ П 1

(ЕХп)2 \ м^М„ 1 + тШг'з')

ехр

мем„ (ч),,1'У№

2

X С-

-п[ (к) ^ 'т,гз)^) 1

п 100,

(ч),(г'?)ея

Стандартными рассуждениями (см., например, [12]) легко проверить, что данное выражение оценивается сверху следующим гауссовским интегралом в степени 81:

е-п^(к)(х'п-0.°1)2йх^^ =О(1),

что и завершает доказательство нижней оценки в теореме 4.

5. Источники финансирования

Исследование первого автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-21-00159.

Список литературы

1. Bollobas В. Random graphs. Cambridge University Press, 2001.

2. Jansen S., Luczak Т., Rucinski A. Random graphs. Wiley-Interscience. New York, 2000.

3. Frieze A., Karonski M. Introduction to random graphs. Cambridge University Press, 2015.

4. Scheinerman E.R., Ullman D.H. Fractional Graph Theory. John Wiley and Sons, 2013.

5. Hatami H., Molloy M. Sharp thresholds for constraint satisfaction problems and homomorphisms // Random Structures and Algorithms. 2008. V. 33. P. 310-332.

6. Alon N., Spencer J. A note on coloring random k-sets. Unpublished manuscript. http://cs.tau.ac.il/ nogaa/PDFS/kset2.pdf

7. Achlioptas D., Kim J.H., Krivelevich M., Tetali P. Two-colorings random hvpergraphs // Random Structures and Algorithms. 2002. V. 20, N 2. P. 249-259.

8. Achlioptas D., Moore C. On the 2-colorabilitv of random hvpergraphs // Lecture Notes in Computer Science. 2002. V. 2483. P. 78-90. *

9. Coja-Oghlan A., Zdeborova L. The condensation transition in random hvpergraph 2-coloring // Proc. 23rd Annual ACM SIAM Symposium on Discrete Algorithms. SIAM, 2012. P. 241-250.

10. Coja-Oghlan A., Panagiotou K. Catching the k-NAESAT threshold // Proc. 44th STOC. 2012. P. 899-908.

11. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph // Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015. V. 113. P. 68-122.

12. Shabanov D.A. Estimating the r-colorabilitv threshold for a random hvpergraph // Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 282. P. 168-183.

13. Kravtsov D.A., Krokhmal N.E., Shabanov D.A. Panchromatic 3-colorings of random hvpergraphs // European Journal of Combinatorics. 2019. V. 78. P. 28-43.

14. Кравцов Д.А., Крахмаль H.E., Шаба,нов Д.А. Полноцветные раскраски случайных гиперграфов // Дискретная математика. 2019. Т. 31, № 2. С. 84-113.

15. Захаров П.А., Шабанов Д.А. Дробные раскраски случайных гиперграфов // Успехи математических наук. 2023. Т. 78, № 6. С. 183-184.

References

1. Bollobas B. Random graphs. Cambridge University Press, 2001.

2. Jansen S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs. Wilev-Interscience. New York, 2000.

3. Frieze A., Karonski M. Introduction to random graphs. Cambridge University Press, 2015.

4. Scheinerman E.R., Ullman D.H. Fractional Graph Theory. John WTilev and Sons, 2013.

5. Hatami H., Molloy M. Sharp thresholds for constraint satisfaction problems and homomorphisms. Random Structures and Algorithms. 2008. V. 33. P. 310-332.

6. Alon N., Spencer J. A note on coloring random k-sets. Unpublished manuscript, http://cs.tau.ac.il/ nogaa/PDFS/kset2.pdf

7. Achlioptas D., Kim J.H., Krivelevich M., Tetali P. Two-colorings random hvpergraphs. Random Structures and Algorithms. 2002. V. 20, N 2. P. 249-259.

8. Achlioptas D., Moore C. On the 2-colorabilitv of random hvpergraphs. Lecture Notes in Computer Science. 2002. V. 2483. P. 78-90.

9. Coja-Oghlan A., Zdeborovd L. The condensation transition in random hvpergraph 2-coloring. Proc. 23rd Annual ACM SIAM Symposium on Discrete Algorithms. SIAM, 2012. P. 241-250.

10. Coja-Oghlan A., Panagiotou K. Catching the k-NAESAT threshold. Proc. 44th STOC. 2012. P. 899-908.

11. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015. V. 113. P. 68-122.

12. Shabanov D.A. Estimating the r-colorabilitv threshold for a random hvpergraph. Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 282. P. 168-183.

13. Kravtsov D.A., Krokhmal N.E., Shabanov D.A. Panchromatic 3-colorings of random hvpergraphs. European Journal of Combinatorics. 2019. V. 78. P. 28-43.

14. Kravtsov D.A., Krokhmal N.E., Shabanov D.A. Panchromatic colorings of random hvpergraphs. Discrete Mathematics and Applications. 2021. V. 31, N 2. P. 84-113. (in Russian).

15. Zakharov P.A., Shabanov D.A. Fractional colourings of random hvpergraphs. Russian Mathematical Surveys. 2023. V. 78, N 6. P. 183-184. (in Russian).

Поступим в редакцию 23.08.2024