О предельной концентрации значений хроматических чисел случайных гиперграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.179.1

И. О. Денисов

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Ои и

предельной концентрации значении хроматических чисел случайных гиперграфов

В работе исследуется асимптотическое поведение ^'-хроматических чисел случайных ^-однородных гиперграфов в равномерной модели. Рассматривается так называемый «неразреженный» случай, когда число ребер гиперграфа растет быстрее числа вершин. Доказано, что в определенной области изменения параметров имеет место предельная концентрация значений ^'-хроматических чисел в некотором ограниченном множестве.

Ключевые слова: случайный гиперграф, раскраски гиперграфов, ^'-хроматическое число

I. O. Denisov Lomonosov Moscow State University

On the limit concentration of the values of chromatic numbers of random hypergraphs

The paper deals with the asymptotic behavior of j-chromatic numbers of random fc-uniform hypergraphs in the uniform model. We consider the so-called «nonsparse» case when the number of edges grows faster than the number of vertices. It is proved that in a certain range of parameter changes there is a limit concentration of the values of j-chromatic numbers in some bounded set.

Key words: random hypergraph, hypergraph colourings, j-chromatic number

1. Введение и история задачи

В работе исследуется известная задача теории случайных гиперграфов, связанная с ^'-хроматическими числами. Напомним основные определения.

1.1. Основные определения и изучаемая модель

Хорошо известно, что понятие правильной раскраски графа неоднозначно переносится на гиперграфы, здесь можно ввести целую серию так называемых ^'-правильных раскрасок, параметризуемую натуральным параметром А именно, пусть Н = (V, Е) — это ^-однородный гиперграф, т.е. гиперграф, все ребра которого имеют мощность к как подмножества V. Раскраска множества вершин / : V ^ {1,...,г} в г цветов называется ^'-пдавмльной, если в ней любое ребро гиперграфа содержит не более ] вершин каждого из г цветов. В частности, при ] = 1 это означает, что вершины каждого ребра должны быть покрашены в разные цвета, а при ] = к — 1 ребра просто не должны быть одноцветными. Заметим, что ситуация ] > к — 1 тривиальна, ведь тогда любая раскраска будет ^'-правильной. В случае графов, при к = 2, у нас нет выбора, кроме ] = 1, когда правильная раскраска означает, что нет двух вершин одного цвета, соединенных ребром.

© Денисов И. О., 2023

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

Минимальное число цветов г, для которого существует ^'-правильная раскраска множества вершин гиперграфа Н в г цветов, называется хроматическим числом, Н, его принято обозначать через Хз (Н)• Классическому понятию хроматического числа, гиперграфа, х(Н), введенному Эрдешем и Хайналом, соответствует вариант ] = к — 1.

В работе изучаются предельные распределения ^'-хроматических чисел случайного ^-однородного гиперграфа в равномерной модели Н(п,к,т), п > к > 2, т, € N. В этой модели у нас есть множество из п вершин, и мы независимо и каждый раз равновероятно выбираем т, ребер из множества всех возможных ^-подмножеств множества вершин. В рамках статьи мы предполагаем, что к > 2и1 ^ ] ^ к — 1 фиксированы, п стремится к бесконечности, а т, = т,(п) некоторым образом зависит от п.

1.2. История результатов

Хроматические числа случайных гиперграфов наиболее активно изучались в классической биномиальной модели Н(п,к,р). Напомним, что в данной модели проводится схема Бернулли на ^-подмножествах п-элементного множества. Между биномиальной и равномерной моделями существует асимптотическая эквивалентность (см., например, [1]), поэтому многие асимптотические свойства будут одинаковы для обеих моделей. В случае графов при к = 2 модель Н(п, 2,р) известна также как модель Эрдеша - Реньи случайного графа С(п,р).

Вопрос о концентрации значений хроматического числа случайного графа С(п,р) изучается с 80-х годов прошлого века, начиная с работы Боллобаша [2], где была найдена асимптотика х(@(п,р)) при постоянном р € (0,1). Используя идеи Боллобаша, основанные на применении неравенств больших уклонений для мартингалов, последующие исследователи установили, что при достаточно быстро убывающей к нулю функции р = р(п) значения х(С(п,р)) с вероятностью, стремящейся к 1, принадлежат некоторому ограниченному множеству. Первый подобный результат был получен Шамиром и Спенсером [3], которые показали, что в некоторых условиях х(С(п,р)) сконцентрировано в четырех последовательных значениях. В дальнейшем Лучак [4] и Алон, Кривелевич [5] доказали, что имеет место и более сильный результат о концентрации в двух соседних значениях. Сформулируем данный результат более точно.

Теорема 1. (Т. Лучак [4], Н. Алон, М. Кривелевич [5]) Пусть е > 0 фиксировано, а р = р(п) ^ п-1/2-е. Тогда существует, такая функция Н = Н(п,р), что

Р (х(С(п,р)) € + 1}) —> 1 щи п ^ то.

Однако теорема 1 носит лишь характер существования, из ее доказательства невозможно явно указать, как Н,(п,р) зависит от п и р. В ряде последующих работ исследователи смогли отыскать явный вид функции Н при достаточно быстро убывающей функции р = р(п). Так, в работе Аклиоптаса и Наора [6] ответ был найден в так называемом разреженном случае, когда среднее число ребер линейно по числу вершин, т.е. когда р(п) = сп/С2£) для с > 0 та зависящего от п.

Теорема 2. (Д. Аклиоптас, А. Наор [6]) Пусть С > 0 фиксировано, тогда положим гс = шт{г € N : с < г 1пг}. Если р = сп/(?,), то

Р (х(@(п, Р)) € {гс, гс + 1}) —> 1 щи п ^ то.

Ситуация пр ^ то оказалась более трудной. 3десь при р ^ п-3/4-е удалось доказать (см. [7,8]), что хроматическое число случайного графа С(п,р) сконцентрировано в трех соседних значениях, которые можно указать явно.

Активное изучение ^'-хроматических чисел случайных гиперграфов также началось в 80-х годах прошлого века. В первых работах Шмидта, Шамира и Упфола [9-11] было

найдено асимптотическое поведение Хз (Н(п,к,р)) при определенных условиях на величину Р = р(п). Наиболее общий результат был позднее получен в работе Кривелевича и Судакова [12]. Для его формулировки введем величину й = р[равную математическому ожиданию степени вершины в Н(п, к,р), и положим dj = ,][к~^д.

Теорема 3. (М. Кривелевич, Б. Судаков, [12]) Существует такое = (1о(к,.]) > 0, что если р = р(п) удовлетворяет условиям рпк-1 ^ й0 и рпк-1-^ — 0; то

((й+ЪЩГ * *(Н(п'к-")) * ((Г+ГУТ^ (1 + Г) -1 Ч» »-ж

Теорема 3 дает концентрацию ^'-хроматического числа в ограниченном множестве значений, только если величина д фиксирована, что эквивалентно тому, что мы находимся в разреженном случае, когда среднее число ребер р(ведет себя линейно по числу вершин п. Исследование концентрации хроматических чисел Н(п,к,р) в разреженном случае оказалось тесно связано с поиском точных пороговых вероятностей для свойства правильной ^'-раскрашиваемости в заданное фиксированное число цветов. Наиболее активно изучалась ситуация ] = к — 1, здесь Дайер, Фриз и Гринхилл [13] доказали, что Хк-1(Н(п, к,р)) скэн-центрировано в двух соседних значениях, которые можно явно указать, если р = сп/( и с > 0 не зависит от п. В дальнейшем полученные в [13] оценки точных пороговых вероятностей были усилены в серии работ [14, 15]. Из этих работ следует, что для почти всех значений параметра с хроматическое число случайного гиперграфа сконцентрировано всего лишь в одном значении, т.е. было найдено предельное распределение.

Другие ^'-хроматические числа при 1 * ] < к — 1 таэже активно изучались для разреженного случая. Семенов и Шабанов [16] при р = сп/(и к ^ 7 установили предельную концентрацию Хк-2(Н(п,к,р)) в двух соседних значениях, которые можно явно указать. Данный результат был обобщен в недавней работе Денисова и Шабанова [17] для к/2 * ] < к — 2 и к ^ 9. Аналогичные результаты о концентрации 1-хроматического числа случайного гиперграфа были получены в работах [18,19].

В неразреженном случае, когда рпк-1 — ж, изучалась только концентрация Хк-1(Н(п,к,р)). В работе [20] было доказано, что при не слишком медленно убывающей функции р(п) хроматическое число случайного гиперграфа сконцентрировано в некоторых двух соседних значениях, а также были найдены эти два значения в определенных случаях. Сформулируем первый результат [20] в виде отдельной теоремы.

Теорема 4. (Ю. Демидович, Д. Шабанов, [20]) Пусть натуральное число к ^ 3 фиксировано. Обозначим с = с(п) = Р^п• ^сли с — +<ж, но с * п2--£ для некоторого фиксированного е > 0, то существует такая функция Ъ = Ъ(п,р) с натуральным,и значениями, что

Р (Хк-1 (Н(п, к,р)) Е {Ъ,Ъ + 1}) —> 1 щи п — ж.

Целью нашей работы является изучение концентрации значений ^'-хроматических чисел случайного гиперграфа в неразреженном случае для произвольного

1.3. Новый результат

Основной результат данной работы сформулирован в теореме ниже и дает границы, в которых находится ^'-хроматическое число случайного гиперграфа Н(п, к, т) при не слишком быстро растущем числе ребер т = т(п).

Теорема 5. Пусть Н(п, к, т) — случайный к-однородный гиперграф на п вершинах в равномерной модели, а 0 < е < ^^ фиксировано. Если т * п1+£, ноп = о(т), то существует такая функция Ъ = Ъ(п,т), что

Р (Ъ * Хз (Н(п, к, т)) * Ъ +

3к

3 — (3 + 2)е

к — 1 3

+ 1

1 щи п — ж.

Отметим, что теорема 5 дает концентрацию значений ^'-хроматического числа в некотором ограниченном множестве значений, хотя и не в двух значениях, как в теореме 4. Но по сравнению с теоремой 4 мы получаем концентрацию при несколько большем числе ребер при ^ = к — 1, а именно вплоть до п2-1/(к+1"> вместо п3/2-1/(к+1\ Впрочем, точное сравнение результатов затруднено тем, что мы формально работаем в другой модели, а результат слишком тонкий, чтобы простые факты об асимптотической эквивалентности моделей автоматически переносили результаты из одной модели в другую.

В следующем разделе мы докажем теорему 5.

2. Доказательство теоремы 5

В доказательстве мы следуем идеям из [3]. Пусть Н(п, к, т) — случайный гиперграф в равномерной модели с независимыми ребрами. Пусть V(Н(п,к,т)) — это множество его вершин, а Е(Н(п, к, т)) — множество его ребер.

Введем функцию Н как минимальное натуральное число, удовлетворяющее соотношению

Р(Хз(Н(п,к,т)) < Н) > ^ (1)

Заметим, что тогда Р(хз(Н(п,к,т)) < Н) < уПп ^ 0, т.е. с вероятностью, стремящейся к 1, будет выполнено Хз(Н(п,к,т)) ^ Н.

Далее, нам понадобится следующее обозначение. Для подмножества вершин и С V(Н(п, к, т)) введем

Ез (и) = {А пи : |А П и | ^з + 1, А € Е (Н (п, к, т))} ,

и

также «обрезки» ребер, которые проходят и через вершины, не лежащие в этом множестве, но имеют хотя бы (] + 1) вершину в и. Введем обозначение Нз(и) для гиперграфа Нз(и) = (и,Ез(и)). Он, вообще говоря, не является однородным, но все равно можно

Н

¥' = тах {|и| : Хз (Ъ(и)) < Н}

И ПОЛОЖИМ

УП = п УП.

Далее, мы хотим оценить величину Уп. Для этого применим следующее неравенство больших уклонений для функций от независимых случайных величин, доказательство которого можно найти в [1].

Теорема 6. Пусть Е1,..., — незавжимые случайные величины. Пусть ¡'(х^^,... ,х3) — такая функция многих переменных, что для любого г = 1,...,в найдется Сг > 0 с условием, что для любых XI, € М выполнено

Ц (Х1, . . . ,Хг-1,Хг,Хг+1, ...,Х3) — / (Х1, . . .,Х1-1, Уг ,Х+1, . . . ,Х8)| < СА.

Тогда, случайная величина, X = удовлетворяет следующим неравенствам:

для любого Ь > 0

' А2 2£ ¡=1 <2

Р(Х > ЕХ + 1) < ехр[ — П ^ 2

Р(Х < ЕХ — I) < ехр( — в 2

2 г=1 сг

( 2 Е-=1 ^ ,

Заметим, что величину Yn можно представить как функцию от случайных ребер случайного гиперграфа Н(n, k, ш):

Yn = f(Xb ..., Хт).

Отметим, что функция f(x\,...,xm) удовлетворяет условию теоремы 6 с параметрами d = k — j, ведь при добавлении одного ребра к гиперграфу величина, выражаемая функцией f, не может увеличиться более чем на k — j. Если было какое-то множество Un с условием, что Xj(Hj(Un)) ^ h, то мы всегда можем оставить от ребра не менее j вершин внутри Un, чтобы h-раскрашиваемость сохранилась.

Лемма 1. В условиях теоремы 5 выполнено

< 2(k—j)vrnm^) —> i при п ^ ж.

Доказательство. Докажем сначала, что E Yn < (k — j)Vm Inn. Предположим противное, что E Yn ^ (k — j)Vm Inn. Тогда в силу второго неравенства теоремы 6 имеем

P (Xj(Н(п, k, т)) < h)= P(Yn = 0) < P (Yn < EYn — (k — j)Vm Inn^j <

_(fe-j)2m In n ln „ 1 ^ g 2m(k-j)2 = g 2 < -

Inn

что противоречит выбору функции h. Таким образом, выиолнено EYn < ( k — j)Vm Inn. Остается лишь применить первое неравенство теоремы 6:

P (vn ^ 2(k — j)Vm Inn^j < P (Yn ^ EYn + (k — j)Vm Inn^j < e—► 0. Значит, с большой вероятностью Yn < 2(k — j)Vm \nn. □

Из леммы 1 следует, что с вероятностью, стремящейся к 1, в случайном гиперграфе

Un

. Xj (Hj (V (Н (n,k,m) \Un))) < h; • \Un\ ^ 2(k — j)Vm\nn.

Теперь мы хотели бы оценить Xj (Hj (Un)). Для этого покажем, что с вероятностью, стремящейся к 1, каждое подмножество S вершин Н(n, k, m) мощности не более 2(k — j)\/m Inn содержит не очень много ребер в Ej (S).

Лемма 2. В условиях теоремы 5 с вероятностью, стремящейся к 1, каждое подмножество вершин S С V(Н(n,k,m)) мощности не более \2(k — j)Vm\än\ удовлетворяет неравенству

j — (j + 2)е

\Ej(S)| < , ,, , -ISI.

Доказательство. Обозначим для краткости а = 8 = \2(к—])л/т\пп\. В силу

построения модели Н(п, к, т) вероятность того, что фиксированное множество 5 удовлетворяет неравенству 1Е^(5*)| > а^\, не превосходит

(м )№))м

где и = |5|, а Р(и) = ^г=з+1 (^(пк-г)- Отсюда вероятность того, что найдется подмножество вершин и мощности не более 8 с условием |Ез-(5)| > з-(?+2)е • |5| не пРевосх°Дит

5 / \ ( т \ Р \аи~\ 5

У^) и =Г^и. (2)

^ \и) ((п\\1аи] и ^

и=з+1 4 7 и=з+1

Оценим слагаемое Еи, где воспользуемся тем, что т ^ п1+£ и Р(и) = ®(из+1пк-:з-1):

пи т

\ /пи+(1+е-к)\аи] (Uj+lnk-j-l)\au]

tv 1 пк\»и~] I I U\\au]\

-l)\««l ^

(nu-(j-е) \aulU\av](j+l) \

-гл- . (3)

(u)v( l»vl )\«vl I

Продолжим оценивать выражение в скобках в (3):

n'u'-(j-£) \aulu\aul(j+l) nu-(j-e)auu(au+l)(j+l) gDv n'a-{j-£)auuj+l+ajv-'a^Du

<

(v)v( \av~l )\«vl uv(au)c

a"

где И — некоторая константа. Далее полученное выражение можно оценить следующим образом:

•^и-О-£)аиур+1+ази-иеОи /п1-(з-£)аиЧг +а3-1 ^^ и ааи аа "

(т.к. и ^ ] + 1)

:У

v.

1 nl-(j-£)auaj pD

Наконец, воспользуемся тем, что u ^ s = 0(^/nl+£ Inn), и тогда выражение в основании степени имеет порядок по n не более чем

п1-а{з-£-3-р-) 1п»з/2п.

Степень при п здесь равна 1 — а(] — е — З1-^) = 1 — а(:з-(:з2^'2)), что при а = явля~

ется отрицательной величиной, и, значит, выражение в (4) стремится к нулю при п ^ то. Таким образом, мы имеем, что выражение в (2) ограничивается геометрической прогрессией с убывающим знаменателем, где первый элемент прогрессии также стремится к нулю. Значит, и вся сумма (2) стремится к нулю при п ^ то. □

Последняя лемма оценивает Хз (Нз (ип))■ Лемма 3. В условиях теоремы 5 выполнено

~к- 1"

/ 3 к

Р[Хз(Щ(ип)) <

3 - И + 2)е

+ 1 —> 1 щи n ^ то.

Доказательство. Рассмотрим произвольное Б С ип. Тогда Б подходит под условие леммы 2, и в гиперграфе Нз (Б) можно найти вершину степени не более Действительно, согласно лемме 2 получаем, что

3

Y,degHj ( ^ ^ < т (S )| < к ■ . - + 2)£ IS |

откуда и вытекает наличие требуемой вершины. Данное наблюдение означает, что гипер-

-вырожденным, в каж-

граф Н) (ип) с вероятностью, стремящейся к 1, является у—^р+щ^

дом его подгиперграфе найдется вершина степени не более +2)£- Покажем, что этого условия уже достаточно для построения искомой раскраски.

Далее, рассмотрим следующий процесс набора вершин: найдем в гиперграфе Н^(ип) вершину V степени не более +2)£) удалим ее из ип и повторим процедуру во множестве ип \ {и}. Получится некоторая последовательно сть вершин г>о = V,..., которую мы будем раскрашивать в обратном порядке. Вершину мы раскрасим в цвет 1, а далее, если вершины ы+\,..., Пь уже раскрашены, то берем вершину ы и рассматриваем гиперграф Н^({Уг,..., ьь}). В нем вершипа не более +2)е, а каждое ребро запрещает

для нее не более чем \(к — 1)/]~\ цветов. Стало быть, ^+2)е • Г~]Г\ + 1 цветов достаточно для того, чтобы для ы нашелся свободный, незапрещенный цвет, а Нj({ы,..., ьь}) стал бы ^'-правильно раскрашен. После раскраски г>о мы получим, что

X.(Н(Un)) <

3к

3 - (3 + 2)е

к - 1 3

+ 1.

□

Завершим доказательство теоремы 5. Мы доказали, что с вероятностью, стремящейся к 1, найдется такое подмножество вершин ип, что одновременно будут выполнены неравенства

X,(Н3{V(Н(п,к,т) \ Un))) < h, X.(Hj(Un)) <

3к

3 - (3 + 2)е

к- 1 3

+ 1.

Данные неравенства влекут искомую оценку

Xj(Н(п, к, т)) ^ h + -

3 к

3 - (3 + 2)е

к 1

+ 1.

□

Список литературы

1. Jansen S., Luczak Т., Rucinski A. Random Graphs. New York : Wiley-Interscience, 2000.

2. Bollobas B. The chromatic number of random graphs // Combinatorica. 1988. V. 8. P. 19 56.

3. Shamir E., Spencer J. Sharp concentration of the chromatic number on random graphs G(n,p) 11 Combinatorica. 1987. V. 7. P. 124-129.

4. Luczak T. A note on the sharp concentration of the chromatic number of random graphs 11 Combinatorica. 1991. V. 11, N 3. P. 295-297.

5. Alon N., Krivelevich M. The concentration of the chromatic number of random graphs // Combinatorica. 1997. V. 17, N 3. P. 303-313.

6. Achlioptas D., Naor A. The two possible values of the chromatic number of a random graph 11 Annals of Mathematics. 2005. V. 162, N 3. P. 1335-1351.

7. Coja-Oghlan A., Panagiotou K., Steger A. On the chromatic number of random graphs // Journal of Combinatorial Theory Series B. 2008. V. 98. P. 980-993.

8. Kargaltsev S.A., Shabanov D.A., Shaikheeva T.M. Two values of the chromatic number of a sparse random graph // Acta Mathematica Universitatis Comenianae. 2019. V. 88, N 3. P. 849-854.

9. Schmidt-Pruzan J., Shamir E., Upfal E. Random hvpergraph coloring algorithms and the weak chromatic number //J. Graph Theory. 1985. V. 8. P. 347-362.

10. Schmidt J. Probabilistic analysis of strong hvpergraph coloring algorithms and the strong chromatic number // Discrete Mathematics. 1987. V. 66. P. 258-277.

11. Shamir E. Chromatic number of random hvpergraphs and associated graphs // Adv. Comput. Res. 1989. V. 5. P. 127-142.

12. Krivelevich M., Sudakov B. The chromatic numbers of random hvpergraphs // Random Structures and Algorithms. 1998. V. 12, N 4. P. 381-403.

13. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph // Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015. V. 113. P. 68-122.

14. Ayre P., Coja-Oghlan A., Greenhill C. Hvpergraph coloring up to condensation // Random Structures and Algorithms. 2019. V. 54, N 4. P. 615-652.

15. Shabanov D.A. Estimating the r-colorabilitv threshold for a random hvpergraph // Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 282. P. 168-183.

16. Semenov A., Shabanov D. On the weak chromatic number of random hvpergraphs // Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 276. P. 134-154.

17. Денисов И.О., Шаба,нов Д.А. О концентрации значений j-хроматических чисел случайных гиперграфов // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 509. С. 28-35.

18. Balobanov А.Е., Shabanov D.A. On the strong chromatic number of a random 3-uniform hvpergraph 11 Discrete Mathematics. 2021. V. 344, N 3. 112231.

19. Матвеева, Т.Г., Хузиева А.Э., Шаба,нов Д.А. О сильном хроматическом числе случайных гиперграфов // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 502. С. 37-41.

20. Демидович Ю.А., Шаба,нов Д.А. О двух предельных значениях хроматического числа случайного гиперграфа // Теория вероятностей и ее применения. 2022. Т. 67, № 2. С. 223-246.

References

1. Jansen S., Luczak T., Rucinski A. Random Graphs. New York : Wilev-Interscience, 2000.

2. Bollobds B. The chromatic number of random graphs. Combinatorica. 1988. V. 8. P. 49-56.

3. Shamir E., Spencer J. Sharp concentration of the chromatic number on random graphs G(n,p). Combinatorica. 1987. V. 7. P. 124-129.

4. Luczak, T. A note on the sharp concentration of the chromatic number of random graphs. Combinatorica. 1991. V. 11, N 3. P. 295-297.

5. Alon N., Krivelevich M. The concentration of the chromatic number of random graphs. Combinatorica. 1997. V. 17, N 3. P. 303-313.

6. Achlioptas D., Naor A. The two possible values of the chromatic number of a random graph. Annals of Mathematics. 2005. V. 162, N 3. P. 1335-1351.

7. Coja-Oghlan A., Panagiotcru K., Steger A. On the chromatic number of random graphs. Journal of Combinatorial Theory Series B. 2008. V. 98. P. 980-993.

8. Kargaltsev S.A., Shabanov D.A., Shaikheeva T.M. Two values of the chromatic number of a sparse random graph. Acta Mathematica Universitatis Comenianae. 2019. V. 88, N 3. P. 849-854.

9. Schmidt-Pruzan J., Shamir E., Upfal E. Random hvpergraph coloring algorithms and the weak chromatic number. J. Graph Theory. 1985. V. 8. P. 347-362.

10. Schmidt J. Probabilistic analysis of strong hvpergraph coloring algorithms and the strong chromatic number. Discrete Mathematics. 1987. V. 66. P. 258-277.

11. Shamir E. Chromatic number of random hvpergraphs and associated graphs. Adv. Comput. Res. 1989. V. 5. P. 127-142.

12. Krivelevich M., Sudakov B. The chromatic numbers of random hvpergraphs. Random Structures and Algorithms. 1998. V. 12, N 4. P. 381-403.

13. Dyer M., Frieze A., Greenhill C. On the chromatic number of a random hvpergraph. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 2015. V. 113. P. 68-122.

14. Ayre P., Coja-Oghlan A., Greenhill C. Hvpergraph coloring up to condensation. Random Structures and Algorithms. 2019. V. 54, N 4. P. 615-652.

15. Shabanov D.A. Estimating the r-colorabilitv threshold for a random hvpergraph. Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 282. P. 168-183.

16. Semenov A., Shabanov D. On the weak chromatic number of random hvpergraphs. Discrete Applied Mathematics. 2020. V. 276. P. 134-154.

17. Denisov I.O., Shabanov D.A. On the concentration of values of j-chromatic numbers of random hvpergraphs. Dokladv of Russian Academy of Sciences. Mathematics, computer science, control processes. 2023. V. 509. P. 28-35 (in Russian).

18. Balobanov A.E., Shabanov D.A. On the strong chromatic number of a random 3-uniform hvpergraph. Discrete Mathematics. 2021. V. 344, N 3. 112231. (in Russian).

19. Matveeva T.G., Khuzieva A.E., Shabanov D.A. On the strong chromatic number of random hvpergraphs. Dokladv Mathematics. 2022. V. 105. N 1. P. 31-34. (in Russian).

20. Demidovich Y.A., Shabanov D.A. On two limit values of the chromatic number of a random hvpergraph. Theory of Probability & Its Applications. 2022. V. 67, N 2. P. 223-246. (in Russian).

Поступим в редакцию 22.03.2023