О размере и сложности компонент связности случайного гиперграфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.179.4

М.М. Кошелев1'2, Д. А. Шабанов2

1Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический

факультет

2Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), лаборатория комбинаторных и геометрических структур

О размере и сложности компонент связности случайного гиперграфа

В работе исследуются предельные распределения размеров и сложностей компонент связности случайного гиперграфа в биномиальной модели Н(п,к,р). Рассматривается ситуация «внутри фазового перехода», где р = р(п) представляется в виде Р = Т,—при А = \(п), удовлетворяющем соотношению (А — 1)п1/3 ~ (к — 1)2/3а

при фиксированном а е М. Основной результат работы состоит в получении обобщения результата Д. Олдоса (1997) о совместных предельных распределениях размеров и сложностей компонент случайного графа на случай Н(п, к,р).

Ключевые слова: случайные гиперграфы, компоненты связности, броуновское движение, слабая сходимость

M.M. Koshelev1'2, D.A. Shabanov2

1Lomonosov Moscow State University 2 Moscow Institute of Physics and Technology

On the size and complexity of connectivity components of

a random hypergraph

The paper deals with finding the limit distributions of sizes and complexities of connectivity components of a random hypergraph in the binomial model H(n,k,p). We consider the situation «inside the phase transition», when p = p(n) is equal to p = ^ i)A("-*)

with A = X(n) satisfying the relation (A — 1)n1/3 ~ (k — 1)2/3a for fixed a G R. The main result is the generalization to H(n,k,p) of the result of D. Aldous (1997) concerning the joint distributions of sizes and complexities of a random graph.

Key words: random hypergraphs, connectivity components, Brownian motion, weak convergence

1. Введение и история задачи

В работе исследуются предельные распределения размеров и сложностей компонент связности в случайном гиперграфе в биномиальной модели Н(п,к,р). Сначала напомним основные определения.

© Кошелев М. М., Шабанов Д. А., 2023

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

1.1. Определения и модели

В рамках работы мы следуем базовым понятиям теории графов (см., например [1]). Одной из классических моделей случайных графов является знаменитая биномиальная модель случайного графа G(n,p), также известной как модель Эрдеша - Реньи. В данной модели имеется множество из п вершин, а ребра между ними проводятся по схеме Бернулли: случайно и независимо друг от друга каждая пара вершин соединяется ребром с вероятностью р.

Естественным обобщением модели G(n,p) является биномиальная модель случайного fc-однородного гиперграфа Н(п, к,р). Напомним, что в fc-однородном гиперграфе ребрами являются fc-подмножества вершин, а не пары, как в графе. В модели Н(п,к,р) снова имеется п вершин, и уже каждое fc-подмножество включается в качестве ребра в Н(п,к,р) независимо от других с вероятностью р. Модели G(n,p) и Н(п,к,р) — это центральные объекты изучения теории случайных графов и гиперграфов.

Нам также понадобятся понятия, связанные с компонентами связности в графах и гиперграфах. В графах они хорошо известны (см. [1]), определим в гиперграфах их естественные обобщения. Путем в гиперграфе, соединяющим вершины urnv, называется такая чередующаяся последовательность вершин и ребер (v\, А\,... ,Vk-i, Ak-i,Vk), что v\ = v, Vk = u и для любого i = 1,... ,к — 1 обе вершины ViVi Vi+\ содержатся в ребре Ai. Вершины urnv называются связанными в гиперграфе, если в нем есть путь, соединяющий эти вершины. Понятие связанности, очевидно, является отношением эквивалентности (считаем, что вершина связана сама с собой), и, стало быть, вершиным гиперграфа разбиваются на классы эквивалентности — компоненты связности. Наконец, напомним понятие сложности компоненты связности. Если С — это компонента связности в fc-однородном гиперграфе, имеющая t вершин и I ребер, то ее сложностью называется величина

гк (С) = (к — 1)1 — t + 1.

Тем самым, например, в графе (к = 2) древесная компонента имеет нулевую сложность, а унициклическая — единичную. В fc-однородном гиперграфе нулевую сложность будут иметь компоненты, являющиеся гипердеревьями.

Нам также понадобятся некоторые определения из теории случайных процессов. Пусть (Bt, t > 0) — случайный процесс с непрерывными траекториями. Определим для него неотрицательный процесс с непрерывными траекториями: B't = Bt — mins<t Bs, t > 0. Заметим, что В[ = 0 тогда и только тогда, когда процесс Bt достиг своего минимума на отрезке [0, t] в точке t. Теперь рассмотрим все такие пары чисел (li, Гг), для которых выполняются следующие свойства:

1) li < П]

2) В'1г = В'Гг = 0

3) для всех li < т < Гг выполняется неравенство В'т > 0.

Упорядочим множество пар (1г,Гг), г £ N, по невозрастанию длин. Полученная последовательность называется последовательностью экскурсий процесса Bt.

Далее, для указанного выше процесса Bt определим также точечный процесс (Nt, t > 0), как считающий процесс с условием, что процесс Nt — f^ B'sds является мартингалом. Наконец, обозначим через 5i число точек процесса Nt на отрезке (li, ri).

1.2. Известные результаты

Размеры и сложности компонент случайного графа G(n, р) достаточно хорошо изучены. Безусловно, ответ сильно зависит от того, как ведет себя функция р = р(п). Феномен фазового перехода в структуре компонент G(n,p) был открыт еще П. Эрдешем и А. Реньи [2].

Они показали, что здесь пороговым является значение 1/п. Обозначим через С^ (п) по величине размер компоненты случайного графа С(п,р), а терез а^ (п) — сложность ]-т по размеру компоненты. В данных обозначениях классические результаты из работ [2], [3], [4] и монографий [5], [6] можно суммировать следующим образом.

1) Если р = о(1/п), то С\(п) = Ор(1пп), а все компоненты с вероятностью, стремящейся к 1, являются деревьями.

2) Если р = с/пж с — фиксированное чиело из (0,1), то

С^п) р 1 _ —--> а(с) =---, п ^ ж.

1п п с — 1п с — 1

Кроме того, с вероятностью, стремящейся к 1, компонент сложности более 1 в С(п,р) нет, а унициклические компоненты имеют общий размер Ор(1) (как следствие, получаем, что а1(п) = 0).

3) Если р = с/пж с — фиксированное чи ело из (1, +ж), то

С1(п) р а/ \ С2(п) Р /л 1

—— —> Р(с), , —> а(с) =-:-, п ^ ж,

п 1п п с — 1п с — 1

где Р(с) — это единственное решение уравнения @= 1 на интервале (0,1). Кроме того, с вероятностью, стремящейся к 1, все компоненты, кроме самой большой, имеют сложность не более 1, а унициклические компоненты — снова общий размер Ор(1) (как следствие, получаем, что &2(п) = 0).

4) Если р = 1/п, то

Сг(п) = вР (п2/3).

Кроме того, максимальная сложность компонент ограничена по вероятности, а древесные компоненты в среднем занимают п — 0(п2/3) вершин.

5) Если пр — 1п п ^ +ж, то с вероятностью, стремящейся к 1, случайный граф является связным.

Перечисленные результаты многократно усиливались, исследователей интересовали точные предельные распределения перечисленных величин, а не только их асимптотическое поведение. Например, в работе В.Е. Степанова [3] была доказана асимптотическая нормальность С\ (п)

Теорема 1. (Д. Олдос, [7]). Пусть рп = 1 + ап-1/3 для фиксированного а € М. Пусть

(^1, £ > 0) — стандартное броуновское движение. Положим

¿2

в1 = wt + оъ — 2

и введем, последовательность ,5^,,] € М) — последовательность экскурсий этого процесса вместе с числам,и точек соответствующего точечного процесса. Тогда для любого т € N выполнена, следующая сходимость по распределению:

[(п-2/3 • С,(п),ъ(п))Д < т) А ((^|Л-)Д < т).

Размеры и сложности компонент связности случайного гиперграфа Н(п,к,р) изучены заметно хуже. Первыми эволюцию случайного гиперграфа подробно исследовали Дж. Шмидт-Прузан и Э. Шамир [8], которые показали, что фазовый переход в модели Н (п, к, р) происходит при р = с /((к — к™ ^), где с > 0 не зависит от п. Обозначим через

(п), ] > 1 — последовательность размеров компонент Н(п,к,р), отсортированных по убыванию. Тогда авторы в [8] показали, что

1) если с < 1, то с вероятностью, стремящейся к 1, с[к\п) = 0(1пп), а все компоненты имеют сложность не более 1;

2) если с = 1, то С(п) = Ор(п2/3);

3) если с > 1, то существует такая величина а = а(с) > 0, что с вероятностью, стремящейся к 1, С(п) > а ■ п.

Тем самым снова при переходе некоторой границы максимальный размер компоненты Н(п,к,р) меняется с логарифмического порядка на линейный, а в граничном значении имеет порядок п2/3. Однако никаких точных распределений авторами [8] не было найдено. В работе [9] была доказана асимптотическая нормальность С[к\п) в третьем случае при с > 1. Более простое доказательство этого же результата было предложено в работе Б. Боллобаша и О. Риордана [10]. Авторы [10] получили частичное обобщение теоремы 1 на случай модели Н(п, к,р), в которой было найдено предельное совместное распределение самых больших т размеров компонент в ситуации, когда мы находимся внутри фазового перехода.

Теорема 2. (Б. Боллобаш, О. Риордан, [10]). Пусть р = г$е X = Х(п) удо-

(к-1)(к-1)

влетворяет соотношению (X — 1)3п и (к — 1)2 а3 при п и ж для фиксированного а € М. Пусть > 0) — стандартное броуновское движение. Положим

г2

вг = + ол — 2,

и пусть € М) — последовательность экскурсий этого процесса. Тогда, для, любого

т € N выполнена, следующая сходимость по распределению:

[{к — 1)1/3п-2/3 ■ С{У(п),з < т) -и (\ъ\,з < т).

Однако вопрос сложности компонент в работе [10] не обсуждался. Целью настоящей работы является закрытие данного пробела.

1.3. Новый результат

Основной результат настоящей работы состоит в усилении теоремы 2 и получении полного обобщения теоремы 1. Обозначим через ^ (п) сложи ос ть ]-т по размеру компоненты случайного гиперграфа Н(п, к,р).

Теорема 3. Пусть р = , „ ^ где X = Х(п) удовлетворяет соотношению

( Л — 1)3п и (к — 1)2а3 при п и ж для фиксированного а € М. Пусть > 0) —

стандартное броуновское движение. Положим,

2

Вг = + — -,

и введем, последовательность , € М) — последовательность экскурсий этого процесса вместе с числам,и, точек соответствующего точечного процесса. Тогда, для, любого т € N выполнена, следующая сходимость по распределению:

[((к — 1)1/3п-2/3 ■ С^(п), и3(п)),] <т) —и ((\Ъ\, 53),з < т).

В теореме 3 найдено, тем самым, не только предельное распределение сложности компонент, но и совместное распределение первых т по размеру компонент вместе с их сложностями. Перейдем к доказательству теоремы 3, которое будет разбито на несколько частей.

2. Алгоритм BFS

Доказательство теоремы 3 следует идеям из работы [7]. В силу того, что Боллобаш и Риордан дали доказательство теоремы 2 весьма кратко, иногда просто ссылаясь на доказательство теоремы 1 из [7] без деталей, мы приведем доказательство сходимости по распределению и для размеров компонент.

В основе доказательства [7] лежит рассмотрение алгоритма BFS набора компонент связности случайного графа, который затем можно хорошо аппроксимировать случайным процессом с непрерывным временем. Для каждого момента времени t £ Z+ рассмотрим последовательность троек (Ut, Qt, Ot) множеств вершин гиперграфа. Они преобразуются по следующему правилу.

• В начальный момент времени множество Uo пусто, Qo состоит из одной вершины, а Oo — из всех остальных вершин гиперграфа.

Qt

полностью лежат в Qt UOt и содержат v. Пусть их объединение дает множество Et+i.

• Тогда Ut+i = Ut U М, Qt+i = Qt \ M U (Et+i П Ot), Ot+i = Ot \ Et+i.

• Если же Qt пусто, то мы берем вершину v из Ot, Et+i определяем аналогично, после чего полагаем Ut+i = Ut U {v}, Qt+i = Et+i П Ot, Ot+i = Ot \ Et+i.

Определим также Ct как количество компонент связности, полностью лежащих внутри Ut.

Qt

Ut Ot

вершины. Отметим простые свойства алгоритма BFS.

1) |Ut| = t.

2) |Qt| = 0 тогда и только тогда, когда мы обошли очередную компоненту связности.

3) Пусть Т = Т(n) = O(n3/4). Тогда с вероятностью q = 1 — о(1) любая пара ребер, рассмотренная для перехода от t к t + 1 при t < Т пересекается дашь по вершине v. Действительно, посчитаем математическое ожидание пар ребер, которые пересекают-

п(кП^) 2р2(п) ^ n2k-3p2(n) = o( .

Тогда суммарное среднее число таких пар по t < Т не превосходит O(T/n) = O(n-i/4). По неравенству Маркова 1 — q = O(n-i/4).

4) Пусть Xt = |Qt| — Ct- Тогда Xt+i — Xt = щ+i — 1, где щ+i — количество вершин,

3. Свойства процесса Xt

Обсудим свойства процесса Xt. Обозначим через (Ft, t > 0) фильтрацию, порожденную (( Ut, Qt, Ot, Ct),t > 0). Вычислим E(r¡t+ilFt). ^^^отачим o't = |Ot^^ ^сли Qt ^^^тсто и |Ot| — 1

(n-t-2)

в противном случае. Тогда E(r]t+i|^t) = °'t(1 — (1 — P)( k-2 ))> откуда получаем

E0M*> = « (^(n——¡2) +O (rf———2)2)) = (1 + O0.-)).

Положим аг+1 =-1-.Тогда для = Е (щ+1 — 1\Рг) имеем представление

В+1 = аш(п — г — Хг — Сг+1 + 0(1)) — 1.

Также определим Дг+1 = Хг+1 — Хг — Нетрудно видеть, что Дг+1 измерима относи-

тельно а Е(Дг+1\^г) = 0.

После подстановки получаем, что

Хг+1 = (1 — аг+1)Хг + щ+1(п — ^ — 1 + Д+ — аС+ + Ег+1,

где = 0(п-1). Теперь определим последовательность хг рекурсивным образом:

Хг+1 = (1 — аг+1)хг + аг+1(п — ^ — 1,Хо = 0.

Рассмотрим теперь Хг+1 — хг+1 = (1 — аг+1)(Хг — хг) + Д^ — аг+1Сг+1 + Кг+1- Применяя

Хг — хг

г в

Хг — хг = £ в (д. — агСг + Кг), (1)

г=1 в

где вг = П\=1(1 — аг)- Нам пригодится следующее простое утверждение.

Утверждение 1. Пусть Бг = Т!г=1 1Дг, Х = х* + вгБ- Тогда \Хг — Хг\ =0 (^).

Доказательство. Очевидно из (1), ведь щ = 0(1/п), а величины Cí возрастают:

\Хг — Хг\ =

= 1 в

= ° (") .

□

Положим уг = хг — п + тогда будет верно соотношение уг+1 = (1 — аг+1)уг, откуда Уг = —пви а хг = п — í — вгп. Вычислим теперь асимптотику величины вг-

к-2

х ^ [1 — г-Щ —0(Ш-2) =

п^ \ п

1пвг = £ 1п(1 — аг) = £ —аг — о( =

г=1 г=1 \г=1 )

± О

=1

£ е(к-2)(-^+0((^)2)) п-2) =1

* (к-2)(г+2) ,0(( (+2 )2\

— ^ е - +01() ) — 0(Ы-2) =

п г=1

_2к-4 г

Ле п (к-2)г 3 3 2

-е--~ + о(г3 п-3 + Ш-2) =

п 1=1

3к-6 ( к-2)4

ле п 1-е п ^/3 3 2ч --^ + 0(13п-3 + Ш-2) =

п 1 — е~

^ У +0(?п-3 + Ы-2) =

П

1 + о (1)

Следовательно,

"Л( £ - ^ )+0(t3n-3+i„-2)

= п — Ь — пе

Введем функцию д(%) = 1 — % — е—х(х —х ), Тогда при I < Сп2/3 для некоторого фиксированного С > 0 имеем %г = пд + 0(1). Исследуем свойства функции д(%) через ее производные:

д'(%) = Х(1 — (к — 2)%) е-х(х-х*) — 1, откуда д'(0) = X — 1. Аналогично,

(х) = -Л2{! - (к - 2)х)2е-х(х- V*2) - Л(к - 2)е-х(х-V^),

то есть д"(0) = -Л(к - 2) - X2. Отсюда получаем представление вида

д(х) = (X - 1)х - (Л(к - 2) + Л2)х2/2 + 0(х3).

Для перехода в непрерывное время нам остается получить оценки хвостов распределений Аг И Si.

п

Р(А > 2п1/5) < е-п1/б.

(п-г-1)

Доказательство. Заметим, что + 1 = Е(гц\Т—1) = о[_— р( fc-2 )) < 2 при всех достаточно больших п. Остается оценить Х^ — Х^—1 = щ — 1:

/(п— 1\ \ \п1/ъ

Р(т > кп1/5) < ( [к—1 У1/5 <-х 1/6 , < е—п1/б

У1г > '<\п1/5Г < (к — 1)п1/6п1/5\ <

при всех достаточно больших п. □

Лемма 2. Для фиксированного Т > 0 при всех достаточно больших п выполняется

тах \Si\ < Сп.

г<[(к—1)-1/3п2/3Т ]

Доказательство. Очевидно в силу равномерной ограниченности (и равномерной же отделенности от 0) величин а также того, что

^ Xi -Xi-! <n,Di < 2.

1< г<п

□

Лемма 3. Для некоторого С > 0 при всех tun выполняется соотношение

Е(maxS2) < Ct. i<t

Доказательство. Из неравенств Дуба следует, что

Е(maxS2) < 4Е|St|2 = 4 А = о(¿DA J = O(t). - i=i Pi \i=i )

□

4. Переход в непрерывное время

В данном разделе осуществляется предельный переход от процесса XI к броуновскому движению. Наиболее удобно это сделать с помощью перехода в непрерывное время. А именно, определим для > 0 процессы

х *(в)_ Х[(к-1)-1/3пУ3 з] X * ( )_ Х[(к-1)-1/3П2/3з] , ,

л ($)_ (к - 1)1/3П1/3 ' Х (к - 1)1/3П1/3 ' [ }

_ ^[(к- 1)-1/3п2/3а]

Из утверждения 1 следует, что IX*(з) — X*(з)| _ 0(з/п1/3)

Теперь заметим, что X*(в) _ 0*(з)3*(в) + х*(в), где 0*(в) _ ' ^(-^п^з

[(к-1)-1/3п2/3 з]

3 *(*) _ Е

г=1 Рг

* Х^-р-тпУ3з] _ п2/3 ([(¡к — 1)-1/3П2/35А + Ж (8) _ (к — 1)1/3п1/з _ (к — 1)1/з9\ п ) + °(1) _

_(А — 1)п1/3 (к — 1-!!% — (Х(к — 2) + Х2)(к — В-2/'^ + 0(1)

(к — 1)1/3 У У ' ' (к — 1)1/3 2

2

_ав — — +о(1), где о(.) равномерно мало по всем в < в о.

Осталось показать, что процесс 3*(в)3* (в) сходится по распределению к броуновскому движению Это следует из следующей фундаментальной теоремы из теории мартингалов.

Теорема 4. Пусть Мп _ (Мп(Ъ),1 > 0), п € N — последовательность локальных мартингалов с непрерывным,и справа траекториями и Мп(0) _ 0. Пусть также (Ап(Ь),1 > 0) — последовательность процессов, обладающая следующими, свойствами:

1) Ап(Ъ) п.н. возрастает при каждом, п;

2) Ишп^ Е (8ир4<т 1Ап(Ь) —Ап(Ь — 0)|) _ 0;

3) Е (вир<т(Мп(1) — Мп(1 — 0))2) _ 0;

4) Мп(Ь) — Ап(Ъ) — локальный мартингал;

5) для любого 1> 0 выполняется Ап(£) -Р с(£), где с(£) — неубывающая функция. Тогда Мп — X, где X — это центрированный гауссовский процесс с дисперсией с(£).

Начнем с построения Ап(Ь). Зафиксируем п и рассмотрим последовательность А _ Р282 — ¡2_132_1. Преобразуем это выражение:

Di _ 02 31 — р2_132_1 _ (0г3г — рг-13г-1)(рг3г + @г-13г-1) _

' 1-1 — \( 1-1 --г + (Цг —Р-Щ-^ I I -г + (0г +Рг-1)^-р

_ -2 + 2 Рг3г-1—г + (02 — 02-1)3'2_1.

Теперь вычислим Е(Иг\Ъг—):

Е(ЩЪ-г) = Е(А2\Ъ-г) + (/32г — 32-1)82-1 = 0(гц\Ъ-1) + (/32г — Зг-^-!-

Положим теперь Аг = £)г — Е(1)г\Ъг-г) = £)г — г]г\Ъг-г) — ((32 — /2-1)82_г. Нетрудно видеть, что Аг образуют мартингальные разности. Стало быть, последовательность

^г = Е Аз = Е И — Е ЕФ3\Ъ-г) = /2Б2 — £ {0(г]з\Ъ—) + (/32 — З^г^-г)

3 = 1 3 = 1 3 = 1 3 = 1

является мартингалом. Наконец, для данного зафиксированного п мы готовы определить Ап(1) следующим образом:

[(к-1)-1/3п2/31]

м*) = к—^Е и -1) + (/г—/1-1)81-1).

Также для последующих выкладок нам понадобится определить

= (к — 1}2/3п2/3^[{к-1)-1/3 П/3чу

п

(3*(1)Б*(1))2 = гп(1) + Ап(1).

Теперь начнем проверять условия теоремы 4. Мартингальность 3* (1)8* (Ь) относительно фильтрации Ъ*(в) = Ъ[(к-1)-1/зп2/э8] очевидна из определения величин Аг. Также по определению 3*(0)8*(0) = 0. Как известно, квадрат мартингала является субмартингалом, поэтому Е(Иг\Ъг-\) > 0 и> следовательно, Ап(Ь) является монотонно возрастающей. Таким образом, свойство 1 доказано. Проверим свойство 2:

[(k-1)-1/3n2/3t]

An(t) - An(t - 0) = ^ _ 1)±2/3п2/3 Е {ОЫ^г-l) + (32 - PlJSh) -

[(k-1)-1/3n2/3(t - £)]

- {k - 1 ) 23п2/3 E -1) + (3г -З—)^) .

Заметим, что D(7]г1^г-\) = 0(1), поэтому

sup IAn(t) -An(t-)| < —--^Г^ sup 132 -32-ilS2-i + 0(п-2/3). t<T (к - 1)2/3п2/3 г<(к-1)-1/ззт2/3

В силу 32 - 32-1 < n имеем

suP IAn(Q -An(t-)| < -- 42/3 5/3 suP S2-1.

t<T (к - 1)2/3п5/3 г<(к-1)-1/зы2/3

Остается заметить, что в силу леммы 2 математическое ожидание данного выражения стремится к 0.

Проверим теперь свойство 3 теоремы 4. Распишем разность 3*(s)S*(s) - 3*($-)S*(s-) чуть подробнее:

3*(s)S*(s) - 3*(s - 0)S*(s - 0) =

= Й5 (к - 1)1/3п1/3 {(3[(k-1)-1/3n2/3s] - 3[(k-1)-1/3n2/3(s-e)])S[{k-1)-1/3n2/3(s-e)] + +^[(k-1)-1/3n2/3s]) .

Переходя к супремуму по I , получаем, что

вир ЦЗ*(в) Я*(в) - Р*(8-)Б*(з-)| < г<т

откуда тривиально следует, что

вир 13*(в)Я*(в) -Р*(8-)Я*(8-)| <

т

Применяя лемму 2, получаем

вир (01 - Рг-1)Бг-1

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

( к - 1)1/3п1/3

4 вир Яг-1

г<[(к- 1)-1/3 п2/3Т ]

( к - 1)1/3п4/3

+

вир А

г<[(к- 1)-1/3п2/3Т ]

( к - 1)1/3п1/3

+

вир Аг

г<[(к-1)-1/3 п2/3Т ]

(к - 1)1/3п1/3

Тогда

С

8Ир 1Р*(8)Б*(8) -Р*(8-)Б*(8-)| < +

вир Аг

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

(к - 1)1/3п1/3

Е вир 1Р *(8)Б *(8) - Р * ( 8-)Б *(8-)12 = Е (вир 1Р*(8)Б *(8) - Р* (8-)Я*(в-)1)2 < г<т кт

Е

С

Т/3

+

п

вир Аг

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

_С_

п2/3

+ Е

+ 2СЕ

вир

( - -1)1/3п1/3

вир А

г<[(к- 1)-1/3п2/3Т ]

( к - 1)1/3п2/3

у )

+

Аг

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

(к - 1)1/3п1/3

Первое слагаемое, очевидно, стремится к нулю, поэтому оценим второе и третье, опираясь на лемму 1. Имеем:

Е

вир А

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

(к - 1)1/3п2/3

О (п-2/3 ■ [п1/5 + [(к - 1)-1/3п2/3Т]е-п1/Ъп]) = о(1)

Е

вир А

г<[(к-1)-1/3п2/3Т ]

(к - 1)1/3п2/3

О (п-4/3 ■ [п2/5 + [(к - 1)-1/3п2/3Т]е-п1/5п2]) = о(1)

что завершает обоснование третьего условия теоремы 4. Проверим свойство 4. Оно очевидно из соотношения

(Р*(1) Б*(1))2 = гп(-1) + Ап(-1), а также мартингальности Zп(t).

2

2

Проверим, наконец, свойство 5 для с(Ь) = Сперва заметим, что

[(к-1)-1/3п2/31]

Mt)- Е D( ^-1)

А о

при п ^ <х. Действительно, из леммы 3 следует, что Р(maxS2 > dinn) ^ 0. Подставляя

i<d

d = [(к — l)-1/3n2/3t] и вспоминая оценку If2 — f2_il < 4/п, получаем

( 1 [{к-1)-1/3п2/3<] 2 2 2 d2 Ып 4 \

Р I (к — 1)2/3п2/3 ^ — f-1\S*-1 > (к — 1)2/3п2/3 ^ П ) ^ 0'

откуда и вытекает утверждение выше. Осталось доказать, что

[(к-1)-1/3 п2/31]

р

1 —^ Р

[к — 1)2/3^/3 Е -О ^

Имеем

D( -1) = Е (гЦЦЪ-i) — Е2( m iFi-1) =

= ог (1 — (1 — Р)(п---1)^ + о'г(ог — 1) (1 — 2(1 — р)(п---1)+ + (1 — р)2(п---1)-(п---2)^ — (otf (1 — (1 — р)(п---1)^2 =

= (о-32)р + -у + Oin^1) =

= п2(п~к г——32у + п(п к—— ^р + 0(п-1/4) = Х(к — 1) + 0(п-1/4),

причем все О равномерны по t = 0(п3/4). Суммируя полученный результат по г, получаем необходимую сходимость.

5. Сходимость размеров компонент связности

Подведем итоги рассуждений предыдущих параграфов. Из теоремы 4 следует, что процесс Р*(в)8*(в) сходится к броуновскому движению. Тогда в силу (2) мы получаем, что процесс X*(я) сходится к процессу В3 из условия нашей теоремы. Далее, заметим, что набор компоненты заканчивается в тот момент, когда Х3 и, стадо быть, X*(«), достигает своего очередного минимального значения. Значит, размеры компонент будут соответствовать экскурсиям процесса X*(«). Напрямую следуя общим рассуждениям Олдоса о слабой сходимости таких функционалов из работы [7] (см. параграф 2.3), мы получаем, что длины экскурсий X* (в) будут сходиться по распределению к длинам экскурсий В3. Остается заметить, что коэффициент сжатия времени составляет (к — 1)-1/3п-2/3, поэтому этот же коэффициент будет соответствовать правильной нормировке компонент:

((к — 1)1/3п-2/3 ■ С(к)(п),з <т) А (^и < т).

6. Сходимость сложностей компонент связности

Перейдем к обсуждению сложностей компонент. Сначала заметим, что по свойству 3 обхода в ширину в ходе первых п3/4 итераций обхода в ширину сложность может увеличиваться лишь за счет ребер, которые имеют нетривиальное пересечение с очередью Qí. Но в

отличие от случая графов новое ребро может увеличить сложность компоненты более чем на единицу. Поймем, какие у нас есть варианты.

Оценим вероятность того, что новое ребро, проведенное на шаге г, пересекает множество Qi хотя бы по трем вершинам. Легко видеть, что такая условная вероятность этого события (относительно ^-1) не превосходит

т3(пкг_4У = от3п-3).

к —4

Мы знаем, что с вероятностью, стремящейся к 1, IQil = 0(n2/3 \nn), поэтому в типичной ситуации эта условная вероятность равна 0(\n3n/n). Суммируя по г < n3/4, получаем, что с вероятностью, стремящейся к 1, подобные ребра не дают вклад в сложность компонент.

Тем самым v нас остаются только ребра, которые пересекают множество Qi по одной

BFS мы погрузим процесс набора новых ребер в компоненту в непрерывное время. А именно, для каждого ребра, выходящего из текущей вершины Vi и содержащегося в Qi U Oi, рассмотрим независимую равномерную случайную величину на отрезке [г,г + 1], которую мы будем считать временем включения этого ребра в компоненту. Рассмотрим считающий процесс Nn(s), который ставит «метку» в тот момент времени, когда появляется ребро, повышающее сложность компоненты. Тогда при IQ^jl > 1

Р \Nn(s) имеет точку на [s,s + As]^.^) = (1 — pAsy k-1 ' v k-1 ' =

k-2

pn'

= (IQL-j| — 1)f—2y. (1 + 0(1/n))As _ IQL*j| — 1

n

-(1 + o(1/n))As.

Рассмотрим и второй считающий процесс Х'п(в), который ставит «метку» в тот момент времени, когда появляется ребро, повышающее сложность компоненты ровно на 1. Несложно понять, что верно такое утверждение:

k 2 pnk 2

Р (М'п(в) имеет точку на ^, + Аз]^^) = | — 1)^—о\Г (1 + 0(1/п))А,в.

(к — 2)-

Далее, заметим, что

шах(^8| — 1, 0) = Х3 — ттХ8.

Тогда

Х*(и) — ттХ*(и) = (к — 1)-1/3п~1/3 (Х3 — ттХЛ = (к — 1)-1/3п~1/3 тах(^| — 1, 0),

г<и \ ]<з )

где 8 = [(к — 1)-1/3п2/3и]. Тогда

Р (Ып(з) имеет точку на [(к — 1)-1/3п2/3и, (к — 1)-1/3п2/3(и + Ди)]1^(к-1)-1/зп2/зи^ =

(k — 1)1/3п1/3

(х*(и) — minX*(и)} (1 + о(1))(к — 1)-l/3n2/3Au =

\ t<u )

n \ t<u

= (х * (и) — minX *(и)) (1 + o(1))Au.

< u

Согласно уже доказанному, процесс X*(и) — minX*(и) сходится по распределению к

< u

B'u = Bu — mint<uBt- Из работы [7] известно, что подобной сходимости уже достаточно,

чтобы доказать сходимость процессов Мп(Ь) и ИП(Ь) к точечному процессу ^ с интенсивностью В'. Учитывая, что предел один и тот же, мы получаем, что каждый из них корректно считает сложность компонент. Следовательно, доказана искомая совместная сходимость по распределению размеров компонент случайного гиперграфа и их сложностей:

(((к — 1)1/3п-2/3 ■ С(к\п), и3(п))^ <т) А ((!Ъ1,53),з < т). Теорема 3 доказана.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-21-00411.

Список литературы

1. Xapapu Ф. Теория графов / пер. с англ. Москва : УРСС, 2018. 304 с.

2. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Publication of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. 1960. V. 5. P. 17-61.

3. Степанов B.E. О вероятности связности случайного графа Qm(t) // Теория вероятн. и ее примен. 1970. Т. 15, № 1. С. 55-67.

4. Luczak Т., Pittel В., Wierman J. The structure of a random graph at the point of phase transition // Transactions of the American Mathematical Society. 1994. V. 341. P. 721-748.

5. Bollobas B. Random graphs. Cambridge University Press, 2001.

6. Jansen S., Luczak Т., Rucinski A. Random graphs. New York : Wilev-Interscience, 2000.

7. Aldous D. Brownian excursions, critical random graphs and the multiplicative coalescent // The Annals of Probability. 1997. V. 25. P. 812-854.

8. Schmidt-Pruzan J., Shamir E. Component structures in the evolution of random hvpergraphs // Combinatorica. 1985. V. 5. P. 81-94.

9. Behrisch M., Coja-Oghlan A., Rang M. The order of the giant component of random hvpergraphs // Random Structures and Algorithms. 2010. V. 36. P. 149-184.

10. Bollobas В., Riordan O. Asymptotic normality of the size of the giant component in a random hvpergraph // Random Structures and Algorithms. 2013. V. 41. P. 441-450.

References

1. Harary F. Graph theory, transl. from eng. Moscow : URSS, 2018. 304 p.

2. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs. Publication of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. 1960. V. 5. P. 17-61.

3. Stepanov V.E. On the Probability of Connectedness of a Random Graph Qm(t). Theory Probab. Appl. 1970. V. 15. P. 55-67.

4. Luczak, T., Pittel B., Wierman J. The structure of a random graph at the point of phase transition. Transactions of the American Mathematical Society. 1994. V. 341. P. 721-748.

5. Bollobas B. Random graphs. Cambridge University Press, 2001.

6. Jansen S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs. New York : Wilev-Interscience, 2000.

7. Aldous D. Brownian excursions, critical random graphs and the multiplicative coalescent. The Annals of Probability. 1997. V. 25. P. 812-854.

8. Schmidt-Pruzan J., Shamir E. Component structures in the evolution of random hvpergraphs. Combinatorica. 1985. V. 5. P. 81-94.

9. Behrisch М., Coja-Oghlan A., Kang М. The order of the giant component of random hvpergraphs. Random Structures and Algorithms. 2010. V. 36. P. 149-184.

10. Bollobas В., Riordan O. Asymptotic normality of the size of the giant component in a random hvpergraph. Random Structures and Algorithms. 2013. V. 41. P. 441-450.

Поступим в редакцию 05.12.2023