Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трёхмерных компактных простых групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оценки кривизн лсвоинвариантных римановых метрик ...

УДК 514.765

Е.Д. Родионов, В. В. Славский1

Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных компактных простых групп Ли

В работе даются оценки секционной кривизны и кривизны Риччи на компактных трехмерных простых группах Ли. При доказательстве основных теорем существенно используются формула для вычисления секционной кривизны группы Ли с левоинвариантной метрикой, полученная Дж. Милнором [1, с. 293-329], а также формула для нахождения секционной кривизны однородного риманового многообразия Брт(3), полученная Ф.М. Валисвым [2].

Пусть Ст — компактная простая трехмерная группа Ли, д — ее алгебра Ли, со стандартным базисом Е1, Е2, Е3 таким, что

[Е1} Е2] = Е3, [Е2, Ез] = Е1} [Е3, Ег] = Е2. (1)

Обозначим через (•, -)о стандартное скалярное произведение на д, определяемое с помощью формы Киллинга, а через (•, •) — произвольное скалярное произведение на д. Такими же символами обозначим соответствующие лсвоинвари-антные римановы метрики на Ст. Тогда, по спектральной теореме, существует базис 7\, 72, 73

такой, что

(7Н,7^)0 = 6^,(7Н,7Н) = Х{ > 0;

{7Н,7^) = 0 при г ф (2)

[71г72] = 73, [72, 73] = 7и [73, 7г] = 72.

Не ограничивая общности рассуждения, будем считать, что Ах < А 2 < Аз. Таким образом, метрике (•, •) сопоставляется набор ее характеристических чисел (А1, А2, Аз). Рассмотрим грассма-ново многообразие С12 двумерных касательных плоскостей к д в точке е £ Ст. Пусть плоскость ж Е О 2 и {X, У} - ортонормированный базис ж, т.е.

у — V1 ,„ 7„ ■ л — ¿_^-1'к''к; ' — ¿^ Ук "к > ^

=Т,Хку1 = 1, Т,ХкУкХк = 0.

Тогда секционная кривизна риманового многоб-разия (Ст, (•, •)) может быть найдена по формуле [2]:

К(1г) = (^зГ1 (3/. + АМ^Мкак), где (Т1 = А1 + А2 + А3; а2 = Х\Х2 + А2А3 + А3А1; а3 = А1А2А3; I = + 4<7-2; Мк = 2А2 - Хкаг; ак = Хк(х2 + у2к), к = 1,2,3, причем («1, а2, аз) £ Д = {а 6 Я3 : ^ ак = 2, 0 < ак < 1, к = 1, 2, 3} .

Так как функция секционной кривизны гольника А. Пусть /1(1,1,0), Я(0,1,1), С(0,1,1) —>• Я линейна относительно (А1, А2, Аз), — вершины А, тогда из (4) получаем то ее экстремумы достигаются в вершинах треу-

КА(ж) = + 4Мз)

Кв(ж) = — (4£Гз)-1 (£ + АМ\)

Кс(ж) = -(4 а-3у1(1 + 4М2)

1 (А? + А1 -

1(А| + А1

2 3

(4о"з)~ (4о"з)~ (4(т3)^1 (А? + А

ЗА2.

ЗА?

ЗА!

2А1А2 + 2А2Аз + 2АзА1) 2А2А3 + 2А1А2 + 2А3А1) 2А3А! + 2А2А3 + 2А1А2)

Заметим, что так как по предположению характеристические числа упорядочены А; < А 2 < < Аз, то Кв(ж) > 0. Далее, поделим каждое из характеристических чисел А1, А2, Аз метрики (•, •) на характеристическое число А1 и предположим для краткости I = Х2/Х\, я = А3/А1.

Имеем КА(ж) Кв{ж) Ы)

Кс'

I- (1 + 12 - Зя2 - 21 + 2я + 2/я): : I- (I2 + я2 - 3 - 2*я + 2я + 21); I- (1 + я2 - :*,/'•' - 2я + 21 + 2/я)

— формулы (5) после подстановки и преобразований. Где I = (4А^ХА2А3) , 1 < I < я. Рассмот-

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 96-01-

00436, 96-15-96291), грантового центра при Санкт-Петербургском государственном университете (код проекта 97-0-

1.3-63).

Оценки кривизн лсвоинвариантных римановых метрик

рим два случая:

(a) 1 < г < в < г + 1;

(b) \<г <г + \ <8.

Каждый случай разберем по отдельности. Случаю (а) сопоставим лемму 1. Лемма 1. Справедливы неравенства

КА(ж) < Кс(ж) < Кв(ж).

Доказательство. Действительно, имеем

Кв(ж) - Кс(ж) = = I • (I2 + в2 - 3 - 218 + 2в + 21 --1 - в2 + З*2 + 28 - 21 - 218) = = 41 (¿2 - 1 - 18 + в) = - !)(* + 1 - в) > 0.

А налогично имеем

Кс(ж) -КА(ж) = = 1 ■{! +82 -Ш2 -28 + 21 + 218 --1 - г2 + Зв2 + 21-28- 218) = = Щв2 - г2 + г - в) = 4Цв -Щг + 8 + 1) > о.

В случае (Ь), как и в случае (а), имеет место Лемма 2. Справедливы неравенства

КА(ж) < Кв(ж) < Кс(ж).

Доказательство. В самом деле,

Кс(ж) - Кв(ж) = 4Щ - 1 )(8 - г - 1) > 0; Кв(ж) - КА(ж) = 41(8 - 1 )(8 + 1 - 1) > 0.

Из лемм 1, 2 вытекает основное утверждение работы, оценка на секционные кривизны левоинва-риантной метрики.

Теорема 1. Пусть К^ ^(ж) : О2 —> Я - секционная кривизна риманового многообразия (О, Тогда имеют место следующие оценки:

a) (4СТз)-] (А| + А! - ЗА! - 2А, А2 + 2А2А3 + 2А3А1) < #(.,.)(я-) <

< (X2 + А.! - ЗА2 - 2А2А3 + 2А] Аз + 2А, А2) , где 0 < А] < А2 < А3 < А] + А2

b) (4СТз)-] (А| + А1 - ЗА1 - 2А] А2 + 2А2А3 + 2А3А1) < К{.г)(ж) <

< (4^з)-1 (А2 + А2 - ЗА2 - 2А] Аз + 2А, А2 + 2А2А3) , где 0 < А] < А2 < А] + А2 < А3.

Доказательство состоит в подстановке вместо t и 8 их выражений через А], А2, Аз в соответст-вуютцие формулы.

Используя обозначения [ 11, можно выписать главные значения квадратичной формы Риччи, соответствующие направлениям г = 1,2,3 в

виде Г] = 2/и2/из, г2 = 2/из/и], г3 = 2¡11/12 ■ Соответственно скалярная кривизна будет равна р = 2(/12/1з + ц-лщ + щщ). Здесь

IM =

(Т\ — 2А i

г = 1,2,3.

Теорема 2. Пусть г^ ^(ж) : —> Я Тогда имеют место следующие оценки:

'

кривизна Риччи риманового многообразия (G,

a) Г] < Г(.Г)(тг) < гз,

b) г2 < Г(..)(тг) < гз,

где 0 < Ai < А2 < А3 < (Aj + А2); где 0 < А] < А2 < Aj + А2 < А3.

Доказательство состоит в подстановке вмес- чаем, что КА(ж) —> —оо. Таким образом, мы вито ¡ii, ¡12, ¡1-л их выражений через А] , А2, A3 в дим, что существуют целые классы левоинвари-соотвотствующио формулы. антных римановых метрик на трехмерных ком-Замечание. Остановимся более подробно на пактных простых группах Ли, секционная кри-случае, когда (А], А2, A3) = (l,i, s). Тогда в слу- визна которых осциллирует, т. е. принимает зна-чае (а) полагая s = t + 1, мы видим, что КА(ж) < чения разных знаков. 0. В случае (Ь) полагая t = const, s —> со, полуЛитература

1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adv.in math. 21. 1976.

2. Валиев Ф.М. Формула секционной кривиз-

ны левоинвариантнои римановои метрики на Spin(S): Препринт ИМ СО РАН. Новосибирск, 1977.