Области знакопостоянства кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.М. Л ом ша ков1

Области знакогюстоянства кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных групп Ли

УДК 514.765

Оценкам кривизн левоинвариантных римано-III.IX метрик грех мерных групп Ли посвящены работы [1-3].

И этой работе па языке структурных констант трёхмерной алгебры Ли геометрически описаны множества левоинвариантных римановых метрик положительной, неотрицательной, осциллирующей, т.е. принимающей значения разных знаков, двумерной секционной кривизны. одномерной секционной кривизны, кривизны Риччи.

Рассмотрим у нимодуляриую трехмерную группу Ли С, с алгеброй Ли у. Пусть (•.•) произвольное скалярное произведение на д, а і' і л положительно ориентированный орто-нормированный базис такой, что

[( I. <■ а] = 3. [<?2і <°з] = = А2£'2-

Он существует согласно [1].

Пусть і7і2, ^23: ^31 - двумерные секционные кривизны соответствующих двумерных площадок. тогда имеем [2]:

1 V" . 1 V" 3 , 1

042 - + -А.] - -Аз - -ЛіА3 4-

+ -А].Аз -і- — АэАз,

'. . ґі 1 ..| 1 . ') 1 . . а-'Л = — -А| + -А^ + -Ад 4- -А^Ао 4

+ - А| А3 — -Ат Аз,

(Т:з| =г -Л]' — -Аг, -і- - Ад + —А] А^ —

— — А X Аз 4 -А2А3.

Лемма 1 [2]. Среди чисел

°Ч2 = |Аї 4 -Аз - ^-Аз - -АХА2 4

,1 х . 1 , .

■г —А; Аз -)- -АоАз,

О’ЗЗ = + ^2 + ^3 ~ ту А і А 2 +

+ 2 А і Аз — -АііАзі

1 Работ выполнена при поддержкеРоссийского фонда

о"зі — -^1 — ^5 + і^з + ^ А і А і» -

— ^АіАз 4 -А2А3

находятся максимальное и минимальное значения двумерной секционной кривизны.

Теорема 1 [2]. Пусть /\'(.,.)("■) : <?2 -4 Я -секционная кривизна римаиового многообразия І9> ('!'))> 9 изоморфна ««(2).Тогда А, (?' = 1,2.3)

- положительны и имеют место следующие оценки:

0-12 < , ) < <^23,

<Г\2 < О'З) < 0-23.0-23 > о.

если О «С А і ^ А2 ^ А3 <1 А] 4 А2. и

0\ 2 < К( , ) < 0-31

о 12 < 0-31 < <731.^31 > о. если 0 < Ах ^ А2 А^ ■— А2 Аз.

Исследуем знак <т\2 для определения областей в Л3, в которых секционная кривизна А'( ,) положительна, неотрицательна, осциллирует. Справедливы утверждения:

Лемма 2. Множество левоинвариантных римановых метрик положительной секционной кривизны А'(.,) на римановом многообразии (д, (.,.)) = (бм(2), (•, •)) определяется следующими условиями:

1 . п 1 , п 3,^ I. .

аїї = -А][ + —Ао — —А3 — -А [А^ 4

4-А] А3 + -А2А3 > 0.

если О Аг ^ А2 ^ Аз А ^ 4 А2 и

<гі2 = тА{ 4- -А— -А3 — -АіАа 4

4 4 4 2

+ 2А1А3 4 -А2Аз > О,

если 0 < А і < А2 Аі + А2 < А3.

Лемма 3. Множество левоинвариантных римановых метрик неотрицательной секционной

фундаментальных исследований (иод проекта 9У-01-00543)

МАТЕМАТИКА_______________________________________

кривизны Л'(., ) на римановом многообразии (</,(■, )) = (ви(2), (•, •)) определяется следующими условиями:

1 >2 . 1 >2 ^ \ 2 ^ \ \

а 12— - Л1 4 - А., — л3 - - Л* Л2 +

-г-А] Ая 4 ~АтАз = О,

если 0 < А1 ^ А2 < Аз < Хх -4- А2 и

!■»*> 1 ,о 1, ,

^12 — ^А^ + -А2 - -А3 - ^А1А2 4

+ 2^1^з + 2^Аз = О, если 0 < А^ < Ат А1 Ч- А2 < Ал.

Лемма 4. Множество левоинвариантных ри-мяновых метрик осциллирующей секционной кривизны на римановом многообразии

((/,(., )) = (б1/(2), ('.•)) определяется следующими условиями:

1 1 3 ,2 1 . .

<?\■> - -А] 4 - Аг, - -А;} - -Л) А2 4

+ 2^1Аз т 2^^Аз < 0. если О <С А^ < А2 < Аз < А]. 4 Ат и

1712 = -А; 4 -Ат — 7А5 — -А1А2 4

4 4 4 2

4^]^ 4 -А2А3 < О, если 0 < А( < Ат *С А] 4 А2 < А3.

Доказательство. Гак как секционная кривизна является непрерывной функцией на грас-смановом многообразии двумерных плоскостей в алгебре Ли, то она достигает своих экстремальных значений на данном грассмановом многообразии Поэтому из теоремы 1 видно, что знак Кривизны определяется знаком величины сг 12-

Далее, при рассмотрении первой оценки двумерной секционной кривизны в теореме 1 видно, что при сг 12 = уА[4^Ао — |Аз — 4А1Аг + 4^А1Аз4 т^АгАя > 0 имеют место следующие неравенства О < сг12 < А'( ) < <т2з, т.е. секционная кривизна положительна при 0 < А1 < Аг < А3 < А] 4 Ат.

Аналогично, во второй оценке теоремы 1 двумерная секционная кривизна положительна, если ]о = |А^ + ^А.-, — |А3 — ^А]Аг4 4^А]А3 4 5А2А3 > О, при условии 0 < Ах < А-., < А1 + Аа < А3.

Доказательство лемм 8 и 4 проводится аналогично.

---------------------------------------------

Нетрудно показать, что множество лево-1 инвариантных римановых метрик положительной, неотрицательной, осциллирующей секцион-1 ной кривизны на данном многообразии не пусто.I Для этого рассмотрим случай, когда А3 = С =1 const > 0. Получим сечение искомого миожест-ва плоскостью А3 = С.

Теорема 2. Пусть (д, (•,•)) = (* и (2), (•, •)) л рнманово многообразие. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если секционная кривизна положительна н Аз = С > 0, то структурные константы АьА^ удовлетворяют следующей системе:

Г А? + A2 - 2А1А2 + 2СА, -(- 2САг - ЗС2 > О

| 0 < Ai < Аг < С,

множество решений которой не пусто;

2) если секционная кривизна неотрицательна и А3 = С > 0, то структурные константы Аь А2 удовлетворяют следующей системе:

А2 4 А2 - 2Ai А2 4 2CAi 4 2САа - 3С2 = О О < А | < А2 < С,

множество решений которой не пусто;

3) если секционная кривизна осциллирует и Аз = С > 0, то структурные константы А),Аг удовлетворяют следующей системе неравенств:

f А2 4- А2 - 2А, А2 + 2CAi + 2САг - 3<~2 < О

^ 0<Aj<A2<C,

W ’

множество решений которой не пусто.

Доказательство: Докажем утверждение 1.

Действительно, рассмотрим условия леммы 2 при А3 = С.

Они примут следующий вид:

Г А2 4 А2 - 2Аг А2 4 2СА, 4 2САг - ЗС2 > О 0 < А] < А2 < С.

Нетрудно видеть, что неравенства 0 < Aj < А2 < С задают нетривиальный треугольник с вершинами в точках (О,С), (С,С), (0,0), который пересекается с параболой Aj' 4 А^ — 2ALA2 4 2СА| 4 26’Аг - ЗС2 = 0 в точках (О,С) и (|С', |С).

Поэтому множество решений данной системы представляет собой внутренность криволинейного треугольника, ограниченного прямыми Ai = А2, А2 = С и куском параболы А^ 4- А§ — 2Ai А2 + 2CAi 4 2СА2 - ЗС2 = 0.

Причем на контуре криволинейного треугольника точки, лежащие на прямых Ai = А2 и А2 = С\ за исключением точки (О, С), также входят во множество решений системы.

Следовательно, множество решений системы в утверждении 1 теоремы 2 не пусто.

Утверждения 2 и 3 доказываются аналогично.

Замечание 1. Для других унимодулярных групп Ли секционная кривизна либо равна нулю. либо осциллирует [2, 3].

Замечание 2. Случаи трехмерных неунимо-дулпрных групп Ли рассматривается аналогично

Лите)

1. Milnoi Л. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Adv. in math. 1976. №21.

2. Rodionov E.D.. Slavskii V.V. Curvature estimations of left invariant Riemannian metrics on three dimensional Lie groups. Diff. Geom. and Applications. Proc. of the 7-th

с использованием техники, разработанной в [1-

3]. Кроме того, данная техника позволяет описать области положительной, неотрицательной, осциллирующей одномерной секционной кривизны и кривизны Риччи, оценки для которых рассматривались в работах [2, 3].

[тура

Intern. Conf. in Diff. Geoin. Brno, 109У.

3. Родионов Е.Д., Славский В.В. Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных неунимодулярных групп Ли // Известия АГУ. 1989. №4.

і