CC BY
26
Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик
УДК 514.765 Е.Д. Родионов, В. В. Славский1
Оценки кривизн левоинвариантных римановых метрик трехмерных неунимодулярных групп Ли
■ц > 0. При этом алгебре типа а) соответствует случай £ = 0, у = 0, а алгебре типа Ь) с определителем D — 1 соответствует случай £ = ¥2/2,
Г) = 1
В этом базисе квадратичная форма Риччи примет диагональный вид, а ее главные значе-
ния и след соответственно будут равны:
Предварительные сведения
Приводятся сведения по трехмерным неуни-модулярны м алгебрам и группам Ли, необходимые для доказательства основных теорем. Большая часть из них соответствует результатам работ Дж. Милнора [1].
Определение. Алгебра JIu h называется уни-модулярной, если для любого элемента х е h
trace ad(x) = О,
где ad(x) - внутренний автоморфизм алгебры h.
Справедлива теорема [1]:
Теорема. Пусть g - неунимодулярная трехмерная алгебра Ли, тогда определен базис е*, ег, ез,
^[ei,e2] = е2, [еі,е3] =е3, [е2,е3] = 0;
a) .
[еі>є2] = ез, [еі,е3] = -De2 + 2е3, [е2,ез] = 0. либо
b)
Причем в последнем случае число D определяет алгебру g с точностью до изоморфизма.
Замечание. Отметим, что в случае а) и при D > І в случае b) неунимодулярная трехмерная алгебра Ли вкладывается в алгебру о(3,1) и, следовательно, соответствующую группу мож-
но рассматривать как подгруппу движений трехмерного пространства Лобачевского.
Пусть G — неунимодулярная трехмерная
группа Ли, g — ее алгебра Ли. Обозначим через (•, •) произвольное скалярное произведение на д.
Тогда в алгебре д существует [1] ортонормиро-ванный положительно ориентированный
базис ei, ег, е3, такой, что
[еье2] = ае2 + /?е3> [еі,е3] = 7Є2 +Je3,
[е2,е3] = 0, (1)
где а + S ф 0 и «7 + f38 = 0.
Следуя [1], ограничимся случаем, когда а +
5 = 2. Этого всегда можно добиться путем умножения (•, •) на поттхоцящее число. Тогда определитель D — аб —определяет алгебру Ли с
точностью до изоморфизма. Введем числа
a = l + £; Р={1 + £Н
7 = -(1-0»?; * = i-£.
’Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 96-01-00436, 96-1596291), грантового центра при Санкт-Петербургском государственном университете (код проекта 97-0-1.3-63).
Для трехмерных римановых многообра-
зий корректно определена одномерная секционная кривизна как значение на единич-
ном векторе £ квадратичной формы
Aij=Rij компоненты тензора гиччи; - метрический тензор. При этом риманова секционная кривизна двумерной площадки £1 д£2 вычисляется по формуле
к{£\ а&) = £І) + И£2,Ы-
Заметим, что квадратичная форма А имеет диагональный вид в данном базисе, а ее главные значения будут равны
МАТЕМАТИКА
Оценки кривизн Справедлива следующая лемма:
Лемма. Среди чисел
<г13 = -1-*3-Ча*2-2г-2»72*;
^23 = -1 +1?2£2 + £2;
С31 = -1 + 2£ + 2»?2£ -т?? - £2
(5)
находятся максимальное и минимальное значения двумерной секционной кривизны.
Доказательство. Данный факт можно вывести или как одно из следствий теоремы «о минимаксен Куранта-Фишера [31, или просто заме-
ИЙ, 6) + (А(2,ь) = ЬТ(А) - (Л6,6), что
где единичные векторы {£ь£2,£з} взаимно перпендикулярны, ^^4) - след квадратичной формы Л. Из дашки'г/ / \ х-1 п I:
А7.,.) т : С2 Л
Теорема. Пусть ^ - секцион-
ная кривизна риманового многообразия (д, (•,•))•
Тогда имеют место следующие оценки:
<г\2 — <723 — — 2£ (1 + г]2) (1 + £);
023 - 0-31 = 2£ (1 + ч2) (£ - 1);
(х) Ес ^31 - о"12 = 4£(1 + V2)-(и) Если И < 0, то <т12 < К>. л(тг) < <т2з-
— \» у' / — Рассмо
трим разности
Т ак как £ > 0, у >0, то из этого следует
(Т12 < <т2з и <т31 > сг12. Отсюда и из леммы полу-
чаем утверждение теоремы.
«г31 = -1 + 2£ + 2»72£-»72£2-£2 <0,
причем при £) > 1 всегда имеется левоинвариантная риманова метрика, у которой 8 = 1, т.е. метрика постоянной отрицательной секционной кривизны [1].
Доказательство. Первая часть утверждения прямо вытекает из формулировки теоремы. Далее функция 8 = £(£,77) является непрерывной со связной областью определения, поэтому
8 принимает значения от 0 до 1. Наконец, при (1-е2)(1 + г72) = £>
и максимум дроби достигается при у = 0.
Замечание. В (И) секционная кривизна осциллирует, т.е. принимает значения разных знаков.
({) Если £> > 0, то к2 < -А(.,.)(п) < кз.
(и) Если Б < 0, то к\ < >4(.,.)(тг) < к3.
Перейдем теперь к оценке одномерной кривизны и лесто Теорема. Пусть
одномер
ная кривизна риманового многоооразия (д, {*,*))•
Тогда имеют место следующие оценки:
Следствие. В обоих случаях теоремы выполняется неравенство
8<
шах
, . ТуГ /\1 Теорема. Пусть (я-) : Я - кривизна Риччи риманового
ПХ1П л(7Г)| у-» Г\-----рг\о *
— V 1 — и) многобразия (С, (-, •)). Тогда имеют место следующий
(1-{а)(1+ча)=о max|А'(.,.)(7г)| (1 + Vl - D)2 ’ оценки:
Cj
пересекаются с работой f2].
Литература
1. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups. of locally homogeneous Riemann 3-manifolds. Geom. Dedicata
. , . ,T 62. 1996. N 1.
Advances in mathematics. 1976. N 21.
3. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989.
2. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues
