Оценки фазовых траекторий управляемых систем с многозначными импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 28, № 143

2023

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ © Филиппова О.В., 2023

https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-143-326-334 УДК 517.93

OPEN /Гл ACCESS

Оценки фазовых траекторий управляемых систем с многозначными импульсными воздействиями

Ольга Викторовна ФИЛИППОВА

1 ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 2 ФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН» 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65

Аннотация. Рассматривается управляемая система для дифференциального уравнения

х(г) = f (г, х(г),и(г), £), г € [а,Ъ], х(а)=х,

где параметр £ является элементом некоторого заданного метрического пространства, управление и удовлетворяет ограничению

и(г) € и(г,х(г),£), г € [а,ъ].

Предполагается, что в каждый из заданных моментов времени ^ € (а, Ъ) решение х : [а, Ъ] ^ М" (фазовая траектория) терпит разрыв, величина которого принадлежит непустому компакту /^(х(Ьи)) С М", а на промежутках ] является абсолютно непрерывной функцией. Функция управления предполагается измеримой. Доказана теорема об оценке расстояния от заданной кусочно абсолютно непрерывной функции у : [а, Ъ] ^ М" до множества фазовых траекторий при всех начальных значениях из окрестности вектора хо и всех параметрах из окрестности точки £о. Предполагается, что при заданных начальном значении х = хо решения и значении £ = £о параметра множество фазовых траекторий априорно ограничено. Доказанная теорема позволяет путем подбора функции у получить приближенное решение управляемой системы, а также оценку погрешности такого приближенного решения.

Ключевые слова: дифференциальное включение, задача Коши, многозначные импульсные воздействия, фазовая траектория

Благодарности: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 22-11-00042, https://rscf.ru/project/22-11-00042/) в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН.

Для цитирования: Филиппова О.В. Оценки фазовых траекторий управляемых систем с многозначными импульсными воздействиями // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. № 143. С. 326-334. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-143-326-334

SCIENTIFIC ARTICLE © O.V. Filippova, 2023

https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-143-326-334

Estimates of the phase trajectories of controlled systems with multi-valued impulses

Olga V. FILIPPOVA

1 Derzhavin Tambov State University 33 International St., Tambov 392036, Russian Federation 2 V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation

Abstract. We consider a controlled system for the differential equation

x(t) = f (t, x(t),u(t), £), t G [a,b], x(a)=x,

where the parameter £ is an element of some given metric space, the control u satisfies the constraint

u(t) G U(t, x(t), £), t G [a, b].

It is assumed that at each given moment of time tk G (a, b) a solution x : [a, b] ^ Rn (a phase trajectory) suffers discontinuity, the magnitude of which belongs to a non-empty compact set (x(tk)) C Rn, and is an absolutely continuous function on intervals (tk-1,tk] . The control function is assumed to be measurable. A theorem on estimating the distance from a given piece-wise absolutely continuous function y : [a, b] ^ Rn to the set of phase trajectories for all initial values from a neighborhood of a vector x0 and for all parameters from a neighborhood of a point £0 is proven. It is assumed that for the given initial value x = x0 of the solution and for the value £ = £0 of the parameter, the set of phase trajectories is a priori limited. The proven theorem allows, by selecting the function y, to obtain an approximate solution of the controlled system, as well as an estimate of the error of such solution.

Keywords: differential inclusion, Cauchy problem, multi-valued impulses, phase trajectory

Acknowledgements: The research was supported by the Russian Science Foundation (project no. 22-11-00042 https://rscf.ru/en/project/22-11-00042/) at the V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences RAS.

Mathematics Subject Classification: 34K09.

For citation: Filippova O.V. Estimates of the phase trajectories of controlled systems with multi-valued impulses. Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:143 (2023), 326-334. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-143-326-334 (In Russian, Abstr. in Engl.)

Введение

Для описания динамики различных процессов широко используются дифференциальные уравнения и их многочисленные обобщения. Если имеется возможность влиять на состояние процесса, меняя значения некоторых его параметров, то соответствующая модель принимает вид дифференциального уравнения с управлением. Для нахождения всех возможных траекторий такой управляемой системы в нее удобно вместо управления «подставить» все множество допустимых управлений и тем самым свести эту систему к дифференциальному включению. Эквивалентность полученного таким образом дифференциального включения и исходной управляемой дифференциальной системы устанавливает известная лемма Филиппова. Этот результат и другие классические результаты теории многозначных отображений и дифференциальных включений, основы которых были заложены в 60-х годах 20 века в работах А. Ф. Филиппова (см. [1]) и Т. Важевского (см. [2,3]) и др. авторов, в настоящее время имеют многочисленные актуальные теоретические и практические приложения. Распространению классических результатов посвящены многочисленные работы. Большой интерес современных авторов к проблемам управления вызван, в том числе, необходимостью их решения для развития новых технологий в энергетике, военной промышленности, авиации, космонавтике и др. (см. [4, с. 5-6]).

В представленной работе исследуется дифференциальная управляемая система, которая может подвергаться мгновенным скачкообразным (т. е. импульсным) воздействиям. Значения таких импульсных воздействий могут варьироваться в некоторой замкнутой области, которая определяется состоянием текущего процесса. Система также содержит параметр — элемент некоторого метрического пространства. Предполагается наличие ограничений на управление: значение управления в каждый момент времени выбирается из компактного множества допустимых управлений, зависящего от времени, состояния объекта в этот момент времени и значения параметра. Рассматриваемая управляемая система описывает задачи управления движением, в частности, для космических аппаратов (импульсные воздействия моделируют кратковременное включение двигателей для корректировки траектории). Исследуемое дифференциальное уравнение «стандарно» сводится к дифференциальному включению, подверженному импульсным воздействиям, и содержащему параметр. На основе результатов о таком включении получены оценки траекторий исходной управляемой системы.

Данное исследование продолжает работы [5-7] и опирается на результаты этих работ. Систематически используются методы многозначного анализа, теории управляемых систем и дифференциальных включений (см. [8, с. 115-141]). Близкие подходы с применением априорных неравенств для нахождения оценок решений использовались в [9] при изучении функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями.

1. Основные понятия

Пусть Мп — п-мерное пространство с нормой | • |, сошр[Мп] — множество непустых компактов пространства Мп, для и, V € сошр[Мп] обозначим |и| = вир{|и| : и € и}, к[и; V] —расстояние по Хаусдорфу между множествами и и V в пространстве сошр[Мп]. Для заданного измеримого по Лебегу множества Ы С [а,Ь], с мерой ^(Ы) > 0, обозначим Ьп(Ы) — банахово пространство суммируемых по Лебегу функций х : Ы ^ Мп,

||х||ьп(и) = f |х(з)|^з. Обозначим через С^а,Ь] и Ь1 [а,Ь] пространства скалярных, веще-и

ственных, определенных на [а, Ь] непрерывных и, соответственно, суммируемых функций, а через С+[а,Ь] и Ь+[а,Ь] конусы неотрицательных функций в этих пространствах. Рассмотрим метрическое пространство 2 и обозначим через Вд(£,8) открытый шар в этом пространстве с центром в точке £ € 2 радиуса 8 > 0.

Пусть задан конечный набор точек £к € [а, Ь], к = 1, 2,... ,р, а < £1 <...<£„ < Ь. Обозначим через С [а, Ь] линейное пространство всех непрерывных на каждом из интервалов [а,£^, (¿1,£2], ..., (£Р,Ь] ограниченных функций х : [а,Ь] ^ Кга, имеющих пределы справа в точках £к, к =1, 2,... ,р. Для любого т € (а, Ь] определим линейное пространство С [а, т] сужений на [а, т] функций из С [а,Ь]. Зададим норму в этом пространстве формулой ||х||сп[ат] = вир{|х(£)| : £ € [а,т]}. Полученное таким образом пространство является банаховым. В пространстве С [а,т] скалярных функций определим конус С + [а,т] неотрицательных функций.

Определения используемых далее понятий многозначного анализа и сведения о многозначных отображениях см. [8, с. 15-76], [10, с. 65], [11, с. 117-127]).

Пусть заданы вектор х € Кга, функция f : [а, Ь] х Мга х Мт х 2 ^ Мга и многозначные отображения и : [а, Ь] х Ега х 2 ^ еошр[Ет], 1к : Ега х 2 ^ сошр[Ега], к = 1, 2,...,р удовлетворяющие следующим условиям:

^1) при каждом (х,и,£) € Ега х Ет х 2 функция f (-,х,и,£) : [а, Ь] ^ Ега измерима по Лебегу;

^2) при почти всех £ € [а, Ь] функция f (¿, ■) : Ега х Ет х 2 ^ Ега непрерывна; С£3) для каждого ограниченного множества Ш С Кга х х 2 существует функция тщ € Ь+[а,Ь] такая, что при почти всех £ € [а,Ь] и любых (х,и,£) € Ш выполняется неравенство ^(£,х,и,£)| ^ тщ(¿); (и1) при каждом (х,£) € Кга х 2 отображение и(-,х,£) измеримо; (и2) при почти всех £ € [а,Ь] отображение и(£,•,•) непрерывно по Хаусдорфу; (и3) для каждого ограниченного множества V С Кга х 2 существует ту > 0 такое, что

что при почти всех £ € [а,Ь] и всех (х,£) € V выполнено |и(£,х,£)| ^ ту; (II) при любом к = 1, 2,...,р отображение 1к локально ограничено (т. е. образ каждого ограниченного множества ограничен) и непрерывно по Хаусдорфу.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с параметром £ € 2, управлением и, испытывающего импульсные воздействия в заданные моменты времени а < £1 < ... < ¿р < Ь:

х(£) = f (£,х(£),и(£),£), (1.1)

и(£) € и(¿,х(£),£), (1.2)

х(£к + 0) - х(£к) € 4 (х(£к ),£), к =1, 2,...,р, (1.3)

х(а) = х. (1.4)

Определение 1.1. [5, Определение 1.1] Под допустимым управлением на отрезке [а, т] (т € (а, Ь]) системы (1.1)—(1.4) будем понимать такую измеримую по Лебегу функцию и : [а, т] ^ , для которой при почти всех £ € [а, т] выполняется включение (1.2) и существует функция х € С [а,т], удовлетворяющая при всех £ € [а,т] соотношению

г

х(£)=х + У f (з,х(з),и(з),£)^ + ^ Дк(x)X(,tk,ъ\(t),

а ке[а,т \

где Дк(х) = (х(£к + 0) — х(£к)) при любом к = 1, 2,... ,р удовлетворяет включению (1.3),

,ь] — характеристическая функция интервала , Ь]. В этом случае пару (и,х) будем называть допустимой на отрезке [а, т] , а функцию х € C [а, т] — фазовой траекторией.

Систему (1.1)—(1.4) будем называть управляемой системой с многозначными импульсными воздействиями и фазовыми ограничениями по управлению, поскольку отображения 1к являются многозначными, а множество и зависит от состояния управляемого объекта.

Определим многозначное отображение ^ : [а,Ь] х Мп х 2 ^ сошр[Мп] равенством

^ (*,х,о = / (¿,х,и (¿,х,о,е). (1.5)

В силу теоремы об измеримом выборе (см. [11, с. 132]), управляемая система (1.1)—(1.4) эквивалентна задаче Коши с начальным условием (1.4) для дифференциального включения

х(£) € ^(£,х(£),£), (1.6)

испытывающего импульсные воздействия (1.3). Это означает, что при любом т € (а, Ь], во-первых, для любой допустимой на [а, т] пары (х, и) системы (1.1)-(1.4) ее первая компонента — функция х является решением на [а,т] задачи Коши (1.6), (1.3), (1.4), и во-вторых, для любого х — решения на [а, т] задачи Коши (1.6), (1.3), (1.4) существует такая измеримая на [а, т] функция и, что пара (х, и) является решением на [а, т] системы (1.1)-(1.4).

Обозначим через Н(т, х,£) множество всех фазовых траекторий системы (1.1)—(1.4) на отрезке [а, т], а через Н(х, £) множество всех непродолжаемых фазовых траекторий этот системы (см. [9, Определение 2.3]).

Определение 1.2. [12, Определение 1.2] Множество Н(х, £) будем называть априорно ограниченным в точке (х0,£0) € Мп х 2, если найдется такое число г > 0, что для всякого т € (а,Ь] не существует х € Н(т, х0,£0), для которого бы выполнялось неравенство ||х||с] > г .

Определение 1.3. [12, Определение 1.3] Пусть заданы непустые множества 5 С Мп и К С 2. Множество Н(х, £) будем называть априорно ограниченным в совокупности на множестве Б х К, если оно априорно ограничено в каждой точке множества Б х К, а константа г > 0 в определении 1.2 является общей для всех точек из Б х К.

Для рассматриваемой здесь системы (1.1)—(1.4) в работе [5] рассмотрены вопросы существования и продолжаемости допустимых пар, доказано, что если для этой управляемой системы множество Н(х,£) в какой-то точке (х0,£0) € Мп х 2 априорно ограничено, то оно будет априорно ограниченным и в некоторой окрестности данной точки.

2. Основные результаты

Определим класс всевозможных отображений /1 : [а, Ь] х [0, то) х [0, то) х 2 ^ [0, то), удовлетворяющих условиям:

1) при каждых € [0, то) и £ € 2 выполнено /1 (•,^1 , г»2,£) € Ъ+[а,Ь];

2) при почти всех £ € [а, Ь] и любом £ € 2 функция /1(^, •, •, £) не убывает по каждому аргументу и непрерывна по их совокупности.

Далее, определим класс £2 всевозможных отображений /2 : [а, Ь] х [0, то) х 2 ^ [0, то), обладающих аналогичными свойствами, а именно:

1) при любых V € [0, то) и £ € 2 выполнено /1(-,^2,£) € Ь+[а,Ь] ;

2) при почти всех £ € [а, Ь] и любом £ € 2 функция /1(£, ■, £) не убывает и непрерывна. И определим еще класс I отображений I : [0, то) х 2 ^ [0, то), таких, что при любом £ € 2 функция С(-,£) непрерывна, не убывает и С(0,£) = 0.

Определение 2.1. Будем говорить, что набор рассмотренных выше отображений f : [а, Ь] х Ега х Ет х 2 ^ Ега, и : [а, Ь] х Ега х 2 ^ еошр[Ет], /к : Ега х 2 ^ сошр[Ега], к =1, 2, ...,р, обладает свойством 3 в точке (х, £) € Ега х 2, если

1) найдутся такие отображения /1 € £1, /2 € £2 и С € I, к =1, 2, ...,р, что при почти всех £ € [а,Ь] и любых х,у € Кга, и € выполняются неравенства

^(£,х,и,£)| ^ /1(£, |х|, |и|,£), |и(£,х,£)| ^ /2(£, |х|,£), Ь[/к(х, £); /к(у,£)] < Ск(|х - у|, £), к =1, 2,... ,р;

2) для отображения I : [а,Ь] х [0, то) х 2 ^ [0, то), определенного равенством

/(£,*,£) = /1(£,г,/2(£,^,£),£), (2.1)

при любых г € [0, то) и £ € 2 выполнено /(•,£,£) € Ь+[а,Ь] ;

3) множество всех локальных решений задачи Коши

у(£) = 1(£,у(£),£),

Д(у(£к)) = 4(у(£к),£), к =1,2,...,р, (2.2)

У(а) = |х1,

априорно ограничено.

Покажем, что в силу принятых предположений (f1)-(f3), (и1)-(и3) и (II) для отображений f, и,/к, к = 1, 2,...,р, в произвольной точке (х, £) € Кгах2 выполняются условия 1) и 2) свойства 3. Вначале построим требуемые отображения /1 € £1 и /2 € £2.

Из (f1), (f2) следует, что для отображения f : [а,Ь]хМга х!т х2 ^ Мга найдется такая измеримая по первому аргументу, неубывающая и непрерывная по второму и третьему аргументам функция 11 : [а, Ь] х [0, то) х [0, то) х 2 ^ [0, то), что при почти всех £ € [а, Ь] и всех £ € 2 , х1,х2 € Кга, и1,и2 € справедливо неравенство

^(£,х1,и1,£) - f (£,х2,и2,£)| ^ С(£, |х1 - х2|, |и1 - и2|,£). (2.3)

А из ^3) следует, что существует функция т € Ь+[а, Ь] такая, что при почти всех £ € [а, Ь] выполнено

^(£, 0,0, £)| ^ т(£). (2.4)

Согласно неравенствам (2.3), (2.4), для почти всех £ € [а,Ь], любых х € Кга, и € имеем

|f (£,х,и,£)| ^ |f (£,х,и,£) - f (£, 0, 0,£)| + |f (£, 0, 0,£)| ^ С(£, |х|, |и|,£)+ т(£). Итак, положим

/1 (£, |х|, |и|,£) = /1(£, |х|, |и|,£) + т(£), (2.5)

и заметим, что для определенного таким образом отображения выполнено: /1 € (по построению).

Аналогично, в силу (и1)-(и2) для отображения и : [а, Ь] х х 2 ^ сошр[Кт] существует такая измеримая по первому аргументу, неубывающая и непрерывная по второму аргументу функция /2 : [а, Ь] х [0, то) х 2 ^ [0, то), что при почти всех £ € [а, Ь] и любых £ € 2, х1,х2 € , выполнено

й[и(£,хь£),и(£,х2,£)] ^ £(*, |х1 — х21,£). (2.6)

А в силу (f3) существует функция т € Ъ+[а,Ь] такая, что при почти всех £ € [а,Ь] выполнено

|и(£,0,£)| ^ т. (2.7) Определим отображение /2 : [а, Ь] х [0, то) х 2 ^ [0, то) равенством

Ь(*,х,£) = 12(£,х,£)+ т, (2.8)

и заметим, что /2 € Тогда согласно неравенствам (2.6), (2.7) для отображения и при почти всех £ € [а, Ь] и любых х € будет выполнено соотношение

|и(£,х,£)| ^ /2(£, |х|,£).

В силу предположения (II) для каждого к = 1, 2,... ,р найдется функция С : [0, то) х 2 ^ [0, то), непрерывная, неубывающая по первому аргументу, удовлетворяющая равенству С(0, £) = 0, т. е. С € I, и для этой функции выполнено неравенство

(х,£); 4(у,£)] < 4(|х — у|, £).

Таким образом, для набора отображений /, и, 4, к =1, 2,... ,р, выполнено условие 1) в определении 2.1 свойства 3 в точке (х,£) € х 2.

Определим отображение / : [а,Ь] х [0, то) х 2 ^ [0, то), формулой (2.1), где /1 задано соотношением (2.5), а /2 — соотношением (2.8). При любых фиксированных г € [0, то) и £ € 2 отображение /(-,£,£) : [а, Ь] ^ [0, то) является суммируемой функцией. Условие 2) в определении 2.1 также выполнено.

Отметим, что включение /(-,£,£) € Ъ+[а,Ь] не гарантирует того, что множество всех локальных решений задачи (2.2) априорно ограниченно. Например, для начального значения х = 0, отображений /,/ определяемых при всех £ € [0,2], г € К, £ € 2 соотношениями 1 (£, г, £) = г2 + 1 и С(г,£) = 0, решением задачи (2.2) является функция г(£) = tgимеющая вертикальную асимптоту х = п/2. Это решение не продолжаемо на весь отрезок [0, 2]. Следовательно, множество локальных решений не является априорно ограниченным.

Итак, доказано, что набор отображений /, и, 4, к = 1, 2,... ,р, удовлетворяет требованиям 1) и 2) свойства 3 в любой точке (х, £) € х 2, но для выполнения требования 3) необходимы дополнительные ограничения. Свойство 3 существенно используется в следующей теореме, составляющей основной результат данного исследования.

Рассмотрим произвольную функцию у € С [а, Ь]. По определению пространства С [а, Ь] для этой функции существует такое С € Ега[а,Ь], что имеет место равенство

* р

у(£)= у(а) + [ + ^ Дд (у)х(^,ь](£), £ € [а,Ь], (2.9)

а

где Дк(у) = (у(Ьк + 0) — у(£д)) € 4(у(4),£0) к =1, 2,... ,р, Х(гк,ь] — характеристическая функция интервала (4, Ь].

Теорема 2.1. Пусть для произвольного £ € 2, для определенной формулой (2.9) функции у € СР[а,Ь] и для всех измеримых управлений и(-) € и(-,у(-),£) существует такая функция к : [а, Ь] х 2 ^ [0, то), что к(-,£) € Х+[а,Ь] при £ € 2, и для каждого измеримого множества Ы С [а, Ь] справедливо

||С - f (•,у(-),и(-),£)|и»(м ^ к(в,£)Ж.

и

Пусть, кроме того, набор отображений f, и, /к, к = 1, 2,... ,р, обладает свойством 3 в точке (ха,£а) при некоторых £а € 2 и ха € Еп. Тогда существует такое 5 > 0, что для любого £ > 0 и любой пары (х,и) € Н(х,£) при £ € В3(£а,5) и х € £Кп (хо,5), если у(а) € Вкп(ха,5), то фазовая траектория х удовлетворяет оценкам

|х(£) - у(£)| ^ п(£), £ € [а, Ь],

| f (£, х(£), и(£), £) - Са (£) | ^ к(£, £) + I (£, п(£), £) + £, £ € [а, Ь],

где I : [а,Ь]х[0, то)х2 ^ [0, то) определено в свойстве 3 соотношением (2.1), п € С [а,Ь] — верхнее решение мажорантной задачи

¿(£) = к(£,£)+ £ + 1(£,г(£),£),

г(£к + 0) - г(£к) = Ск(г(£к)), к = 1, 2,... ,р, г (а) = 5.

Доказательство этого утверждения использует редукцию управляемой импульсной системы (1.1)—(1.4) к соответствующей задаче Коши для дифференциального включения (1.6), (1.3), (1.4). Затем применяются результаты работ [9] и [12], в которых получены оценки отклонения значений многозначного отображения ^ : [а,Ь] х Мп х 2 ^ еошр[Мп], определенного равенством (1.5), от наперед заданной суммируемой функции (см. [9, теорема 1.2]). Этот подход позволяет получить в явном виде оценки отклонения множества фазовых траекторий управляемой системы (1.1)—(1.4) от кусочно абсолютно непрерывной функции у.

Замечание 2.1. Теорема 2.1 дает несколько больше, чем оценки фазовых траекторий задачи (1.1)—(1.4). Эта теорема позволяет также определить приближенную фазовую траекторию путем подбора функции у € Сп[а,Ь]. При этом функция п(') дает оценку погрешности такой приближенной фазовой траектории.

В заключение отметим, что полученные в данной статье оценки фазовых траекторий импульсных дифференциальных систем управления аналогичны оценкам, полученным в работах [6], [7], [12].

References

[1] А. Ф. Филиппов, "О некоторых вопросах теории оптимального регулирования", Вестник Московского университета. Серия: Математика, механика., 1959, №2, 25-32. [A. F. Filippov, "On some questions of the theory of optimal controll", Moscow Universities Reports, 1959, №2, 25-32 (In Russian)].

[2] T. Wazewski, "Systemes de commande et equations au contingent", Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. Astr, Phys., 9:3 (1961), 151-155.

[3] T. Wazewski, "Sur une generalisation de la notion des solution d'une equations au contingent", Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math., Astr., Phys., 10:1 (1962), 11-15.

[4] С. В. Емельянов, А. В. Ильин, С. К. Коровин, В. В. Фомичев, А. С. Фурсов, Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости, управляемости и наблюдаемости, 1-е изд., Физматлит, М., 2014. [S.V. Emelyanov, A. V. Ilyin, S.K. Korovin, V.V. Fomichev, A. S. Fursov, Mathematical Methods of Control Theory. Problems of Stability, Controllability and, Observability, 1st. ed., FIZMATLIT Publ., Moscow, 2014 (In Russian)].

[5] О.В. Филиппова, "Управляемые дифференциальные уравнения с параметром и с многозначными импульсными воздействиями", Вестник российских университетов. Математика., 25:132 (2020), 441-447. [O.V. Filippova, "Differential equations with a parameter, with multivalued impulses and with control", Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 25:132 (2020), 441-447 (In Russian)].

[6] П. И. Чугунов, "Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы", Прикл. математика и пакеты прикл. программ. Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980, 155-179. [P. I. Chugunov, "Properties of solutions for differential switching and controlled systems", Applied Mathematics and Application Packages, 1980, 155-179 (In Russian)].

[7] В. И. Благодатских, А. Ф. Филиппов, "Дифференциальные включения и оптимальное управление", Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы, Сборник обзорных статей. 2. К 50-летию института, Тр. МИАН СССР, 169, 1985, 194-252; англ. пер.У. I. Blagodatskikh, A.F. Filippov, "Differential inclusions and optimal control", Proc. Steklov Inst. Math., 169 (1986), 199-259.

[8] Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, 2-е изд., Книжный дом «ЛИБ-РОКОМ», М., 2016. [Yu.G. Borisovich, B.D. Gelman, A.D. Myshkis, V.V. Obukhovsky, Introduction to the Theory of Multivalued Mappings and Differential Inclusions, 2nd ed., Book House "LIBROKOM", Moscow, 2016].

[9] А. И. Булгаков, О.В. Филиппова, "Импульсные функционально-дифференциальные включения с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений", Изв. ИМИ УдГУ, 2014, №1(43), 3-48. [A.I. Bulgakov, O.V. Filippova, "The functional differential inclusions with impulses and with the right-hand side not necessarily convex-valued with respect to switching", Izv. IMI UdGU, 2014, № 1(43), 3-48 (In Russian)].

[10] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 5-е изд., Наука, М., 2007; англ. пер.^.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, I, II, Dover Publications, Mineola, New York, 1957, 1961.

[11] А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, 1-е изд., ФИЗМАТЛИТ, М., 2014. [A. V. Arutyunov, Lectures on Convex and Multivalued Analysis, FIZMATLIT Publ., Moscow, 2014 (In Russian)].

[12] А. И. Булгаков, Е. В. Корчагина, О. В. Филиппова, "Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Части I-VI", Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 14:6 (2009), 1275-1313. [A.I. Bulgakov, E.V. Korchagina, O.V. Filippova, "Functional-differential inclusions with impulses. Part I-VI", Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki = Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 14:6 (2009), 1275-1313 (In Russian)].

Информация об авторе

Филиппова Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1612-9880

Поступила в редакцию 14.06.2023 г. Поступила после рецензирования 04.09.2023 г. Принята к публикации 12.09.2023 г.

Information about the author

Olga V. Filippova, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, Derzhavin Tambov State University, Tambov, Russian Federation. E-mail: [email protected] ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1612-9880

Received 14.06.2023 Reviewed 04.09.2023 Accepted for press 12.09.2023