ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

УДК 517.929.4

ОЦЕНКИ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ И. И. Матвеева

Аннотация. Рассматривается класс неавтономных систем дифференциальных уравнений с переменными сосредоточенным и распределенным запаздываниями, которые могут быть неограниченными. С использованием функционала Ляпунова — Красовского установлены оценки решений, которые позволяют сделать вывод об устойчивости.

Б01: 10.25587/8УРи.2022.48.62.006

Ключевые слова: системы с переменным запаздыванием, переменные коэффициенты, оценки решений, устойчивость, функционал Ляпунова — Красовского.

Введение

Рассмотрим следующую систему с переменными сосредоточенным и распределенным запаздываниями:

-у(1) = А(1)у(1) + ВЦ)у(г -т(г))+ у ОЦ,г-з)у(з)йз

г-т (г)

+ ^ ку(ь),у(ь - т(*)), У о(г,г - з)у(з) ь > о, (1)

V г-т (г) '

где А(Ь), В(Ь), П(Ь,в) — матрицы размера п х п с непрерывными элементами, т. е.

1+), 1,з = \,...,п,

т(Ь) — функция, определяющая запаздывание, т(Ь) € Сх([0, го)),

О < то < т{г) < + т2, 0 < Т1 < 1, т2 > 0, ^^ < т3 < 1. (2)

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект № Р'№КР-2022-0008).

г

© 2022 Матвеева И. И.

Мы предполагаем, что непрерывная вещественнозначная вектор-функция Р(1,41,42, из) локально липшицева по их, и3 и удовлетворяет неравенству

||Р(*,41,42,4з)|| < 911Ы1 + ^КН, I > 0, их, 42, из € М", (3)

где qj > 0. Наша цель — получить оценки для решений системы (1) на всей полуоси {4 > 0}, на основе которых можно сделать вывод об устойчивости решений.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных изучению устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздыванием (например, см. [1-12] и имеющуюся там библиографию). Для получения условий устойчивости часто используются функционалы Ляпунова — Красов-ского. Однако не каждый функционал Ляпунова — Красовского позволяет получать оценки, характеризующие скорость убывания решений на бесконечности. В последние годы исследования в этом направлении активно развиваются. Большая часть работ посвящена уравнениям с постоянными коэффициентами. Неавтономные уравнения изучены гораздо меньше.

Данная статья продолжает наши исследования устойчивости решений неавтономных дифференциальных уравнений с запаздыванием (например, см. [1321]). В этих работах исследовались системы с запаздыванием по времени с периодическими коэффициентами в линейных членах. Были установлены условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения и получены оценки экспоненциального убывания решений на бесконечности с использованием специальных функционалов Ляпунова — Красовского. В [22, 23] рассматривались нелинейные системы с переменными коэффициентами и запаздыванием.

В этой статье рассматриваются неавтономные системы вида (1) с переменными сосредоточенным и распределенным запаздываниями. Отметим, что запаздывание может быть неограниченным, если тх > 0. Установлены оценки для решений, которые позволяют сделать вывод об устойчивости решений. В случае экспоненциальной и асимптотической устойчивости указаны оценки скорости стабилизации решений на бесконечности. Для линейных систем (Р(4,41,42,4з) = 0) такие исследования были проведены в работе [23]. При получении результатов будем использовать функционал Ляпунова — Красовского из семейства функционалов, введенных в [19].

Автор выражает благодарность профессору Г. В. Демиденко за полезные обсуждения.

(4)

Основные результаты

Рассмотрим начальную задачу для системы (1):

t

d i'

-yit) = A(t)y(t) + B(t)y(t - r(t)) + J D(t, t — s)y(s) ds

t-т (t)

( \

+ F i,y(i),y(i - t(i)), / D(i,i - s)y(s) ds I , i> 0,

V t-т (t) /

y(i) = ¥>(t), i G [-T2, 0], y(+0) = y(0),

где ^(i) G C([-t2, 0]) — заданная вещественнозначная вектор-функция.

Для формулировки результатов введем ряд обозначений. Определим матрицы H (i), K (i, s) размера n x n такие, что

-ff(i) G C1(R+), H(t) = H*(t) > 0, t> 0, (5)

причем минимальное собственное значение h(i) матрицы H (i) удовлетворяет неравенству

h(i) > ho > 0, (6)

K(t, s) G С1(Ж^_), K{t,s) = K*{t,s), K(t, s) > 0, (t, s) G K+. (7) Введем матрицу

/Qu(i,s) Qi2(i,s) Qia(i,s)\

Q(i,s) = I Ql2(i,s) Q22(i, s) Q23(i, s) I (8)

\Qîa(i,s) Q^3(i,s) Q33(i,s)/

с элементами

Qii(t, s) = - - A*(t)H(t) - K(t, 0), Qi2(i,s) = -H (i)B(i),

Qi3(i,s) = -t(i)H(i)D(i, s),

Q22(M)= (l-|r(i))K(i,r(i)), (9)

Q23(i, s) = 0,

- d d

Q33(i, s) = -r{t) (—K(t, s) + Q-Kit, s)

Пусть a(i) > 0 — произвольная непрерывная функция. Определим функции

m = 2||Я(*)|| (<Zi + ¿|y) , &(*) = 2||tf (t)|| a(t) (10)

и матрицу

'ei(i) 0 0\

Qe(i, s) = Q(i,s) - | 0 02(i) 0 I 0 0 0

Теорема. Предположим, что существуют матрицы H(t), K(t,s), удовлетворяющие условиям (5)—(7) и такие, что справедливо неравенство

(q13(t,s) ^v j , ^v > p(t)(H(t)u,u) + k(t)r(t)(K(t,s)w,w), (11)

u,v,wG R™, (t,s)el+, где p(t), k(t) £ C(M+). Тогда для решения задачи (4) имеет место оценка

||y(i)|| < УЩ^ехр J, t > О, (12)

где

о

V(0, p) = (H(0)^(0),^(0)) + J (K(0, -s)p(s),p(s))ds, (13)

-T (0)

7(t) = min{p(t),k(t)}. (14)

Доказательство. Пусть y(t) — решение начальной задачи (4). Используя матрицы H(t), K(t, s), удовлетворяющие условиям теоремы, рассмотрим на решении следующий функционал Ляпунова — Красовского:

t

V(t,y) = (H(t)y(t),y(t)) + J (K(t,t - s)y(s),y(s))ds. (15)

t-T(t)

Дифференцируя его, получаем

ftV(t,y) = (±H(t)y(t),y(t)) + (H(t)±y(t),y(t)) + (H(t)y(t),±y(t))

+ (K(t,0)y(t),y(t))-^l-ftr(t^ (K(t,r(t))y(t-r(t)),y(t-rm

t

d

+

t-T(t)

Учитывая, что y(t) — решение задачи (4), получаем d

J (^K(t,t-s)y(s),y(s)^ds.

d

y(t),y(t)

+ (H(t)B(t)y(t - T(t)),y(t)) + (B*(t)H(t)y(t),y(t - T(t)))

H{t) + H(t)A(t) + A*(t)H(t) + K(t, 0)

+ / H (t) J D(t, t - s)y(s) d,s,y(t)\ + / H (t)y(t), J D(t, t - s)y(s) ds

t-T(t) t-T(t)

~ (l - jT{t)\ (Kit, r(t))y(t - T(t)), y(t - rm

4

. , й

+

4-т (4)

где

I + IV(г),

W = ^ Н - т (¿)), У - в)у(в)

+ ^НКу(*),у(* - т(*)),/ ДМ - в)у(в) П . (16)

4-т (4)

Используя матрицу в), определенную в (8), (9), имеем

4

> 1

мь;4-ТV у(в) / V у(в)

1 ; / / у(4) \ I У(4) \\

4—т(4) V у(в) / V у(в) / '

В силу (3)

(¿)|< 2||Н(¿)Н(91|У(4)П + 92|У(4 - т(*))||)||у(*)||.

Нетрудно заметить, что (¿)| можно оценить следующим образом:

(¿)|< /ШНУ^Г + &(*)№(* - т(¿))|2,

где функции вj(¿) определены в (10). Тогда

4

х 1

1 4 / / У(*) \ / У(4) \\

мУ(Ь,у)<-— / шР^^-в) I у{1,-т(1)) I , I у{1,-т(1)) I

т ( ) 4-т (4) ^ V У(в) / V У(в) / /

4-т (4)

Используя (11), получаем

4

4-т (4)

В силу определения функционала (15) имеем

где 7(4) определено в (14). Из этого дифференциального неравенства получаем

V(4,у) < V(0,у>) ехр

где V(0, задано в (13). Очевидно,

М*)||у(*)||2 <(Н(4)у(^),у(4)> < |НШуфГ,

где Н(Ь) — минимальное собственное значение матрицы Н(Ь). Тогда

г

^ щ№М*)>уи) ^Щг^ЩГехр ("/

откуда следует (12). Теорема доказана.

Замечание. Показатель 7(Ь) в оценке (12) зависит от функций ^ (Ь), которые определяются через функцию а(Ь) > 0. Например, выбирая

Ф) = --2- '

получаем, что

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы. Если

г

J7 (вЦв > о, ь> о,

0

то нулевое решение системы (1) устойчиво, при этом для решения задачи (4) имеет место оценка

где Н0 определено в (6).

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы. Если

г

У 7(в)^ го, Ь ^ го, 0

то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, при этом скорость стабилизации решения определяется функцией

г

1 2

ехр (11Ш ) •

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы. Если г

J Y(s)ds > 71Ь + 72, 71 > 0, Ь > 0, 0

то нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво, при этом для решения задачи (4) имеет место оценка

ыт<№ехр,>„.

ЛИТЕРАТУРА

1. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

3. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наук. думка, 1989.

4. Избранные труды Н. В. Азбелева. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2012.

5. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 1996.

6. Хусаинов Д. Я., Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных систем. Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1997.

7. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. (Math. Appl.; V. 463).

8. Michiels W., Niculescu S. I. Stability, control, and computation for time-delay systems. An eigenvalue-based approach. Philadelphia, PA: SIAM, 2014. (Adv. Des. Control; V. 27).

9. Agarwal R. P., Berezansky L., Braverman E., Domoshnitsky A. Nonoscillation theory of functional differential equations with applications. New York: Springer, 2012.

10. Kharitonov V.L. Time-delay systems. Lyapunov functionals and matrices. Control engineering. New York: Birkhauser; Springer, 2013.

11. Gil' M. I. Stability of neutral functional differential equations. Paris: Atlantis Press, 2014. (Atlantis Stud. Differ. Equ.; V. 3).

12. Park J. H., Lee T. H., Liu Y., Chen J. Dynamic systems with time elays: stability and control. Singapore: Springer, 2019.

13. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. С. 1025-1040.

14. Матвеева И. И. Оценки решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 3. С. 122-132.

15. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. С. 1059-1077.

16. Матвеева И. И. Об экспоненциальной устойчивости решений периодических систем нейтрального типа // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 2. С. 344-352.

17. Матвеева И. И. Об экспоненциальной устойчивости решений периодических систем нейтрального типа с несколькими запаздываниями // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53, № 6. С. 730-740.

18. Демиденко Г. В., Матвеева И. И., Скворцова М. А. Оценки решений дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 5. С. 1063-1079.

19. Матвеева И. И. Оценки экспоненциального убывания решений линейных систем нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 3. С. 96-103.

20. Matveeva I. I. Exponential stability of solutions to nonlinear time-varying delay systems of neutral type equations with periodic coefficients // Electron. J. Diff. Equ. 2020. V. 2020, N 20. P. 1-12.

21. Матвеева И. И. Оценки экспоненциального убывания решений одного класса нелинейных систем нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Журн. вычисл. математики мат. физики. 2020. Т. 60, № 4. С. 612-620.

22. Матвеева И. И. Оценки решений класса неавтономных систем нейтрального типа с неограниченным запаздыванием // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 3. С. 579-594.

23. Matveeva I. I. Estimates for solutions to one class of nonlinear nonautonomous systems with time-varying concentrated and distributed delays // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. Т. 18,

№ 2. С. 1689-1697.

Поступила в редакцию 15 августа 2022 г. После доработки 15 августа 2022 г. Принята к публикации 31 августа 2022 г.

Матвеева Инесса Изотовна

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 та^ееуаФтаЛ .nsc.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

UDC 517.929.4

ESTIMATES FOR SOLUTIONS TO ONE CLASS OF NONAUTONOMOUS SYSTEMS WITH TIME-VARYING CONCENTRATED AND DISTRIBUTED DELAYS I. I. Matveeva

Abstract: We consider a class of nonautonomous systems of differential equations with time-varying concentrated and distributed delays than can be unbounded. Using a Lyapunov—Krasovskii functional, some estimates of solutions are established. The obtained estimates allow us to conclude whether the solutions are stable. DOI: 10.25587/SVFU.2022.48.62.006

Keywords: time-varying delay systems, variable coefficients, estimates for solutions, stability, Lyapunov—Krasovskii functional.

REFERENCES

1. El'sgol'ts L. E. and Norkin S. B., Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Acad. Press, New York, London (1973).

2. Hale J. K., Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verl., New York; Heidelberg; Berlin (1977).

3. Korenevskii D. G., Stability of Dynamical Systems under Random Perturbations of Parameters, Algebraic Criteria [in Russian], Nauk. Dumka, Kiev (1989).

4. Azbelev N. V., Selected Works [in Russian], Institute of Computer Science, Moscow, Izhevsk (2012).

5. Dolgii Yu. F., Stability of Periodic Differential-Difference Equations [in Russian], Izdat. Ural Univ., Yekaterinburg (1996).

6. Khusainov D. Ya. and Shatyrko A. V., The Method of Lyapunov Functions in the Study of the Stability of Functional-Differential Systems [in Russian], Izdat. Kiev Univ., Kiev (1997).

7. Kolmanovskii V. B. and Myshkis A. D., Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1999) (Math. Appl.; 463).

8. Michiels W. and Niculescu S. I., Stability, Control, and Computation for Time-Delay Systems, An Eigenvalue-Based Approach, Soc. Ind. Appl. Math., Philadelphia, PA (2014) (Adv. Des. Control; vol. 27).

9. Agarwal R. P., Berezansky L., Braverman E., and Domoshnitsky A., Nonoscillation Theory of Functional Differential Equations with Applications, Springer, New York (2012).

10. Kharitonov V. L., Time-Delay Systems, Lyapunov Functionals and Matrices, Control Engineering, Birkhauser, Springer, New York (2013).

11. Gil' M. I., Stability of Neutral Functional Differential Equations, Atlantis Press, Paris (2014) (Atlantis Stud. Differ. Equ.; vol. 3).

12. Park J. H., Lee T. H., Liu Y., and Chen J., Dynamic Systems with Time Delays: Stability and Control, Springer, Singapore (2019).

13. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Stability of solutions to delay differential equations with periodic coefficients of linear terms," Sib. Math. J., 48, No. 5, 824-836 (2007).

© 2022 I. I. Matveeva

14. Matveeva I. I., "Estimates for solutions to one class of nonlinear delay differential equations," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 4, 557-566 (2013).

15. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "On estimates of solutions to systems of differential equations of neutral type with periodic coefficients," Sib. Math. J., 55, No. 5, 866-881 (2014).

16. Matveeva I. I., "On exponential stability of solutions to periodic neutral-type systems," Sib. Math. J., 58, No. 2, 264-270 (2017).

17. Matveeva I. I., "On the exponential stability of solutions of periodic systems of the neutral type with several delays," Differ. Equ., 53, No. 6, 725-735 (2017).

18. Demidenko G. V., Matveeva I. I., and Skvortsova M. A., "Estimates for solutions to neutral differential equations with periodic coefficients of linear terms," Sib. Math. J., 60, No. 5, 828-841 (2019).

19. Matveeva I. I., Estimates of the exponential decay of solutions to linear systems of neutral type with periodic coefficients," J. Appl. Ind. Math., 13, No. 3, 511-518 (2019).

20. Matveeva I. I., Exponential stability of solutions to nonlinear time-varying delay systems of neutral type equations with periodic coefficients," Electron. J. Differ. Equ., 2020, No. 20, 1-12 (2020).

21. Matveeva I. I., "Estimates for exponential decay of solutions to one class of nonlinear systems of neutral type with periodic coefficients," Comput. Math. Math. Phys., 60 (2020), No. 4, 601-609.

22. Matveeva I. I., "Estimates for solutions to a class of nonautonomous systems of neutral type with unbounded delay," Sib. Math. J., 62, No. 3, 468-481 (2021).

23. Matveeva I. I., "Estimates for solutions to one class of nonlinear nonautonomous systems with time-varying concentrated and distributed delays," Sib. Elektron. Mat. Izv., 18, No. 2, 1689-1697 (2021).

Submitted August 15, 2022 Revised August 15, 2022 Accepted August 31, 2022

Inessa I. Matveeva

Sobolev Institute of Mathematics,

4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk, Russia;

Novosibirsk State University,

Pirogova st., 1, 630090 Novosibirsk, Russia

matveeva@math.nsc.ru