УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2021. Том 28, № 3

УДК 517.929.4

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И. И. Матвеева, А. В. Хмиль

Аннотация. Рассматривается класс нелинейных систем разностных уравнений с запаздыванием и постоянными коэффициентами в линейных членах. Указаны условия асимптотической устойчивости нулевого решения и получены оценки, характеризующие скорость стабилизации решений на бесконечности. При получении результатов используется функционал Ляпунова — Красовского специального вида.

Б01: 10.25587/8УРи.2021.56.29.003

Ключевые слова: разностные уравнения с запаздыванием, асимптотическая устойчивость, функционал Ляпунова — Красовского, оценки решений.

Введение

В работе рассматриваются нелинейные системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами следующего вида:

хп+1 = Ах„ + Бх„_т(„) + Р(п,хп), п = 0,1, 2,..., (0.1)

где А, Б — постоянные матрицы размеров т х т, т(п) € {1,... , т} — параметр запаздывания, 1 < т(п) < т < го, Р(п,и) — непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая оценке

||-(п,и)||< д||и||1+ш, п = 0,1,..., д> 0, ш > 0. (0.2)

Цель работы — изучение асимптотической устойчивости нулевого решения систем вида (0.1) и получение оценок решений {хп}, характеризующих скорость стабилизации при п ^ го.

Первые результаты по устойчивости решений обыкновенных разностных уравнений были получены более ста лет назад в работах А. Пуанкаре и О. Перрона. Однако систематическое изучение устойчивости для разностных уравнений началось в 50-х гг. прошлого столетия (см., например, [1-3]). Это было обусловлено развитием численных методов и математического моделирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-01—00754).

© 2021 Матвеева И. И., Хмиль А. В.

В настоящее время имеется ряд монографий по разностным уравнениям, в которых изложены различные результаты по теории устойчивости и методы, которыми они получены (см., например, [4-6]).

В последнюю четверть века начали проводиться активные исследования по теории устойчивости решений разностных уравнений с запаздывающим аргументом (см., например, [7-15]). При исследованиях устойчивости использовались аналоги методов, используемых в теории функционально-дифференциальных уравнений (спектральные методы, метод неравенств типа Халаная, метод функций Ляпунова, построение решения в операторном виде и установление связей между дифференциальными уравнениями и разностными уравнениями с запаздывающим аргументом и т. д.).

В работе при изучении асимптотической устойчивости нулевого решения систем вида (0.1) будем использовать функционал Ляпунова — Красовского

п-1

у(п,х) = (Ихп,Хп) + (Кп-з- 1хз), (0.3)

3=п—т

где И, К0,К1,..., Кт—1 — некоторые эрмитовы положительно определенные матрицы. Этот функционал был предложен в работе [16] и является дискретным аналогом функционала Ляпунова — Красовского

(Иу(г),у(г)) + у (К(г - з)у(з),у(з))

^—т

введенного в [17] при исследовании асимптотической устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

= Ау(1) + Ву(1 - т) + у{1),у{1 - г)), 4 > 0.

Используя функционал (0.3), установим достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения систем вида (0.1), получим оценки на множество притяжения и на скорость стабилизации решений на бесконечности.

Авторы выражают благодарность профессору Г. В. Демиденко за полезные обсуждения.

§ 1. Предварительные сведения

Рассмотрим линейную систему разностных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздыванием

Хп+1 = Ахп + Вхп-т(п), п = 0,1, 2,..., (1.1)

где А, В —постоянные матрицы размеров тхт, т(п) € N. Будем предполагать, что запаздывание ограничено:

1 < т(п) < т < го.

Тогда, очевидно, систему уравнений (1.1) можно записать в виде следующей системы линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами:

где

Хп+1 = Аж„ + ^^ вз , п = 0,1,...,

3=1

В (п) = |

(1.2)

В при ] = т (п), 0 при ] = т (п).

При изучении устойчивости решений линейных систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами можно использовать спектральный критерий или критерий Ляпунова (см., например, [18,19]). Однако для системы (1.2) эти критерии неприменимы, поскольку матрицы В3- (п) не являются постоянными. При изучении асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.2) в работе [16] использовался функционал Ляпунова — Красовского (0.3). Были установлены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.2), а следовательно, и (1.1), при этом также получены оценки скорости убывания нормы решения {хп} системы (1.1) с заданными начальными условиями

х0, х_1,... , х_т (1.3)

при п ^ го. Приведем соответствующие результаты из работы [16].

Теорема 1.1 [16]. Предположим, что существуют эрмитовы положительно определенные матрицы Н, К3-, ] =0,1,..., т, такие, что

А3 = К_1 - К > 0, ] = 1,...,т,

3_1

и составные матрицы

/ Соо(п) А* НВ1(п)

С (п) = -

В*(п)НА

Сц(п)

... А*НВт (п) \ ... В* (п)НВт (п)

(1.4)

\В* (п)НА В*(п)НВ1(п) ... Стт (п) )

с элементами

Соо(п) = А*НА - Н + Ко, С,-» = В*{п)НВ3{п) - 1дз, ^ = 1, Стт (п) = В* (п)НВт (п) - Кт

, т 1,

положительно определены. Тогда нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво.

Из определения матриц В3- (п) вытекает, что из всего множества положительно определенных матриц {С(п)}, п € М, различных матриц не более чем т. Следовательно, существует константа с1 > 0 такая, что для любого п € N справедлива оценка

хп \ / хп

С(п)

> С1£|

(1.5)

2

х

п_г

п_т

п_т

Теорема 1.2 [16]. Предположим, что выполнены условия теоремы 1.1. Пусть к- € (0,1), 2 = 1, 2,..., т, такие, что

+х1К1_1 < 0, г=1,...,т-1, —Дт + ятКт-1 < 0. (1.6) Тогда для решения начальной задачи (1.1), (1.3) справедлива оценка

(1 _ е)п

1Ы12< 1 , ; у(0,х), П1

где Н1 > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н,

-1

г>(0,х) = (Нх0,х0) + ^^ , х3-), (1.7)

3=-т

е = шт|хь...,хт,|щ|, 0 < е < 1. (1.8)

Используя функционал (0.3), проведем исследования асимптотической устойчивости решений нелинейных систем вида (0.1). В следующем параграфе сформулируем и докажем основные результаты работы.

§ 2. Основные результаты

Установим достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (0.1), получим оценки на множество притяжения нулевого решения и оценки, характеризующие скорость стабилизации решений задачи (0.1), (1.3) на бесконечности.

Поскольку запаздывание ограничено, систему (0.1) можно записать в виде

т

хп+1 = Ах„ + вз (п)хп-з + ^ (п,х„), п = 0,1,..., (2.1)

3=1

где

(В при 2 = т (п), В3(п) = |

0 при 2 = т (п).

Будем предполагать, что выполнены условия теоремы 1.1. Вначале рассмотрим случай ш > 0. Введем следующие обозначения:

|Я||||В||2 , 1 _ / ¡ек\+" , т||Л?/2\2 ЦА^У'"

Р= +1, Г=\\ЬПГ771Г +

С1 \У Ч2\\Н\\Р V ЧР / ЧР )

Н1 > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н, с1, е определены в (1.5), (1.8) соответственно.

Теорема 2.1. Предположим, что выполнены условия теоремы 1.1. Тогда нулевое решение системы (0.1) асимптотически устойчиво и множество

Е = {х0,...,х-т € Ст : и(0,х) <г} (2.2)

является множеством притяжения нулевого решения, где г>(0, ж) определено в (1.7). При этом для решения задачи (0.1), (1.3) с начальными условиями из Е имеет место оценка

ж„||2 < (М-1 (1 - е + 2д||Н|| || А||Л—1—ш/2«ш/2(0, ж)

+ /'9М!Ш!+д2||Я||)Лг 1-^(0,ж)) „(о,*). (2.3)

С1

Доказательство. Пусть {жп} — решение начальной задачи (0.1), (1.3). Рассмотрим на этом решении функционал (0.3). В силу условий на Н и {К3-} при {жп} = 0 функционал «(п, ж) > 0.

Рассмотрим разность г>(п + 1, ж) — г>(п, ж). Используя обозначения для матриц А3-, имеем

«(п + 1, ж) — «(п,ж) = (Нж„+1,ж„+1) — (Нж„,ж„)

п п— 1

+ (Кп—3ж3 , ж3 ) — (Кп—3—1 ж3 ' ж 3 )

3=п+1—т 3=п—т

п—1

(Нжп+1,жп+1) (Нжп > жп ) + (К0жп,жп) ^ ^ (Ап—3 ж3 ) ж 3 ) (Кт жп—Т ) жп—Т

3=п—Т

Учитывая, что {жп} — решение эквивалентной задачи (2.1), (1.3), получаем «(п + 1, ж) — «(п, ж) = (А*НАжп, жп) — (Нжп,ж„) + (Кожп, жп)

+ ^ (А*НВ5- (п)ж п—3 , жп) + (В3 (п)НАж п, жп

3=1 3=1

Т п—1

п)жп—г ) жп—3 ) ^ ^ (Ап—3ж3 ) ж3 ) (Ктжп—т и жп—т) 3,г= 1 3=п—т

+2Ие(Ажп, Н^(п, жп))+^Ие(В3 (п)жп—3, НР(п, жп)) + (^(п, жп), Н^(п, жп)).

3=1

Используя матрицу С(п), заданную в (1.4), разность г>(п + 1,ж) — г>(п,ж) можно переписать в виде

(/ жп \ / жп

С(п) I .

\ т* / \ т*

\ О/п — т / V — т

1 п— 1

-- £ + (2.4)

3=п—т + 1

где

Ж(п, ж) = 2Ие(Ажп(п,жп))

т

+ 2^Ке(В,- (п)жп—3 (п,жп)) + (^ (п,жп),Н^ (п,гп)). (2.5)

3=1

Оценим каждое из слагаемых в (2.4). По условию теоремы все матрицы С(п) являются положительно определенными, при этом выполнена оценка (1.5). Поскольку Н = Н* > 0, то

С1 ||ж„_г||2 > jj—AHxn,xn) + С! ||ж„-г||2. (2.6)

i=0 " " i=1

Из условий (1.6) вытекает неравенство

1 n — 1

^ ^ (An—j xj ) + (At xn—T ,xn—T )

2

j=n—T+1

n—1

Kn—j (Kn—j—1 xj ,xj ) + KT (KT — 1 ХП — T ; Xn — T ). (2.7)

j=n—T+1

В силу (0.2) имеем

||W(n,x)||< 2q||H||||А|||М2+Ш

+

2q|HШЫГ+^Е ||Bj(n)||||xn—j|| + q2||H||||x

j=1

. (2.8)

Для проведения дальнейших рассуждений воспользуемся вспомогательной леммой.

Лемма. Рассмотрим квадратичную форму

и0 (а0и0 + а1и1 + ■ ■ ■ + атит), где аг > 0, г = 0,..., т. Для любых вг > 0, г = 1,..., т, имеет место неравенство и0 («0и0 + «1и1 + ■ ■ ■ + ат ит) < в0и0 + в^! ■ ■ ■ + вт и2, (2.9)

где

Г, _ "1 «т

/Зо > «о + + • • • +

4в1 4в-

T

Доказательство. Рассмотрим разность выражений, стоящих в правой и левой частях неравенства (2.9):

J = (во — ао)^2 + в1«2 + ■ ■ ■ + вт и2 — a1 U0U1 — ■ ■ ■ — «t U0Ut . Очевидно,

п ( 2 «1 «2 Л «2 2

п ( 2 ат а2 2\ а2 2 . 2

+ Рт I Ит - —u0uT + I - + (ро - ао)и0

2 2 / \ 2 / \ 2 in а 1 а_ 2 / «1 \ / «т \

= 03о-ао-^-----•

В силу условий на вг получаем, что J > 0. Отсюда вытекает оценка (2.9). Лемма доказана.

Введем следующие обозначения:

ио = ||жп|1+ш, иг = ||жп—г|, г = 1,. .., т,

ао = д2||Н ||, а = 2д||Н |||Вг(п)|, г = 1,...,т.

Применим лемму к выражению, стоящему в квадратных скобках в (2.8), выбирая

1т

/Зг = С1, г = 1,... , т, Ро = ао + -—У^а2-

4с1 ^

г=1

Тогда

2q||H|||ЫГ+Ш^ ||Bj(n)||||xn—j|| + q2||H|||Ы|2+2ш

j=i

< g*||ff || ( + ! j ||Жп||2+2Ш + C1 £ Ц^ . |,2

1 J j=l

Следовательно,

||W(n,x)||< 2q||H||||A|||M2+"

B||2

+ g*||ff || ( + 1 ||Ж„||2+2- + C1 ^ Il^-H2-

Cl ' j=l

В силу положительной определенности матриц Н, справедливы неравенства

«(п,ж) > (Нжп,жп) > ^1|жп|2, где > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н. Тогда

ж.

<h12vï{n,x). (2.10)

n|| < 'ч

Следовательно,

||W(п,ж)|| < 2q||ff||||A||h—1—V+a(n,x)

+ 92||Я|| (в + Л к1-2ау1+2а{щ x)+Clj- ц^ .||2j (2.Ц)

j=i

где а = ш/2.

Учитывая оценки (2.6), (2.7), (2.11), из (2.4) получаем

0 < v(n + 1,х) < v(n,x) - 777777 (Нхп, хп)

H

n-l

^ ^ Kn — j (Kn—j—lxj > xj) кт (Кт —lxn—т>^п—т/ j=n—т+l

IffllllB"2

+ 2д||Я|| || ж) + ç2| |Я|| ( """""" +1 ) h^1~2av1+2a (n, x).

ci

Используя е, заданное в (1.8), и определение функционала (0.3), имеем «(п + 1,ж) < (1 - е + 2д||Я||||А||й-1"аиа(п,ж)

Рассмотрим данное неравенство при п = 0,1,.... Пусть п = 0. Тогда «(1,ж) < - е + 2д||Я||||А||Л-1-а-уа(0, ж)

Пусть

А= 1 - е + 2д\\Н\\\\А\\^1-ауа(0,х) + д2\\Н\\ (1Ш31 + ^ /^-^«(О, ж).

1 (2.12) Нетрудно проверить, что 0 < А < 1, если начальные данные (1.3) удовлетворяют условию (2.2).

Пусть п = 1. Тогда

«(2,ж) < (1 - е + 2д||Я||||А||Л-1-а-уа(1, ж)

+ ('®!М!М! + д2||Я||)

< А 1 - е + 2д||Я||||Л||Лр-аАаиа(0,ж)

+ ('«МШ1! +д2||ЯЛ ^1-2^2^(0^) )т;(0,а;).

С1

Поскольку А < 1, то

«(2,ж) < А2«(0,ж). Повторяя аналогичные рассуждения, получаем неравенство

«(п,ж) < Ап«(0,ж). (2.13)

В силу (2.10) из (2.13) имеем оценку

К||2 < (^1)-1А"«(0,ж),

где А определено в (2.12). Поскольку 0 < А < 1, нулевое решение системы (0.1) асимптотически устойчиво и для решения задачи (0.1), (1.3) с начальными данными из Е справедлива оценка (2.3). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь систему (0.1) при ш = 0, т. е. вектор-функция ^(п, и) удовлетворяет оценке

(п,и)||< п = 0,1,..., д> 0. (2.14)

Теорема 2.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 1.1. Если

q < V и+ m + 11Щ)2 ~(|И| + l|s|l)' (2Л5)

то нулевое решение системы (0.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Следуя схеме доказательства теоремы 2.1, рассмотрим на решении начальной задачи (0.1), (1.3) функционал (0.3). Используя матрицу C(n), разность v(n + 1,ж) — v(n, ж) можно записать в виде (2.4), где W(n, ж) определено в (2.5). В силу (2.14) имеем

||Ж(п,ж)|| < 2д||Н||||А||||жп||2 +2д|Н||||жп|| ^ ||В(п)||||жп—,|| + д2||Н||||жп||2.

3=1

(2.16)

Введем следующие обозначения:

ио = ||жп|, иг = ||жп—г|, г =1,...,т, ао = д2||Н|| + 2д||Н||||А||, аг = 2д||Н|||Вг(п)|, г = 1,...,т. Применим лемму к левой части неравенства (2.16), взяв

а ■

/Зо = ао+аН----+ат, /3» =г = 1,...,т.

Тогда

\\Win, ж)|| < д||Я|| ( 2||А|| + д + ) ||ж„||2 + |||Я|| £ Щ(п)\\\\хпЧ\\*.

3=1 2 3=1

По условию теоремы все матрицы С(п) являются положительно определенными, при этом справедливо неравенство (1.5). Учитывая приведенные выше оценки, получаем

0 < v(n + 1,ж) < v(n, ж)§||Я||||Я»||) \\хпЧ\\2

j=i

— (ci — q||H || ( 2||A|| + q + 2 Y, ||Bj (n)|| )) ||ж.

\ \ j=l / /

1 n— l

j=n—т+l

т

В силу положительной определенности матриц {Aj} и равенства ||Bj (n)|| =

j=i

| B| имеем

v(n + 1, ж) — v(n, ж)

т

^ "Е (Cl - ||™ВД1|) \\x„-j\\2 - (Cl - ?||Я||(2||А|| + q + 2||В||))||Ж„||2

j=i

Если q удовлетворяет неравенству (2.15), то

С1 - q||H||(2||A|| + q + 2||B||) > 0.

Следовательно, v(n + 1,x) — v(n, x) < 0. Тогда последовательность {v(n,x)} является монотонно убывающей и ограниченной снизу. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет предел. В силу единственности предела

0 < (ci — q||H||(2||A|| + q + 2||B||))||x„||2 < v(n,x) — v(n + 1,x) ^ 0 при n ^ ro.

Отсюда вытекает асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (0.1). Теорема доказана.

Теорема 2.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.2. Тогда для решения начальной задачи (0.1), (1.3) имеет место оценка

||xn||2 < (hi)-1(1 — ?)nv(0,x),

где h1 > 0 — минимальное собственное значение матрицы H, v(0, x) определено в (1.7),

е = min jxb ..., хт, ^ - (2q(\\A\\ + ||В||) +q2)|, 0 < е < 1. Доказательство. Из условий теоремы вытекает неравенство

1 n — 1

^ ^ {^n—jxj ,xj) + {^rxn—T ,xn—T)

2

j=n—T+1

n— 1

^ Kn—j {Kn—j— 1xj ,xj ) + KT {KT —1xn—T j xn—T ).

j=n—T+1

Следовательно, из (2.17) получаем

0 < «(n + l,x) < «(п,Ж) - E (C1 - ll^-ll2

j=1

n—1

— (С1 — q||H||(2|A| + q + 2||B||))||xn||2 — ^ Kn—j{Kn—j—1Xj,Xj). (2.18)

j=n—T

Так как H = H* > 0, то

Mxn||2 < {Hxn,Xn) < ||H||||xn||2. (2.19)

Из (2.18) и (2.19) следует

0<v(n + l,x) <v(n,x) - -q{2\\A\\ +g + 2||B||)^ (Hxn,xn)

n—1

— ^ ] Kn—j {Kn—j—1xj , x j ).

j=n—T

Учитывая условие на q и определение е, имеем

n — 1 \

v(n + 1,x) < v(n,x) —(Hxn,xn) + (Kn—j—1xj, xj )l = (1 — e)v(n, x).

j=n—T /

Следовательно,

v(n,x) < (1 — e)nv(0,x).

Тогда

Kf < (hi) —1(1 — g)nv(0,x).

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коваль П. И. Приводимые системы разностных уравнений и устойчивость их решений // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 6. С. 143-146.

2. Hahn W. Über die Adwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen // Math. Ann. 1958. Bd. 136, Heft 1. S. 430-441.

3. Jury E. I. A simplified stability criterion for linear discrete systems // ERL Rep. Ser. 1961. N 60. P. 373.

4. Hahn W. Theorie und Adwendung der direkten Methode von Ljapunov. Berlin; Gottingen; Heidelberg: Springer-Verl., 1959.

5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

6. Elaydi S. N. An introduction to difference equations. New York: Springer-Verl., 1999.

7. Gyori I., Pituk M. Asymptotic formulae for the solutions of a linear delay difference equation //J. Math. Anal. Appl. 1995. V. 195, N 2. P. 376-392.

8. Erbe L. H., Xia H., Yu J. S. Global stability of a linear nonautonomous delay difference equation // J. Differ. Equ. Appl. 1995. V. 1, N 2. P. 151-161.

9. Yu J. S. Asymptotic stability of a linear difference equation with variable delay // Comput. Math. Appl. 1998. V. 36. N 10-12. P. 203-210.

10. Agarwal R. P., Kim Y. H., Sen S. K. Advanced discrete Halanay-type inequalities: stability of difference equations //J. Inequal. Appl. 2009. Article ID 535849.

11. Berezansky L., Braverman E. Exponential stability of difference equations with several delays: recursive approach // Adv. Differ. Equ. 2009. Article ID 104310.

12. Хусаинов Д. Я., Шатырко А. В. Исследование абсолютной устойчивости разностных системы с запаздыванием вторым методом Ляпунова // Журн. вычисл. и прикл. математики. 2010. № 4. С. 118-126.

13. Куликов А. Ю. Устойчивость линейного неавтономного разностного уравнения с ограниченными запаздываниями // Изв. вузов. Математика. 2010. № 11. С. 22-30.

14. Куликов А. Ю., Малыгина В. В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Изв. вузов. Математика. 2011. № 12. С. 30-41.

15. Park J. H., Lee T. H., Liu Y., Chen J. Dynamic systems with time delays: stability and control. Singapore: Springer, 2019.

16. Демиденко Г. В., Балданов Д. Ш. Об асимптотической устойчивости решений разностных уравнений с запаздыванием // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2015. Т. 15, № 4. С. 50-62.

17. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, № 3. С. 20-28.

18. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

19. Демиденко Г. В. Матричные уравнения. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2009.

Поступила в редакцию 20 апреля 2021 г.г. После доработки 20 апреля 2021 г.г. Принята к публикации 26 августа 2021 г.г.

Матвеева Инесса Изотовна, Хмиль Арсений Владимирович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 matveeva@math.nsc.ru, кЫп11а^еп1у@та11. ги

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2021. Том 28, № 3

UDC 517.929.4

STABILITY OF SOLUTIONS TO ONE

CLASS OF NONLINEAR SYSTEMS OF DELAY DIFFERENCE EQUATIONS I. I. Matveeva and A. V. Khmil

Abstract: We consider a class of nonlinear systems of delay difference equations with constant coefficients in linear terms. Conditions for the asymptotic stability of the zero solution are established and estimates characterizing stabilization rate of solutions at infinity are obtained by using a special Lyapunov—Krasovskii functional.

DOI: 10.25587/SVFU.2021.56.29.003

Keywords: delay difference equations, asymptotic stability, Lyapunov—Krasovskii functional, estimates for solutions.

REFERENCES

1. Koval' P. I., "Reducible systems of difference equations and stability of their solutions [in Russian]," Uspekhi Mat. Nauk, 12, No. 6, 143-146 (1957).

2. Hahn W., "Über die Anwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen," Math. Ann., 136, No. 1, 430-441 (1958).

3. Jury E. I., "A simplified stability criterion for linear discrete systems," ERL Rep. Ser., No. 60, 373 (1961).

4. Hahn W., Theorie und Anwendung der Direkten Methode von Ljapunov, Springer-Verl., Berlin; Gottingen; Heidelberg (1959).

5. Halanay A. and Wexler D., Qualitative Theory of Impulse Systems, Romanian Acad. Press, Bucharest (1968).

6. Elaydi S. N., An Introduction to Difference Equations, Springer-Verl., New York (1999).

7. Gyori I. and Pituk M., "Asymptotic formulae for the solutions of a linear delay difference equation," J. Math. Anal. Appl., 195, No. 2, 376-392 (1995).

8. Erbe L. H., Xia H., and Yu J. S., "Global stability of a linear nonautonomous delay difference equation," J. Differ. Equ. Appl., 1, No. 2, 151-161 (1995).

9. Yu J. S., "Asymptotic stability of a linear difference equation with variable delay," Comput. Math. Appl., 36, No. 10-12, 203-210 (1998).

10. Agarwal R. P., Kim Y. H., and Sen S. K., "Advanced discrete Halanay-type inequalities: stability of difference equations," J. Inequal. Appl., article ID 535849 (2009).

11. Berezansky L. and Braverman E., "Exponential stability of difference equations with several delays: recursive approach," Adv. Differ. Equ., article ID 104310 (2009).

12. Khusainov D. Ya. and Shatyrko A. V., "Research of absolute stability of difference systems with delay via the second method of Lyapunov [in Russian]," Zhurn. Vychisl. Prikl. Mat., No 4, 118-126 (2010).

13. Kulikov A. Yu., "Stability of a linear nonautonomous difference equation with bounded delays," Russ. Math., 54, No. 11, 18-26 (2010).

14. Kulikov A. Yu. and Malygina V. V., "Stability of a linear difference equation and estimation of its fundamental solution," Russ. Math., 55, No. 12, 23-33 (2011).

© 2021 I. I. Matveeva, A. V. Khmil

15. Park J. H., Lee T. H., Liu Y., and Chen J., Dynamic Systems with Time Delays: Stability and Control, Springer-Verl., Singapore (2019).

16. Demidenko G. V. and Baldanov D. Sh., "On asymptotic stability of solutions to delay difference equations," J. Math. Sci., 221, No. 6, 815-825 (2017).

17. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Asymptotic properties of solutions to delay differential equations [in Russian]," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 5, No. 3, 20-28 (2005).

18. Daleckii Ju. L. and Krein M. G., Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1974).

19. Demidenko G. V., Matrix Equations [in Russian], Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (2009).

Submitted April 20, 2021 Revised April 20, 2021 Accepted August 26, 2021

Inessa I. Matveeva, Arseniy V. Khmil Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia; Novosibirsk State University, 1 Pirogov Street, Novosibirsk 630090, Russia matveeva@math.nsc.ru, khmilarseniy@mail.ru