CC BY
12Динамические системы, 2017, том 7(35), №3, 257-274 УДК 517.929.4
Асимптотическая устойчивость положений равновесия и оценки решений в одной модели заболевания1
М. А. Скворцова
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирский государственный университет, Новосибирск 630090. E-mail: sm-18-nsu@yandex.ru
Аннотация. Рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающая процесс распространения заболевания. Изучается асимптотическая устойчивость положений равновесия данной системы. Установлены оценки, характеризующие скорость стабилизации решений на бесконечности, и оценки областей притяжения асимптотически устойчивых положений равновесия. Результаты получены с использованием модифицированных функционалов Ляпунова - Красовского.
Ключевые слова: модель заболевания, уравнения с запаздывающим аргументом, асимптотическая устойчивость, оценки решений, области притяжения, модифицированный функционал Ляпунова - Красовского.
Asymptotic stability of equilibrium points and estimates of solutions in a model of disease
M. A. Skvortsova
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk State University, Novosibirsk 630090.
Abstract. We consider a system of delay differential equations describing the spread of a disease. We study the asymptotic stability of equilibrium points of this system. We establish estimates of solutions characterizing the stabilization rate at infinity and estimates of attraction domains of asymptotically stable equilibrium points. The results are obtained using modified Lyapunov-Krasovskii functionals. Keywords: a model of disease, delay differential equations, asymptotic stability, estimates of solutions, attraction domains, modified Lyapunov-Krasovskii functional. MSC 20 10: 34K20, 34K60
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Новосибирской области в рамках научного проекта № 17-41543365.
© М. А. СКВОРЦОВА
1. Введение
В работе рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающая процесс распространения заболевания [7]:
d
= ° — — вх(Ь)г(Ь),
<
d
-у(Ь) = вх(Ь — т )г(Ь — т )е-ат — ц2у(Ь), (1.1)
d
—г(Ь) = ру(Ь) —
Здесь х(Ь) — численность здоровых клеток, у(Ь) — численность зараженных клеток, которые производят вирус, г(Ь) — численность вирусов в плазме. Параметр запаздывания т отвечает за время, которое требуется для заражения здоровых клеток после встречи с вирусом. Величина /Зх(Ь)г(Ь) отвечает за численность здоровых клеток, которые заражаются от вирусов в момент времени Ь, а величина (Зх(Ь — т)г(Ь — т)е-ат — за численность здоровых клеток, которые заразились от вирусов в момент времени Ь — т и дожили до момента времени Ь. Величина а — приток здоровых клеток, р — коэффициент прироста вирусов за счет зараженных клеток, ц1, ц2, ^з — смертности здоровых клеток, зараженных клеток и вирусов, соответственно. Все параметры системы предполагаются положительными. Для системы (1.1) зададим начальные условия
х(ь) = ф(г), ь е [—т,0], х(+0) = ф(0), ф е С([—т,0]), у(0) = у0, (1.2)
г(Ь) = ф(Ь), Ь е [—т, 0], г(+0) = ф(0), ф е С([—т, 0]).
Хорошо известно, что решение начальной задачи (1.1), (1.2) существует и единственно. Также легко показать, что если
ф(ь) > 0, ф(ь) > 0, ь е [—т, 0], у0 > 0, (1.3)
то х(Ь), у(Ь), г(Ь) будут определены при всех Ь > 0, причем х(Ь) > 0, у(Ь) > 0, г(Ь) > 0 при Ь > 0. Более того, при неотрицательных начальных условиях все компоненты решения будут ограничены. Действительно, рассмотрим функцию
т(Ь) = х(Ь — т)е-ат + у(Ь) + ег(Ь), где 0 <е < —. Тогда
р
d
-г'ш(Ь) = ае ат — цхх(Ь — т)е ат — Ц2у(Ь) + еру(Ь) — /13ег(Ь) < ае ат — ^(Ь), dt
где ц = — ер,^3} > 0. Отсюда следует ограниченность сверху функции
w(t), а значит, и ограниченность всех компонент решения.
В дальнейшем будем предполагать, что начальные данные ф(Ь), ф(г), Ц° удовлетворяют условиям (1.3).
Теперь найдем положения равновесия системы (1.1):
1) если арвв-ат < то в системе одно положение равновесия
Ш,у(1),г(1))=^^, 0, о) ,
которое соответствует состоянию здорового организма;
2) если арвв-ат > то в системе два положения равновесия
(х(г),у(г),г(г))= ^^,о,^ и (х(г),у(г),г(г)) = (хо,уо,ъ),
где
{ ат (урре-ат - (дрре-ат - ^^^ \ лл
(х0,у0,х0)=[ —— е ,---,--- I , (!-4)
V РР №РР )
которые соответствуют состоянию здорового организма и состоянию зараженного организма.
Целью работы является изучение устойчивости положений равновесия системы (1.1) и получение оценок решений, характеризующих скорость сходимости к положениям равновесия.
Автор выражает благодарность профессору Г. В. Демиденко за внимание к работе.
2. Устойчивость положений равновесия
В этом параграфе будут указаны условия на коэффициенты системы, при которых положения равновесия являются асимптотически устойчивыми.
Данные условия легко получить, используя, например, хорошо известную теорему об устойчивости по первому приближению (см., например, [4, гл. 7, § 33]). Для нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
й
-у(г) = Ау(г) + Ву(г - т) + г(у(г),у(г - т)), (2.1)
где А и В — вещественные постоянные матрицы размера п х п, Г(у1,у2) £ С 1(К2га) — вещественнозначная вектор-функция такая, что
^ 0 при \\(у1,у2)\\^ 0,
1,
справедлива следующая теорема.
Теорема (об устойчивости по первому приближению).
1) Если все корни характеристического квазимногочлена
{XI - А - е_ХтБ) = 0
лежат в левой полуплоскости С_ = {X € С : Ие X < 0}; то нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво.
2) Если существует корень квазимногочлена, лежащий в правой полуплоскости С+ = {X € С : Ие X > 0}, то нулевое решение системы (2.1) неустойчиво.
Применим этот результат к системе (1.1). Вначале рассмотрим положение равновесия ( —, 0, 0 ). Замена х({) =--+ х{(Ь) приводит к системе
ßi
ßi
dx(t) = -ßix(t) - ß(— + x(t)) z(t),
Vßi )
dt
dty(t) = ß(jr + x(t - t) ) z(t - t)e
i
dt d
dtz(t) = Py(t) - ß3Z(t)'
)
- ß2y(t),
(2.2)
при этом
A
i
V
0
0 _—ß\ 0 0 0 \
ßi 0 , B = 0 0 -ß _ —e -aT
-ß 2 ßi
P - ß3 0 0 0 /
(2.3)
Характеристический квазимногочлен имеет вид
det(XI - A - Be-XT) = det
+ ßi
0 0
-ß i
X + ß 2 - —-ße-aT e-XT
i
P
X + ß з )
= (X + ßi) ( (X + ß2)(X + ß3) - —pße-aTe-XT
(
i
.
Легко видеть, что при условии —рве ат < ц1ц21~13 все корни квазимногочлена
0 (2.4)
(X + ß2)(X + ß3) - —pße-aTe-XT
1
содержатся в левой полуплоскости С_. Действительно, если существует корень X такой, что Ие X > 0, тогда
ß2ß3 < \(X + ß2)(X + ß3)|
—Pße-aT e-XT
i
<
-Pß а i
0
что противоречит условию. Тем самым, в силу теоремы об устойчивости по перво-
—
му приближению положение равновесия —, 0, 0 системы (1.1) является асимп-
)
тотически устойчивым.
Если же арве-ат > ц1ц2цз, то существует положительный корень квазимногочлена (2.4) Л* > 0. В самом деле, рассмотрим функцию
f (Л) = (Л + Ц2)(Л + из) - —е-ате-Хт
ßi
при неотрицательных Л > 0. Имеем
apß _с
f (0) = Ц2Цз - — е-ат < 0,
f (Л) ^ при Л ^
Поскольку f (Л) непрерывна, то существует Л* > 0 такое, что f (Л*) = 0. Тем самым, в силу теоремы об устойчивости по первому приближению положение равновесия
—, 0, 0 ) системы (1.1) является неустойчивым. Ц1 )
Теперь рассмотрим положение равновесия (х0,у0,г0) системы (1.1), определенное в (1.4). Данное положение равновесия существует только при условии арве-ат > ц1ц2цз, причем оно является асимптотически устойчивым. Действительно, замена
х(г) = хо + х(г), у (г) = у0 + у (г), г (г) = го + х(г)
приводит к системе
( d
— x(t) = -(ßi + ßz0)x(t) — ßx0z(t) — ßx(t)z(t), dt
-y(t) = —ß2y(t) + ßzoe-aT x(t — T)
+ßx0e-aT z(t — t ) + ße-aT x(t — t )z(t — t ),
dtz(t) = Py(t) — ß3z(t),
матрицы А и В имеют вид
B
(ßi + ßzo) 0 —ßxo
A = ( 0 — ß2 0
V 0 P — ß3
0 0 0 \ 0 ß2ß3 z0
ßz0e-aT 0 ßx0e-aT 1 =(
0 0 0 P xo 0
0 0
0
0 \
ß2ß3
P 0
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Запишем характеристический квазимногочлен
/X + ¡ц + вго 0
det(XI - A - Be-XT) = det
ß2ß3 zo e-ßT x +
P Xo
2
0
P
ßxo
ß2ß3e-ßT
X + ß 3 )
= ^ + ¡1 + вго)^ + ¡2)^ + ¡з) + ¡2 ¡зв^ое Хт - ¡2 ¡з(X + ¡1 + в^о)е Хт
= (X + ¡1 + + V2+ ¡з) - ¡2Мз^ + ц)е_Хт. (2.8)
Если предположить, что что существует корень X квазимногочлена (2.8) такой, что Ие X > 0, тогда
ß2ß3 < \(X + ß2)(X + ß3)\ =
ß 2ß 3(X + ßi)e
X
(X + ßi + ßzo)
< ß2ß33.
Противоречие. Следовательно, положение равновесия (х0,у0,г0) системы (1.1) является асимптотически устойчивым.
Итак, мы приходим к следующему утверждению.
-
1) Если —рве ат < ¡1¡2^з, то положение равновесия —, 0, 0 системы (1.1)
1
асимптотически устойчиво.
2) Если —рве_ат > ¡1¡2¡3, то положение равновесия ( —, 0,0) системы (1.1)
1
неустойчиво, а положение равновесия (х0,у0,г0) асимптотически устойчиво.
зЗамечание. Отметим, что аналогичный результат был получен в работе [9] для системы, несколько отличающейся от системы (1.1).
P
3. Метод функционалов Ляпунова — Красовского
3.1. При изучении устойчивости важной задачей является получение оценок решений, характеризующих скорость стабилизации на бесконечности, а также нахождение оценок области притяжения, т. е. гарантированной области начальных данных, при которых имеет место сходимость. Наша следующая цель — установить такие оценки для системы (1.1).
При получении оценок скорости стабилизации решений, в частности, могут быть использованы различные способы нахождения корней квазимногочленов, однако нахождение корней с заданной точностью в большинстве случаев представляет серьезную проблему, поскольку эта задача является, вообще говоря, плохо обусловленной с точки зрения теории возмущений.
Мы будем использовать метод функционалов типа Ляпунова - Красовского, которые являются аналогами функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему (2.1). При исследовании асимптотической устойчивости нулевого решения данной системы Н. Н. Красовский предложил использовать функционал
г
V (г,у) = (ит,№) + / {кт,уШ8 (31)
г-т
с матрицами Н = Н * > 0 и К = К * > 0 [4, гл. 7, § 34]. Функционалы такого вида называют функционалами Ляпунова - Красовского. Использование функционалов Ляпунова - Красовского позволяет проводить исследования устойчивости решений без нахождения корней квазимногочленов, сводя изучение к решению хорошо обусловленных задач. Приведем результат об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.1), полученный с помощью функционала (3.1).
Теорема (Н. Н. Красовский). Предположим, 'что существуют матрицы Н = Н * > 0 и К = К * > 0 такие, что выполнено матричное неравенство
с = - (НА +АНН + К НВ) > 0. (3.2)
Тогда нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво.
Отметим, что использование функционалов Ляпунова - Красовского также позволяет оценивать области притяжения асимптотически устойчивых решений уравнений с запаздывающим аргументом. Однако с их помощью далеко не всегда удается получить оценки скорости стабилизации решений на бесконечности. Для получения таких оценок применяют различные модификации функционалов Ляпунова - Красовского (см., например, [2], [3], [6], [8], [10]). В частности, в работе [2] был предложен модифицированный функционал Ляпунова - Красовского следующего вида
г
V(г, у) = (Ну(1),у(1)) + I (К(I - 8)у(8),у(8))й8, (3.3)
г-
где Н = Н * > 0 и К (в) = К * (в) > 0. Отметим, что в отличие от функционала (3.1) здесь матрица К является переменной. Используя функционал (3.3), в работе [2] были получены оценки решений системы (2.1), являющиеся аналогами оценки М. Г. Крейна для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [1, гл. 1, § 4]), а также оценки области притяжения нулевого решения.
Применим метод функционалов Ляпунова - Красовского для исследования асимптотической устойчивости положений равновесия системы (1.1). Вначале мы
покажем, как можно построить такие функционалы, а затем на их основе получим оценки решений, характеризующие скорость стабилизации на бесконечности, и оценки областей притяжения.
3.2. Вначале предположим, что выполнено условие —рве-ат < ¡j1¡j2¡j3. В этом
случае у системы (1.1) существует только одно положение равновесия ( —, 0, 0 ),
Vil )
причем оно является асимптотически устойчивым. В силу сказанного выше для построения функционала Ляпунова - Красовского достаточно построить матрицы H = H* > 0 и K = K* > 0, удовлетворяющие матричному неравенству (3.2), в котором матрицы A и B имеют вид (2.3):
(
A
V
ß1
о о
0 _aß\ 0 0 0 \
ß1 0 , B = 0 0 aß -—e -ат
—ß2 ß1
p — ß3 0 0 0 /
Легко показать, что при выполнении условий Н = Н * > 0 и К = К * > 0 матричное неравенство (3.2) эквивалентно неравенству
Q = -(НА + А*Н + К + НВК-1В*Н) > 0
(см., например, [3, стр. 1029]). Положим
H
/h1 0 0 0 h2 0 0 0 h3/
K
/k1 0 0' 0 k2 0 0 0 ka,
hj > 0, kj > 0, j = 1, 2, 3,
и проверим выполнение неравенства Q > 0. Имеем
(г
Q
2h1ß1 — k1 0
h aß h — ß1
0
2h k h2 (aß -2h2ß2 — k2 — — — e
[Iß,
V
Полагая
будем иметь
h
3 =
1, ka
ß3,
Q
\
2h1ß1 — k1 0
h aß h1 — ß1
k3 V ß1 —hap
h faß -a
h2 = ß2ß3\ — e \ß1
0
h aß h1 — ß1
—h3p 2h3ß3 — k3
\
2
'4 £
-2
«T 1 _ k
h aß\
h1 — ß1
2
p
p ß3
Рассмотрим матрицу Q0, которая получается из матрицы Q, если положить к\ = к2 = 0. Найдем h\ > 0, при которых матрица Q0 будет положительно определенной. В нашем случае условие Q0 > 0 эквивалентно условию det Q0 > 0. Тогда, если выбрать
0 <hl < - (арвв-ат)2) ,
матрица Q0 будет положительно определенной. Следовательно, при достаточно малых к\ и к2 также будет выполнено Q > 0.
3.3. Теперь рассмотрим случай apfîe-aT > ¡ii^2¡л3. В этом случае положение равновесия (х0,у0,г0) является асимптотически устойчивым. Построим матрицы H = H * > 0 и K = K * > 0 удовлетворяющие условию (3.2), в котором матрицы A и B имеют вид (2.6) и (2.7):
A
-(ßi + ßzo) 0 0
0 ~ß2 P
-ßxoN 0
-ß3
B
0
00
ß2ß3 z0 о ß2ß3
P Xo 00
P 0
Полагая
hii 0 hi3
H= ( 0 h22 0
hi3 0 h33
hjj >
hiih33 - h\3 > 0, j = 1, 2, 3,
(34)
K = B *B + M, M будем иметь
'm1 0 0 0 m3 0
0 0 m3
mj > 0, j = 1, 2, 3,
C
(-(HA + A *H + B*B) - M -HB N y -B *H B *B + M)'
Заметим, что из явного вида матриц В и Н имеет место равенство НВ где
/0 0 0'
Н22 = | 0 к22 0| . 000
Следовательно,
H22B,
= H22
(?,Ъ)
C
(-(HA + A*H + B*B + Щ2) - M 0\ 0M
+
H222
H22B
22
> (L -M M) ■
L = -(HA + A* H + B*B + H22)
где
111 l12 l13
112 I22 I23 I • (3.6)
■ l13 l23 l33/
Тем самым, если мы покажем, что матрица L является положительно определенной, то при достаточно малых m1, m2, m3 матрица C также будет положительно определена. Имеем
111 = 2hii^i + f3zo) -(,
\ р Xo J
112 = —h13P, l22 = 2h22^2 — h22,
113 = hiifixo + hwfai + ¡13 + fizo) —( ¡¡M —,
р Xo
l23 = —h33P,
I33 = 2h33l3 + 2hi30xo — (¡¡^ •
Положим
h
1
11
_ /.2.Л Zo_
ßx0\ p J x0'
h22 = .2, 1
ß3 \ p )
(37)
h33 = - (^S
тогда
11
1 f .2.Л ~ Z0
ßx0\ p J x0
112 = -h13P,
2
l22 = .2,
113 = hi3(ßi + .3 + ßz0)
— (2ß1 + ßz0),
23
.2
¡33 = 2Н13вхо + (^ .
Согласно критерию Сильвестра, условие Ь > 0 эквивалентно следующим трем условиям:
' ¡33 > 0,
¡22133 — ¡23 > °
¡11(122133 — ¡23) + 2112113123 — ¡22113 — ¡33112 > 0 •
В нашем случае эти условия эквивалентны неравенствам Н13 > 0,
2 2 2 2 < 2.t2 / .2.3 \ z0
2\ p J x0
2h\3p2ßx0 + h13ß^(ß1 + ßz0)2 < 2.2
^ (2.1 + ßz0).
(3.8)
Второе неравенство выполняется, если к13 достаточно мало.
Итак, мы получили, что Ь > 0. Заметим, что отсюда, в частности, следует, что Н > 0. Действительно, поскольку все собственные значения матрицы А содержатся в левой полуплоскости С_ и
НА + А *Н <—Ь< 0,
то Н является решением матричного уравнения Ляпунова
НА + А*Н = —В, В = В*> 0.
Хорошо известно, что в этом случае матрица Н является положительно определенной.
4. Оценки скорости сходимости к положению
\
равновесия —, 0,0
)
В этом параграфе мы будем рассматривать случай —рве_ат < ¡11-2¡3, когда у
системы (1.1) существует только одно положение равновесия ( —, 0, 0 ), и оно яв-
\11 )
ляется асимптотически устойчивым. Мы получим оценки решений системы (1.1), характеризующие скорость сходимости к данному положению равновесия. В частности, из этих оценок будет вытекать глобальная асимптотическая устойчивость.
Вначале заметим, что если (х(Ь),у(Ь), г(Ь)) — решение системы (1.1) с начальными условиями (1.2)-(1.3), то первая компонента решения х(Ь) ограничена сверху решением уравнения
^х(Ь) = — — ¡1х(Ь)
с теми же самыми начальными условиями. Для этого уравнения хорошо известно,
что все решения стремятся к решению х(Ь) = —. При этом для любого в > 0
¡1
существует Ь0 > 0 такое, что 0 < х(Ь) <--+ в при всех Ь > Ь0. Следовательно,
¡1
это верно и для первой компоненты решения х(Ь) системы (1.1). Не ограничивая общности, можно считать, что Ь0 = 0.
Введем обозначения. Пусть в > 0 и к > 0 такие, что выполнено неравенство
рве_ат + ^ < е_кт/2¡2¡з. (4.1)
Рассмотрим модифицированный функционал Ляпунова - Красовского
г
V(Ь, у, г) = к2у2(Ь) + г2(Ь) + ^ ¡зе_к(г_з)г2(в)&8) (4.2)
г-т
где ^
h2 = e-kTß2ß3( ße-aT [— + ' '
fß2ßS{ße-№T (— + 9))
Положим
1 11 ekT / f— W2
(4S)
r+ß3) -J »- ^+ßOk (pße~aT (—+
6 = шт{г, к}. (4.4)
Заметим, что в силу неравенства (4.1) величина г строго положительна. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть —рве_ат < ¡11213. Тогда для решения системы (1.1) с начальными данными (1.2)-(1.3), удовлетворяющими условию
0 < ф(Ь) < — + в, Ь е [—т, 0], (4.5)
¡1
справедливы оценки
/ ч с
x(t)--
ßi
<
Ф(0) - — ßi
,-ßlt + (0,у°,ф) I e-ßl(t-s)e-Ss/2ds, (4.6)
ßi
к2у2(Ь) + г2(Ь) < V(Ь,у,г) < V(0У,ф)е~д\ (4.7)
Доказательство. Вначале докажем оценку (4.7). Рассмотрим функционал (4.2) и продифференцируем его вдоль решений системы (1.1):
в -
-V(Ь, у, г) = 2к2у(Ь) (,вх(Ь — т)г(Ь — т)е_ат — 12у(Ь))
+2г(Ь)(ру(Ь) — ¡зг(Ь)) + ¡зг2(Ь) — ¡зе_ктг2(Ь — т) — к у ¡зе_к(г_з)г2(з)вз.
г_т
В силу условия (4.5), учитывая рассуждения, проведенные в начале параграфа,
получим 0 < х(Ь — т) <--+ в при всех Ь > 0. Следовательно,
¡1
в/(Ь, у, г) < 2к2ве_ат + ^ у(Ь)г(Ь — т) — 2к2^2у2(Ь)
г
+2ру(Ь)г(Ь) — 1зг2(Ь) — ¡зе_ктг2(Ь — т) — к^ ¡зе_к(г_з)г2(в)вв.
г
t
t
Отсюда, используя неравенство
2к2ве-ат ^+ ^ у(1)*(1 - т) - ^е-кт*2(1 - т)
к2вкт / _ ( а ^ 2
а + ^ у2(1) = Н2.2У2(1), будем иметь
г
в — Г
^У(Ъу,*) < -Ь2.2У2(1) + 2ру(1)г(г) - ^(1) - к .3е-к(г-з)г2(з)вз.
г-т
Отсюда нетрудно получить неравенство
г
ву (г, У,*) <-т(Н2У2(1) + * 2(1)) - к У 1,3е-к(г-з)г2(з)вз,
г-т
где т определено в (4.3). Далее, учитывая обозначение (4.4) величины 8 и определение (4.2) функционала V(г,у,*), получим оценку
в
(г,у,*) <-8У(г,у,*),
откуда нетрудно установить неравенство (4.7).
Теперь докажем оценку (4.6). Из первого уравнения системы (2.2) нетрудно получить
г
х(г) = в-^г - } к) х(0) - ехр (- } вг(з)вз,
о
где х(г) = х(г)--. Следовательно,
¡11
/ ч —
x(t)--
ßi
< e-ßlt В силу оценки (4.7) имеем
x(0) - — ßi
+ — e-lll(t-s)ßz(s)ds.
ßi J
0
,у°,ф)е / •
Отсюда непосредственно вытекает (4.6).
Теорема доказана. □
t
Ci'0' °)
Следствие. Пусть а рве ат < ¡11^2^3. Тогда положение равновесия —, 0, 0 системы (1.1) является глобально асимптотически устойчивым.
зЗамечание. Отметим, что глобальная асимптотическая устойчивость положения равновесия, соответствующего состоянию здорового организма, также была доказана в работе [9] для несколько видоизмененной системы (1.1).
5. Оценки скорости сходимости к положению равновесия (х0,у0, г0)
В этом параграфе мы рассмотрим случай арвв-ат > когда положение
равновесия (х0,у0,г0) является асимптотически устойчивым. Мы получим оценки решений системы (1.1), характеризующие скорость сходимости к данному положению равновесия, и оценки области притяжения.
Как отмечалось выше, замена
х(г) = хо + х(г), у (г) = уо + у (г), ¿(г) = ¿о + Щ) приводит к системе (2.5), которую кратко можно записать в виде
d
-y(t) = Ay(t) + By(t - т) + F(y(t)) + G(y(t - т)),
где матрицы А и В определены в (2.6) и (2.7):
A
f-(ßi + ßzo) 0 -ßxo^ 0 0 0 p -ß3
0 0 0
B = ß2ß3 z0 0 ß2ß3
p Xo P
0 0 0
0
G(y(t - т ))= ( ße- aTX(t -
V 0
y(t)
(51)
Xt)
y(t) &t)t
/вх(г)цг)
р№)) = - ( о 0
Запишем начальные условия для системы (5.1) в виде
у(г) = у(г), г е [-т, о], у(+о) = у(о).
Рассмотрим модифицированный функционал Ляпунова - Красовского
V(t'V) = (Hy(t)'V(t)) + J K(t - s)y(s)'y(s)) dS'
t-r
t
где матрица H имеет вид (3.4), и ее элементы определены в (3.7)-(3.8), а матрица K(s) имеет вид
/0 0 0
K (s) = e-ks (B *B + Мз), M3 = 10 0 0
\0 0 h22ße-aT 9ekT/2/
при этом величины k > 0 и в > 0 такие, что выполнено неравенство
Г = lmin - h222(ekT - 1) - h22ße-aTвект/2 > 0, (5.3)
lmin > 0 — минимальное собственное значение матрицы L (см. формулу (3.6)). Обозначим
4 = ^ £ = mm{M'k}' (54)
где кш\п > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н, \\И|| — спектральная норма матрицы И.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть арвв-ат > Тогда для решения системы (5.1) с на-
чальными данными, удовлетворяющими условиям
т&хш\<в, /уШ <-, ( ^) у <в, (ь.ь)
т'°1 Я У^шт (Ч - (0,<?))
справедлива оценка
ыт2 < ^Vа,у) < Vе-£'. (5.6)
Птт Пт1П ^ - У ^у(0,0))
Доказательство. Рассмотрим функционал (5.2) и продифференцируем его вдоль решений системы (5.1):
в
-V(г,у) = (И(Ау(г) + ву(г - т) + г(у(г)) + а(у(г - т))),у(г)) + (Ну(г), (Ау(г) + ву(г - т) + г(у(г)) + с(у(г - т)))) + ((в*в + Мз)у(г),у(г))
г
-е-кт ((в* В + Мз)у(г - т),у(г - т))- к ! (К(г - в)у(в),у(в)) вв
г-т
НА + А *н + в *в и в \ / у(г) \ / у(г) \\ в*н -е-ктв*в) \у(г - т)) \у(г - т))/
+2 (Ну(г), г(у(г))) + (Мзу(г),у(г)) - е-кт (Мзу(г - т),у(г - т))
+2 {Иу(г),а(у(г - т))) - ку {к(г - в)у(8),у(в)) ¿8.
—т
Обозначим
0 = _/(ИА + А*и + В*В ИВ )( у(г) ) ( у(г) )\
01 и В*И -в-ктв*в)[у(г - т)) \у(г - т))/,
02 = 2 {Иу(г),Р(у(г))), 0з = {ИзШШ - в-кт {Мзу(г - т),у(г - т)) + 2 {Иу(г),а(у(г - т))),
г
04 = -к I {К(г - 8)у(8),у(8)) ¿8.
г-т
Тогда
-
-V(г, у) = 01 + 02 + 0з + 04. (5.7)
аг
Оценим 01. Как было указано выше, ИВ = И22В, где И22 определено в (3.5). Следовательно,
,{HA + A*H + B*B + ekTH222 0\ ( y(t) \ ( y(t) Si ~-{{ 0 0 \y(t - т) \y(t - т)
= - (Ly(t)'y(t)) + (ekT - 1) (H22№'№) ' где L > 0 определено в (3.6). Отсюда вытекает неравенство
Si <- (/min - h22(ekT - 1)) \\y(t)\\2. (5.8)
Оценим S2. Имеем
S2 = 2 (Hy(t)'F(y(t))) = 2 (Hi/2y(t)'H1/2F(y(t))) < 2^(Hy(t)'y(t))V(HF (y(t))'F (y(t))) < 2 V 1/2(t'ü)^(HF (y(t))'F (y(t))).
Учитывая явный вид вектор-функции F(y(t)), получим
S2 < 2 Vl/2(t)y)^/hii \ßX(t)J(t)\ < ßVhii Vi/2(t'y) X(t) + X2(t)) < fßh^ V3/2(t' y) = qV3/2(t' y)' (5.9)
hmin
где q определено в (5.4). Оценим S3. Имеем
S3 = (M3y(t)'y(t)) - e-kT (M3y(t - т),y(t - т)) + 2 (Hy(t),G(y(t - т))) ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2017, том 7(35), №3
t
= к22ре-ат (вект/2У2(Ь) - ве-кт/2У2(Ь - т) + 2Х(Ь - т)У(Ь - т)у(Ь}). Отсюда нетрудно получить
Б < к22ве-атвект/2 (^(Ь) + (У2^ . (5.10)
Вначале предположим, что Ь £ [0,т]. В этом случае из условий (5.5) следует, что \У(Ь - т)| < в. Тогда
Бз < к22ве-атвект/2(у2(Ь) + У2(1)) < к22ве-атвект/2\у(Ь)\2. (5.11)
Итак, используя оценки (5.8), (5.9), (5.11), из (5.7) при Ь £ [0,т] получим
^У(Ь,у) < -( - к222(вкт - 1) - к22ве-атвект/2) \\у(Ь)\\2
г
+дУ3/2(Ь,у) - к ! {К(Ь - в)у(8),у(в)) ¿8
г-т
г
= -Т\\у(1)\\2 + ЯУ3/2(Ь,у) - к ! {К(Ь - 8)у(8),у(8)) ¿8,
г-
где I определено в (5.3). Учитывая обозначение (5.4) величины е и определение (5.2) функционала У(Ь,у), будем иметь
й
-у (Ь,у) <-еУ (Ь,у) + дУ3/2 (Ь, у). Используя неравенство Гронуолла (см., например, [5]), отсюда нетрудно получить
№)Г < У(Ь.у) < к- ( У10:*, е-',
ктш Птш - у ^У ^
и при Ь £ [0, т] оценка (5.6) доказана.
Теперь рассмотрим случай Ь £ [т, 2т]. В силу условия (5.5) имеем
1 Утф < в
а значит, учитывая оценку (5.6), получим неравенство \х(Ь - т)| < в. Отсюда и из неравенства (5.10) следует (5.11). Далее, проводя те же самые рассуждения, что и в случае Ь £ [0, т], установим неравенство (5.6) при Ь £ [т, 2т].
Наконец, применяя метод математической индукции, нетрудно получить оценку (5.6) при Ь £ [тт, (т + 1)т], т £ N.
Теорема доказана. □
Список цитируемых источников
1. Демиденко Г. В. Матричные уравнения. Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Но-восиб. ун-та, 2009.
Demidenko G. V. Matrix equations. Textbook. Novosibirsk: Publishing Office of the Novosibirsk State University, 2009. (in Russian)
2. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. — 2005. — Т. 5, № 3. — С. 20-28.
Demidenko G. V., Matveeval.I. Asymptotic properties of solutions to delay differential equations. Vestnik Novosibirskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya: Matematika, Mekhanika, Informatika, 5, No. 3, 20-28 (2005). (in Russian)
3. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48, № 5. — С. 1025-1040.
DemidenkoG. V., Matveeval.I. Stability of solutions to delay differential equations with periodic coefficients of linear terms. Siberian Math. J. 48, No. 5, 824-836 (2007).
4. КрасовскийН. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1959.
KrasovskiiN. N. Stability of Motion. Applications of Lyapunov's second method to differential systems and equations with delay. Stanford: Stanford University Press, 1963.
5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1970.
Hartman Ph. Ordinary differential equations. New York, London, Sydney: John Wiley & Sons, 1964.
6. ХусаиновД. Я., Иванов А. Ф., Кожаметов А. Т. Оценки сходимости решений линейных стационарных систем дифференциально-разностных уравнений с постоянным запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 8. — С. 1137-1140.
KhusainovD. Ya., IvanovA.F., KozhametovA. T. Convergence estimates for solutions of linear stationary systems of differential-difference equations with constant delay. Differential Equations 41, No. 8, 1196-1200 (2005).
7. HerzA. V. M., BonhoefferS, AndersonR. M., May R. M, NowakM. A. Viral dynamics in vivo: limitations on estimates of intercellular delay and virus decay. Proc. Natl. Acad. Sci. USA (Medical Sciences), 93, 7247-7251 (1996).
8. Kharitonov V. L, HinrichsenD. Exponential estimates for time delay systems. Systems Control Lett., 53, No. 5, 395-405 (2004).
9. LiD, Ma W. Asymptotic properties of a HIV-1 infection model with time delay. J. Math. Anal. Appl., 335, No. 1, 683-691 (2007).
10. Mondie S., Kharitonov V. L. Exponential estimates for retarded time-delay systems: LMI approach. IEEE Trans. Automat. Control, 50, No. 2, 268-273 (2005).
Получена 01.07.2017
