УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

УДК 517.929

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Т. Ыскак

Аннотация. Рассматривается класс систем нелинейных дифференциальных уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием и периодическими коэффициентами в линейной части. С использованием функционала Ляпунова — Красовского установлены достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, получены оценки, характеризующие скорость убывания решений на бесконечности, и оценки множества притяжения. Б01: 10.25587/8УРи.2022.50.52.008

Ключевые слова: нелинейные дифференциальные уравнения, распределенное запаздывание, нейтральный тип, периодические коэффициенты, экспоненциальная устойчивость, оценки решений, функционал Ляпунова — Красовского.

Введение

В настоящее время существует большое число работ, посвященных изучению устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздыванием (см., например, [1-11]). Помимо уравнений с сосредоточенным запаздыванием изучаются также уравнения с распределенным запаздыванием (см., например [12-15]).

Данная работа посвящена исследованию устойчивости нулевого решения системы следующего вида:

^(г/й + ад-т))

= Б(1,1 - з)у(з) ¿3 + ^ куСО, У у(з) ¿И, (1)

^—т \ ^—т )

где — матрица размера п х п с непрерывно дифференцируемыми Т-перио-дическими элементами, А(£) — матрица размера п х п с непрерывными Т-периодическими элементами, Б(4, в) — матрица размера п х п с непрерывными

Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект № Р'№КР-2022-0008).

© 2022 Ыскак Т.

элементами, T-периодическими по первой переменной, т. е.

D(t + T) = D(t), A(t + T) = A(t), B(t + T, s) = B(t,s),

F(t,ui,u2) — вещественнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица по (ui, u2) и следующей оценке:

||F(t,ui,u2)y< qi\\ui\\i+^ + dKir^, t > 0, (2)

где qi,q2 > 0, > 0.

Изучение устойчивости будет проводится с помощью одного из наиболее распространенных способов — методом функционалов Ляпунова — Красовско-го. Данный метод не требует наличия спектральной информации и позволяет при правильно подобранном функционале получать не только условия устойчивости, но и оценки на решения и множества притяжения. Отметим, что с помощью таких функционалов были исследованы уравнения с сосредоточенным запаздыванием [16-26], в частности, в [16,17,19, 21,22,24-26] исследован нелинейный случай.

Настоящая работа продолжает цикл исследований, начатых в работах [2730]. В [27,28] рассматривались системы уравнений запаздывающего типа, при этом в статье [27] система была линейной, а в [28] — нелинейной. В [29, 30] изучены линейные системы нейтрального типа. В частности, в [30] исследован линейный случай системы (1) с помощью следующего функционала Ляпунова — Красовского:

v(t, y) = (H(t)(y(t) + D(t)y(t - T)), (y(t) + D(t)y(t - T))>

т t t

+ J J (K(t - s)y(s),y(s)> dsdn + У (M(t - s,s)y(s),y(s)> ds. (3) 0 t—n t—t

В данной работе с использованием этого функционала получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения и оценки решений системы (1), характеризующие убывание на бесконечности.

Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н. Г. В. Демиденко за внимание и ценные советы.

Основные результаты

Рассмотрим начальную задачу для системы (1):

t

-(y(t)+ D(t)y(t - t)) = A(t)y(t) + J B(t,t - s)y(s) ds

d_

dty

t—т t

(4)

+ F I t,y(t), J y (s) ds 1 , t> 0,

y(s) = <P(s), s G [-T 0L y(+0) = ¥>(0),

t—т

где ^(я) € С1 ([—т, 0]) — заданная вектор-функция.

Исследование устойчивости будет проводится с помощью функционала Ляпунова — Красовского (3). Предполагается, что Н (£) = Н *(£) > 0, К (в) = К*(я) > 0 и М(в,£) = М*(я,£) > 0. Введем обозначения: Лт;п(£) > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н(£), рпш^) — минимальное собственное значение матрицы

Рна) = Н-1Щ)РЦ)Н-1Щ), (5)

P (t) = rQii(i) - rQi2(i)Q221(i)Qi2(i) -J Qi3(t,S)Q-31(S)Q*13(t,S) ds,

0

где

Qn(i) = (^W +H(t)A(t) +A*(t)H(t) +M(0,t)) -ВД,

Qia(i) = -(H(t)A(t) +M(0,t))D(t)+K(0)D(t), (6)

т

Q22W = -R(i) = —(M(r, i - r) - D*(t)M(0,t)D(t)) - D*(t)K(0)D(t),

т

Qi3(t, s) = -H(t)B(t, s), Qaa(s) = K(s).

Отметим, что в формулировке результатов будет предполагаться, что матрицы Q22(t) и Q33(s) положительно определены, следовательно, эти матрицы не являются вырожденными. Обозначим через qmin(t) минимальное собственное значение матрицы Q22(t) = R(t),

zi(t) = Q-21(t)Qi2(t)(y(t) + D(t)y(t - т)) + y(t - т), (7)

где y(t) — решение начальной задачи (4),

N = max v(H(s)), (8)

se[o,T]

где v(H(t)) = ||H(t)||||H-1(t)|| — число обусловленности матрицы H(t),

( max ||M-1(т, s)||t)1+Ш2

Ai = - max ||tf(s)||, (9)

a se[o,T ]

Л2 = 21+Ш1 max ||H(s)|| max ||D(s)|1+W1, (10)

se[o,T] se[o,T]

Л3 = 2max max (\\Q£{s)Q*12{s) II + (11)

a — положительное число.

Сформулируем теорему, которая является аналогом теорем из [22, 24].

т

Теорема 1. Пусть существуют гладкая T-периодическая матрица H(t) = H * (t) > 0, матрица K (s) = K * (s) G C 1([0,т]) и матрица M (s,£) = M * (s,£), s G [0, t], £ G R, непрерывная по совокупности аргументов, непрерывно дифференцируемая по первой переменной и T-периодическая по второй переменной, при этом

К (s) > 0, ^-K{s)< 0, s G [0, т], ds

д

m(s, £) > о, — м(я,О<0, «е[о,гЦеК.

Предположим также, что матрица R(t) из (6) является положительно определенной при t G [0, T]. Выберем число k > 0 такое, что

4-K(s) + kK(s) <0, s G [0,ri, ds

д

—M(s, £) + kM(s, О < 0, s G [0, t], £ G R.

Тогда при любых a > 0 для решения начальной задачи (4), определенного при t G (0, t'), справедлива оценка при t G (0, t'):

jfv(t, y) < (H(t)(y(t) + D(t)y(t - r)), (y(t) + D(t)y(t - r)))

x <„_„.,,{ UÎ4.W ^H

(д2ш/(Я (*)) - + 21+Ш1 у) + Ц, у)

т г г

- „Ц (К( - - „/ (М(« - .,.),(.).,(.)) *

о г—п г-т

+ (91Л2||^ - т)Щ - тдтф)) ||^1<*)П2 + ^Лз^, у)Ну(* - т)Щ. (12)

Доказательство. Продифференцируем функционал <3) вдоль решения начальной задачи (4): г

d_

dt

t / ( y(t) \ ( y(t) \\

v(t,y) + / ( C (t, t - s) ( y(t - t) | , ( y(t - t) | ) ds

¿A v y(s) ) v y(s) ) /

t t

= JJ (^K(t-s)y(s),y(s)j dsdv

0 t—n

+ 2rJh(t)(y(t) + D(t)y(t - t)), F ( t, y(t),j y(s) ds

V t—t y

t

+ J ^lM(t-s,s)y(s),y(s)^ ds, (13)

t

где

Cn(t) C12 (t) Cia(t,s)'

C(t, s) = ( C*2(t) C22(t) C23(t, s) | , s G [0, t], C*3(t,s) C2*3(t, s) C33(s)

Cii(t) = Qu(t) = ~ (jfH{t) + H(t)A(t) + A*(t)H(t) + M(0, t^j - K{0), C12(t) = ——A*(t)H(t)D(t), C22(í) = —M(r, t — t),

t T

Cia(í, s) = -H(t)B(t, s), C23(t, s) = -D*(t)H(t)B(t, s),

C33(s) = Q33(s) = K (s).

Нетрудно убедиться в справедливости следующей формулы:

/ /жЛ /жЛ \ / /xi + D(í)xA /xi +

/C(í,s) I Ж2 I , I Ж2 J\ = / Q(t,s) I Ж2 I , I Ж2

\ \ ж3 J \ ж3 J ' \ \ ж3 J \ ж3

где

/ Qii(t) Qi2(t) Qi3(í,s)'

Q(t,s)= I Ql2 (t) Q22 (t) 0

\QÍ3(t,s) 0 Q33(s)

Qii(t), Qi2(t), Q22(t), Qi3(t, s), Q33(s) определяются в (6). Перемножив матрицы, получим указанное представление. Учитывая эту формулу, условия на матрицы K(s), M(s, £) и их производные, из равенства (13) выводим следующее неравенство: d . dtv{t'y)

t / /y(t)+ D(t)y(t - t)\ /y(t) + D(t)y(t - tЛ \

<- / ( Q(t,t - s) I y(t - t) I , I y(t - t) I) ds

t—t \ v y(s) / v y(s) / /

T t t

- k¡ I <K(t -.),(.).,(.)) dsdn - k / (M(t - ...ж.),*»ds

t-T

+ 2ñe / h(t)(y(t) + D(t)y(t - t)), F I t, y(t), У y(s) ds U . (14)

0 t—n

^—т

Рассмотрим первое слагаемое в правой части. Справедливо следующее представление:

} / / у(*) + — т) \ / у(4) + — т)'

11 = — — я) ( — т) I , I — т) И &

¿л v У(я) / v У(я)

- ( и (tn' y(t)+^ - T Л Yy(t)+у - T ) 'i > ds

t

- J (Q33(t - s)z2(t, s),Z2(t, s)} ds,

где

m = /p(t) o \ fHi(t)pHm4t) o

U (t) V 0 TQ22(t^ V 0 TQ22(t)

t—T

Рн(г) из (5), Я22(г), Язз(з) из (6), -¿1(1) из (7),

-2(г, з) = я—¡(г - 3)Я*1з(г, г - з)(у(г) + я(г)у(г - т)) + у(з). Следовательно,

В силу определения рн1п(г) получим

11 < -рНш(г)(н(г)(у(г) + я(г)у(г - т)), (у(г) + я(г)у(г - т))) - т^т1п(г)|-1(г)|2.

(15)

Рассмотрим последнее слагаемое в правой части (14):

12 = 2Ее1н(г)(у(г) + Б(г)у(г - т(г,у(г), | у(з) Лз

В силу (2) имеем

(

12 < 2||н(г)И

?1|у(г)!1+Ш1 + 42

V

у(з) Лз

1 +

11 у (г) + я(г)у(г --

Следовательно,

/2< 2||н (г) | |у(г) + я(г)у(г - т )|| х ( 41(|у(г) + я(г)у(г- т)|| + р(г)||||у(г-т)|)1+Ш1 + ®

у(з) Лз

1 + Ш2\

Используя неравенство

(а + Ь)1+ш < 2Ша1+ш +2ШЬ1+ш, а,Ь > 0, 0,

получим

12 < 21+Ш1 д1|я(г)||(||у(г) + Б(г)у(г - т)|1+Ш1 + ||D(г)И1+^1 ||у(г - т)|1+Ш1)

х ||у(г) + я(г)у(г- т)|| + 2д2||я(г)||у(г) + я(г)у(г- т)|| / у(з)лз

Воспользовавшись неравенством

2аЬ<аа2 + -Ь2, а,Ь> 0 а > 0, а

имеем

12 < 21+Ш191||Я(г)||у(г) + дг)у(г - т)||

X (||у(г) + Б(г)у(г - т) ||1+Ш1 + ||^(г)| 1+Ш1 ||у(г - т) ||1+Ш1)

1 + Ш2

гт

г

гт

г

гт

г

+ g2a||tf (t)|| ||y(t) + D(t)y(t - r)||2 + ^||tf (t)||

a

t

J y(s) ds

t—т

2+2^2

Используем неравенство Гельдера:

/2 < 21+-1 qi|H(t)||||y(t) + D(t)y(t - т)||2+Ш1 +21+-1 qi|H(t)||||D(t)||1+W1 х ||y(t - т)| 1+-1 ||y(t) + D(t)y(t - т)|| + q2a|H(t)|| ||y(t) + D(t)y(t - т)|

2

t \ 1 + Ш2

+ ^4|tf(t)|| ( I ||y(s)||2(is

Из определения z1(t) в (7) имеем

||y(t - т)|| < ||zi(t)| + ||Q221(t)Qi2(t)||y(t) + D(t)y(t - т)||.

Следовательно,

||y(t - т)||||y(t) + D(t)y(t - т)||

< ||Q221(t)Qi2(t)||||y(t) + D(t)y(t - т)||2 + ||zi(t)||y(t) + D(t)y(t - т

1 4

< (штт\\ + -) \m+DWy(t - T) ii2 + \\Zl(t)\\2.

Тогда справедливо неравенство /2 < 21+-1 qi||H(t)HHy(t) + D(t)y(t - т)||2+Ш1 + q2a|H(t)||||y(t) + D(t)y(t - -

1 + Ш2

a

llffWII (I WvWfdsj +21+^qi\\H(t)\\\\D(t)\\1+^\\y(t-r)

x ((¡штът + j) ii y{t)+d(t)y(t - r)n2 + \\zl(t)\\2

В силу определения v(t,y) из (3) получаем

h<21+^qi\\H(m\\H-\t)b1+^(t,y)

q2( max ||M-1(t, s)||t)1+ш2

+ —^-ii m а, у)

a

+ q2a||H(t)|| ||H2i(t)|| (H(t)(y(t) + D(t)y(t - т)), (y(t) + D(t)y(t - т))) + 21+Ш1 qi|H(t)||D(t)|1+-1 ||y(t - т)Щ

+1) WH-'mv^y) + \\Zl(t)\\2

Оценка (12) следует из данного неравенства, (15) и (14) с учетом обозначений (8)-(11).

Теорема доказана.

t—т

2

Отметим, что из условий теоремы 1 вытекает, что M(0,t) — T-периодичес-кое продолжение положительно определенного решения матричного уравнения

L(t - t) - D*(t)L(t)D(t) = C(t), C(t) = C*(t) > 0.

В [30] показано, что разрешимость данного уравнения в классе положительно определенных эрмитовых матриц эквивалентна экспоненциальной устойчивости нулевого решения следующего разностного уравнения:

z(t) = D(t)z(t - t), t> 0.

Также в этой работе получена следующая оценка:

i — 1

\\Gi(t)\\ = \\D(t) ■ ■ ■ D(t — {i — 1)т)|| < /Зма^ ,

вм = max ||M(0, s)H max УМ—1(0,s) se[o,T] se[o,T]

aM = max (1 - ||M= (0, s - r)(M(0, s - t) - D*{s)M{0, s)D{s))~1

x мЦо^-т)]]-1).

Введем обозначения:

Ф = max ||<(t)| te[—t,o]

v(0, <) = (H(0)(<(0) + D(0)<(-t)), (<(0) + D(0)<(-t))>

t o o

+ J J(K (-s)<(s),<(s)> dsdn + j (M (-s,s)<(s),<(s)> ds,

o —n

T

„H

S(t) = min{p*in(t) - q2ais(H(t)), к}, A = J M. ds, (16)

в = max ||H—1(s)|1/2 se[o,T]

T ri T \ 2

x ( 2||H(0)| (1 + IID(0)|2) + J J IIK(s)|| dsdV + J ||M(s, -s)|| ds | , (17)

|2\ +

o o o

T Î

oo

Теорема 2. Пусть

(1) выполнены условия теоремы 1; т

(2) / 7я(я) ¿я > 0, где 7я(¿) = шш{р^^)^}; о

(3) число а > 0 такое, что выполнено неравенство

aq2 j (s)) ds < J yh(s) ds; (19)

0 0

(4) выполнено неравенство aMеЛт < 1.

Тогда для решения начальной задачи (4) с начальными данными из множества

E =(< G C1 ([-т, 0]) : qiA2 max{1, c"1 }ФШ1 <т min qmin(s), l se[o,T ]

giA3max{l,cf }ФШ1 < ^Д, 21+"1q1Nc"1v::r (0,ip) + g2Aic2w2^2 (0, </?) < a|, где ci = /Змам1^2Вс(1 — а^ет) 1J справедлива оценка

||y(i)h <С1Фе-^. (20)

Доказательство. В силу неравенств в определении множества E и того, что параметр c из (18) не меньше 1, существует t1 > 0 такое, что при всех t G (0,t1) справедливы неравенства

qiA2||y(t - т)||Ш1 - Tqmin(t) < 0, (21)

qiA3\\y(t-T)\P (22)

21+UJlqiNv-{t,y) + q2kiv^{t,y) < А. (23)

Следовательно, оценку (12) при t G (0, t1) можно переписать в следующем виде:

jfv(t, у) < (H(t)(y(t) + D(t)y(t - г)), (y(t) + D(t)y(t - т))>

3 2

т t

х (<й<№(Я(())-£„(())

- kjj (К- .Ж.),*.)) - kj (М (, - ...Ж.),*» ds.

0 t—n t—т

Воспользуемся определением v(t, y) из (3), 5(t) из (16) и получим

< ßA-S(t)\v(t,y).

Стало быть

' 3

v{t, у) < ехр | | At - J S(s) ds J «(0, <p).

t

Используя обозначения (16), (18), имеем

у(г,у) < (24)

Отсюда несложно вывести оценку при 4 € (0,^), учитывая обозначение (17):

Из этой оценки вытекает неравенство (20) при 4 € (0,4х) (подробные рассуждения можно найти, например, при доказательстве теоремы 2 в работе [28]).

Докажем от противного, что данная оценка верна при всех 4 < 4'. Пусть 12 > 0 — это первое число, при котором неверно одно из неравенств (21), (22), (23), при этом при всех 4 € (0, 42) данные неравенства выполнены. Следовательно, оценки (20) и (24) справедливы при 4 € (0,42].

Случай 1: в точке 42 нарушается неравенство (21), значит, в силу непрерывности решения начальной задачи (4) в точке 42 достигается равенство

Ч1^2\\у(12 - Т)|Г = тдтф2). Но в силу оценки (20) и первого неравенства в определении Е получаем ЧхН\У^2 - Т)\Г < 9^2^ФШ1 < тдт1п(42);

противоречие. Следовательно, неравенство (21) не может нарушаться при I = 12-

Случай 2: в точке 12 нарушается неравенство (22). Рассматривается аналогично случаю 1.

СлучаЙ 3: в точке 42 нарушается неравенство (23). В силу непрерывности решения начальной задачи (4) в точке 42 достигается равенство

+ д2А1ьШ2(12,у) = А.

Из (24) и третьего неравенства в определении Е получаем 11

21+^Ч1Му-(¿2, у) + Ч2К1УШ* (¿2, у)

< 21+Ш1д1МсШ1у^(0,(р) + д2А1С2ш2уШ2(0,(р) < А;

противоречие. Следовательно, оценка (23) не может нарушаться при 4 = 42.

Так как ни одно из неравенств (21)-(23) не может нарушаться при 4 = 42, получаем, что эти неравенства верны при всех 4 < 4'. Тогда оценка (20) справедлива при всех 4 < 4'. По непрерывности можно определить значение у(4) в точке 4'. Рассмотрим начальную задачу типа (4):

г (в) ds \ , I > 4,

г /г

Л(г)г(г) + у в(г,г - в)г(в) ds + ^ ¡4, г (г), ^

Г — Т

Г— Т

ф) = у(з), з е [Ь - т,г% г(г' + 0) = у(г'). Данная начальная задача однозначно разрешима, следовательно, решение у(Ь) начальной задачи (4) можно продолжить. Значит, решение начальной задачи (4) определено при всех Ь> 0. Тогда оценка (20) справедлива при всех Ь> 0.

Теорема доказана.

Сформулируем еще две теоремы, в которых рассматриваются оставшиеся два случая. Доказательства данных теорем аналогичны доказательству теоремы 2.

Теорема 3. Пусть

(1) выполнены условия теоремы 1; т

(2) / 1и(в) ¿в > 0, где 7я(Ь) = тш{(£),&}; о

(3) число а > 0 такое, что выполнено неравенство (19);

(4) выполнено равенство аМеЛт = 1.

Тогда для решения начальной задачи (4) с начальными данными из множества

f

E p G C1 ([-т, 0]) : qiЛ2 max{1, c^1 }ФШ1 <т min qmin(s)

se[o,T ]

1 2

где

s>0

справедлива оценка

qiAs max{l, Cj'Ji^1 < ^A, 21+u>1q1Ncu>1v^ (0,p) + q2A1c2ui2vul2(0,p) < a|,

C2 = /Змам^2 max ^e-^2 s + öc + , ка

Mt)\\ < <S>ßMaM1/2e-^ (^t + 6c + l) .

Теорема 4. Пусть

(1) выполнены условия теоремы 1; т

(2) / Yh(s) ds > 0, где yh(t) = min{p^i), k); 0

(3) число a > 0 такое, что выполнено неравенство (19);

(4) выполнено неравенство a2MеЛт > 1.

Тогда для решения начальной задачи (4) с начальными данными из множества

E = j p G C1([-т, 0]) : qlЛ2 max{1,c"1 }ФШ1 <т min qmin(s), l se[o,T ]

дхЛз max{l, С31 }ФШ1 < 1д, 21+Ш1Ч1МсШ1у^ (0, р) + Ч2А1С2Ш2УШ2 (0, р) < д|, где

сз = ßMaM1/2 (©с( 1 - aM1/2e-ÄT) + aM2), справедлива оценка

||y(i)|| <сзФ< •

Из теорем 2-4 вытекает следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть

(1) выполнены условия теоремы 1; т

(2) / YH(s) ds > 0, где yh(t) = min{^^¡„(t),^. о

Тогда нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Ленанд, 2014.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

3. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

4. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

5. Кореневский Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова думка, 1989.

6. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

7. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 1996.

8. Kolmanovskii V. B., Myshkis A. D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1999. (Math. Appl., Dordr.; V. 463).

9. Gu K., Kharitonov V. L., Chen J. Stability of time-delay systems. Control engineering. Boston, MA: Birkhauser, 2003.

10. Agarwal R. P., Berezansky L., Braverman E., Domoshnitsky A. Nonoscillation theory of functional differential equations with applications. New York: Springer-Verl., 2012.

11. Gil' M. I. Stability of neutral functional differential equations. Paris: Atlantis Press, 2014. (Atlantis Stud. Differ. Equ.; V. 3).

12. Сабатулина Т. Л., Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. № 6. C. 55-63.

13. Чудинов К. М. Функционально-дифференциальные неравенства и оценка функции Коши уравнения с последействием // Изв. вузов. Математика. 2014. № 4. C. 52-61.

14. Hatvani L. Asymptotic stability of non-autonomous functional differential equations with distributed delays // Electron. J. Differ. Equ. 2016. V. 2016, N 302. P. 1-16.

15. Egorov A. V., Cuvas C., Mondie S. Necessary and sufficient stability conditions for linear systems with pointwise and distributed delays // Automatica. 2017. V. 80. P. 218-224.

16. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2005. T. 5, № 3. C. 20-28.

17. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 5. C. 1025-1040.

18. Demidenko G. V. Stability of solutions to linear differential equations of neutral type // J. Anal. Appl. 2009. V. 7, N 3. P. 119-130.

19. Матвеева И. И. Оценки решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. T. 16, № 3. C. 122-132.

20. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2014. T. 55, № 5. C. 1059-1077.

21. Demidenko G. V., Matveeva I. I. Estimates for solutions to a class of time-delay systems of neutral type with periodic coefficients and several delays // Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2015. V. 2015, N 83. P. 1-22.

22. Demidenko G. V., Matveeva I. I. Exponential stability of solutions to nonlinear time-delay systems of neutral type // Electron. J. Differ. Equ. 2016. V. 2016, N 19. P. 1-20.

23. Матвеева И. И. Об экспоненциальной устойчивости решений периодических систем нейтрального типа // Сиб. мат. журн. 2017. T. 58, № 2. C. 344-352.

24. Демиденко Г. В., Матвеева И. И., Скворцова М. А. Оценки решений дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2019. T. 60, № 5. C. 1063-1079.

25. Матвеева И. И. Оценки экспоненциального убывания решений одного класса нелинейных систем нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2020. T. 60, № 4. C. 612-620.

26. Матвеева И. И. Оценки решений класса неавтономных систем нейтрального типа с неограниченным запаздыванием // Сиб. мат. журн. 2021. Т. 62, № 3. С. 579-594.

27. Yskak T. Stability of solutions to systems of differential equations with distributed delay // Funct. Differ. Equ. 2018. V. 25, N 1-2. P. 97-108.

28. Ыскак Т. Об устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 3. C. 118-127.

29. Ыскак Т. Оценки решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 22042215.

30. Ыскак Т. Оценки решений одного класса систем уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 416-427.

Поступила в редакцию 19 августа 2022 г. После доработки 19 августа 2022 г. Принята к публикации 31 августа 2022 г.

Ыскак Тимур

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 istima92@mail.ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

UDC 517.929

STABILITY OF SOLUTIONS TO SYSTEMS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF NEUTRAL TYPE WITH DISTRIBUTED DELAY T. Yskak

Abstract: We consider a class of systems of nonlinear differential equations of neutral type with distributed delay and periodic coefficients in the linear part. Using the Lyapunov—Krasovskii functional, sufficient conditions for the exponential stability of the zero solution are established and estimates characterizing the rate of decay of solutions at infinity, as well as estimates of the set of attraction, are obtained.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.50.52.008

Keywords: nonlinear differential equation, distributed delay, neutral type, periodic coefficients, exponential stability, solution estimates, Lyapunov—Krasovskii functional.

REFERENCES

1. Myshkis A. D., Linear differential equations with retarded argument, Gostehizdat Publ., Moscow, Leningrad (1951).

2. Krasovskii N. N., Stability of Motion, Applications of Lyapunov's Second Method to Differential Systems and Equations with Delay, Stanford Univ. Press, Stanford, CA (1963).

3. El'sgol'ts L. E. and Norkin S. B., Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Acad. Press, New York; London (1973) (Math. Sci. Eng.; vol. 105).

4. Hale J., Theory of Functional Differential Equations, Springer, New York (1977).

5. Korenevskii D. G., Stability of Dynamical Systems under Random Perturbations of Parameters, Algebraic Criteria [in Russian], Nauk. Dumka, Kiev (1989).

6. Azbelev N. V., Maksimov V. P., and Rakhmatullina L. F., Introduction to the Theory of Linear Functional Differential Equations, World Federation Publ. Comp., Atlanta, GA (1995).

7. Dolgii Yu. F., Stability of Periodic Differential-Difference Equations [in Russian], Izdat. Ural. Gos. Univ., Yekaterinburg (1996).

8. Kolmanovskii V. B. and Myshkis A. D., Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1999) (Math. Appl.; 463).

9. Gu K., Kharitonov V. L., and Chen J., Stability of Time-Delay Systems. Control Engineering, Birkhauser, Boston, MA (2003).

10. Agarwal R. P., Berezansky L., Braverman E., and Domoshnitsky A., Nonoscillation Theory of Functional Differential Equations with Applications, Springer, New York (2012).

11. Gil' M. I., Stability of Neutral Functional Differential Equations, Atlantis Press, Paris (2014) (Atlantis Stud. Differ. Equ.; vol. 3).

12. Sabatulina T. L. and Malygina V. V., "Several stability tests for linear autonomous differential equations with distributed delay," Russ. Math. (Iz. VUZ), 51, No. 6, 52-60 (2007).

13. Chudinov K. M., "Functional differential inequalities and estimation of the Cauchy function of an equation with aftereffect," Russ. Math. (Iz. VUZ), 58, No. 4, 44-51 (2014).

14. Hatvani L., "Asymptotic stability of non-autonomous functional differential equations with distributed delays," Electron. J. Differ. Equ., 2016, No. 302, 1-16 (2016).

© 2022 T. Yskak

15. Egorov A. V., Cuvas C., and Mondie S., "Necessary and sufficient stability conditions for linear systems with pointwise and distributed delays," Automatica, 80, 218—224 (2017).

16. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Asymptotic properties of solutions to delay differential equations [in Russian]," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 5, No. 3, 20—28 (2005).

17. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Stability of solutions to delay differential equations with periodic coefficients of linear terms," Sib. Math. J., 48, No. 5, 824-836 (2007).

18. Demidenko G. V., "Stability of solutions to linear differential equations of neutral type," J. Anal. Appl., 7, No. 3, 119-130 (2009).

19. Matveeva I. I., "Estimates for solutions to one class of nonlinear delay differential equations," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 4, 557-566 (2013).

20. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "On estimates of solutions to systems of differential equations of neutral type with periodic coefficients," Sib. Math. J., 55, No. 5, 866-881 (2014).

21. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Estimates for solutions to a class of time-delay systems of neutral type with periodic coefficients and several delays," Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., 2015, No. 83, 1-22 (2015).

22. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Exponential stability of solutions to nonlinear time-delay systems of neutral type," Electron. J. Differ. Equ., 2016, No. 19, 1-20 (2016).

23. Matveeva I. I., "On exponential stability of solutions to periodic neutral-type systems," Sib. Math. J., 58, No. 2, 264-270 (2017).

24. Demidenko G. V., Matveeva I. I. and Skvortsova M. A., "Estimates for solutions to neutral differential equations with periodic coefficients of linear terms," Sib. Math. J., 60, No. 5, 828-841 (2019).

25. Matveeva I. I., "Estimates for exponential decay of solutions to one class of nonlinear systems of neutral type with periodic coefficients," Comput. Math. Math. Phys., 60, No. 4, 601-609 (2020).

26. Matveeva I. I., "Estimates for solutions to a class of nonautonomous systems of neutral type with unbounded delay," Sib. Math. J., 62, No. 3, 468-481 (2021).

27. Yskak T., "Stability of solutions to systems of differential equations with distributed delay," Funct. Differ. Equ., 25, No. 1-2, 97-108 (2018).

28. Yskak T., "On the stability of systems of linear differential equations of neutral type with distributed delay," J. Appl. Ind. Math., 13, No. 3, 575-583 (2019).

29. Yskak T., "Estimates for solutions of one class to systems of nonlinear differential equations with distributed delay [in Russian]," Sib. Elektron. Mat. Izv., 17, 2204-2215 (2020).

30. Yskak T., "Estimates for solutions of one class of systems of equations of neutral type with distributed delay [in Russian]," Sib. Elektron. Mat. Izv., 17, 416-427 (2020).

Submitted August 19, 2022 Revised August 19, 2022 Accepted August 31, 2022

Timur Yskak

Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk, Russia istima92@mail.ru