CC BY
25
ОЦЕНКА ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков
В работе рассматриваются системы, спроектированные методами модального управления на заданные качество и требование к относительной интервальности матриц состояния. В качестве дополнительного показателя систем предлагается использовать интервальное значение запаса устойчивости по фазе проектируемых систем, конструируемого на семействе полиномов В.Л.Харитонова. Приводится пример.
Введение. Постановка задачи
Рассматривается многомерная непрерывная система с интервальной матрицей состояния, имеющая векторно-матричное описание
Х(г) = [Р №) + );У (г) = Сх(г), (1)
которое получено агрегированием объекта управления (ОУ) с интервальной матрицей состояния
х(г) = [А]х(г)+Бы(г); У (г) = Сх(г), (2)
и регулятора, реализующего закон управления (ЗУ)
и ( г) = К^ (г) - Кх( г). (3)
В (1) - (3) х^,у,и - соответственно вектор состояния системы и ОУ, экзогенное воздействие, регулируемый выход, вектор управления;
х е Я";g,у е Ят;и е Яг. [Р], [А],О,В, С - соответственно интервальные матрицы состояния системы и ОУ, матрицы с фиксированными параметрами входа системы, управления и выхода; [ Р ], [ А ] е Я "х"; О е Я "х т ; В е Я "х г; С е Ят х"; К& -
матрица прямых связей по экзогенному воздействию g(t); К - матрица прямых связей (ОС) по состоянию; К еЯГхт;КеКх". Матрицы системы (1), (ОУ) (2) и ЗУ (3) связаны
соотношением
Р = А - ВК; О = ВК? (4)
В дальнейшем используется представление интервальных матриц в виде аддитивной композиции их медианных А0, Р0 и симметричных интервальных
[ДА], [АР] частей, так что матрицы [А] и [Р] могут быть представлены в виде
[А] = Ао + [ДА]; [Р] = Ро + [АР] = Л - ВК + [ДА] (5)
Введем в рассмотрение такую характеристику системных матриц, как оценка относительной интервальности 31*, задав ее для матриц [ А] ,[ Р] соотношениями
|ДА1 „ |ДР| И1 (6)
и" 1К11' N "1Ио - ВК ()
Корректность введения понятия оценка относительной интервальности матриц задаваемая с помощью соотношений (6) опирается на то, что симметричные интервальные компоненты [ДА] = [АР ] исходных интервальных матриц [А], [Р ], характеризуются одной и той же матричной нормой на всех угловых реализациях их интервальных элементов.
При постановке задачи синтеза закона управления (3) методами модального управления формулируются требования к структуре собственных значений медианного компонента Р0 = А0 - ВК, который доставляет системе необходимую динамику и
качество, а также к обеспечению интервальной матрице состояния необходимой оценки относительной интервальности в форме
5 = М = <5 (7)
5Ц, - вк|| <5"' (7)
за счет выбора матрицы обратных связей К.
Матрица прямых связей Кё выбирается из соображения ориентации системы (1) с законом управления (3) относительно экзогенного воздействия g(t) так, чтобы медианная версия системы характеризовалась единичным отношением вход-выход при неподвижном состоянии. Этому условию удовлетворяет равенство
Ф0(э) = С(з1 - F0)-1 ВКг и =-CF01BKg =1, (8)
где I —(т х т) единичная матрица. Дополним задачу еще одним требованием к показателям системы (1), в качестве которого предлагается использовать значение ее запаса устойчивости по фазе. Этот интервальный показатель также оценим как в абсолютной интервальной постановке, так и в относительной, с оценками А1Аф 8гАф,
задаваемых выражениями
А 1аНМ1 и 8а, = ^А^ (9)
где Аф0 и ААф связаны соотношением [А,] = Аф0 + [ААф].
Поставленная задача, контроля запаса устойчивости системы (1), с интервальной матрицей состояния р ], решается с привлечением аппарата семейства характеристических полиномов В.Л.Харитонова, на котором конструируются эквивалентные разомкнутые системы.
Основной результат
Введем в рассмотрение понятие эквивалентная разомкнутая система, сопровождающая некоторый характеристический полином.
Определение 1 (0.1) Система типа одномерный вход - одномерный выход, полученная путем размыкания единичной отрицательной обратной связи по выходу, с передаточной функцией прямой цепи
ж (*) = МГ, (10)
N (5)
где М($), N(5) - полиномы от б с вещественными коэффициентами удовлетворяющие требованиям минимальной фазовости [1] называется эквивалентной разомкнутой системой сопровождающей характеристический полином 0(5), если выполняется условие
О^Мф+Щз). (11)
В развитие разрабатываемых положений сформулируем следующие утверждения. Утверждение 1 (У1) Системы с передаточными функциями прямых цепей
M1 (V) ТЛ7() M 2 (5)
W1 (V) =-рт и W2 (V) =-рт^г- соответственно, замкнутые отрицательной единичной
N1 ) N2 ) обратной связью по выходу и представленные в одном и том же базисе , обладают идентичными показателями сходящихся по множеству начальных состояний ||х(0)|| = х0
при отсутствии экзогенного воздействия g(t) процессов х^) = х[х(о), g() = 0, t], если
Мх(^) + N^^2(5) + N2(5) = 0(5) □ (12)
Доказательство утверждения строится на непосредственном использовании определения (1) с учетом условия (12). ■
С целью дальнейших исследований выделим на классе эквивалентных разомкнутых систем сопровождающий данный характеристический полином системы с фиксированным порядком астатизма при помощи следующего определения.
Определение 2 (О.2) Передаточная функция прямой цепи вида / \ ап (,, + ап / 2у"-2 +......+ ап 1 з + ап
Щ (•) = ""-[V-2)_"-1 " (13)
V ' VI- "-V \ . _ _ "-V-! . _ ^ '
з^^^+а^"^-1 +......+ а
"-V
доставляет замкнутой единичной отрицательной обратной связью системе астатизм порядка V и при этом является передаточной функцией эквивалентной разомкнутой системы, сопровождающей характеристический полином
) = з" + а1 з"-1 + а 2 з"-2 + а3 з"-3 +......+ а"-1 з + ап □ (14)
Определение 2 позволяет сформулировать следующее утверждение Утверждение 2 (У .2) На множестве значений порядка астатизма V, передаточные функции вида (13) порождают класс эквивалентных систем в смысле положений утверждения 1. □
Доказательство утверждения строится на вычислении характеристических полиномов замкнутых систем, образованных замыканием разомкнутых систем с передаточной функцией прямой цепи (13), приводящим для всех порядков астатизма к представлению (14). ■
Применим положения сформулированных определений и утверждений к оценке запасов устойчивости разомкнутых систем, конструируемых на семействе полиномов Харитонова, полученных из (1).
Напомним основные положения теоремы Харитонова В.Л. [2] об устойчивости интервальных систем. Пусть интервальная матрица [р ] состояния системы (1) обладает интервальным характеристическим полиномом (ИХП) [о(А)], то есть полиномом с интервальными коэффициентами, который вычисляется в силу соотношения [ Д( А) ] = ёе1([Р]-А1) =[ а0] Г +[ а,] Г-1 +......+[ а"-,] А+[ ап] (15)
где [аг. ] =[ аг. ,ai ; I = ( 1,п) . Тогда ИХП (15) на множестве угловых реализаций интервальных коэффициентов [аг. ] будет Гурвицевым, а следовательно будет устойчива система (1) с интервальной матрицей [р], если будут Гурвицевыми следующие четыре полинома с фиксированными параметрами
Д (А) = а0А" + а1 А"-1 + а2 А"-2 + а3 А"-3 +......+ ап-1 А + ап, (16)
В2 (А) = а0А" + ОХ"-1 + ОХ-2 + а3А"-3 +......+ ап-1А + а", (17)
Д (X) = а0А" + а1 А"-1 + а2А"-2 + а3А"-3 +......+ ап-1 А + ап, (18)
ЭЛ (А) = а0А" + а1 А"-1 + а2А"-2 + а3А"-3 +......+ а"-1А + ап . (19)
Нетрудно видеть, что если применить положения определения (1) и (2) к семейству полиномов В.Л.Харитонова, то на этом семействе может быть сконструировано семейство эквивалентных разомкнутых систем (СЭРС), сопровождающих эти полиномы при различных порядках астатизма. Так для астатизма V = 1 передаточные функции семейства эквивалентных разомкнутых систем примут вид.
/ \ ап Щ (з) = П-_— _-т (20)
з(а0э" 1 + а1з" 2 + а2э" 3 + а3э" 4 +......+ ап-1)
W2 ()= ( n-1 -„-2 -!-И3-n-4-1 (21)
s^a0sn 1 + a1 sn 2 + a2sn 3 + a3s +......+ an-1)
W3 (s ) = -p=-=-a-=y (22)
s(a0sn 1 + a1 sn 2 + a2sn 3 + a3sn 4 +......+ an-1)
an
W4 (s)= -Т^Л-^-~3 n-4-=) , (23)
s a0 s n-1 + a1 s n-2 + a2 s n-3 + a3 s n-4 + ...... an-1
для случая v = 2 это семейство определяется следующими выражениями.
an-1 s + an
W (s) = -n-n-2-ГГ --L-=1, (24)
s ^a0sn 2 + a1 sn 3 + a2sn 4 +......+ an-2j
/ \ an-1 s + an
W (s)= 2 ( n-2 й-3 n-4-), (25)
2 a0 n-2 + a1 n-3 + a2 n-4 +...... an-2
W3 (s)= 2 -n-2 ~a-s + ann-4-i , (26)
s a0sn 2 + a1 sn 3 + a2sn 4 +......+ an-2)
t ч an-1 s + an W4 (s ) = -^=-=-==t • (27)
s2 (a0sn 2 + a1 sn 3 + a2sn 4 +......+ an-2)
И наконец для v = n передаточные функции СЭРС принимают вид. W (s ) = = 1, n), (28)
где Vi (s) = a0-1 Dr (s)- sn для i = 1,2 ; Уг (s) = a0-1 Dr (s) - sn для i = 3,4 . (29)
Введение эквивалентных разомкнутых систем, позволяет ввести в рассмотрение такой удобный пользовательский показатель как запас устойчивости по фазе, конструируемый с их помощью. В этой связи оказывается полезным следующее определение.
Определение 3 (О.3) Запас устойчивости по фазе Аф; некоторой системы с единичной отрицательной обратной связью по выходу и передаточной функцией W; (s) прямой цепи определяется соотношением
АРг =п + arg W Ош)|ш=ш* (30)
где
ш* = arg{ \W( уш) | = 1}. (31)
Применение соотношений (28), (29), (30), (31) к семейству эквивалентных разомкнутых систем, порождаемых полиномами В. Л. Харитонова в форме (20 ■ 23), (24 ■ 27), (28 ■ 29), дают одно и тоже значение запаса устойчивости i -той системы Аф;,( i = 1,2,3,4) . В этой связи предпочтение семейству из числа перечисленных делается исключительно из соображений простоты вычислительного характера. Вычисленные в силу (30,31), значения запасов устойчивости с помощью передаточных функций эквивалентных разомкнутых систем, сопровождающих полиномы В.Л. Харитонова, порождают интервальную их реализацию вида [Аф] = [Аф, Аф]. Это дает возможность сконструировать оценки (9) интервальности запаса устойчивости по фазе интервальной системы (1).
С пользовательской точки зрения, полученные значения оценок (9) позволяют в достаточно сжатой форме оценить эффект введения в структуру системы регулятора, реализующего закон управления (3) и определить направление модификации [3] его матричных компонентов, для уменьшения значений этих оценок с целью достижения требуемой ее величины.
Пример
В качестве примера рассматривается двухканальная фотоэлектрическая следящая система (ФЭСС), сепаратные каналы которой в медианном исполнении, представляют собой полиномиальные динамические модели второго порядка с распределением мод Батерворта и соответственно характеристическими частотами с0 = 3сдля канала
слежения по азимуту и с0 = 8с - для канала слежения по углу места. В измерительном
устройстве канала слежения ФЭСС могут возникать перекрестные связи, приводящие к интервальной матрице связей в прямой цепи
1 Ч1
41 1
Исполнительные приводы системы подвергаются температурному воздействию со стороны окружающей среды, которое проявляется в форме интервального значения коэффициента вязкого трения приводов, приводящего в модельном представлении к мультипликативному члену вида (1+ 42]) где [д2 ]=[- 0.3;0.3]. С учетом сказанного интервальная матрица состояния [р ] системы примет вид 0 10 0
[р. ]=
, где [?. ] = [- 0.3;0.3].
[Р ] =
-и
12
"и11 (1 + [4 2 ] -и12 [4 ]
0
и
.[41]
0
-и
"и21 (1 +[42 ]
Интервальный характеристический полином матрицы [р ] строится путем вычисления характеристических полиномов угловых реализаций матрицы [р] = Р([4]) в пространстве параметров (1з д2), мощность множества которых равна четырем. Применение к полученным угловым реализациям характеристических полиномов процедуры интервализации, приводит к ИХП принимающему вид
Ц(Х)] = [1;1]А4 +[10.9;20.2]А3 + [96.5;154.1]А2 + [261.3;485.3]А + [б27.8;627.8] (32) В соответствии с процедурой В.Л.Харитонова на ИХП (32) строятся четыре полинома В.Л.Харитонова. (16)-(19), которые получают представление Ц (А) = А4 +10.9 А3 + 154.1А2 + 485.3А + 627.8 Ц2 (а) = А4 + 20.9 А3 + 154.1А2 + 261.3А + 627.8 Ц3 (А)=А4+20.9А3 + 96.5 А2 + 261.3А + 627.8 Ц4 (А) = АА + 10.9А3 + 96.5А2 + 485.3А + 627.8
Семейство эквивалентных разомкнутых систем сопровождающих полученные характеристические полиномы характеризуются передаточными функциями (28) - (29), которые принимают вид
Щ (з ) =
10.9з3 +154.1з2 + 485.3з + 627.8
Щ2 (з ) =
20.9з3 +154.1з2 + 261.3з + 627.8
0
0
0
1
4
Ж3 (5 ) = Ж4 (5 ) =
20.953 + 96.552 + 261.35 + 627.8 10.953 + 96.5у 2 + 485.3У + 627.8
7
По приведенным передаточным функциям могут быть определены запасы устойчивости по фазе Афi ( = 1,4)
Аф1 = 520.7, Аф2 = 190.24 , Аф3 = 120.73, Аф4 = 510.38.
Применение к полученным значениям процедуры интервализации дает интервальные представления
[Аф]= Аф0 +[ААф] = Аф0 + [ААф, ААф]= [120.73;520.7]= 320.715 + [-190.985;190.985]
, которые позволяют сконструировать оценки интервальности запаса устойчивости ФЭСС в абсолютной и относительной постановках, принимающие в силу (9) значения
А /Аф = ||ААф|| = 190.985 81Аф = |АА4 = ^ = 0.61. /Аф 11 П 1Аф ||Аф0| 320.715
Литература
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П., Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972
2. Харитонов В.Л Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения 1978 №11
3. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В.Григорьев, В.Н.Дроздов, В.В.Лаврентьев, А.В.Ушаков. -Л: Машиностроение , Ленингр.отд-ние, 1983.
