Оценка возможности применения сингулярных чисел для классификации цифровых изображений площадных объектов земной поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.7:004.93'1

Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2013. Вып. 4

А. А. Симинеев, Н. А. Позднякова, Е. И. Тарасова

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ КЛАССИФИКАЦИИ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПЛОЩАДНЫХ ОБЪЕКТОВ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Изображение земной поверхности на цифровом снимке представляет собой растр: матрицу B = (bi,j)m,n, состоящую из отдельных элементов (пикселов) bi,j, записанных в m строк (i = 1, 2, ..., m) и n столбцов (j = 1, 2, ..., n). Каждый пиксел характеризуется своим местоположением (i, j) и яркостью bi,j. Множества таких элементов, объединенных по величине яркости, образуют на снимке изображения отдельных объектов земной поверхности.

Для распознавания объектов по их изображениям применяются различные методы компьютерной классификации [1], в том числе и с использованием сингулярного разложения матриц (общепринятая аббревиатура — SVD) [2]. Несмотря на то, что SVD-разложение, возможно, является самым важным матричным разложением из всех известных [3], оно не нашло широкого применения в отечественной практике компьютерного анализа изображений.

Выделим в матрице B подматрицу Bk, состоящую из k строк и k столбцов (k < min (m, n). Тогда ее сингулярное разложение имеет вид [2, 3]

Bk = USVT,

(1)

где и, VТ — ортогональные матрицы размера (к х к), символ тильда у матрицы V введен для отличия матрицы от вектора поправок V (см. ниже); Т — верхний индекс, обозначающий операцию транспонирования матриц;

X =

— диагональная матрица размера (k х к);

>к J

стрст2 , • • •, ак — сингулярные числа (стх > ст2 > ••■ >ак > 0).

В отличие от матриц и и V, обладающих свойствами лишь частичной однозначности, сингулярные числа ст; (I = 1, 2,...,к) определяются однозначно [3]. Известно [2, 3], что количество чисел а ^ 0 соответствует рангу матрицы, а ее число обусловлен-

Симинеев Алексей Александрович — кандидат технических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]

Позднякова Наталия Александровна — старший преподаватель, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]

Тарасова Евгения Ивановна — студент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]

© А. А. Симинеев, Н. А. Позднякова, Е. И. Тарасова, 2013

ности к2 = атах/ ат;п (где атах, ат;п — максимальное и минимальное сингулярные числа).

Существующие методы распознавания, использующие аз ложение, ос-

новываются на применении всех матриц разложения (1). Так, в [4] предлагается использовать наборы троек, состоящих из сингулярного числа и соответствующих ему левого и правого сингулярных векторов матриц и и V. В [5] предварительно вычисляется нормальная матрица ВТВ, а затем ее полное сингулярное разложение. Однако вычисление матриц и и V связано с некоторым произволом [3], что может сказаться на результатах и привести к определенным сложностям при повторении вычислений в других условиях. Кроме того, известно [2], что числа обусловленности матриц В и ВТВ связаны соотношением к2(ВтВ) = (к2(В))2. Поэтому в случае плохой обусловленности матрицы В обусловленность матрицы ВТВ будет во много раз хуже. Вследствие чего переход к нормальным матрицам представляется необоснованным.

Рассмотрим возможность распознавания площадных объектов местности с использованием только одной матрицы разложения (1), а именно матрицы X. В качестве тест-объекта выберем участок соснового леса природного парка «Самаровский чугас», расположенный в Ханты-Мансийском автономном округе. Территория заповедника покрыта материалами съемки, выполненной 12 мая 2000 г. космической съемочной системой Landsat-7 в панхроматическом, а также зеленом (З), красном (К) и ближнем инфракрасном (ИК) диапазонах спектра [6]. Основные характеристики снимков приведены в табл. 1.

Таблица 1. Характеристики цифровых снимков тест-объекта

Параметры съемки и название характеристик Режим съемки

панхроматический многозональный

Высота орбиты, км 705

Время съемки (местное солнечное), час ± мин. 10 ± 15

Спектральный диапазон, мкм 0,52-0,90 0,53-0,61 (З) 0,63-0,69 (К) 0,78-0,90 (ИК)

Фокусное расстояние, см 243,8

Пространственное разрешение в надир, м 14,25 28,50

Радиометрическое разрешение, бит на пиксел 8

Изображение тест-объекта на панхроматическом снимке размером 32 х 32 пиксела разобьем на четыре равные части (элементарные участки). Схема расположения тест-объекта и контрольных полигонов приведена на рис. 1.

Сингулярное разложение матрицы яркостей первого участка размером 16 х 16 пикселов выполним с помощью программы $уй [7], особенностью которой является то, что, в отличие от теории [2, 3], числа а, не упорядочиваются по величине (табл. 2).

Рис. 1. Изображение тест-объекта и контрольных полигонов на фрагменте цифрового снимка.

Условные обозначения: 1 — населенный пункт Ханты-Мансийск; 2 — граница природного заповедника «Самаровский чугас»; 3 — тест-объект (1-4 номера участков); 4 — контрольные полигоны (9 — номер полигона).

Таблица 2. Значения сингулярных чисел матрицы яркостей

Номер Значение Номер Значение Номер Значение Номер Значение

1 648,709 5 25,023 9 15,188 13 6,177

2 38,892 6 21,606 10 13,719 14 1,371

3 34,684 7 20,274 11 12,425 15 3,439

4 32,177 8 18,224 12 10,192 16 2,831

Из табл. 2 видно, что а1 = 648,709 значительно отличается по величине от остальных сингулярных чисел. Кроме того, начиная с а15, нарушается естественный порядок убывания их значений.

Исключив а1 из дальнейшей обработки, расставим сингулярные числа в порядке их убывания и определим уравнение прямой а(х) = a0 + a1(x), аппроксимирующей

множество точек (i, аг), i = 2,...,16, взятых из табл. 2.

16

Решив указанную задачу под условием ^(ai -o(xi ))2 = min, где xi = i, найдем

i=2

значения параметров: a0 = 40,46, a1 = -2,5974. Параметр a1 = tg ф, где ф — угол наклона аппроксимирующей прямой к оси абсцисс. Очевидно, что ф = аrctg(a1) = -68°57'. Учтя вычисленные значения параметров, составим уравнение искомой прямой: а^) = 40,46 - 2,5974 x и нанесем его на график (рис. 2).

Для оценки точности найденных значений параметров в последнем приближении вычислим вектор поправок V, определим квадратичную форму VTV и матрицу весовых коэффициентов Q. Затем найдем средние квадратические ошибки (СКО) параметров [8]

maj JÖj, (2)

л п

где и = \1—- — ошибка единицы веса; п — количество

\ п - 2

сингулярных чисел (п < А—1); = 1, 2) — диагональные элементы матрицы Q.

Выполнив необходимые действия, по формуле (2) найдем: та = 2,1, та = 0,13. Аналогично вычислим значения сингулярных чисел, средние значения яркости Ь и параметры аппроксимирующих прямых для остальных участков тест-объекта. Обобщенные результаты экспериментальных исследований приведены в табл. 3.

Анализ данных табл. 3 показывает, что максимальное отклонение углов наклона ф от среднего значения (-69°00') не превышает 13'. В ходе вычислений было установлено, что количество сингулярных чисел, используемых для решения задачи, влияет на близость параметра а0 к среднему значению яркости Ь. Вследствие чего при определении параметров аппроксимирующих прямых использовалось различное количество сингулярных чисел. Кроме того, сравнение чисел обусловленности, приведенных в табл. 3, показывает, что матрицы яркостей третьего и четвертого участков плохо обусловлены. Объясняется это тем, что на указанных участках имеются небольшие поляны, элементы изображения которых Ь¡^ близки друг к другу по своей величине (яркости), существенно отличающейся от окружающего фона. Исправив яркости пикселов, соответствующих названным объектам, можно существенно улучшить обусловленность и сходимость результатов. Отметим также, что общее изменение фона практически не оказывает влияния на значения параметров. Так, увеличение яркостей всех пикселов матрицы Вк на 4 единицы приводит к изменению угла ф на пренебрегаемо малую величину равную 20", при этом параметр а0 остается без изменений.

Таблица 3. Результаты обработки панхроматических изображений тест-объекта

Номер участка Номера й Параметры прямой СКО ma1 Угол наклона ф, град., мин. Среднее значение Ь Число обусловленности к2

ao a\

1 2-16 40,46 -2,5974 0,13 -68 57 40,45 473,14

2 3-16 40,06 -2,5759 0,14 -68 47 40,96 332,79

3 2-16 40,20 -2,6171 0,15 -69 05 41,30 6377,52

4 3-16 41,46 -2,6350 0,08 -69 13 41,32 15335,58

Тест-объект, помимо панхроматического, покрыт многозональными снимками, пространственное разрешение которых в два раза хуже (см. табл. 1). Вследствие чего изображение элементарных участков на них имеет размер 8 х 8 пикселов. Определим по приведенной выше методике параметры прямых, аппроксимирующих сингулярные

40 36 32

* 28

К!

и =

р 24

0 ^ |

1 20

г?

§ 16

I

12

I

1«

•

\ 4 Л §

\ \

к 5

/ ф

0

2 6 10 14 18 I (х) — номера чисел

Рис. 2. Сингулярные числа и прямая, аппроксимирующая их значения.

числа матриц яркостей спектральных образов первого участка. Результаты вычислений приведены в табл. 4.

Таблица 4. Результаты обработки многозональных снимков

Спектральный диапазон Номера ^ Параметры прямой СКО ma1 Угол наклона ф, град., мин. Среднее значение Ь Число обусловленности к2

Й0

З 3-7 28,22 -3,8205 0,32 -75 20 51,38 2410,73

К 2-7 27,34 -3,2515 0,58 -72 54 43,08 193,91

ИК 2-8 18,75 -2,5120 0,34 -68 18 46,62 15392,83

Из сравнения табл. 3 и 4 следует, что параметры я1 близки по величине только для инфракрасного и панхроматического снимков с изображением одного и того же участка леса.

Оценка возможности применения сингулярных чисел для классификации изображений других объектов местности на панхроматическом снимке приведена в табл. 5.

Из табл. 3 и 5 следует, что изображения различных объектов местности имеют параметры a0 и a1, отличающиеся друг от друга. Указанный фактор позволяет использовать названные величины в качестве признаков для распознавания объектов по их изображениям. Классификация объектов по рассматриваемым признакам приведена на рис. 3, где вместо параметра al для наглядности показан модуль угла наклона |ф| = |аг^

Таблица 5. Результаты обработки изображений контрольных полигонов

Название и номера полигонов Параметры прямой Угол наклона ф, град., мин. Среднее значение Ь Число обусловленности к2

Й0

Болото, 5 29,16 -1,9242 -62 32 46,38 17121,92

6 28,17 -1,7936 -60 52 47,48 2016,16

7 29,18 -1,8109 -61 06 47,30 499,50

Городская застройка, 8 53,04 -3,3585 -73 25 51,36 578,89

9 56,01 -3,4092 -73 39 55,46 473,31

10 51,15 -3,2349 -72 49 50,64 908,27

Лес, 11 36,88 -2,6372 -69 14 36,73 4669,20

Водная поверхность, 12 25,89 -1,7095 -59 40 30,18 814,45

13 26,77 -1,7488 -60 14 29,78 688,29

14 25,13 -1,7232 -59 52 29,78 8768,89

Анализ рис. 3 показывает, что поле признаков таких площадных объектов, как сосновый лес, застроенные территории, болото, водная поверхность реки Иртыш представляют собой замкнутые, непересекающиеся области, т. е. могут быть уверенно классифицированы с помощью предлагаемых параметров a0 и a1. Более четкое различение водной поверхности от болота возможно с привлечением средних зна-

55

50

'S 42

S 40

35

30

25

55 60 65 70 75 | Ф | — модуль угла наклона

Рис. 3. Двумерное поле признаков площадных объектов местности.

чений яркости b или снимка в ближней инфракрасной зоне. Так, в ИК-диапазоне модули |ф| для указанных объектов (13 и 6 участки) соответственно равны 32°45' и 51°44'.

Таким образом, параметры a0 и a\ прямых, аппроксимирующих сингулярные числа матриц яркостей, не зависят от изменения общего фона изображений и могут быть использованы в качестве признаков для распознавания площадных объектов местности по их изображениям на цифровых снимках, в том числе и разновременных.

Литература

1. Шовенгердт Р. А. Дистанционное зондирование. Модели и методы обработки изображений / пер. с англ. М.: Техносфера, 2010. С. 428-474.

2. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / пер. с англ. М.: Мир, 2001. 430 с.

3. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений / пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. С. 282-302.

4. Гальяно Ф. Р. Алгоритм классификации участков поверхности Земли на основе сингулярного разложения матриц // Информационные технологии. 2010. № 12. С. 35-37.

5. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 1. 310 с.; Т. 2. 790 с.

6. Global Observatory for Ecosystem Services. Michigan State University.USA. URL: http://35.8.163.34/? version=Website&sensor=ETM&path=159&rpw=017 (дата обращения: 03.07.2009)

7. Куштин И. Ф., Куштин В. И. Геодезия: учеб.-практ. пособ. Ростов н/Д: Феникс, 2009. 909 с.

8. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. С. 248-256.

Статья поступила в редакцию 19 июня 2013 г.

+

ородска [застро? ка +

С ОСНОВЫ! лес -U ф

Лес +

^ Водн Болото 1я повер: [НОСТЬ