CC BY
48
УДК 528.7:004.93'1
Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2014. Вып. 2
А. А. Симинеев, В. В. Фролов, Е. И. Тарасова
ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ МАТРИЦЫ ЯРКОСТЕЙ ЦИФРОВОГО КОСМИЧЕСКОГО СНИМКА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ К ИЗМЕНЕНИЮ ОБЩЕГО ФОНА ИЗОБРАЖЕНИЯ
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Рассмотрена устойчивость сингулярных чисел af матрицы Bk и параметров классификации a0, a1 площадных объектов местности к изменению яркости общего фона изображения фрагмента цифрового панхроматического снимка Landsat-7.
Показано, что матрица изменения фона изображения Ak = к Ak оказывает существенное влияние только на максимальное по величине сингулярное число Св результирующей матрицы яркостей Bk = Ак + Bk, которое не используется при вычислении параметров. Установлено, что ошибки параметров Aa0 и Aa1 достигают своей максимальной величины при к = -bmin. Изменение яркости фона изображения в пределах от -15 до 60 DN (Digital Number) приводит к ошибкам Aa1 < 2'. При отрицательных значениях коэффициента к ошибка Aa1 возрастает по величине значительно быстрее, чем при положительных. Рекомендовано выполнять приведение изображений двух разновременных снимков к одному виду путем прибавления яркостей к более «темному» снимку. Дано обоснование возможных границ изменения фона изображения в зависимости от допустимой величины ошибки Aa1. Библиогр. 7 назв. Ил. 1. Табл. 3.
Ключевые слова: цифровой снимок, яркость, изображение, сингулярные числа, норма матрицы, классификация, параметры.
ASSESSMENT OF SINGULAR NUMBER STABILITY OF A DIGITAL SPACE PICTURE
BRIGHTNESS MATRIX OF THE EARTH SURFACE TO
THE GENERAL BACKGROUND CHANGE IN TERRAIN OBJECT IMAGES
A. A. Simineev, V. V. Frolov, E. I. Tarasova
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
This article considers stability of singular numbers of the matrix and parameters of classification a0, ai of area locations to the general background brightness change in an image segment of the digital panchromatic picture taken by Landsat-7. It is shown that the image background transition matrix
Ak = к Ak has essential impact only on the maximum singular number св of the resultant matrix of brightness Bk = Ak + Bk; this maximum singular number is not used in the computing of parameters. It is established that errors in the parameters Aa0 and Aa1 reach their maximum at к = -bmin. The background brightness change ranging from -15 to 60 DN (Digital Number) leads to errors Aa1 < 2'. When the coefficient к is negative, the error Aa1 increases in size much quicker than when it is positive. It is recommended to uniform the two pictures by adding brightness to the «darker» one. The rationale for possible bounds of an image background change depending on tolerable error level is established. Refs 7. Figs 1. Tables 3.
Keywords: digital picture, brightness, image, singular numbers, norm of a matrix, classification, parameters.
Рассмотрим матрицу яркостей Вк = (Ьу)к фрагмента цифрового снимка земной поверхности (где Ъц — яркости пикселов, Ъ^ > 0; I = 1, 2, ..., к;) = 1, 2, ..., к). Тогда ее сингулярное разложение имеет вид [1, 2]
Вк = ШУт, (1)
где U, VT — ортогональные матрицы размера (к х к); T — верхний индекс, обозначающий операцию транспонирования матриц; £ = diag(a1, a2, ..., ak) — диагональная матрица размера (к х к); аь а2, ..., ак — сингулярные числа (ai > a2 > ... > ak > 0).
Известно [1, 2], что в отличие от матриц U и VT, обладающих свойствами частичной однозначности, числа ai(i = 1, 2, ...,к) определяются однозначно. Количество чисел ai ф 0 соответствует рангу матрицы, а ее число обусловленности к2 = amax/amin (где amax, amin — максимальное и минимальное сингулярные числа).
На условии однозначности определения чисел ai основан способ автоматического распознавания площадных объектов местности по их изображениям на цифровых снимках [3]. Сущность предлагаемого способа заключается в вычислении разложения (1), определении параметров a0 и a1 прямой, аппроксимирующей сингулярные числа, и классификации объектов местности из сравнения найденных параметров с известными тестовыми значениями.
Вместе с тем вопрос устойчивости параметров классификации (a0, a1) к общему изменению яркости пикселов матрицы Вк, характерному для разновременных снимков, изложен в [3] недостаточно полно. Очевидно, что устойчивость параметров зависит от устойчивости чисел ai к изменению элементов матрицы.
В [4] утверждается, что сингулярные числа матрицы очень устойчивы к изменению ее элементов. Проверим выполнение указанного утверждения на матрице Вк, элементами которой являются целые числа (яркости) by, принимающие значения в интервале от 0 до 255 DN (Digital Number).
Евклидова норма ||А||е произвольной матрицы A = (a j размера m х n (m > n) и ее сингулярные числа aAi связаны равенством [3]
A, =
HI ai ,j
vi =1 j=1
2 Y/2 ( n Y/2
V i=1 у
(2)
где aj = 1 — элементы матрицы A.
Рассмотрим матрицу Ak = (аиj )к, все элементы которой aij. Очевидно, что ранг r(Ak) = 1. Из этого следует, что все сингулярные числа, за исключением одного (обозначим его aA1 ) равны нулю [1, 2]. Тогда из равенства (2) найдем, aA = к = || Ak ||£ .
Пусть матрица Ak = х Ak (где х = const и, в общем случае, х ф 0). Рассуждая аналогично, найдем, что разложение (1) матрицы Aк имеет единственное не нулевое число
a г = |х| к.
a1 I I
Общее изменение фона изображения между двумя разновременными снимками одного и того же участка земной поверхности может быть представлено уравнением
Ak = Вк - Вк, (3)
где Ак — матрица, характеризующая величину изменения фона изображения; Вк, Вк — матрицы яркостей снимков, которые условно назовем соответственно результирующей и исходной матрицами.
Обозначим сингулярные числа, соответствующие матрицам, входящим в уравнение (3), как a- , стй и ai (i = 1, 2, ...,k).
Тогда [4]
к , .2 к
!К -я) - IIАк 112£ • (4)
I=1 I=1
В [4, 5] показано, что в том случае, когда ст; :»|| Ак ||£, соотношение (4) преобразуется к виду
СТд ~СТ; + ^, (5)
где Ъ й 11 Ак ||£ •
Исходя из того, что ст1 ~ кЬ (где Ь — среднее значение яркостей Ь,) [6], || А-к ||£ = |х| к, условие, при котором выполняется неравенство (5) при I = 1 можно записать в виде Ь »|х| • Следуя [5], величина Ь должна превышать модуль |х| по крайней мере в 5 раз.
Проверку теоретических положений, приведенных выше, выполним на тест-объекте, в качестве которого используем фрагмент цифрового панхроматического снимка Ьа^за1-7 с изображением соснового леса природного парка «Самаровский чу-гас» [3].
Сингулярные числа матрицы яркостей Вк (к = 16) изображения участка тест-объекта, имеющего наиболее однородную структуру, приведены в табл. 1 [3].
Таблица 1. Значения чисел о,- исходной матрицы яркостей Вк
Номер Значение Номер Значение Номер Значение Номер Значение
1 648,709 5 25,023 9 15,188 13 6,177
2 38,892 6 21,606 10 13,719 14 1,371
3 34,684 7 20,274 11 12,425 15 3,439
4 32,177 8 18,224 12 10,192 16 2,831
Из табл. 1 видно, что а1 = 648,709 значительно отличается от остальных сингулярных чисел, значения которых не упорядочены по величине. Отметим, что для рассматриваемого примера Ьт1п = 27, а Ь = 40,45 БЫ.
Расставив числа 0{ в порядке их убывания и исключив о1 из дальнейшей обработки, определим методом наименьших квадратов уравнение прямой а(х) = а0 + а1(х), аппроксимирующей множество точек (1, а,), ¡ = 2, ..., 16 (см. табл. 1). Решив указанную задачу, найдем: а0 = 40,46 БЫ, а1 = -2,59743 [3]. Параметр а1 = ф, где ф — угол наклона прямой. Очевидно, что ф = аг^^) = -68°56'36".
Исследуем влияние общего изменения яркости фона изображения на устойчивость сингулярных чисел. Для этого, приняв х = 5, составим матрицу изменения фона Ак = 5Ак и найдем результирующую матрицу яркостей ВВк = Ак + Вк. Затем, используя программу $уй [7], по формуле (1) вычислим ее сингулярное разложение (табл. 2).
Анализ данных, приведенных в табл. 1 и 2, показывает, что а1 = 648,709 >> || Ак ||£ = 80 и отличается от ^ на ^ = 79,832 БЫ, т. е. на величину примерно равную
Таблица 2. Значения чисел а^ результирующей матрицы Бк
Номер Значение Номер Значение Номер Значение Номер Значение
1 728,541 5 25,036 9 15,179 13 6,170
2 38,913 6 21,608 10 13,717 14 1,370
3 34,686 7 20,276 11 12,427 15 3,445
4 32,179 8 18,205 12 10,187 16 2,831
|| Лк ||£. Остальные соответствующие сингулярные числа отличаются друг от друга незначительно. При этом ^ ^^^ (г = 2, 3, ...,к), вследствие чего ®стг. Из указанного фактора следует, что единственное отличное от нуля сингулярное число матрицы Лк (а л = 80) практически полностью вошло в а в , которое не используется при вычислены и параметров классификации а0 и а1 (!).
Оценим влияние ^ (г = 2,3, ...,к) на значения параметров классификации. Для этого, исключив из обработки, используем данные табл. 2 для вычисления названных параметров. Выполнив необходимые действия, найдем: а0 = 40,47 БЫ, а1 = -2,59825 (ф = -68°56'58"). Отклонения параметров а0 и а1 (точнее угла наклона ф) от исходных значений, соответствующих ж = 0, обозначим ошибками Да0, Да1. Тогда из сравнения соответствующих параметров получим: Да0 = 0,02 БЫ, Да1 = -22'', т. е. изменение фона изображения на 5 БЫ практически не повлияло на результаты. В то же время, выполненные исследования показали, что уменьшение яркости только одного пиксела матрицы Вк на минимально возможную величину, равную 1 БЫ, приводит к ошибкам: Да0 = -0,05, Да1 = 1'50''.
Определим возможные границы значений коэффициента ж. Для этого, используя различные значения ж, составим матрицу Вк и, выполнив необходимые преобразования, найдем значения параметров а0, а1 и их ошибки. Обобщенные результаты вычислений приведены в табл. 3.
Таблица 3. Зависимость параметров я0, я1 и их ошибок от коэффициента к
Значение коэффициента к Параметры прямой Ошибки Число обусловленности к2
а0 а\ ф Да0 Да1
-27 40,31 -2,58237 -68°49'54'' -0,12 6'42'' 157,78
-15 40,42 -2,59303 -68°54'39'' -0,04 1'57'' 297,28
0 40,46 -2,59743 -68°56'36'' 0 0 473,14
5 40,47 -2,59825 -68°56'58'' 0,01 -22'' 531,87
20 40,48 -2,59988 -68°57'42'' 0,02 -1'06'' 708,20
60 40,50 -2,60185 -68°58'34'' 0,04 -1'58'' 1178,83
200 40,52 -2,60357 -68°59'20'' 0,06 -2'44'' 2826,93
Анализ данных табл. 3 показывает, что общее изменение яркости фона изображения приводит к сдвигу (Да0) и изменению угла наклона (Да1) аппроксимирующей прямой, величина которых мала по сравнению с элементами матрицы Ак. При этом с увеличением ж заметно ухудшается обусловленность матрицы Вк. Ошибки Да0 и Да1 достигают своей максимальной величины при ж = -Ьтт, где Ьт;п — минимальное
значение яркости пикселов матрицы Вк. Данные, приведенные в табл. 3, могут быть использованы для уточнения границ возможных значений коэффициента ж, исходя из допустимого значения ошибки Да1доп. Так, при |Да1доп| < 2' значения коэффициента ж могут изменяться в пределах от -15 до 60. Другими словами, изменение яркости фона изображения в пределах от -15 до 60 БЫ приводит к изменению угла наклона не более чем на 2'.
Очевидно, что для обеспечения условия Ьу > 0, нижняя граница значений ж (ж < 0) должна определяться из неравенства |ж| < Ьт;п. С ростом значений коэффициента ж происходит медленное увеличение ошибок Да0 и Да1. Верхняя граница ж может быть установлена из условия ж < 255 - Ьтах, где Ьтах — максимальная яркость пикселов матрицы Вк.
График зависимости ошибки Да1 от значений коэффициента ж показан на рисунке.
Анализ рисунка показывает, что при отрицательных значениях ж ошибка Да1 возрастает по величине значительно быстрее, чем при положительных. Указанный фактор позволяет рекомендовать приведение изображений двух разновременных снимков к одному виду выполнять путем прибавления яркостей к более «темному» снимку.
В -3 ---------
< -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 ос — коэффициент изменения фона
Зависимость ошибки Да1 от коэффициента ж
Кроме того, из рисунка видно, что при |ж| ^ Ь (в нашем случае приведенное неравенство может быть заменено на |ж|< 8), ошибка угла наклона мала по величине и изменяется в пределах -33'' < Да1 < 48''.
Таким образом, общее изменение яркости фона изображения не оказывает существенного влияния на параметры классификации а0, а1 цифровых изображений площадных объектов местности. Вместе с тем даже небольшие изменения яркостей одного или нескольких пикселов могут привести к искажению значений указанных параметров, соизмеримому по величине с ошибками, вызванными изменением фона.
Литература
1. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / пер. с англ. М.: Мир, 2001. 430 с.
2. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений / пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. С. 282-302.
3. Симинеев А. А., Позднякова Н. А., Тарасова Е. И. Оценка возможности применения сингулярных чисел для классификации цифровых изображений площадных объектов земной поверхности // Вестн. С.- Петерб. ун-та. Сер. 7. 2013. Вып. 4. С. 162-167.
4. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов / пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 232 с.
5. Stewart G. W. A note on the perturbation of singular values // Linear Algebra and Appl. 1979. Vol. 28. P. 213-216.
6. Тарасова Е. И. Особенности применения сингулярных чисел для распознавания лесных массивов на космических снимках // Тез. докл. Всерос. науч. конф. 30.09-04.10.2013 «Обработка пространственных данных и дистанционный мониторинг природной среды и масштабных антропогенных процессов» / Институт водных экологических проблем СО РАН. Барнаул, 2013. С. 9S-98.
7. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. М.: Мир, 1980. С. 248-2S6.
Статья поступила в редакцию 27 января 2014 г.
Контактная информация
Симинеев Алексей Александрович — кандидат технических наук, доцент; [email protected] Фролов Валентин Васильевич — старший преподаватель; [email protected] Тарасова Евгения Ивановна — студент; [email protected]
Simineev A. A. — Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor; [email protected] Frolov V. V. — Senior lecturer; [email protected] Tarasova E. — student; [email protected]
