CC BY
132
УДК 528.721.122 (202)
Вестник СПбГУ. Сер. 7. 2012. Вып. 4
А. А. Симинеев, Е. И. Тарасова
ОБРАТНАЯ ФОТОГРАММЕТРИЧЕСКАЯ ЗАСЕЧКА: НАДЕЖНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В настоящее время наиболее полным и достоверным источником первичной информации об объектах земной поверхности, природных явлениях и результатах деятельности человека являются цифровые и аналоговые снимки. Для географической привязки объектов, изображенных на них, необходимо знать элементы ориентирования снимков в пространстве. Задача определения элементов внешнего ориентирования (ЭВО) снимка является одной из основных задач фотограмметрии, и в специальной литературе известна как обратная засечка.
Элементы внешнего ориентирования (ЭВО) снимка обычно вычисляются из решения обратных [1]
х = х - г X-X,)+Ь,(У-у8)+с,(г-z8) 0 а3( X - Х8) + Ь3(У - У8) + с3^ - Zs )'
(1)
а2( X - Х8) + Ь2(У - У8) + с2( Z - Z8)
у = у0 - f-
0 ази - X8) + Ь3(У - У8) + с3^ - Z8)
или прямых зависимостей между координатами х, у точки снимка и координатами X, У, Z соответственной точки местности
я, (х - хп) + а (У - Уп) - , .X'
X = X, + ^ - Z8 -0--247 /0'-= X, + (Z - Z8)—,
сх(х - Х0) + с2(у - У0) - Cзf Z'
Ь, (х - хп) + Ь (У - Уп) - Kf , ,У'
У = + (z-Z8) -0-—/0'—= У8 + ^-Z8)—,
сх(х - Х0) + с2(у - У0) - Cзf Z'
(2)
где х0, у0 — координаты главной точки снимка; f— фокусное расстояние фотокамеры; X8, У8, Z8 — координаты точки фотографирования (линейные ЭВО); а, Ь, сг (I = 1, 2, 3) — направляющие косинусы, являющиеся функциями угловых ЭВО снимка а, ш и к. Кроме того, уравнения (2) могут быть записаны в виде [2]
(X - X8)Z'-^ - Z8) X ' = 0, (3)
(У- У8)Z'-(Z-Z8)У' = 0
© А. А. Симинеев, Е. И. Тарасова, 2012
или
X - X, X'
-^7= 0,
7 - YS Y
-^--= 0.
Z - Zs Z'
При наличии избыточных измерений решение обратной засечки выполняется методом наименьших квадратов. Для этого, приведя любые из функций (1)-(4) к линейному виду, составляют систему уравнений поправок. Затем, используя условие VTPV = min, переходят к системе нормальных уравнений (СНУ)
(5)
BTPB ST + BTPL = 0,
где B — матрица частных производных, указанных функций по неизвестным ЭВО; ST и V — векторы поправок к начальным (приближенным) значениям неизвестных и измеренным координатам точек; L — вектор свободных членов; Т — верхний индекс, обозначающий операцию транспонирования матриц; P — диагональная матрица весов измерений.
Решение СНУ (5) выполняется последовательными приближениями методом гауссова исключения. Для оценки точности решения в последнем приближении определяют квадратичную форму VTPV и матрицу весовых коэффициентов Q = (BTPB)-1. Затем определяют средние квадратические ошибки (СКО) ЭВО [1]
IVTPV
mTj = , (6)
где ц = - — ошибка единицы веса, (] = 1, 2, ..., к = 6) — диагональные элемен-
V п - к
ты матрицы р; п — число уравнений поправок.
Зависимости (1)-(4) эквивалентны, поэтому теоретически для одинаковых исходных данных результатом решения рассматриваемых уравнений должен быть один и тот же вектор искомых ЭВО. Однако на практике, вследствие суммарного влияния «погрешности метода», ошибок исходных данных и ошибок округлений, точность и надежность решения различаются [2].
Для оценки надежности решения применяются различные способы. Так, в [3] надежность решения (его устойчивость к ошибкам исходных данных и округления) оценивается с помощью числа
Р = \ Атах 1 1 \ Лшп |,
где Ятах, Ят1п — максимальное и минимальное по модулю собственные значения матрицы N = ВТРВ.
Число р является критической величиной, определяющей надежность решения СНУ. Однако его вычисление представляет собой достаточно сложную проблему, связанную с поиском собственных значений матриц.
Вместе с тем в вычислительной математике устойчивость решения к ошибкам исходных данных и округления характеризуется числом обусловленности [4, 5]
К2 №) = Сшах /0-щш>
(7)
где ашах, ашщ — максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы N.
Матрица N симметричная, а это значит, что с^ = |. Поэтому, заменив собственные значения сингулярными числами, будем рассматривать последние как величины, задающие оси ¿-мерного эллипсоида ошибок [3]. При этом ошибка в направлении оси элемента ориентирования, соответствующая сш1п, будет максимальной и превышающей ошибку в направлении оси сшах в раз. Если к2(№) > 104, то матрица N считается плохо обусловленной, так как незначительные ошибки в исходных данных могут привести к существенным изменениям в ее элементах, а значит, и в результатах решения задачи. Отметим, что наилучшую обусловленность имеют ортогональные матрицы, у которых к2(№) = 1.
Оценим надежность решения обратной засечки. Для этого, используя указанные выше зависимости, по одним и тем же аналитическим моделям местности и равнинного снимка масштаба 1: 10000 [6] составим СНУ (5) и решим их. Затем с помощью программы [4] вычислим сингулярные числа и по формуле (7) найдем к2(№). Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Табпица 1. Надежность решения обратной засечки
Исходные зависимости Сингулярные числа ЭВО, соответствующие К2(Д0
^шт ^шах ^шах
Уравнения (1) 1,05 • 10-2 1,10 • 10 5 к х5 1,05 • 107
(2) 1,02 1,02 • 10 7 и х5 1,00 • 107
(3) 1,05 • 10 4 7,36 • 1010 и У5 7,01 • 106
(4) 1,84 • 10-6 1,87 • 10 к х5 1,02 • 107
Из табл. 1 следует, что все исходные зависимости характеризуются очень плохой обусловленностью. Вследствие чего, ошибки округления и исходных данных оказывают максимальное влияние на поперечные углы наклона снимка и (или его поворота к, см. табл. 1). При этом ошибки в названных углах могут превышать ошибки в координатах Хх (У5) Vк2(N)« 2,5-3 тысячи раз.
Улучшить обусловленность уравнений можно было бы перемасштабировав столбцы и строки матрицы СНУ таким образом, чтобы они имели близкие нормы. Однако в [5] констатируется, что как нет единого способа выполнения такого преобразования, так нет и гарантии, что масштабирование улучшит обусловленность системы. Вместе с тем в [5, 7] отмечается, что причиной плохой обусловленности может быть неудачный выбор единиц измерения физических величин, поэтому решение о необходимости масштабирования и способе его выполнения должно исходить из физической сути задачи.
Действительно, величины, входящие в исходные уравнения (1)-(4), имеют разнородный характер и значительно отличаются друг от друга по величине. Так координаты X, У, Z точек местности, измеряемые в метрах, отличаются от угловых ЭВО, представляемых в памяти компьютера в радианах, в десятки тысяч раз. Следуя [5, 7], улучшить обусловленность уравнений можно, уменьшив указанное различие, изменив единицы
измерения координат точек местности с метров на километры. Очевидно, что изменение единиц измерения равносильно масштабированию столбцов системы уравнений поправок, соответствующих линейным ЭВО. Физический смысл такого масштабирования заключается в сближении цифровых моделей местности и снимка в пространстве. Выполнив необходимые преобразования и заново решив обратные засечки по измененным исходным данным, найдем новые значения чисел обусловленности (табл. 2).
Табпица 2. Влияние единиц измерения координат точек местности на обусловленность нормальных уравнений
Характеристика Исходные зависимости
(1) (2) (3) (4)
КгШ) 21,647 20,171 17,253 20,385
Сравнив данные табл. 1 и 2 можно заключить, что обусловленность нормальных уравнений значительно улучшилась. При этом уменьшение чисел к2(Ы) произошло за счет увеличения в десятки тысяч раз значений сингулярных чисел, соответствующих угловым ЭВО снимка. Однако несмотря на существенное улучшение обусловленности, результаты решения задачи остались прежними. Объяснение указанного факта приводится в теореме Бауэра [5, 7], где показано, что при сохранении порядка выбора главных (ведущих) элементов, масштабирование системы уравнений с помощью коэффициентов К, являющихся степенями основания системы счисления (в нашем случае, К = 103), не изменяет точности, а значит, и надежности решения задачи. Оценим возможность применения для масштабирования коэффициентов К не кратных десяти.
Известно [7], что оптимальному коэффициенту масштабирования К0 должно соответствовать минимальное значение числа обусловленности. Установим соответствие между коэффициентами К и числами к2(Ы) на примере зависимостей (4).
Очевидно, что значения дробей, являющихся в формулах (4) уменьшаемыми, не изменятся, если их числители и знаменатели разделить на одно и то же действительное число К> 103. В результате выполнения указанных действий координаты и высоты точек местности уменьшатся в К раз. Возможная при этом потеря значащих цифр может быть компенсирована применением арифметики повышенной (например, двойной) точности. Используя преобразованные исходные данные, составим СНУ (5), найдем к2(Ы) и решим обратную засечку. Вычисленные угловые ЭВО останутся прежними, как и до преобразования координат, а линейные элементы и их ошибки — уменьшатся в К раз. Поэтому для получения истинных значений линейных величин необходимо вычисленные значения умножить на К. Вновь увеличим значение коэффициента К и повторим указанные действия. Зависимость между коэффициентами масштабирования и числами обусловленности показана на рисунке.
Кривая, приведенная на рисунке, похожа на параболу, однако не является ею, так как ее ветви не симметричны: правая часть кривой более пологая, чем левая. Анализ графика показывает, что с увеличением коэффициента К число обусловленности уменьшается до своего минимального значения, равного 17,693 (К0 = 1432,605), а затем начинает увеличиваться за счет роста сингулярных чисел соответствующих линейным ЭВО.
850 1050 1250 1450 1650 К- коэффициент масштабирования
1850
Зависимость числа обусловленности матрицы системы от коэффициента масштабирования.
Выполнив аналогичные преобразования, найдем оптимальные коэффициенты К0 и соответствующие им числа обусловленности для зависимостей (1)-(3). Обобщенные результаты экспериментальных исследований приведены в табл. 3.
Таблица 3. Точность и надежность решения обратной засечки
Исходные зависимости Ко Минимальное значение к2(Ы) ЭВО, наиболее подверженный влиянию ошибок Ошибка единицы веса у Средние квадратические ошибки ЭВО
линейных, мкм угловых, секунд
ту$ т2* та тш тк
Уравнения:
(1) 1336,830 19,516 к 2,4 • 10-6 23,2 23,3 8,9 3,3 • 10-3 3,4 • 10-3 2,5 • 10-3
(2) 1428,185 17,559 ш 1,7 • 10-8 23,5 23,5 8,9 3,4 • 10-3 3,4 • 10-3 2,5 • 10-3
(3) 1204,390 16,586 к 1,5 • 10-6 17,3 17,3 8,9 3,0 • 10-3 3,0 • 10-3 1,5 • 10-3
(4) 1432,605 17,693 ш 3,2 • 10-8 23,6 23,6 8,9 3,4 • 10-3 3,4 • 10-3 2,5 • 10-3
Анализ данных табл. 3 показывает, что зависимости (3) обеспечивают наиболее надежное (к2(Ы) = 16,586) и точное решение задачи. Кроме того, из сравнения табл. 1 и 3, видно, что для указанных зависимостей изменился элемент ориентирования, наиболее подверженный влиянию ошибок исходных данных и округления. Если до масштабирования это был поперечный угол наклона снимка ш, то теперь таким элементом стал угол поворота к, точность определения которого в 2 раза выше. При этом возможная величина превышения ошибки в угле к уменьшилась с 2,5 тысяч до 4 раз.
Таким образом, предлагаемый способ определения оптимального коэффициента масштабирования нормальных уравнений на основе анализа сингулярных чисел гарантирует получение матрицы системы, обладающей минимальной обусловленностью, что обеспечивает высокую надежность и точность решения задачи. При этом
сравнение минимальных значений чисел обусловленности, соответствующих исходным зависимостям, позволяет выбрать наиболее оптимальный вид уравнений для решения обратной засечки.
Литература
1. Аналитическая пространственная фототриангуляция / Лобанов А. Н., Дубиновский В. Б., Машимов М. М., Овсянников Р. П. М.: Недра, 1991. 255 с.
2. Симинеев А. А. Обратная фотограмметрическая засечка: новый подход к решению // Математические методы в геоинформационных технологиях: сб. науч. трудов. Ярославль: ЯрГУ, 2003. С. 69-77.
3. Машимов М. М. Методы математической обработки астрономо-геодезических измерений. М.: ВИА, 1990. С. 150-151.
4. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Форсайт Дж., Мал-кольм М., Моулер К. М.: Мир, 1980. С. 248-256.
5. Уоткинс Д. С. Основы матричных вычислений / пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. С. 142-144, 191-196.
6. Аналитические модели местности и снимков (макетные снимки) / Лобанов А. Н., Дубиновский В. Б., Саранцев А. И. и др. 2-е изд. доп. и перераб. М.: Недра, 1989. 140 с.
7. Форсайт Дж., Моулер К. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. С. 48-58.
Статья поступила в редакцию 29 июня 2012 г.
