CC BY
20УДК 629.7.015.018.4:629.78.064.56
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ НА РЕЗОНАНСНЫЕ ЧАСТОТЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЕМПФИРОВАНИЯ СОЛНЕЧНЫХ БАТАРЕЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ, РЕГИСТРИРУЕМЫЕ ПРИ НАЗЕМНЫХ МОДАЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЯХ © 2015 г. Межин В.С., Притыковский Б.П., Авершьева А.В.
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
Достоверность нагрузок, действующих на элементы конструкции солнечных батарей космических аппаратов в процессе эксплуатации на орбите, зависит от точности определения их динамических характеристик. Определяемые расчетным путем по разработанным конечно -элементным моделям динамические характеристики солнечных батарей (в силу неточного знания некоторых жесткостных параметров их конструкции) требуют экспериментального подтверждения, которое осуществляется путем проведения наземных модальных испытаний. Поскольку солнечные батареи при их большой площади поверхности являются конструкциями малой массы, на значения их резонансных частот и коэффициентов демпфирования оказывает влияние окружающая воздушная среда. В статье приводится методика расчета и делается количественная оценка влияния воздушной среды на резонансные частоты и коэффициенты демпфирования, определенные в процессе проведения наземных модальных испытаний одной из солнечных батарей, разработанной в РКК «Энергия».
Ключевые слова: динамические характеристики, конечно-элементная модель, модальные испытания, резонансная частота, коэффициент демпфирования, воздушная среда.
AN ESTIMATE OF THE EFFECTS OF AIR ENVIRONMENT ON RESONANT FREQUENCIES AND DAMPING FACTORS OF SOLAR ARRAYS OF SPACECRAFT THAT ARE RECORDED DuRING GROuND MODAL TESTS Mezhin V.S., Pritykovsky B.P., Aversh'eva A.V.
S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin Street, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
The validity of loads acting on structural elements of spacecraft solar arrays in the course of their on-orbit operation depends on the accuracy of determining their dynamic properties. Dynamic properties of solar arrays determined by calculations using finite element models (due to insufficient knowledge of some of the stiffness parameters of their structure) require experimental validation, which is perfomed by running ground modal tests. Since solar arrays have a large surface area while their structure has low mass, the values of their resonant frequencies and damping factors are affected by the air environment. The paper provides the calculation procedure and a quantitative estimate of the effect the surrounding air has on the resonant frequencies and damping factors determined in the course of ground modal tests on one of the solar arrays developed at RSC Energia.
Key words: dynamic properties, finite element model, modal survey tests, resonant frequency, damping factor, air environment.
МЕЖИН B.C.
ПРИТЫКОВСКИЙ Б.п.
АВЕРШЬЕВА A.B.
МЕЖИН Вячеслав Семенович — кандидат технических наук, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: vyacheslav.mezhin@yandex.ru
MEZHIN Vyacheslav Semenovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: vyacheslav.mezhin@yandex.ru
ПРИТЫКОВСКИЙ Борис Петрович — ведущий инженер-математик РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru
PRITYKOVSKY Boris Petrovich — Lead mathematical engineer at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru
АВЕРШЬЕВА Анна Владимировна — инженер РКК «Энергия», e-mail: post@rsce.ru AVERSH'EVA Anna Vladimirovna — Engineer at RSC Energia, e-mail: post@rsce.ru
Введение
Современные космические аппараты (КА) проектируются для эксплуатации на орбите в течение 12...15 лет. В связи с этим очень важным с точки зрения обеспечения усталостной долговечности конструкции солнечных батарей (СБ) является точное прогнозирование спектра их нагружения. Этот спектр включает в себя совокупность уровней нагрузок, действующих на СБ, и соответствующее этим уровням количество циклов нагружения.
Наиболее эффективным средством прогнозирования параметров нагружения СБ на орбитальном этапе эксплуатации является связанный расчет нагрузок для системы, состоящей из КА и СБ. При этом точность прогнозирования нагрузок, действующих на каждую СБ, в значительной степени зависит от точности конечно-элементной модели (КЭМ) самой СБ, так как при проведении связанного расчета используется КЭМ КА, которая подтверждена результатами модальных испытаний (МИ) КА для участка выведения и модифицирована для конфигурации корпуса, соответствующей участку орбитального полета.
Поскольку конструкция современных СБ представляет собой совокупность трехслойных анизотропных панелей неоднородной структуры, соединенных между собой упругими элементами, то из-за неопределенностей в жесткостных характеристиках некоторых элементов конструкции возможно наличие существенных погрешностей в динамических моделях конструкции СБ.
Верификация динамических моделей СБ в развернутом (рабочем) положении в естественных условиях эксплуатации на орбите из-за больших материальных и финансовых затрат нерациональна. Поэтому аэрокосмические компании во всем мире для проверки и подтверждения параметров динамических моделей СБ, как правило, проводят их наземные модальные испытания. Такой подход используется и РКК «Энергия».
С целью верификации КЭМ СБ для орбитального этапа эксплуатации в РКК «Энергия» проводятся МИ полноразмерных динамических макетов СБ, массово-инерционные и жесткостные характеристики которых соответствуют штатной конструкции.
Общий вид и основные геометрические размеры анализируемой СБ (площадь панелей, соприкасающихся с воздухом, S = 13,27 м2; масса — 58,5 кг) приведены на рис. 1.
Рис. 1. Конфигурация солнечной батареи (СБ): 1 — привод; 2 — штанга; 3 — рама; 4 — панели; L — длина СБ; a — ширина панелей СБ; Ь — длина панели СБ
Фотография экспериментальной установки (ЭУ), в составе которой проведены МИ СБ, приведена на рис. 2.
Рис. 2. Экспериментальная установка для модальных испытаний динамического макета солнечной батареи: 1 — объект испытаний; 2 — силовая конструкция стенда
При испытаниях динамический макет СБ был вывешен вертикально, т. е. был закреплен за узел связи с приводом СБ. Такая схема закрепления позволила исключить из состава ЭУ специальную систему обезвешивания. МИ динамического макета СБ и анализ результатов этих испытаний проводились в соответствии с принятой в РКК «Энергия» методикой, которая описана в работе [1].
Математическая модель СБ
При разработке математической (динамической) модели конструкции СБ используется метод конечных элементов [2].
КЭМ СБ разрабатывается в системе координат OXYZ с началом в узле крепления СБ к ее приводу (см. рис. 1). Ось OХ лежит в плоскости симметрии (относительно координат ±Z) и направлена от привода в сторону свободной кромки СБ; ось OZ перпендикулярна плоскости СБ; ось OY лежит в плоскости СБ и дополняет систему координат до правой системы координат. КЭМ СБ разрабатывается на базе соответствующей ^D-модели в среде программных комплексов MSC.NASTRAN и MSC.PATRAN. При этом для моделирования используются такие элементы, как QUAD4, BEAM, BUSH, CONM, SOLID, SPRING.
Для сформированной КЭМ колебания конструкции СБ описываются следующей системой уравнений в матричном виде [2]:
[ык]{й] + {ск\{й} + [к]{и] = т), (1)
где [Мк] — матрица масс конструкции; [Ск] матрица демпфирования конструкции; [X] матрица жесткости конструкции; — век-
тор внешних сил; [и], [и], [и] — переменные по времени векторы ускорений, скоростей и перемещений узловых точек динамической модели соответственно.
Однако для конструкций СБ, обладающих малой массой и большими площадями поверхности, воздушная среда при проведении МИ оказывает влияние на резонансные частоты и коэффициенты демпфирования. В связи с этим встает задача количественной оценки влияния воздействия воздуха на упомянутые характеристики СБ, которые определяются в процессе наземных МИ.
Для оценки влияния воздушной среды в работе используются два метода расчета.
Метод оценки А
В соответствии с методом А считается, что на элементарную площадку конструкции СБ площадью 45 со стороны воздушной среды действует аэродинамическая сила, нормальная составляющая которой может быть представлена в виде [3]
dF =
-dm - -р\v\VCd dt 2Н| 1 d
dS,
(2)
где 4т — присоединенная масса воздуха; р -плотность воздуха; V — скорость воздуха на поверхности СБ; С4 — коэффициент аэродинамической силы сопротивления.
В формуле (2) первый член соответствует инерции воздушной среды, а второй (нелинейный) член описывает ее сопротивление.
Выражение для силы, действующей на элементарную площадку 45 при установившихся гармонических колебаниях, полученное с использованием экспериментальных данных, имеет вид [3]
dF = pV2
v
--C -
4 m
ara V
■ sinco t -
4 Л
—C,cosrat
о d
3п ,
cosadS. (3)
В этом выражении V — амплитудное значение скорости для элементарной площадки 45; а — линейный размер (принимается ширина панели СБ); а — угол между вектором скорости и нормалью к площадке 45; Ст — коэффициент присоединенной массы воздуха; ю — круговая частота колебаний.
j
Раскладывая вектор узловых перемещений {и(х, у, конструкции СБ по формам тонов собственных колебаний, описываемых матрицей [ ^(х, у)], векторы перемещений, скоростей и ускорений определяются по формулам
{и} = [Ш(х, у)М; (У) ={и} = [Ш(х, у)] Ш;
{й} = [Ш(х, у)] {д};
(4)
где {#}, Ш, {#} — переменные по времени векторы перемещений, скоростей и ускорений точки приведения динамической модели соответственно.
Используя формулы (3) и (4), система уравнений (1) трансформируется в совокупность уравнений установившихся гармонических колебаний СБ с учетом воздействия воздушной среды
МЖ + 2С, а>и Я, + Я) = 0« + &
■2Р
(5)
где — круговая частота колебаний СБ в вакууме; — коэффициент демпфирования конструкции СБ в вакууме; йп, й2. — обобщенные силы;
Ыы = Цтк(х, у)Ш?(х, (6)
где ты(х, у) — распределенная масса конструкции для площадки ¿5;
йа = Я Мы = Ъ ~ТРаСш Я^сова^
(7)
О* = Он Я, = Ъ - -РЯРвРл № I ^ | с' (8)
V 3п 5
где ()т — обобщенный интегральный параметр; юв. — круговая частота колебаний СБ в воздушной среде; г — номер тона колебаний, г = 1, 2, ..., Ы; N — количество учитываемых тонов колебаний.
После преобразований совокупность уравнений колебаний (5) принимает вид
(Мы + МЛ + (2СЙ юи мы + О,)*, + Мы Ш2Й ^ = 0.
Разделив каждый член этого уравнения на (Мы + Мв,) = М*, получаем систему уравнений, по структуре аналогичную системе (5)
Чг + 2^ЮВ; ^ + ^ = 0,
где 2ѫЫ = 2СЙ Ю М /М* + /М*.
(9)
Поскольку эффективная жесткость X. г-го тона колебаний конструкции СБ при наличии воздушной среды не изменяется, то справедливо соотношение
X = (М+Мвн, = МА. (10)
Зная частоты колебаний СБ юв,, зарегистрированные в процессе проведения МИ, и выделив из результатов расчета динамических характеристик определяемые по формуле (6) значения приведенных масс конструкции Мй, частоты собственных колебаний СБ (в Гц) при эксплуатации их в условиях орбитального полета Хы находятся (после определения по формуле (7) значений эквивалентных присоединенных масс воздуха Мв.) из соотношения (10) по формуле
К = к, -V 1 + мВ1 /м )/2п.
(11)
Анализ экспериментальных данных, обобщенных в работе [3], показывает, что значение коэффициента присоединенной массы Ст зависит от значения параметра St, эквивалентного числу Струхаля
я =
аю
В этой формуле V — амплитудное значение скорости, м/с; а — характерный линейный размер, м; ю — круговая частота, 1/с.
Для условий проведения модальных испытаний СБ значение параметра St < 1,0. Из экспериментальных данных, приведенных в работе [3], следует, что Ст = 1,0.
В соответствии со статьей [3], значение коэффициента демпфирования С, полученное по результатам экспериментов для пластин, принимается равным 1,25.
Используя соотношение (9), делается оценка влияния воздушной среды на коэффициенты демпфирования С,. Интегралы Мв. и йв., входящие в формулы (7) и (8), определяются численно.
Метод оценки B
Для проверки результатов, получаемых по приведенному выше методу А, и для целей сравнительного анализа используется также альтернативный метод B. В соответствии с этим методом считается, что колебания СБ в воздушной среде возбуждают безвихревой поток, поле скоростей которого характеризуется потенциалом Ф(х, у, г, €).
Для определения присоединенной массы воздуха при колебаниях СБ используется выражение для кинетической энергии невязкого воздуха Тв, соприкасающегося с наружной поверхностью колеблющейся конструкции СБ [4]
(12)
где Ф = Ф(х, у, г, Ь) — потенциал скоростей воздушной среды; р — плотность воздуха; п — нормаль к колеблющейся поверхности; 5 — площадь поверхности конструкции, соприкасающейся с колеблющейся воздушной средой.
Поскольку толщина панелей СБ намного меньше других ее линейных размеров, потенциал скоростей воздушной среды, вызванных колебаниями конструкции СБ, находим, поместив слой пульсирующих источников в плоскость г = 0.
Для малых скоростей колебаний конструкции СБ, которые реализуются при проведении МИ, выражение для значения потенциала скоростей для каждого элемента в средин-
ной поверхности СБ можно записать в виде [4]
¿Ф(г = 0) =
1 ди
дЬ
х = $1 У = П
(13)
где и = т(х, у, £) — перемещения произвольной точки СБ в направлении, перпендикулярном плоскости ХОУ; п1 — координаты точки СБ, в которой располагается пульсирующий источник единичной интенсивности (совокупность этих источников определяет потенциал вызванных пульсирующим источником скоростей воздуха Ф(х, у)); Я1 — расстояние между источником единичной интенсивности пульсаций и произвольной точкой поверхности СБ вычисляется по формуле
^ = V (х - ^)2 + (у - Л1)2.
Раскладывая перемещения конструкции СБ да(х, у, í) в ряд по формам тонов собственных колебаний, т. е. по формуле (3), и используя формулы (12) и (13), приходим к выражению для определения присоединенной массы воздуха для ¿-го тона колебаний СБ
(г = 1, 2, ..., N
^ (X, у% 1, Л1)
Я
<х<у. (14)
Интегралы в формуле (14) определяются численно — путем условного разбиения наружной поверхности 5 на большое количество равных прямоугольников, в геометрическом центре каждого из которых известны значения функций, входящих в подынтегральные выражения формулы (14).
При этом считается, что формы собственных колебаний из-за наличия воздушной среды не изменяются, что подтверждают данные работ [5, 6].
Частоты собственных колебаний СБ (в Гц) при эксплуатации их в условиях орбитального полета Хы вычисляются по формуле (11).
Результаты расчета
В качестве «базовых» значений подлежащих исследованию динамических характеристик (резонансных частот и коэффициентов демпфирования) использованы результаты наземных МИ упомянутой СБ, проведенных РКК «Энергия». Значения линейных перемещений точки приведения при проведении анализа для резонансных частот изгибных колебаний определялись по установившимся значениям ускорений, которые были зарегистрированы акселерометром, расположенным в точке с координатами {Ь, 0}. Для крутильных колебаний амплитудные значения углов поворота определялись по ускорениям, которые были зарегистрированы акселерометрами, расположенными в точках с координатами {Ь, а/2} и {Ь, -а/2}.
Анализ влияния воздушной среды проведен по двум приведенным выше методам.
Результаты анализа по методу А обобщены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты оценки по методу А
Условия расчета Частоты колебаний, Гц Коэффициенты демпфирования
АХ1 ах2 А^3 А?1 А?2 А?3
Эксперимент при воздействии воздуха 0,088 0,663 0,783 0,0083 0,0209 0,0104
Орбитальный полет 0,094 0,718 0,827 0,0068 0,0187 0,0099
Влияние воздуха А, % +6,7 +7,5 +5,6 -18,1 -10,6 -4,8
Примечание. г = 1 соответствует первому тону изгибных колебаний из плоскости солнечной батареи (СБ); г = 2 соответствует первому тону крутильных колебаний СБ; г = 3 соответствует второму тону изгибных колебаний из плоскости СБ.
Как следует из табл. 1, частота первого тона изгибных колебаний СБ из плоскости в условиях отсутствия воздушной среды возрастает на АЯ1 = 6,7%; частота второго тона изгиб-ных колебаний СБ из плоскости возрастает на АА,3 = 5,6%; частота первого тона крутильных колебаний возрастает на АА,2 = 7,5%.
Коэффициент демпфирования для первого тона изгибных колебаний из плоскости уменьшается на А^1 = 18,1%; коэффициент демпфирования для второго тона изгибных колебаний из плоскости уменьшается на А^3 = 4,8%; коэффициент демпфирования для первого тона крутильных колебаний уменьшается на А^2 = 10,6%.
5
Результаты анализа по методу В обобщены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты оценки по методу В
Условия расчета Частоты колебаний, Гц
ДХ1 ДХ2
Эксперимент при воздействии воздуха 0,088 0,663 0,783
Орбитальный полет 0,093 0,736 0,834
Влияние воздуха А, % +5,4 + 11,0 +6,5
Примечание. г = 1 соответствует первому тону изгибных колебаний из плоскости солнечной батареи (СБ); г = 2 соответствует первому тону крутильных колебаний СБ; г = 3 соответствует второму тону изгибных колебаний из плоскости СБ.
Как следует из табл. 2, частота первого тона изгибных колебаний СБ из плоскости в условиях отсутствия воздушной среды возрастает на АЯ1 = 5,4%; частота второго тона изгибных колебаний СБ из плоскости возрастает на АА,3= 6,5%; частота первого тона крутильных колебаний возрастает на АА,2 = 11,0%.
Для других тонов изгибных колебаний из плоскости СБ и крутильных колебаний, а также для всех тонов колебаний СБ в плоскости, влияние воздушной среды, определенное по обоим методам, незначительно и при корректировке динамических моделей может не учитываться.
Сравнение данных, приведенных в табл. 1 и 2, показывает, что результаты, полученные по двум различным методам, аналогичны, хотя и несколько отличаются друг от друга.
При использовании результатов наземных МИ для корректировки параметров динамической модели СБ рекомендуется принимать минимальные значения соответствующих корректирующих поправок частот собственных колебаний.
Методика может быть непосредственно использована для корректировки динамических моделей СБ по результатам наземных МИ, которые проводятся с системой обезве-шивания. В случае отсутствия такой системы необходимо учитывать также влияние силы тяжести.
Без ограничения общности, приведенная методика, включающая в себя методы A и В, может быть использована также при анализе результатов модальных испытаний и других конструкций малой массы с большой площадью поверхности (типа остронаправленных антенн и др.).
Подтверждения точности методики расчета
Полученные результаты подтверждаются результатами аналогичных исследований, проведенных в аэрокосмических компаниях США, Европы и Китая.
В частности, они подтверждаются результатами наземных МИ СБ спутника связи Intelsat V, проведенных в специальной барокамере компанией Space Systems/Loral. Проходившая испытания СБ имела конфигурацию и характеристики, аналогичные приведенным на рис. 1. Сравнение результатов испытаний в барокамере и в обычных условиях показало, что частота первого тона изгибных колебаний из плоскости при отсутствии воздушной среды возросла на 8,5% по сравнению с соответствующим значением частоты при наличии воздушной среды [5]. Форма колебаний практически не изменилась.
Оценки, о которых сообщается в статье [6], показали, что для условий эксплуатации рассмотренной СБ (состоящей из четырех панелей) на орбите частота первого тона изгибных колебаний из плоскости возрастает на 16,6%, частота второго тона изгибных колебаний возрастает на 14,9%, а частота первого тона крутильных колебаний возрастает на 9,2 % по сравнению с соответствующими результатами наземных МИ этой СБ. Форма колебаний упомянутых тонов не изменилась.
Косвенным подтверждением правильности предложенной методики могут служить также результаты наземных экспериментов по определению частот собственных колебаний конструкций типа остронаправленных антенн и мембран, опубликованные в работах [7, 8]. В [7] сообщается, что в условиях безвоздушного пространства частоты собственных колебаний в направлении, перпендикулярном поверхности остронаправленной антенны КА Cassini диаметром 4 м, могут возрастать от 6,6% до 8,3% по сравнению с соответствующими значениями частот, определенными экспериментально в земных условиях. В [8] приводятся результаты анализа, показывающие, что в условиях безвоздушного пространства частоты собственных колебаний (из плоскости) для конструкции мембранного типа возрастают на 14% и более по сравнению с результатами наземных модальных испытаний.
Вывод
Разработана инженерная методика оценки влияния воздушной среды на определяемые в наземных модальных испытаниях резонансные частоты колебаний и коэффициенты демп-
фирования конструкций малой массы с большими площадями поверхности (типа СБ КА).
В соответствии с данной методикой проведены расчеты значений корректирующих поправок для частот и коэффициентов демпфирования, определенных при наземных модальных испытаниях одной из СБ, разработанной РКК «Энергия». Результаты, полученные по приведенной в данной статье методике, подтвердили необходимость корректировки параметров динамической модели рассмотренной СБ. Эти результаты косвенно подтверждаются аналогичными исследованиями, проведенными в ряде зарубежных аэрокосмических компаний.
Список литературы
1. Межин В.С., Обухов В.В. Практика применения модальных испытаний для целей верификации конечно-элементных моделей конструкции изделий ракетно-космической техники // Космическая техника и технологии. 2014. № 1(4). С. 86-91.
2. Еременко С.Ю. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991. 272 с.
3. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. 559 с.
4. Постнов В.А., Калинин В.С, Ростовцев Д.М. Вибрация корабля. Л.: Судостроение, 1983. 248 с.
5. Analysis for solar array // Publication of Space Systems/Loral, 1992. 12 р.
6. Luo Jian, Qiu Ruiqiang, Di Wenbin. Structural dynamics analysis for solar array of a spacecraft // Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai, China, 2001-92, рр. 1-8.
7. Smith K. S., Peng C. Air mass effect on the Cassini high gain antenna//Proceedings of IMAC-XV, 1997, рр. 319-324.
8. Kukathasan S. K, Pellegrino S. Vibration of prestressed membrane sructures in air // AIAA Journal. Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 2002, p. 11.
Статья поступила в редакцию 19.01.2015 г.
References
1. Mezhin V.S., Obukhov V.V. Praktikaprimeneniya modal'nykh ispytanii dlya tselei verifikatsii konechno-elementnykh modelei konstruktsii izdelii raketno-kosmicheskoi tekhniki [The practice of using modal tests to verify finite element models of rocket and space hardware]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2014, no. 1(4),pp. 86-91.
2. Eremenko S.Yu. Metod konechnykh elementov v mekhanike deformiruemykh tel [Finite elements method in the mechanics of deformable bodies]. Kharkov, Osnovapubl., 1991.272p.
3. Mikishev G.N., Rabinovich B.I. Dinamika tonkostennykh konstruktsii s otsekami, soderzhashchimi zhidkost' [Dynamics of thin-walled structures with compartments containing liquid]. Moscow, Mashinostroeniepubl., 1971.559p.
4. Postnov V.A., Kalinin V.S., Rostovtsev D.M. Vibratsiya korablya [Ship vibration]. Leningrad, Sudostroenie publ., 1983.248p.
5. Analysis for solar array. Publication of Space Systems/Loral, 1992. 12 p.
6. Luo Jian, Qiu Ruiqiang, Di Wenbin. Structural dynamics analysis for solar array of a spacecraft. Shanghai Academy of Spaceflight Technology, Shanghai, China, 2001-92, pp. 1-8.
7. Smith K. S., Peng C. Air mass effect on the Cassini high gain antenna. Proceedings of IMAC-XV, 1997, pp. 319-324.
8. Kukathasan S. K., Pellegrino S. Vibration of prestressed membrane structures in air. AIAA Journal. Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 2002, pp. 11.
