CC BY
13ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ И РЕШЕНИЯ
X1 № 1 2022 VoU No.1 М nigitn| mndpfcnnd solutions_ISSN 2782-4934 (online)
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
УДК 51-7
Д. М. Назаров1, А. А. Копнин1
1Уральский государственный экономический университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация
Оценка влияния алгоритмов продвижения в социальных сетях на популярность пользователей
Аннотация. В современном мире социальные сети являются одним из главных инструментов взаимодействия между людьми и становятся все более популярными. Поэтому важно понимать, как влияют алгоритмы работы социальных сетей и структурно-динамические аспекты поведения пользователей на их популярность. Исследование основывается на теории графов и теории Фробениуса - Перрона о неотрицательном разложении матриц с использованием стационарного распределения цепей Маркова. Показано поведение модели на продолжительном промежутке времени и сделаны выводы о распределении и популярности пользователей в социальных сетях.
Ключевые слова: социальная сеть; рекомендация; тренд; популярность; продвижение; математическая модель.
Дата поступления статьи: 1 июня 2022 г.
Для цитирования: Назаров Д. М., Копнин А. А. Оценка влияния алгоритмов продвижения в социальных сетях на популярность пользователей // Цифровые модели и решения. 2022. Т. 1, № 1. DOI: 10.29141/2782-4934-2022-1-1-3. EDN: MGKJSR.
D. M. Nazarov1, A. A. Kopnin1
!Ural State University of Economics, Yekaterinburg, Russia
Assessing the impact of promotion algorithms in social networks on user popularity.
Abstract. In the modern world, social networks are one of the main tools for interaction between people and are becoming more and more popular. Therefore, it is important to understand how the algorithms of social networks and the structural and dynamic aspects of user behavior affect their popularity. The study is based on graph theory and the Frobenius - Perron theory of non-negative matrix decomposition using the stationary distribution of Markov chains. As a result, the behavior of the model over a long period of time is shown
ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ И РЕШЕНИЯ
X1 № 1 2022 VoU No.1 М nigitn| mndpfcnnd solutions_ISSN 2782-4934 (online)
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
and appropriate conclusions are made about the distribution and popularity of users in social networks.
Key words: social network; recommendation; trend; popularity; promotion; mathematical model.
Paper submitted: June 1, 2022
For citation: Nazarov D. M., Kopnin A. A. Assessing the impact of promotion algorithms in social networks on user popularity. Digital models and solutions. 2022. Vol. 1, no. 1. DOI: 10.29141/2782-4934-2022-1-1-3. EDN: MGKJSR.
Введение
В условиях цифровой трансформации Интернет как глобальный сервис всего социума изменяет существующую действительность, создает особую реальность со своими понятиями, ценностями, культурой, методами общения и взаимодействия между людьми. Социальные сети являются важнейшим инструментом такого взаимодействия и становятся все более популярными, охватывая миллионы пользователей по всему миру. В рамках такого взаимодействия пользователи обмениваются контентом в различных форматах: текстовом, графическом, аудио и видео. По содержанию этого контента, по ряду параметров обмена им можно делать выводы о поведенческих характеристиках пользователей и, учитывая глобальный статус социальных сетей, прогнозировать общественное поведение в целом. В то же время интеллектуальные алгоритмы социальных сетей оказывают влияние на пользователей и позволяют управлять такого рода социальным взаимодействием. Поэтому разработка новых и использование имеющихся методов и моделей анализа социальных сетей представляет несомненный интерес для научных исследований.
Принципы создания социальных сетей были изложены еще в 1950-1960 гг. в теоретических работах математиков, а сам термин введен в 1954 г. [13]. Долгое время, вплоть до 1970 г., социальные сети существовали только в теории и ассоциировались социальными графами. Прообразами социальных сетей можно назвать технологию электронной почты в сети ARPANet, используемой военными (1971); первый ретранслируемый интернет-чат IRC (1988) [2]. Очевидно, что пик развития социальных сетей пришелся на время повсеместного распространения Интернета, наиболее результативными в этом плане можно назвать 2003-2004 гг. - период, связанный с появлением и распространением многих значимых социальных ресурсов.
В литературе выделяется целый ряд направлений в исследовании социальных сетей в различных аспектах, связанных с процессом моделирования и поведения пользователей: структурное моделирование, динамическое моделирование, анализ контента, алгоритмическое (поведенческое) и ряд других [1-6; 14].
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Целью нашей статьи является исследование структурно-динамического аспекта поведения пользователей социальной сети на основе алгоритма работы социальной сети и обратной связи.
Анализ основных направлений моделирования социальных сетей
Структурный подход подразумевает изучение социальной сети с помощью теории графов, методов статистического анализа и алгоритмов классификации и кластеризации. При реализации этого подхода все участники сети рассматриваются как вершины графа, а связи между участниками - как ребра этого графа. Исследователи пытаются выделить различные сообщества с использованием геометрических параметров, характеристик силы и направления связей, а также степени активности участников сообществ в разного рода взаимодействиях [1-3].
Анализ контента социальной сети как вид моделирования позволяет дифференцировать участников сети по характеристикам контента, к которым можно отнести влияние, статус, объем данных, параметры аккаунтов социальной сети, связанные с взаимодействием ее участников. Эти методы рассматривают возможности участников по приоритетам для достижения определенных целей. Сетевой контент служит источником для широкого спектра аналитики, ориентированной на извлечение и анализ данных и качество рекомендаций по просмотру тех или иных постов и порядка показа их в новостной ленте социальных сетей [2-7].
Алгоритмическое (поведенческое) направление анализа подразумевает использование методов и моделей, изучающих популярность и ранжирование участников сети по степени влияния на сообщества и контент. В качестве ключевого алгоритма здесь выступает алгоритм ссылочного ранжирования компании Google, который получил название PageRank. PageRank - это алгоритм вычисления веса страницы путем подсчета важности ссылок на нее, который основан на методах случайных блужданий. Этот алгоритм базируется на двух постулатах: чем больше ссылок на страницу, тем она важнее, и страница, ссылающаяся на другую страницу с большим весом, сама получает больший вес. Этот алгоритм может также использоваться для оценки вероятности посещения той или иной вершины социальной сети, представленной в виде графа [4-8].
Динамический подход в изучении социальных сетей подразумевает исследование изменений в социальных сетях с учетом временного фактора и характеристик поведения пользователей. На основе анализа этих данных ученые могут определить правила и законы изменения структуры социальных сетей, выделить стандартные и нестандартные конфигурации, проводить мониторинг социальных сетей. В рамках этого подхода реализуются прогноз формирования связей в социальных сетях, алгоритмы визуализации, а также экономико-математические модели структуры и динамики связей [1-5; 8].
Из проведенного анализа ясно, что все подходы взаимосвязаны друг с другом и разделить их в анализе данных социальной сети очень трудно. Совокупность описанных подходов без преувеличения можно назвать основой индустрии с триллионами долларов, которую формируют интернет-гиганты, такие как Google, Yandex, Amazon,
ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ И РЕШЕНИЯ
_Digital models and solutions_
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Fаcebook, Instagram, «ВКонтакте», и в принципе основой любого интернет-бизнеса. Методы и модели в рамках этих подходов позволяют создать «суперзвезд» и выявить силу влияния и скорость распространения контента.
Экономико-математическая модель влияния в социальных сетях
Чтобы построить модель, которая реально отражает характеристики прямого и обратного влияния пользователей друг на друга в рамках алгоритмов социальных сетей, предлагаем использовать теорию графов [6] и теорию Фробениуса - Перрона о разложении матриц [9].
Выделяют как минимум два следующих вида графовых моделей:
- вероятностные графовые модели, которые задаются матрицей А размера N * Ы, где N - число участников сети. Элемент ау е [0; 1] показывает вероятность взаимодействия участников Ур и Уу в течение определенного периода;
- обычные графовые модели, которые задаются матрицей инцидентности А размера N * N, где а у = aji = 1, если участники Ур и Уу подписаны друг на друга; а у = 1, а^ = 0, если участник Vi подписан на участника Уу, но участник Уу не подписан на участника Ур. ау = аур = 0, если участник Ур и участник Уу не подписаны друг на друга.
Теорема Фробениуса - Перрона
Если А е Мп и А > 0, то: а) р(а) > 0;
б) р(а) есть собственное значение матрицы А; в) для какого-то х е Сп имеем х > 0
и Ах = р(А)х;
г) р(а) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для А;
д) |Х| < р(А) для всякого собственного значения X Ф р(А), другими словами, только одно собственное значение, равное именно р(А), имеет максимальный модуль;
е) если т ^ да, то (р(А)-1 А)т ^ Ь, где Ь = хуТ, Ах = р(А)х,
АТу = р(А)у, х > 0, у > 0 и хТу = 1.
Смысл этой теоремы заключается в том, что при достаточно большом количестве итераций умножения вектора р на матрицу А наступит такой момент, что А • р = р. Чтобы учесть временные характеристики изменения вектора р, это уравнение можно переписать:
где значение А - матрица перехода из одного состояния в другое (из момента времени / в момент (/ + 1)); рда (р/ - в момент времени /) - вектор, определяющий вероятность «переместиться» в тот или иной аккаунт социальной группе в момент времени / [3].
Построим модель для конкретного сегмента социальной сети и проверим утверждение, которое называется циклом обратной связи: чем влиятельнее пользователь, тем большую заметность (рейтинг, ранг) дает ему алгоритм социальной сети, а от этого его влияние на других пользователей сети еще больше растет.
Рассмотрим небольшую социальную сеть, состоящую из 10 пользователей (рис. 1).
(1)
ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ И РЕШЕНИЯ
_Digital models and solutions_
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Рис. 1. Граф дружбы (взаимосвязь пользователей социальной сети)
Так как нам известны связи в этой сети и их направления, то легко построить матрицу инцидентности Е, которая будет описывать структуру сети в виде обычной графовой модели. Принцип построения такой матрицы можно описать на примере: согласно рис. 1 пользователь 7 подписан на пользователя 2, но пользователь 2 не подписан на пользователя 7, тогда /27 = 1, /72 = 0; пользователи 3 и 9 подписаны друг на друга, поэтому /39 = 1, /93 = 1. В итоге получим матрицу ¥, которую для удобства запишем в виде таблицы (табл. 1).
Таблица 1. Матрица инцидентности F по графу социальной сети на рис. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1
2 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
4 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1
5 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1
6 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1
7 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
8 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1
9 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
В первом столбце и первой строке табл. 1 заданы номера пользователей. Чтобы применить алгоритм случайного блуждания, нам необходимо подсчитать вероятности перехода на тот или иной аккаунт пользователя. Для этого поступим следующим образом. Заметим, что пользователь 1 связан с пользователями 4; 5; 6 и 8. Значит, будем считать, что некоторый «робот», перемещающийся по аккаунтам пользователей, находящийся в аккаунте пользователя 1, с равной вероятностью может перейти на любой из аккаун-тов пользователей 4; 5; 6 и 8. С учетом такого предположения можно легко построить матрицу А = {ау} - матрицу перехода, используя следующую формулу:
ач = ~й—и (2)
1Л
¡=1
Результат применения этой формулы представлен в табл. 2.
Таблица 2. А - матрица перехода
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 0 0 1/3 0 0 1/3 0 1/6
2 0 0 1/5 0 1/3 1/2 1/3 1/3 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1/3 0
4 1/4 1/3 1/5 0 0 1/2 0 1/3 1/3 1/6
5 1/4 1/3 0 0 0 0 0 0 0 1/6
6 1/4 1/3 1/5 1/2 0 0 1/3 0 0 1/6
7 0 0 1/5 0 0 0 0 0 1/3 0
8 1/4 0 0 0 0 0 1/3 0 0 1/6
9 0 0 1/5 1/2 1/3 0 0 0 0 1/6
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Смысл полученных значений элементов матрицы А - это вероятность перехода «робота» по аккаунтам пользователей. Подчеркнем, что сумма значений по каждому столбцу равна 1. Это необходимое условие для выполнения условий теоремы Фробениуса - Перрона для конечных однородных марковских цепей. Теперь каждый день «робот» случайно будет переходить по связанным аккаунтам пользователей. Для удобства представим, что в первый день «робот» никуда не переходил, т. е. остался в аккаунте пользователя 1. Согласно нашим обозначениям и смыслу переменных уравнения (1) это означает, что р1 = (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0).
Далее, на следующий день «робот», переходя из состояния значений в первый день (р1), может перейти в любой из аккаунтов с вероятностью, показанной в табл. 2. Исходя из этого и уравнения (1) значение р2 будет рассчитано как А ■ р1, которые будут показывать вероятность попадания в аккаунт во второй день. Если посмотреть на столбец р2 в табл. 3, то можно заметить, что «робот» равновероятно попадет в аккаунты 4; 5; 6 и 8, что логично, так как пользователь 1 подписан на данных пользователей.
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
На третий день «робот» начнет свое движение не от пользователя 1, а от кого-то из пользователей 4; 5; 6 или 8, поэтому вероятность уже будет считаться как А ■ р2. Как видно в табл. 3, в данный день вероятности перехода уже у всех разные, поэтому далее значения будут приводиться к одному знаменателю для наглядности. Можно заметить, что событие перехода на пользователя 2 наиболее вероятно.
На четвертый день происходит такое же действие перехода, и вероятность считается как А ■ рз. Теперь ситуация меняется, и в табл. 3 отчетливо видно, что вероятность перейти на пользователей 4 или 6 гораздо выше, чем переход на какого-либо другого пользователя, из чего следует вывод: они являются более популярными лицами в данной социальной сети.
Таблица 3. Вероятности перехода на другого пользователя в день t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 День 1 День 2 День 3 День 4
1 0 0 0 0 1/3 0 0 1/3 0 1/6 1 0 8/48 0
2 0 0 1/5 0 1/3 1/2 1/3 1/3 0 0 0 0 14/48 18/288
3 0 0 0 0 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 20/288
4 1/4 1/3 1/5 0 0 1/2 0 1/3 1/3 1/6 0 1/4 9/48 78/288
5 1/4 1/3 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 1/4 0 40/288
6 1/4 1/3 1/5 1/2 0 0 1/3 0 0 1/6 0 1/4 6/48 67/288
7 0 0 1/5 0 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 20/288
8 1/4 0 0 0 0 0 1/3 0 0 1/6 0 1/4 0 12/288
9 0 0 1/5 1/2 1/3 0 0 0 0 1/6 0 0 10/48 27/288
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Также можно заметить, что пользователем 10 стать невозможно (значение в любой из дней / всегда равняется 0), исходя из этого можно сделать вывод, что данная страница является фейковой (ненастоящей).
Посмотрим на некоторый временной промежуток и видоизменим формулу А ■ Р/ = Р/+1 - теперь она будет показывать, насколько часто «робот» будет одним из этих N людей через очень большой промежуток времени. Для того чтобы реализовать процесс умножения матрицы А на последующие значения вектора р/, воспользуемся средой RStudio [11].
Первоначально возьмем значение / = 30, тогда получим таблицу размерности 10 на 30, представленную на рис. 2, где можно заметить, что спустя время / робот все чаще будет оказываться на аккаунтах пользователей 4 и 6. Данные табл. 4 показывают, что эти пользователи являются наиболее популярными, так как имеют больше всего подписчиков в этой социальной сети.
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Таблица 4. Вероятности перехода на другого пользователя через 30 дней
p24 p25 p26 p27 p28 p29 p30
0,0302666 0,0302370 0,0302548 0,0302445 0,0302500 0,0302474 0,0302483
0,1667061 0,1666416 0,1666770 0,1666591 0,1666665 0,1666647 0,1666635
0,0501521 0,0501740 0,0501565 0,0501698 0,0501600 0,0501670 0,0501621
0,2388207 0,2388594 0,2388267 0,2388524 0,2388327 0,2388469 0,2388367
0,0630868 0,0631353 0,0631064 0,0631227 0,0631141 0,0631180 0,0631167
0,2126233 0,2126386 0,2126390 0,2126311 0,2126413 0,2126310 0,2126398
0,0601877 0,0602044 0,0601913 0,0602011 0,0601939 0,0601990 0,0601955
0,0276241 0,0276292 0,0276274 0,0276275 0,0276282 0,0276271 0,0276281
0,1505222 0,1504697 0,1505096 0,1504801 0,1505010 0,1504864 0,1504962
0 0 0 0 0 0 0
Теперь значение / будем увеличивать, и примерно на 60-й итерации станет выполняться условие рбо = Р61. Это означает, что при всех / > 60 верно равенство = р/+1 (табл. 5).
Таблица 5. Вероятности перехода на другого пользователя через 60 дней
P54 P55 P56 P57 P58 P59 P60
0,0302478 0,0302478 0,0302478 0,0302478 0,0302478 0,0302477 0,0302477
0,1666626 0,1666625 0,1666625 0,1666624 0,1666623 0,1666622 0,1666622
0,0501635 0,0501635 0,0501634 0,0501634 0,0501634 0,0501633 0,0501633
0,2388382 0,238838 0,2388379 0,2388378 0,2388377 0,2388375 0,2388375
0,0631161 0,0631161 0,0631161 0,0631160 0,0631160 0,0631160 0,0631160
0,2126334 0,2126333 0,2126332 0,2126331 0,212633 0,2126328 0,2126328
0,0601962 0,0601962 0,0601961 0,0601961 0,0601961 0,060196 0,060196
0,0276273 0,0276273 0,0276273 0,0276273 0,0276273 0,0276273 0,0276273
0,1504905 0,1504905 0,1504904 0,1504903 0,1504903 0,1504901 0,1504901
0 0 0 0 0 0 0
Если предположить, что прошло бесконечно много времени, то разницы между / и (/ + 1) нет, как представлено в табл. 4, поэтому можно заменить эти индексы значком бесконечности да и получить А • = р/+1 => А • рда = рда. Отсюда следует, что через большой промежуток времени вероятность для «робота» оказаться в профиле того или иного пользователя на длительном промежутке будет постоянной и станет определяться вектором рда, который называется вектором стационарного распределения. То, что такая ситуация будет повторяться для любой социальной сети или ее фрагмента, следует из теоремы Фробениуса - Перрона.
Проанализируем по табл. 6, что произошло в нашей сети за 60 дней и насколько блуждания «робота» случайны. Обратим внимание, что ровно половину времени (14 + 16 = 30) «робот» будет переходить в аккаунты пользователей 4 и 6, которые явля-
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
ются самыми популярными в сети. В этом и заключается эффект обратной связи: «робот» имитирует поведение пользователя в социальной сети, с одной стороны, а с другой - он по сути показывает, как работает алгоритм социальной сети, т. е. какие аккаунты сеть нам рекомендует для просмотра с течением времени.
Таблица 6. Вероятности перехода на пользователя в моменты t и ^ + 1)
Пользователь Pt Pt+1
1 2/60 2/60
2 7/60 7/60
3 3/60 3/60
4 16/60 16/60
5 3/60 3/60
6 14/60 14/60
7 4/60 4/60
8 2/60 2/60
9 9/60 9/60
10 0 0
Заключение
По результатам нашего исследования можно сделать следующие выводы:
• вектор рж задает стационарное распределение и измеряет влияние социальной сети на поведение пользователя, причем не только с точки зрения того, кто на кого подписан, но и с точки зрения скорости распространения именно той информации, которая рекомендована владельцами социальных сетей;
• исходя из наблюдений можно понять, что чем больше будет пользователей, тем больше потребуется времени, чтобы следствие А • р( = р/+1 => А • рж = рж стало верным и выполнялось равенство р1 = р/+1;
• люди с большими вероятностями в векторе рда влиятельнее и распространяют информацию быстрее; люди с маленькими вероятностями в векторе рда менее влиятельны;
• влиятельными оказываются не только люди, но различные онлайн-сервисы и сайты, при этом чем более популярен и востребован сайт, тем больше вероятность попасть именно на него;
• независимо от структуры социальной группы всегда можно вычислить, сколько времени мы будем проводить с тем или иным человеком, если случайным образом знакомиться.
В примере, приведенном в данном исследовании, рассматривалась социальная сеть, состоявшая только из 10 пользователей, но и для реальной социальной сети полученные нами выводы будут выполняться, что следует из теоремы Фробениуса - Перрона. Однако времени на то, чтобы вектор стал стационарным, потребуется больше.
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Источники
1. Bonchi F., Castillo C., Gionis A., Jaimes A. Social network analysis and mining for business applications // ACM Transactions on Intelligent Systems and Technology. 2011. Vol. 2, iss. 3. P. 22-58. DOI 10.1145/1961189.1961194.
2. Kim B.-K. Internationalising the internet the co-evolution of influence and technology. Cheltenham: Edward Elgar, 2005. 300 p.
3. Sumpter D. The ten equations that rule the world: and how you can use them too. London: Flatiron Books, 2020. 256 p.
4. Fortunato S. Community detection in graphs // Physics reports. 2010. Vol. 486, iss. 3-5. P. 75-174. DOI 10.1016/j.physrep.2009.11.002.
5. Hanneman R. Computer-assisted theory building: modeling dynamic social systems. Newbury Park: SAGE, 1988. 343 p.
6. Rocca J. Introduction to Markov chains. Definitions, properties and PageRank example. 2019. URL: https://towardsdatascience.com/brief-introduction-to-markov-chains-2c8cab-9c98ab (дата обращения: 15.05.2022).
7. Kumar R., Novak J., Raghavan P., Tomkins A. Structure and evolution of blogspace // Communication of the ACM. 2004. Vol. 47, no. 12. P. 35-39. DOI 10.1145/1035134.1035162.
8. Leskovec J., Kleinberg J., Faloutsos C. Graphs over time: densification laws, shrinking diameters and possible explanations // KDD '05: Proceedings of the eleventh ACM SIG-KDD international conference on Knowledge discovery in data mining. New York: ACM, 2005. P. 177-187. DOI 10.1145/1081870.1081893.
9. Perron O. Zur Theorie der Matrices // Mathematische Annalen. 1907. Vol. 64. S. 248-263. DOI 10.1007/BF01449896.
10. Tantipathananandh C., Berger-Wolf T., Kempe D., A framework for community identification in dynamic social networks // KDD '07: Proceedings of the 13th ACM SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. New York: ACM, 2007. P. 717-726. DOI 10.1145/1281192.1281269.
11. R: The R Project for Statistical Computing. URL: https://www.r-project.org/ (дата обращения: 15.05.2022).
12.Wasserman S., Faust K. Social network analysis: methods and applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. 825 p. DOI 10.1017/CBO9780511815478.
13. Социальная сеть / SEO Wiki. URL: https://yandex.ru/turbo/wiki.rookee.ru/s/social-naya-set/ (дата обращения: 15.05.2022).
14.Чураков А. Н. Анализ социальных сетей // Социологические исследования. 2001. № 1. С. 109-121.
Информация об авторах
Назаров Дмитрий Михайлович, доктор экономических наук, доцент, заведующий кафедрой бизнес-информатики. Уральский государственный экономический университет, 620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45. E-mail: slup2005@ mail.ru
ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ И РЕШЕНИЯ
Т. 1 № 1 2022 yoL 1 No.:l nigitnlmndPknnH solutions_ISSN 2782-4934 (onHne)
Математические и имитационные модели экономики Mathematical and simulation models of the economy
Копнин Антон Андреевич, студент института цифровых технологий управления и информационной безопасности. Уральский государственный экономический университет, 620144, РФ, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта/Народной Воли, 62/45. E-mail: kopnin_ aa@usue.ru
Information about the authors
Dmitry M. Nazarov, doctor of economic sciences, associate professor, head of the department of business informatics. Ural State University of Economics, 620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta/Narodnoy Voli St., 62/45. E-mail: slup2005@mail.ru
Anton A. Kopnin, student of the institute of digital technologies of management and information security. Ural State University of Economics, 620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta/Narodnoy Voli St., 62/45. E-mail: kopnin_aa@usue.ru
