CC BY
19
Оценка вероятности возникновения пожаров
на объектах различных форм собственности
С. Н. Тростянский, профессор, д-р техн. наук, доцент,
Ю. Н. Зенин, начальник института, Г. А. Бакаева, доцент, канд. техн. наук ФГБОУ ВПО Воронежский институт ГПС МЧС России, г. Воронеж
Для прогнозирования и возможности минимизации вероятности возникновения пожаров, в частности на хозяйственных объектах различных форм собственности, необходимо понимание и количественное описание зависимости вероятности возникновения пожаров от экономических и административно-правовых факторов.
Обозначим количество пожаров К, возникающих на хозяйственных объектах за единицу времени на определенной территории, как:
К = КП +КР, (1)
где Кр — количество пожаров, обусловленных профилактируемыми ГПС факторами, то есть факторами, которые возможно исключить при соблюдении собственниками требований пожарной безопасности на соответствующих объектах; Кп — количество пожаров, происходящих по остальным причинам, то есть по непрофилактируемым ГПС факторам.
Принимая во внимание, что более 70 % пожаров обусловлены профилактируемыми ГПС факторами [1], предположим линейную зависимость количества таких пожаров от общего количества хозяйственных объектов:
КР = k • Ыр = k • С • Ы, (2)
где С — множитель, отражающий долю собственников, которым выгодно экономить средства за счет несоблюдения требований пожарной безопасности; N — общее количество хозяйственных объектов на данной территории; Ыр — количество хозяйственных объектов, имеющих нарушения требований пожарной безопасности; k — коэффициент пропорциональности между количеством пожаров, обусловленных профилактируемыми факторами, и количеством объектов, где собственники нарушают правила и требования пожарной безопасности.
Вероятность возникновения пожаров на хозяйственных объектах в определенный единичный интервал времени оценим, с учетом (1), (2) как:
Р = К = — + — = Рп + РР = Рп + кС, (3)
N NN п р
где рп, рР — соответственно, вероятности возникновения пожаров за счет непрофилактируемых и профилактируемых ГПС факторов.
Нахождение множителя С, отражающего экономическое представление хозяйствующих субъектов о возможности нарушения требований по-
жарной безопасности и определяющего долю собственников объектов, которым выгодно экономить средства за счет их несоблюдения, осуществим на основе экономической модели рационального правонарушителя [2]. Рациональность правонарушителя означает, что нарушение происходит только в том случае, если ожидаемый доход Ь от его совершения превышает возможные, в случае пожара и (или) наказания, потери и:
(1 - р) ■ Ь > р ■ и, (4)
при этом считается, что потенциальный правонарушитель на основе своего либо чужого опыта может оценивать вероятность р.
При расчете уровня нарушений на основе модели рационального правонарушителя [2] учитывается, что правонарушитель — собственник хозяйственного объекта, в качестве ожидаемой прибыли Ь может рассматривать экономию на расходах по обеспечению пожарной безопасности объекта, а в качестве наказания может нести следующие два вида убытков: 1) убытки и при возникновении пожаров на объекте; 2) убытки Н от штрафных санкций за нарушения требований пожарной безопасности, при ожидаемой их вероятности за единицу времени f.
Очевидно, что применительно к рациональному правонарушителю игнорирование требований пожарной безопасности, с учетом возможных штрафных санкций, происходит только в том случае, если ожидаемый доход правонарушителя удовлетворяет условию:
(1 - р) ■ (Ь - / ■ Н) > р ■ и , (5)
Из анализа данных экономической статистики следует, что легальные доходы населения, в том числе доходы собственников хозяйственных объектов, имеют логнормальную плотность распределения [3]. Более того, исследования, проведённые в работе [4] по материалам российской и зарубежной статистики показали, что и количество пострадавших, и величина материального ущерба от пожаров и взрывов также корректно описываются логнормальной моделью плотности распределения:
, (6)
Рц,а.. (и) = ~ГТ=^-еХР
^ '-■а- и
(1п(и) - 1п(ц))2
и ~ V 2а2
■ I
где р^а (и) — плотность логнормально распределенной случайной величины потерь и собственниками объектов от пожаров, ^ — среднее значение для соответствующего распределения величины потерь от пожаров, ои — дисперсия распределения величины потерь от пожаров.
Логично предположить, что применительно к собственникам хозяйственных объектов, помимо логнормального распределения величины потерь от пожаров и, справедливо логнормальное распределение величины прибыли Ь от экономии за нарушения требований пожарной безопасности, со средним значением для соответствующего распределения п и дисперсией оь, т. е.
Р-(b) = vdöbexp
f (ln(b) - 1и(л))2 Л
(7)
Тогда при стационарных экономических и организационно-правовых факторах множитель C, с учётом (5)-(7) можно записать как:
„ ln((l-p)-(b-f-H)/p)
C = J J (u К* (b)dudb, (8)
f-H 0
где p - вероятность возникновения в единицу времени пожаров на хозяйственных объектах; f— вероятность наложения штрафных санкций в единицу времени на собственников объектов, допустивших нарушения требований пожарной безопасности; H — средняя величина штрафной санкции, накладываемой на собственников объектов с нарушениями требований пожарной безопасности. В выражении (8) верхний предел интеграла по потерям собственников u от пожаров определяется из условия рационального нарушения требований пожарной безопасности (5), а нижний предел интеграла по прибыли собственников b от экономии за нарушения требований пожарной безопасности лимитируется потерями на вероятные убытки от
штрафных санкций, определяемыми произведением f H.
Рассмотрим динамику изменения вероятности возникновения пожаров при изменениях экономических и административно-правовых факторов и соответствующих им изменениях экономического множителя C. Количество объектов, имеющих нарушения требований пожарной безопасности, характеризуемых состоянием с экономическим множителем C(t) в момент времени t определяется как Np(t) = C(t)N.
Обозначим через Np(Ct) — количество объектов, имеющих нарушения требований пожарной безопасности, при некоторых стационарных экономико-административно-правовых условиях, характеризуемых состоянием Cj в некоторый момент времени tt. Тогда Np(C) = CtN, где N — общее число хозяйственных объектов. Рассмотрим динамику переходного процесса из состояния Np(C0) в состояние Np(C1) при изменении величины функции
С(p, f, ^ л, au, ab, H)
от Со до С1, с изменением её аргументов, где С0 > С1, например, при изменении величины штрафных санкций после введения в действие Федерального закона № 120 от 03.06.2 011.
При этом количество объектов Np(t), имеющих нарушения требований пожарной безопасности меняется за время At:
ANp = g(Np(Q) - Np(С0))At = gN(Q - QAt, (9)
где g - вероятность выполнения требований пожарной безопасности за единицу времени собственниками объектов, которым выполнение требо-
ваний пожарной безопасности при изменении экономического множителя С становится выгодно (если С0 > С1). Отсюда можно прийти к дифференциальному уравнению, описывающему зависимость величины Ыр({) от времени, при изменении экономического множителя от С0 до С1:
dNp (t) N (t)
g
r C Л 1 - C
C
dt,
(10)
о у
Решением уравнения (10) является функция, описывающая динамику переходного процесса
Np (t) = Np (to)exp
g-
AC
01
C
(t - to)
(11)
где AC01 = C0 - C1.
Время переходного процесса т01 от Np(t0) = Np(C0) = NC0 до Np(t1) = = Np (C1) = NC1определяется как
ln
AC
01
C
0 У
01
g
AC
(12)
01
C
Значение g для вероятности выполнения требований пожарной безопасности собственниками объектов, которым выполнение этих требований при изменении множителя С становится выгодным, можно оценить из статистических данных по вероятности возникновения пожаров за счёт профи-лактируемых ГПС факторов. С учётом (3) и (12) при известном из статистических данных времени задержки т между изменением экономических и административно-правовых факторов и соответствующем изменении множителя С(^, зависящего от этих факторов, значение g определяется:
ln
1
AC,
0т
C
ln
g
0
1 -
AC C
0т
Pp(t0) - Pp(t0 + т) Pp (tp) pp(t0) - pp(t0 +т) pp (t0)
(13)
В частном случае, если при последовательных скачкообразных изменениях аргументов экономического множителя C, отношение изменений функции AC к ее предыдущим значениям C остаётся постоянным:
AC / C = const, (14)
выражение для динамики вероятности возникновения пожаров по профи-лактируемым ГПС причинам с учетом (2), (3), (11) можно записать:
т
X
( АС ^ Рр (Г) = Рр (Оехр - - (Г - г0) . (15)
V С У
Если считать вероятность возникновения пожаров по непрофилакти-руемым ГПС причинам практически постоянной во времени рп (Г)« рп, как
показано в [1], то в стационарных условиях вероятность р(Г) возникновения пожаров в единицу времени, с учётом (3) определяется формулой
Р(0 = Рп + С = Рп + Рр (to). (16)
В переходном процессе, при соблюдении условия (14), вероятность возникновения пожаров р(Г) на хозяйственных объектах определяется по формуле
(АС ^ Р(Г) = Рп + Рр(Оехр (Г - О , (17)
V С У
которая при АС > 0 аналогична формуле
Р(Г) = Рп + РР(Го)ехр(-Х(Г - Го)), (18)
приведенной в [1] на основании обработки статистических данных по динамике количества пожаров на определенных территориях за различные промежутки времени.
Из сравнения (17) и (18) соотношение для определения показателя экспоненциального спада X запишется как
* = «АС. (19)
С учётом времени запаздывания т между изменением экономических и административно-правовых факторов и изменением множителя С, для нестационарных условий выражение (8) принимает вид
„ 1п((1-Р,-х)(6-/,-хЯ,-х )/ Р,-х)
С, = I I Р„-,,,-, (иК-,-, , (20)
/,-хН-х 0
где индексы Г и Г - т характеризуют время (например, год) между измерениями соответствующих характеристик.
Для экспериментальной оценки времени запаздывания т можно воспользоваться результатами анализа корреляций между количеством пожаров на объектах различных форм собственности за текущий год и величиной убытков от пожаров и штрафных санкций для таких объектов за предыдущие годы [5]. Для данных по Воронежу максимальная отрицательная корреляция наблюдалась с лагом т ~ 3 года [5].
Выражение для вероятности возникновения пожаров при нестационарных экономических и административно-правовых факторах из (3) и (20) принимает вид
„ ln((1-p, )(b-f H, V P,-x)
A = P« + k • j j P„-x,t-x (UK-x,«*,,-x (b)dudb . (21)
f-xH-T 0
Определение коэффициента к возможно из выражения (21) с учетом ретроспективных статистических данных за предшествующие годы. На основе выражения (21), при известных экономических и административно-правовых параметрах в t - x году, возможно определение вероятности возникновения пожаров на объектах различных форм собственности в t году. Расчёты значения «непрофилактируемой» вероятности возникновения пожаров pn в формуле (21) возможно провести на основе анализа временного ряда динамики вероятностей возникновения пожаров на хозяйственных объектах, полученного из статистических данных ГПС МЧС, с учётом выполняющейся для временного ряда формулы (18). На основе формулы (18) можно получить соотношение (22) и проанализировать для него временной ряд для разности значений:
Ap(t -10) = p(t0) - p(t) = pp (t0) • [1 - exp(-X • (t -10)]. (22)
Тогда параметры pp(,0)и X для этого временного ряда находятся с
применением статистического пакета SPSS, как параметры нелинейной регрессии. В частности, на основе данных Государственной противопожарной службы по городу Воронежу с 2000 по 2010 годы, найдены следующие значения параметров временного ряда (22): pp(t0) = 0,029;
X = 0,455. Соответственно, находя значения
p« = p(t,) - pp (t) = p (t) - pp (О • exp(-X(t - a, для каждого i -го года и вычисляя среднее значение
Xp« p = —
У« L
за L лет, получаем pn = 0.020, которое полагаем устойчивым во времени в соответствии с данными работы [1]. Тогда динамика вероятности возникновения пожаров p(t) на хозяйственных объектах в г. Воронеже описывается формулой
p(t) = p« + pp (t0) • exp(-X •(t -10)) = = 0.020 + 0.029 • exp(-0.455 • (t -10)),
где t — измеряется в годах; pp (t0) = 0.029 — вероятность возникновения
пожаров за счет профилактируемых ГПС факторов на хозяйственных объектах в г. Воронеже в 2000 году. При сравнении расчетных данных по формуле (23) с данными статистики ГПС МЧС по г. Воронежу, показатель
квадрата корреляции R составляет 0.954, что свидетельствует о корректности применения данной модели для прогностических расчётов динамики вероятности возникновения пожаров на хозяйственных объектах.
По данным районных отделов ГПС МЧС города Воронежа за период с 2007 по 2011 год, была построена квантиль - диаграмма и её тренд [4] для логнормального закона распределения случайных величин убытков от одного пожара на объектах различных форм собственности в городе Воронеже. Показатель квадрата корреляции R2для линейного тренда квантиль -диаграммы убытков от пожаров составляет 0.966, что свидетельствует о корректности применения логнормального распределения. Из уравнения линии тренда по убыткам от одного пожара:
ln y = 1,749 • х +10,383, (24)
были определены параметры логнормального распределения: дисперсия а = 1,749; медианное значение убытков от одного пожара
m = exp(10,383) = 32310 руб.; среднее значение убытков от одного пожара:
" /2 2л
u = m • exp(— а2) = 248300 руб.
Таким образом, на основе гипотезы рационального правонарушителя предложена математическая модель, описывающая зависимость вероятности возникновения пожаров на хозяйственных объектах от экономических и административно-правовых факторов.
Библиографический список
1. Белозеров В. В., Богуславский Е. И., Тетерин И. М. Адаптивная система пожарной безопасности. // Технологии техносферной безопасности. -Вып. № 1(11) - февраль 2007 г. Номер гос. регистрациии - 0420700050/0006.
2. Becker G. Crime and Punishment: An Economic Approach // Journal of Political Economy. — 76.— 1968.— P. 169—217.
3. Суворов А. В. Проблемы анализа дифференциации доходов населения и построения дифференцированного баланса денежных доходов и расходов населения / А. В. Суворов // Проблемы прогнозирования.— 2001.— № 1.— С. 58—74.
4. В. А. Акимов, А. А. Быков, Е. Ю. Щетинин. Введение в статистику экстремальных значений и её приложения: монография. - МЧС России. -М.: ФГУ ВНИИ ГОЧС (ФЦ), 2009. — 524 с.
5. Тростянский С. Н., Шуткин А. Н., Бакаева Г. А. Экономический подход к прогнозированию пожарных рисков на объектах различных форм собственности // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. -2011. - № 1. - С. 27-29.
