Оценка вероятности диагноза по фрактальной размерности медицинского изображения Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.518.54

А.Ю. НИЦЫН, д-р техн. наук,

А.И. ПОВОРОЗнЮк, канд. техн. наук,

Д.А. НИЦЫН

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ДИАГНОЗА ПО ФРАКТАЛЬНОЙ

РАЗМЕРНОСТИ МЕДИЦИНСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Предлагается методика классификации рентгеновских изображений по их фрактальной размерности. Методика основывается на оценке вероятности того, что при измеренной фрактальной размерности изображения данная рентгенограмма не содержит патогенных областей. Предложенный метод позволяет повысить достоверность диагноза, основанного на анализе медицинского изображения.

Ключевые слова: методика классификации рентгеновских изображений, фрактальная

размерность, медицинское изображение.

Постановка проблемы. Сейчас в связи с ростом числа заболеваний туберкулезом развитие автоматизированных диагностических систем является актуальной задачей [1 - 3]. Одним из методов раннего обнаружения туберкулеза является фрактальный анализ рентгеновских снимков. Это обусловлено тем, что рентгенограмма легких человека содержит фрагменты изображения, имеющие древовидную структуру [4, 5]. Кроме того, развитие туберкулеза приводит к образованию патогенных зон, которые также имеют фрактальную природу. Поэтому можно предположить, что с развитием заболевания фрактальная размерность рентгеновских изображений увеличивается. Отсюда следует, что для эффективного диагностирования туберкулеза необходимо разработать методику, которая позволяет по измеренному значению фрактальной размерности классифицировать рентгенограммы на снимки, содержащие патогенные области, и на снимки, не имеющие признаков заболевания.

Анализ литературы. Применению методов фрактальной геометрии к классификации медицинских изображений посвящены работы многих авторов [4 - 6]. Однако, как правило, в этих работах применяется детерминированный подход, в то время как, по мнению авторов, достоверность диагноза повышается, если результат анализа медицинского изображения представить в виде вероятности того, что данная рентгенограмма не содержит признаков заболевания. Поэтому разработка вероятностных методов классификации рентгеновских снимков является актуальной задачей медицинской диагностики.

Целью статьи является разработка метода классификации рентгеновских изображений по их фрактальной размерности. При этом метод основывается на оценке вероятности того, что при данном спектре фрактальных

размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей данного цвета данная рентгенограмма не содержит патогенных областей изображения.

Методика оценки вероятности диагноза. Пусть рентгенограмма задана однотонным изображением. Тогда под диагностическим признаком будем понимать фрактальную размерность множества пикселей одного цвета,

например, черного. Выберем квадрат, площадь которого равна 5й, где 8 длина стороны квадрата. Покроем данным обобщенным квадратом пространство, заполненное точками изображения. Количество покрывающих квадратов N(5) зависит от 5 . Получим меру множества точек в данном

пространстве =25й , определяющую расстояние между значащими

пикселями при выбранном значении 5 . Заметим, что в общем случае при стремлении размера квадрата к нулю 5 > 0 мера множества точек Мё равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора величины й, которую будем называть размерностью меры. При этом размерность Хаусдорфа - Безиковича В множества точек пространства представляет собой критическую размерность, при которой мера Мй изменяет свое значение с нуля на бесконечность [4, 5]

Мй = 25й = N(5)5й . п >{0, й Б (1)

й 2 V г 5>0 ц й < б

Определение меры множества точек Мй, выраженное формулой (1), можно применить для практического вычисления его фрактальной размерности Б. Действительно, из формулы (1) следует, что при стремлении размера квадрата к нулю 5 > 0 число квадратов N(5), покрывающих

выделенную область изображения, обратно пропорционально величине 5Б

N (5)

5 Б

Рассмотрим фрактальную размерность множества точек изображения как угловой коэффициент графика зависимости числа квадратов N (5) от размера 5 квадрата, построенного в дважды логарифмическом масштабе

1п N (5) ~ -В 1п 5.

Отсюда следует формула, по которой можно вычислить фрактальную размерность множества

В ~ - шлф)

1п 5

Если изображение является полутоновым, в качестве диагностических признаков выберем спектры фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей данного цвета. При этом под спектром фрактальных размерностей будем понимать совокупность фрактальных размерностей

множества пикселей данного цвета, которые также можно вычислить с помощью подсчета числа клеток, содержащих пиксели данного цвета.

Определим вероятность того, что рентгенограмма не содержит патогенных зон при данном спектре фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей данного цвета. Произведем случайную выборку из рентгенограмм, не содержащих симптомы болезни и содержащих симптомы болезни. Вычислим спектры фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей данного цвета каждого рентгеновского изображения. Чтобы найти законы и параметры распределения вероятности диагноза в зависимости от данного спектра фрактальных размерностей, произведем статистическую обработку числовых значений фрактальных размерностей рентгеновских изображений, как содержащих, так и не содержащих симптомы болезни. При этом статистическая обработка производится в следующей последовательности:

- выбирается длина и количество интервалов яркости, по которым распределяются пиксели данного изображения. Представляется совокупность интервалов, по которым группируются пиксели изображения, в виде множества (Ц), г = 1,..., т ;

- выбирается длина и количество интервалов, которым могут принадлежать значения фрактальных размерностей областей изображения, содержащих пиксели данного цвета. Представляется совокупность интервалов, по которым группируются значения фрактальных размерностей, в виде множества (Бу), у = 1,..., п;

- выполняется группировка значений фрактальной размерности по выбранным интервалам ее изменения и выбранным цветовым интервалам, по которым распределяются пиксели данного изображения. Представляется множество значений фрактальных размерностей в виде матрицы, которая состоит из столбцов, соответствующих данному интервалу изменения яркости (Фу), г = 1,..., т, у = 1,..., п. Тогда под спектром фрактальных размерностей

будем понимать сочетание ^ значений фрактальных размерностей, взятых из

каждого столбца матрицы (Фу), соответствующего данному интервалу (Ц)

изменения яркости и данному интервалу (Бу) изменения фрактальных

размерностей;

- находится распределение статистической вероятности данного спектра фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей интервала (Ц) для рентгеновских изображений, содержащих симптомы болезни и не содержащих симптомы болезни.

Воспользуемся формулой Байеса [7, 8] для оценки вероятности того, что исследуемое рентгеновское изображение не имеет признаков заболевания, при

условии, что фрактальные размерности множества пикселей заданных яркостей имеют данное сочетание

Р‘ Н 15 )= Р' (Н1 )Р‘ 5 IН1) (2)

(1 * )=р* (Н1 Р (5* IН)+р* (н ^ )р*(х* I н 2) ‘ ()

где Р* (Н1) - статистическая вероятность того, что рентгенограмма не

содержит патогенных зон; Р* (Н2) - статистическая вероятность того, что

рентгенограмма содержит патогенные зоны; Р* (Бк IН) - статистическая вероятность данного сочетания фрактальных размерностей множества пикселей данного цвета при условии, что рентгеновское изображение не

содержит симптомов туберкулеза; Р* (Бк IН2) - статистическая вероятность данного сочетания фрактальных размерностей множества пикселей данного цвета при условии, что рентгеновское изображение содержит симптомы туберкулеза.

Определим пороговое значение вероятности того, что данное рентгеновское изображение не содержит симптомов болезни. Найдем законы и параметры распределения вероятности диагноза, указывающего на здоровье пациента, для рентгеновских изображений, как содержащих, так и не содержащих патологию. Для этого проведем статистическую обработку значений фрактальных размерностей рентгенограмм пациентов, признанных здоровыми, и рентгенограмм пациентов, признанных больными. При этом статистическая обработка проводится в следующей последовательности:

- производится случайная выборка из рентгеновских изображений, содержащих симптомы болезни, и случайная выборка из рентгеновских изображений, не содержащих симптомов болезни;

- вычисляются спектры фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей яркости (Ц) для рентгеновских изображений, как содержащих, так и не содержащих патологию;

- определяется распределение статистической вероятности Р * (Р / Иг) того, что рентгенограмма не содержит патогенных зон и вероятности Р* (Р / И 2 ) того, что рентгенограмма содержит патогенные зоны, в зависимости от изменяющегося сочетания фрактальных размерностей множества пикселей данного цвета.

Установим пороговое значение вероятности того, что данное рентгеновское изображение не имеет симптомов болезни, при данном спектре фрактальных размерностей. Сравним статистическую вероятность, полученную с помощью формулы (2), с ее пороговым значением. Если значение вероятности диагноза выше порогового Р* (H115* )> Р0, то принимается решение о том, что пациент здоров. Если значение вероятности

диагноза ниже порогового Р* (H115* )< Р0, то принимается решение о том,

что пациент болен.

При этом вероятность принятия ошибочного решения состоит из вероятности того, что пациент, для которого оценка вероятности диагноза, указывающего на его здоровье, выше ее порогового значения, будет признан больным, и вероятности того, что пациент, для которого оценка вероятности диагноза, указывающего на его здоровье, ниже ее порогового значения, будет признан здоровым. Оценим ущерб от принятия ошибочного решения по следующей формуле [9]:

<» р0

я = сРн) | / (РI Нх )ёР + С2 р(н 2 ) | / (РIН 2 ) ёР,

Ро

где / (РIН) - плотность распределения величины вероятности того, что данная рентгенограмма не содержит патогенных зон, при данном сочетании фрактальных размерностей множества пикселей яркости (Ц); /(РIН2) -плотность распределения величины вероятности того, что рентгенограмма содержит патогенные зоны, в зависимости от данного сочетания фрактальных размерностей множества пикселей яркости (Ц); С1 - весовой коэффициент, учитывающий риск принятия решения о том, что рентгенограмма не содержит патогенных зон, в то время как рентгенограмма принадлежит пациенту, больному туберкулезом; с - весовой коэффициент, учитывающий риск принятия решения о том, что рентгенограмма содержит патогенные зоны, в то время как рентгенограмма принадлежит здоровому пациенту.

Пороговое значение вероятности определяется по методу наибольшего правдоподобия [9], являющегося частным случаем метода наименьших материальных затрат. Это обусловлено тем, что риск принятия решения о том, что рентгенограмма не содержит патогенных зон, в то время как рентгенограмма принадлежит пациенту, больному туберкулезом, во много раз больше стоимости лечения пациента, признанного больным, но на самом деле являющегося здоровым, то есть С1 >> С2. Поэтому пороговое значение вероятности диагноза, указывающего на здоровье пациента, находится из следующего условия [9]:

I (Ро/ Их ) = / (Ро/ И 2 ).

Таким образом, найдено пороговое значение вероятности диагноза, указывающего на здоровье пациента, которое обеспечивает минимальную вероятность принятия ошибочного решения о том, что данное рентгеновское изображение не имеет симптомов болезни.

Выводы. Предложен метод принятия решения о наличии у пациента диагноза, указывающего на его здоровье, по измеренному спектру фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве пикселей

заданного цвета. Предложенный метод позволяет повысить достоверность диагноза, основанного на анализе медицинских изображений.

Список литературы: 1. Постнова Т.Б. Информационно-диагностические системы в медицине. -М.: Наука, 1972. - 376 с. 2. Завалишин Н.В., Мучник И.Б. Модели зрительного восприятия и алгоритмы анализа изображений. - М.: Наука, 1976. - 402 с. 3. Максимов Г.К., Синицын А.Н. Статистическое моделирование многомерных систем в медицине. - Л.: Медицина, 1983. - 144 с. 4. Федер Е. Фракталы: Пер с англ. - М.: Мир, 1991. - 254 с. 5. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. - М.: Техносфера, 2006. - 488 с. б. Бондаренко А.Н., Кацук А.В. Адаптивный двухступенчатый метод классификации изображений // Искусственный интеллект. -Донецк: Институт проблем искусственного интеллекта МОН и НАН Украины. - 2QQ6. - №4. -С. 616-68Q. 7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с. 8. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. - М.: Наука, 1971. - 192 с. 9. Биргер И.А. Техническая диагностика. - М.: Машиностроение, 1978. - 240 с.

УДК 681.518.54

Оцінка імовірності діагнозу по фрактальноі розмирності медичного зображення I Ніцин О.Ю., Поворознюк А.І., Ніцин Д.О. // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ", 2QQ8. - № 24. - С. 107 - 112.

Пропонується методика класифікації рентгенівських зображень за їхньою фрактальною розмірністю. Методика грунтується на оцінці ймовірності того, що при вимірюваній фрактальній розмірності зображення дана рентгенограма не містить патогенних ділянок. Запропонований метод дозволяє підвищити вірогідність діагнозу, заснованого на аналізі медичного зображення. Бібліогр.: 9 назв.

Ключові слова: методика класифікації рентгенівських зображень, фрактальна розмірність, медичне зображення.

UDC 681.518.54

An estimation of probability of the diagnosis on fractal dimension of the medical image I Nitsyn А/Y., Povoroznyuk A.I., Nitsyn DA. // Herald of the National State University "KhPI". Subject issue: Information science and modelling. - Kharkov: NSU "KhPI". - 2QQ8. - № 24. - P. 1Q1 - 112.

The technique of classification of the x-ray images till them fractal dimension is offered. The technique is based on an estimation of probability that at measured fractal dimension of the given x-ray image does not contain pathological areas. The offered method allows increasing reliability of the diagnosis based on the analysis of the medical image. Refs: 9 titles.

Key words: technique of classification of x-ray images, fractal dimension, medical image.

Поступила в редакцию 24.04.2008