Оценка важности аргументов немонотонных логических функций при логико-вероятностном анализе безопасности сложных технических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.248

А. В. Горопашная

ОЦЕНКА ВАЖНОСТИ АРГУМЕНТОВ НЕМОНОТОННЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНОМ АНАЛИЗЕ БЕЗОПАСНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Введение. В рамках теории логико-вероятностного исчисления [1] разработаны методы оценки таких характеристик аргументов логической функции как вес, значимость, вклад, удельный и относительный вклад, активность [2]. Эти параметры указывают, какие события занимают значимое положение и оказывают существенное влияние на безопасность всей технической системы, описываемой данной логической функцией. Аргументами логической функции являются булевские переменные, характеризующие события, которые могут произойти (или не произойти) с системой. Определение указанных параметров очень важно. Во многих случаях в связи со скудностью статистики неизвестны вероятности исходных событий, которые вызывают возникновение аварии, поэтому нет возможности оценить безопасность всей системы. В таком случае определение веса элемента - это единственная возможность узнать «слабые места» структуры и оценить безопасность системы.

Методы оценки приведенных выше параметров в настоящее время широко разработаны только для систем, которые описываются монотонными логическими функциями. Однако в реальной жизни существуют системы, описываемые немонотонными функциями алгебры логики (ФАЛ), которые требуют оценки безопасности. Например, при рассмотрении пожара на любом опасном объекте возможны две ситуации: система пожаротушения сработала и не сработала. От этого напрямую зависит дальнейшее развитие аварии, а значит, и построение логической схемы. В таком случае в логической функции появляется как событие «система пожаротушения сработала» (событие A), так и событие «система пожаротушения не сработала»(событие A').

В данной статье предпринята попытка перенести разработанные ранее результаты для монотонных ФАЛ в область рассмотрения немонотонных функций. В ней под событием понимается то, что имеет место, происходит с анализируемой системой, связанное с ней значительное происшествие, явление.

Логико-вероятностный анализ безопасности технических систем. Он используется при оценке надежности, безопасности, живучести, стойкости различных систем. Задача оценки безопасности и риска сложных технических систем, таких как АЭС, корабли и суда, самолеты и т. д., в настоящее время становится все более и более актуальной [1].

Процесс анализа безопасности любой системы является симметричным процессу анализа ее потенциальной опасности (вероятность наступления негативного события и вероятность благоприятного исхода событий в сумме дают единицу). Практика анализа безопасности сложных объектов показала, что удобнее прослеживать их

Горопашная Анастасия Визвутовна — инженер ФГУП «ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова». Количество опубликованных работ: 7. Научное направление: анализ безопасности сложных технических систем. E-mail: torres2005@yandex.ru.

© А. В. Горопашная, 2009

реакцию на аварийные воздействия, чем определять сценарии успешного развития событий. Предположим, что анализ безопасности заключается в выявлении сценариев опасного функционирования, и конечным итогом является вероятность наступления негативного события (вероятность опасного функционирования системы Р), которое может привести к серьезным последствиям. На основе полученных данных вычисляется вероятность безопасного функционирования системы: Q = 1 — Р.

При анализе безопасности первоначально определяется перечень аварийных воздействий на систему (пожар, взрыв реактора для АЭС, шторм и затопление для корабля и т. п.). Прослеживая ход развития каждой аварии, инженеры должны выяснить, что и с какой вероятностью может произойти с системой.

Логико-вероятностный анализ включает в себя следующие стадии:

1) разработка физической модели развития аварии с объектом, безопасность которого исследуется. Элементами физической модели являются события, происходящие с системой;

2) составление математической модели на основании созданной физической модели. В качестве математической модели выступает ФАЛ (Г...,хп)), состоящая из возможных сценариев развития аварии, аргументами ее являются булевские переменные (хг), характеризующие события, которые могут произойти (или не произойти) с анализируемым объектом;

3) по полученной на 2-м этапе ФАЛ определяется вероятность Р(Г = 1), которая зависит от вероятностей событий, входящих в логическую функцию Р(хг); таким образом, Р(Г = 1) представляет собой полином от п переменных Р(х\), ...,Р(хп). В логико-вероятностном исчислении он называется вероятностным полиномом;

4) подставляя в вероятностный полином вероятности входящих событий Р(хг), вычисляется вероятность наступления негативного события, которое может произойти с системой.

С математической точки зрения, весь приведенный процесс универсальный и может применяться при оценке безопасности и риска в любой сфере человеческой деятельности.

Характеристики важности для одного события. Основные определения и теоремы. Вес логической функции, состоящей из ш элементов, есть относительная доля наборов элементов, на которых функция равна 1, среди всех 2т наборов возможных значений элементов [1].

Булева разность любой функции у{Хт) по аргументу х^ есть результат сложения по модулю два функции у(Хт) и симметричной с ней функцией ух. (Хт) =

у(х1: ...■ хг-1 ■ хг ■ хг+1 ■ ...■ хт ):

Дх.у(Хт) = у(Хт) © Ух'.(Хт) = у(х1■..., хг,..., хт) © у(х1,..., х'г,..., хт) =

= у&уХ; V у'&у-х; =

В формуле (1) приняты обозначения, принятые в логико-вероятностном анализе: знаки конъюнкции опущены, дизъюнкция записывается в виде матрицы, строками которой являются присутствующие в ней конъюнкции [1].

Лемма 1. Монотонная логическая функция у(Хт) является импликантой ее единичной функции у1 (Хт) = у(х1 ■...,х—1, 1 ■ хг+1,...,хт^ а нулевая функция у0 (Хт) — у(х1 ■ ... ■ хг-1 ■ 0 хг+1 ■ ...■ хт) есть импликанта исходной функции у(Хт), т. е., обозначив [у(х)\ множество наборов Хт, на которых у(х) = 1, имеет место включение

уух; у'ух.

(1)

[у0(Хт)] с [у(хт) с у(Хт)\. (2)

Для немонотонных ФАЛ формула (2) не верна.

Доказательство невыполнения леммы 1 для немонотонных ФАЛ. Функцию у(Хт) можно представить в дизъюнктивно-нормальной форме (ДНФ): у(Хт) = К^) V (УЬКЬ) V (УчКч), где (VjК^) - конъюнкции, содержащие хг, (V ьКь) - конъюнкции, содержащие х'г, (VЧКЧ) - конъюнкции, не содержащие хг и х'г.

Из того, что [у0(Хт)] С [у(Хт)], следует [УьоКьо] С [(VjKj) V (УЬКЬ)], так как [УЬоКь0] Э [^ьКь], то часть или все Кь0 = Кь(х1, ...,хг-1, 0,хг+1, ...,хт) принадлежат Vj Kj. А это выполняется только для логических функций, удовлетворяющих определенным ограничениям.

Аналогично, из того, что [у(Хт)] С [у\(Хт)], следует [^Kj) V ^ьКь)] С [VjlKjl], значит, [VьКь] С [Vj1 Kj1], где Kj1 = Kj(х1,..., хг-1,1, хг+1,..., хт). Это также выполняется только для логических функций, удовлетворяющих определенным ограничениям. Утверждение доказано.

Вес элемента хг в системе есть вес булевой разности монотонной логической функции по аргументу хг [1]:

дх, = у(Хт)).

Значимость элемента хг есть частная производная от вероятности опасного функционирования всей системы Рс = Р(у(Хт) = 1) по вероятности опасности данного события Рг = Р(хг = 1) [1]:

дР

ь = Ц <3>

Под записью Р(а) понимаем вероятность истинности а, т. е. Р(а = 1).

Теорема 1. Значимость аргумента хг в монотонной логической функции численно равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу хг:

& = Р (Ах, у(Хт)). (4)

Для немонотонных функций теорема (4) не выполняется, поскольку в ходе доказательства используется лемма 1, которая справедлива только для монотонных ФАЛ [1].

Вкладом события хг в безопасность системы назовем полную вероятность опасного функционирования системы, определяемую данным событием [1]:

Вг = Рг • &. (5)

Относительный вклад [1]

Ч = (6)

Рс

Для вышеприведенных характеристик существуют формулы для их вычисления. Вес

к I

дг = д*Хт) - ду0{хт) = - £^^ (7)

г=1 j=1

где к,гг - число и ранг конъюнкций в ортогональной ДНФ (ОДНФ) (все конъюнкции в ОДНФ ортогональны друг другу), содержащих аргумент хг; I, rj - число и ранг конъюнкций в ОДНФ, содержащих аргумент х'г [1].

| = (10) Р с Р с Р с

Формула (7) верна только для монотонных ФАЛ, так как при ее выведении используется включение \уг0{Хт)] С [у\(Хт)] (лемма 1). Значимость

& = Р'С1 — РСо ■ (8)

здесь РС1 = Р(у\ = 1),РСо = Р(уО = 1) [1]. Вклад [1]

Вг = Рг ■ & = Рс — РСо, (9)

относительный вклад [1]

'I

Формулы для вычисления значимости (8) и вклада (9), (10) не зависят от монотонности функции и верны для немонотонных ФАЛ.

А именно, любую ФАЛ по любому аргументу можно разложить как у = у\хг V у0х'г, тогда безопасность всей системы будет определяться как

Рс = Р (у\хг) + Р (уОх'г) = РСР + РСо(1 — Рг).

Учитывая формулу (3), получаем (8), из чего следуют (9) и (10).

Активность аргументов немонотонных ФАЛ. И. А. Рябинин и Ю. М. Парфенов в работе [2] ссылаются на книгу Дж. Хенли и Х. Кумамото [3], в которой приведен показатель, характеризующий активность в смысле отказа:

Если условия работоспособности системы записаны через логическую функцию в ДНФ, то показатель, идентичный (11), выразится соотношением

= ЙМЙ (12)

Кс

где Р(\/^ К^) - вероятность безотказной работы системы, вычисленная только по тем конъюнкциям, которые содержат г-й элемент. Активность (12) в книге [2] названа активностью элемента в смысле безотказности. Это может быть легко переформулировано в терминах безопасности (элемент - событие, работоспособность - безопасность), но математическая форма не изменится.

Активность в таком определении учитывает только события, входящие без отрицания. Потому это определение не отражает реальной активности аргументов немонотонных функций, входящих с отрицаниями.

Более объективной, на наш взгляд, будет следующая формула активности для немонотонных функций:

Р^^К) V ^ЬКЬ)

(13)

Р

Рс

здесь Vj К^ - конъюнкции, которые содержат хг; VL Кь - конъюнкции, содержащие х'г; Р((VjKj) V (VьКь) = 1) - вероятность опасной работы системы, вычисленная по конъюнкциям, содержащим х и х' . При этом формула (13) имеет смысл как для немонотонных, так и для монотонных ФАЛ, поскольку последние не содержат конъюнкции VьКь, и формула (13) превращается в (12).

Теорема 2. Для активности, вычисленной по формуле (13), верно соотношение

Щ < аг, (14)

где - относительный вклад г-го аргумента, а аг - его активность.

Доказательство. Любую немонотонную функцию алгебры логики можно представить в ДНФ:

у(Хт) = Кз) V {УЬКЬ) V VКд),

в которой VjК3 - конъюнкции, содержащие хг, VьКь - конъюнкции, содержащие х[, VдКд - конъюнкции, не содержащие хг и х[. Это можно записать в более удобной форме:

Vj Kj Vj (Kjl&xi)

У(Хт) = VlKl = Vl (KLl&xi)

Vq Kq Vq Kq

Следовательно

Ух' (Xm ) =

Vj Kjxi

Vl klxí =

Vq Kq

Vj (Kji&xi) Vl (Kbi&Xi)

Vq Kq

У0

VLKLI

Vq Kq

У1

Vj Kjl

Vq Kq

где VjKji - конъюнкции, в которых аргумент xi заменен на единицу; VlKli - конъюнкции, в которых аргумент xi заменен на единицу.

Тогда вероятность истинности логической функции будет вычисляться следующим образом:

Pc = P (((Vj Kjl)&Xi) V ((VlKli)&X¡)) + P (Vq Kq ) -- P ((Vq Kq)&(((Vj Kjl)&Xi) V ((Vl KLl)&xi ))). После раскрытия скобок имеем

Pc = P (((Vj Kjl)&xi) V ((VlKli)&xÍ)) + P (Vq Kq ) -

- P ((Vq Kq )&(Vj Kjl)&xi) - P ((Vq K q)&(V lKLl)&xi) .

Учитывая, что элемент xi не входит ни в одну из присутствующих конъюнкций и P(xi) = Pi, P(xi) = 1 - Pi, получаем

Pc = P (((Vj Kjl)&xi) V ((VlKli)&xÍ)) + P (Vq Kq ) -

- P ((Vq Kq )&(Vj Kjl))Pi - P ((Vq Kq )&(VlKli))+ P ((V q Kq )&(VlKli))Pí .

Поскольку Pi0 = P(y0 = 1) = P(VlKl) + P(VqKq) - P((VqKq)&(VlKli)), и учитывая, что P((VqKq)&(VlKli)) = P(VlKli)P((VqKq)\(VlKli)), находим

Pc = P(((VjKjl)&xi) V ((VlKLl)&xi)) + Pi0 -

- P((VqKq)&(VjKjl))Pi + PiP(VlKli)P((VqKq)\(VlKli)) - P(VlKli). Приводя подобные члены, получаем

Pc = P(((VjKjl)&xi) V ((VlKLl)&xi)) + Pi0 -

- [P ((Vq Kq )&(Vj Kjl))Pi + P (VlKli)[1 - PiP ((Vq Kq )\(V lKli))]].

Так как [1 - PiP((VqKq)\(VLKLÍ))\ > 0, значит, [P((VqKq)&(VjKjí))Pi + P(VlKli)[1 -PiP((VqKq)\(VlKli))]] > 0, следовательно, Pc -P^ < P(((VjKn)&xi) V ((VlKli)&x¡)), тогда справедливо следующее неравенство:

P - P

cO

Pc

<

Р(((Уд-Кд-1)&х0 V ((V¿g¿i)&s<)) Pr

= ai => Vi < ai.

Теорема доказана.

Характеристики важности для двух событий немонотонной ФАЛ. Двукратная булева разность любой функции у{Хт) по аргументам х^ и х^ есть выражение [1]

ААХгХ] =АХг [АХ] у{Хт)\. (15)

Двойная булева разность любой функции у{Хт) по аргументам х^ и Xj есть результат сложения по модулю два исходной функции у(Хт) и симметричной с ней функции

ух'х'. (Хт) у(х1^ ...? хг—1 ■ ■ хг+1 ■ .. хч-1 ■ х ч ■ хЗ+1 ■ .. хт ) [1]-

А,

y(Xm) © yx'xj (Xm) = y&y'x,x, V y'&yx

УУх'.х'.

г 3

y'yx'xj

(16)

Лемма 2. Двукратная булева разность любой ФАЛ не зависит от порядка аргументов, по которым она вычисляется, т. е.

AAx

AAx

(17)

Доказательство данной леммы одинаково для монотонных и немонотонных ФАЛ [1].

Лемма 3. Двойная нулевая функция по аргументам х^ и хч является импликан-той нулевой единичной (единичной нулевой) функции по тем же аргументам, которая, в свою очередь, является импликантой двойной единичной функции для всех монотонных ФАЛ, т. е. имеют место включения

[y00] С [y0j] С [уо1 v yj] с №],

[уОО] с [/j] с [/of V /j] С [/j]. (18)

Для немонотонных функций данная лемма (см. (18)) не выполняется.

Доказательство невыполнения леммы 3 для немонотонных ФАЛ. Рассмотрим конъюнкции (далее в обозначениях y, уЦ, yjj, yjj верхние индексы опущены)

y У00 У10 У01 УИ

Пг xi - 1 - 1

Hi' x'i 1 - 1 -

П; xj - - 1 1

П' x'- x3 1 1 - -

Пу Xi x• j - - - 1, 1

Ib xixj - - 1, 1 -

Пу Xi x j - 1, 1 - -

IW xixj 1,1 - - -

K K K K K K

V=

конъюнкции, содержащие эле-

Здесь п<, П*, П, , П,' , П* з , П, , П, ,Кт

менты соответственно хг,х'г, х,,х,, (хг, х,), (х'г, х,), (хг,х,), (х'г, х,) и не содержащие (хг,х'г,х,,х,). Для удобства в функциях выписаны только элементы хг,х'г,х,,х,. В функциях уоо,ую,уо1,у11 на местах, отвечающих элементам хг,х'г,х,,х,, стоят соответственно нули или единицы. При таком представлении наглядно видно, что ни одна из рассматриваемых функций не может быть включена ни в другую, ни в объединение нескольких функций, поскольку конъюнкции П, П, П,,, Пдля них имеются только в одном экземпляре.

Утверждение доказано.

Лемма 4. Двукратная булева разность любой ФАЛ по аргументам х^ и х^ может быть вычислена по формуле

ДДхх у(Х

упуюуо1уоо уиуюуо1у0 о уиу'1 оуогуоо унуюу'о 1уоо у[ у ОУ'О 1УОО у1 уоуогуоо у1 уоу'о 1у'о о у[ 1у1 ОУ'О то

(19)

Доказательство. Вычислим

ДДхх у(Х

у 11 Ф у1о Ф уо1 ф уоо = (уц&у'оо V у[ 1&уоо) ф (ую&у'о 1 V у[о&уо

у11 у'о о у'1 о у'о 1 V уюуо 1 у'1 1у'о о

у11уоо ую уо1 у'1 оуО1 уиуоо

уиу'1 о у'о 1у'о о уную уо1у'о о у11у1 о у'о 1уоо у1 1ую уо1уоо

V

у1 уоу'о 1у'о о унуюу'о 1уоо

у1 у оуо1у'о о уиу'1 оуогуоо

Таким образом, лемма доказана.

Лемма 5. Двойная булева разность любой ФАЛ по аргументам х3 и х^ может быть вычислена по формуле

Дххз у(Хп

хгх,

4й-, „ „,'

у11уоо у[ 1уоо

у1оуо1

(20)

уюуо1

Доказательство. Функции у(Хт) и ух'х- (Хт) можно представить в виде

у(Хт) = хгх,у11 V х'х,уо1 V х^х,ую V ххуоо

хг х, у 11 х'г х, уо1 хг х, ую х'г х, уоо

х'гх, у 11

/л^Ч // \/ / \// \/ хгх, уо1

ух'Х (Хт) = хгх,у 11 V хгх,уо1 V хгх,ую V хгх,уоо = , ,

г 1 хгх, ую

хгх, уоо

Тогда, подставляя в формулу для вычисления двойной булевой разности функции у(Хт) и ух'хх1 (Хт), представленные в таком виде, и проведя все необходимые упрощения, получим формулу (20). Лемма доказана.

Лемма 6. Для любой ФАЛ логическое произведение булевых разностей от одной и той же функции по аргументам хг и х, может быть вычислено по формуле

AXi y(Xm)&Axj y(Xm) =

ij

x ii x ij

У11У1 оУ'о l Ух 1уЮу01

УпУснУоо У! lyoly'o о

УцУюУоо yuy'l оУоо

У1оУо1У'о о у' оУ'о 1Уоо

(21)

Доказательство.Учтем, что AxHy(Xm) = y\®у1о = (xjyuVxjyw)®(xjуо1 Vxjуоо). Упрощая и раскрывая скобки, получим, что

Axi y(Xm) =

xj У11 у'О 1 y'l 1 Уо1

xi xj У1о У'о о

y'l о Уоо

Аналогично, Ax¿y(Xm) = y{ 0 у]о = (x\yn V x\yи) 0 (x\yw V x\yоо). Упростив, имеем

Axj y(Xm) =

У11У1о y'l 1У1о

Уо1У'о о У'о 1Уоо

Находя конъюнкцию полученных булевых разностей, приходим к (21). Лемма доказана.

ij

x

x

Лемма 7. Для любой ФАЛ логическую сумму булевых разностей от одной и той же функции по аргументам х^ и х^ можно вычислить по формуле

хгУ11Ую ХгУ11У10

хЧ У11У01

хЧУ11У01 хУо1Уо о х'гУ01У00 х'з У10У0 0 х у1 0У00

Дхгу(Хт) V Дх;у(Хп

(22)

Доказательство. Учитывая найденные при доказательстве леммы 6

хч У11У01 хг У11У\0

у11У01 ■ Дх; У(Хт) = У11У10

хч У10У0 0 хг У 01У00

у10У00 Уо 1У 00

Дх- у(Хт) =

получаем (22).

Лемма 8. Для любой ФАЛ результат сложения по модулю два булевых разностей от одной и той же функции по аргументам х^ и х^ может быть определен по формуле

Дхгу(Хт) © Дх;у(Хт) =

хгхЧ

У10У01 У10У01

У11У00 У11У00

(23)

Доказательство. Аналогично, принимая во внимание полученные при доказательстве леммы 6 Дх-у(Хт) и Дх;у(Хт), после выполнения всех действий при нахождении Дхцу(Хт) © Дхчу(Хт) приходим к (23).

Лемма 9. Для любых ФАЛ имеет место соотношение

ДДхх; У(Хт ) У11У1 0У0 1У00

у11У10У01У0 0

ДхН У(Хт )Дх; У(Хт ) ДхН Ух; (Хт)Дх; у(Хт) ДхН у(Хт)Дх; Ух- (Хт )

^^х^Ух'- (Хт)Дх; Ух'- (Х т )

(24)

Доказательство. Вычислим значение каждой конъюнкции в правой части. Дх-у(Хт)&Дх;у(Хт) уже найдена при доказательстве леммы 6. Аналогично

Дх± ух>, &Дх. у

Xъ X ^

У11У1о Уо 1 У\ 1У10 У01

У11У01Уоо У11У01Уоо

У11У10 Уо о У11У1оУоо

У10У01 Уо о У1 оУо 1 Уоо

Дх± Ух>, &ДХ- Ух

значит,

ДхнУ(Хт)Дхз У(Хт) Дхн Ух'. (Хт )Дх^ У(Хт) Дхн У(Хт )Дхз УхГ (Хт)

ДХiУх'- (Хт)Дхз Ш (Хт)

Дх± У&Дх. Ух'

х Ъ хз

У11У1 оУо 1 у1 1У10У01

У11У01У00 У11У01У0 о

У11У10У0 о У11У1 оУоо

У10У01У0 о У1 оУо 1У00

хъх3

У11У1 оУо 1 У11У10У01

У11У01У00 У11У01У0о

У11У10У0 о У11У1 оУоо

У10У01У00 У1 оУо 1У00

У11У1 оУо 1 У11 У1 о Уо 1 •

У1 1У10У01 У111 У10 У01 •

У11У01У00 У11 • Уо 1 Уоо

У11У01У0 0 У111 • У01 Уо о

у1 1У10У0 0 У111 У10 • Уо о

У11У1 оУоо У11 У1 о • Уоо

У10У01У0 0 • У10 У01 Уо о

У1 оУо 1У00 • У1 о Уо 1 Уоо

та и его отрицания, например на У00 V у'00 = 1, получаем (24). Лемма доказана.

Двукратный вес элементов хъ и х3 в системе есть вес двукратной булевой разности логической функции по аргументам хъ и х3 [1]

92х,х, = Р(ААХгХ]у(Хт)) (25)

Двойной вес элементов хъ и х3 в системе есть вес двойной булевой разности логической ФРС по аргументам хъ и х3 [1]:

9x^x1 — Р(Дх±х:1у(Хт))\п 0 5 ¿=1 .

(26)

Совместный вес элементов хъ и х3 в системе есть вес логического произведения булевых разностей ФРС по аргументам хъ и х3 [1]:

9хглх3 = Р{АХъу(Хт) А ДЖз.у(Хт))|д.=0.5^=1^;.

(27)

Суммарный вес элементов хц и хч в системе есть вес логической суммы булевых разностей ФРС по аргументам х^ и хч [1]:

9хъУх, = Р{АХъу{Хт) V АХ]у(Хт))\щ=0

(28)

Раздельный вес элементов хц и хч в системе есть вес результата сложения по модулю два булевых разностей ФРС по аргументам хц и хч [1]:

9хг®х3 = Р(АХгу(Хт) © АХ]у(Хт))\щ=0 5А=Т^. (29)

Формулы (25)-(29) для вычисления весов не зависят от монотонности функции и верны для немонотонных ФАЛ.

Теорема 3. Двукратный вес элементов х^ и хч в системе и совместный вес этих элементов связаны соотношением

У11У1оУо1У00 У11У10У01 Уо 0

(30)

Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для всех ФАЛ отличается от доказательства для монотонных функций.

Доказательство для всех ФАЛ:

= Р (Дхъ у(Хт)&Дх; у(Хт)) = р

хгхч

У11У1оУо1 У11У10У01

У11У01У00 У11У01У00

У11У10У0 0

у 11 у1 0У00

У10 У01У0 0 У\0Уо1У00

0.25■ Р

У11 у1 оУо 1 у11У10У01 У11 Уо 1У00 У11У01У0о У11У10У0 о У11 у1 оУоо У10 Уо1У'о о У1оУо1У00

(По лемме 9) = 0.25 ■ Р

ДДх-х; у(Хт) У11У1оУо1У00 У11У10 У01У00

0.25 Р(ДДхху(Хт))+ Р

У11У1 оУо 1 Уоо У11У10У01 Уоо

значит,

Теорема доказана.

0.25 д2х-х, + Р

У11У\оУ'о 1У00 у11У10У01У00

У11 у1 оУо 1 Уоо У11У10У01 Уоо

Теорема 4. Двойной вес элементов хг и хз в системе численно равен раздельному весу этих элементов

дх,х, дх,фх

(31)

Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для всех ФАЛ отличается от доказательства для монотонных функций.

Доказательство для всех ФАЛ. Найдем отдельно дхх- и дхнфх-

9хн

Р (Дхх у(Хт)) = Р

х гх з

У11У00 У11У00

У10У01 у10У01

Р

х ъ х з

(У11 ф У00)

Р

х ъ х 3

(хъ ф хз )(У10 ф У01) +Р ((хнф х з )(ую ФУ01)) = 0.5Р (у 11ФУ00) + 0.5Р (У10ФУ01)

(У11 Ф У00)

0.5(Р(Уц) + Р(У00) - 2Р(У11У00) + Р(У01) + РУ10) - 2Р(У10У01))

9хгФх3 = Р(ДхгУ(Хт) ф Дх,У(Хт)) = Р

х ъ х з

У11У00 у1 1У 00

У10У01

Р

х г х з

(У 10 Ф У01)

У10У01

+Р ((хн ф хз )(у 11ФУ00)) = 0.5Р (у 11ФУ00) + 0.5Р (ую ФУ01) =

= 0.5(Р(уц) + Р(у00) - 2Р(У11У00) + Р(У01) + Ру 10) - 2Р(У10У01)).

Теорема доказана.

Теорема 6. Суммарный вес элементов хг и хз в системе равен сумме раздельного

и совместного весов этих элементов в системе:

дх^х; дх,фх, + дх,Лх, .

(32)

Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для всех ФАЛ отличается от доказательства для монотонных функций.

Доказательство для всех ФАЛ:

= Р(Дx¿ V Дх3) = ((5.122) [2]) = Р((Дx¿ ф Дх,) V Дх, Дх,) = = Р(Дх, ф Дх,) + Р(Дх,Дх,) - Р((Дх, ф Дх, )&Дх,Дх,) = дх^фх, + дх^лх,. Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим логические функции у1 этих функций можно вычислить величины:

х1хз х1хз

х 2х 4 и У2 = х2х4

х1х4х5 ОС 1 ОС 4 хх 5

Для

х

yi У2

9vi 0.46875 0.5625

9x ! 0.4375 0.5

P3 - P2P3P4 + P4P5 - P3P4P5 -P2P4P5 + P2P3P4P5 Рз - Р2Р3Р4 -Ръ+ Р4Р5

Oil (P1P3 + P1P4P5 ~ PlP3P4Pb)/Pc (Р1Р3 + Ръ - Р4Р5 - Р1Р5 + Р1Р4Р6)/РС

VX1 (P1P3 ~ Р1Р2Р3Р4 + P1P4P5 ~ Р1Р3Р4Д5 " Р1Р2Р4Д5 + РгР2РзР4Ръ)1Рс (Р1Р3 - Р1Р2Р3Р4 - PlPb + Р1Р4Р6)/Рс

9x iЛ24 0.09375 0.25

9 2x1x4 P2P3+P5-P3P5-P2P5+P2P3P5 = 0.375 Ръ - Р2Р6 + Р2Р3Р5 = 0.375

Исходя из этих данных, можно сделать вывод, что вхождение в логическую функцию аргумента с отрицанием меняет значение веса как функции, так и самого аргумента. Так же меняются другие параметры аргумента: значимость, активность, вклад. Поскольку в данном примере логические функции небольшие, различия между значениями параметров составляют не больше 0.1, но при рассмотрении большой структуры они могут быть больше. И хотя двукратные веса для монотонной и немонотонной функций равны, полиномы, по которым они вычисляются, разные, потому для какого-нибудь иного примера их значения могут отличаться.

На основании этого можно утверждать, что, действительно, вычисление вышеупомянутых параметров аргумента для немонотонной ФАЛ не может производиться по формулам, разработанным ранее для монотонных функций [1, 2].

Заключение. Для немонотонных ФАЛ вычисление таких показателей как значимость (3) и вклад (5),(6) оказалось возможным по тем же формулам, что и для монотонных ФАЛ ((8)—(10)). Формулы для определения веса (7), приведенные в книге [2], не подходят для расчетов весов аргументов немонотонных ФАЛ, поэтому необходимы научные разработки в данной области. Активность, вычисленная по формуле (12), не учитывает элементы, входящие с отрицаниями, и не может адекватно отражать реальную «активность» элементов для немонотонных ФАЛ. Предложено определение активности (13), которое справедливо для любых ФАЛ. Введена зависимость между активностью и относительным вкладом (14). Определения двойной и двукратной булевых разностей, а также характеристик важности для двух событий, сформулированные для монотонных функций, верны и для немонотонных ФАЛ ((15), (16), (25)—(29)). Приведены формулы для вычисления двойной и двукратной булевых разностей, логического произведения, логической суммы, сложения по модулю два булевых разностей по разным аргументам, а также двукратного, двойного и суммарного весов ((17), (19)—(24), (30)-(32)).

Summary

Goropashnaya A. V. Estimation importance of arguments for non-monotonic logical functions in logic-probabilistic analisys for complex technical systems.

In logic-probabilistic theory methods of estimating weight, amount, contribution and activity are developed. These parameters show which events have strong effect on system safety. Often

evaluating of element weight - is only one possibility to know "weak point" of the structure and estimate its system safety. These methods are developed only for monotonie structures. The author tries to transfer these results of monotonie logical functions to non-monotonic investigation area: derived formulas for estimating weight, amount, contribution and activity. Also derived formulas for calculation dual and double boolean diferencies and their disjunctions, conjunctions and XOR for these functions.

Key words: safety, weight, amount, contribution, activity.

Литература

1. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 276 с.

2. Рябинин И. А., Парфёнов Ю. М. Надeжность, живучесть и безопасность корабельных электроэнергетических систем. СПб.: Изд-во Военно-морской академии, 1997. 430 с.

3. Хенли Дж. Э., Кумамото Х. Надежность технических систем и оценка риска. М.: Машиностроение, 1984. 528 с.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 7 октября 2008 г.