CC BY
14
Лапласа по времени отличаются лишь коэффициентами, константы которых характеризуют упругие и вязкие свойства физического тела и параметры преобразования Лапласа. Однако эти результаты относятся к уравнениям для решения квазистатических задач.
Дифференциальное уравнение гиперболического типа, выражающее закон изменения количества движения для вязкоупругих сред, получено в работе [11]; однако искомой величиной здесь является не скорость среды, а перемещение. Как и в данной статье, при выводе этого
уравнения конвективная составляющая субстанциальной производной из рассмотрения исключается. Гиперболическое уравнение гидродинамики в форме (24) в доступных литературных источниках не найдено.
Итак, нами показано, что уравнения гиперболического типа, описывающие нестационарные процессы переноса, как правило, эффективны для описания особенностей кратковременных (начальных или переходных) процессов, соизмеримых по длительности со временем релаксации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Монин, A.C. Статистическая гидромеханика |Текст|: В 2 ч. Ч. 1. / A.C. Монин, A.M. Яг-лом,— М.: Наука, 1965,— 640 с.
2. Баруча-Рид, А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения [Текст] / А.Т. Баруча-Рид,— М.: Наука, 1969,— 511 с.
3. Гиргидов, А.Д. Турбулентная диффузия с конечной скоростью |Текст| / А.Д. Гиргидов,— СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996,- 260 с.
4. Фок, В.А. Решение одной задачи теории диффузии методом конечных разностей и приложение его к диффузии света [Текст] / В.А. Фок // Труды Государственного оптического института, 1926,- Т. 4. № 4,- С. 1-32.
5. Лыков, A.B. Теплопроводность и диффузия [Текст] / A.B. Лыков,— М.: Гизлегпром,1941,— 252 с.
6. Лыков, A.B. Теория теплопроводности [Текст] / A.B. Лыков,— М.: Высшая школа, 1967,— 599 с.
7. Машков, А.Г. Волновые явления теплопроводности. Системно-структурный подход. [Текст] / А.Г. Машков, В.А. Бубнов, С.Ю. Бубнов,—Мн.: Навука i тэхшка, 1993,— 279 с.
8. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский,— М.: Наука, 1978,— 736 с.
9. Годунов, С.К. Уравнение математической физики |Текст| / С.К. Годунов,— М.: Наука, 1971,- 416 с.
10. Боли, Б. Теория температурных напряжений |Текст] / Б. Боли, Дж. Уэйнер,— М.: Мир, 1964,- 517 с.
11. Страхович, К.И. Гидро- и газодинамика [Текст| / К.И. Страхович,— М.: Наука, 1980,— 304 с.
УДК629.7.01 5:533.6
Е.И. Соколов
ОЦЕНКА ТЯГОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ СОПЕЛ МИКРОРАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Современные тенденции развития техники свидетельствуют о неуклонном уменьшении габаритов и веса многих технических систем. Этот процесс коснулся и космической техники. В последние годы появились проекты спутников массой от 10 кг (наноспутники) до 1 кг (пикоспут-ники) [ 1 ]. Двигатели ориентации и маневра таких спутников должны иметь малые габариты и тяги (менее 1 Н). Далее будем называть такие двигатели микроракетными (МРД).
Важнейшим элементом М РД является сопло, представляющее собой сужающийся-расширяющийся канал, преобразующий запасенную энергию рабочего тела в кинетическую энергию потока газа. На рис. 1, а приведен общий вид типичного М РД [ 1 ], дающий представление о его характерных размерах. В общей длине МРД порядка 1 мм сопло составляет примерно половину. Диаметр критического сечения равен, как правило, нескольким сотням или десяткам микрон.
б)
Г
1
1 V 3
х
о
Рис. 1. Постановка расчетной задачи: а — общий вид МРД; б — геометрическая расчетная схема;
/— стенка сопла, 2— входное сечение, 3— срез сопла; X, г— координаты, р, т — нормальное и касательное напряжения, V — скорость газа,0д — угол полураствора
Охарактеризуем сопло ракетного двигателя (РД) параметрами в его выходном сечении: числом Маха Мй; углом полураствора ©й; показателем адиабаты истекающего газа у = const, а также числом Рейнольдса
Re, =
МГо)
Здесь и далее нижним индексом (*) обозначены параметры в критическом сечении сопла, нижним нулевым индексом — параметры торможения; для газодинамических функций используются стандартные обозначения. С помощью соотношений изоэнтропического течения газа можно легко показать, что при фиксированной температуре торможения Т0 величина Re* пропорциональна р0п.
Размер сопел двигателей современных ракет-носителей космических аппаратов составляет
о
единицы метра, числа Ма» 5 и Re*~ 10 . Для таких сопел разработаны эффективные методы расчета, основанные на математической модели течения невязкой, химически реагирующей смеси газов [2]. Пограничный слой в расширяющейся части сопла является турбулентным, а его влияние на тягу РД учитывается поправками. Современные спутники массой несколько сотен килограмм имеют двигатели с характерным размером менее 0,5 м, для которых Re*~ 106. Пограничный слой в расширяющейся части сопла является ламинарным. Дальнейшее уменьшение размеров сопла РД, сопровождающееся также уменьшением величины /?0, приводит к уменьшению числа Re* до значений порядка 101. Расчет таких сопел производится как с применением уравнений Навье — Стокса [3], так и метода Монте-Карло динамики разреженного газа [4].
Вместе с тем течение в соплах с характерным числом Re*~ 105 было предметом интенсивных исследований в 1960—1970-е гг. в связи с проектированием гиперзвуковых аэродинамических труб (АДТ). При существенном отличии от сопел РД по числу Маха (значения Мпот 12 до 36,6 для гелиевой АДТ) эти сопла имеют ламинарный пограничный слой в расширяющейся части [5]. Указанное свойство позволяет использовать разработанные ранее методы расчета сопел АДТ для анализа течения в соплах МРД с параметрами, соответствующими формированию в них ламинарного пограничного слоя. Ниже такой подход применяется для оценки тяговой эффективности осесимметричного конического сопла при уменьшении его геометрических размеров и давления р0 при нулевом противодавлении рн, т. е. в космических условиях.
В общем случае полная сила, действующая на сверхзвуковую часть осесимметричного сопла заданной степени расширения, есть интеграл напряжений, действующих на его боковую поверхность »У. Вклад расширяющейся части в тягу определяется какХ-компонента этой силы (рис. 1, б):
N2 К^те-тсов©)^^
5
= 2п^г(р-тс1%©)(1г, (1)
У
где р, х — нормальное и касательное напряжения в текущей точке, @(х) — угол наклона стенки к оси X.
Классическая вариационная задача построения сверхзвуковой части сопла состоит в подборе формы его стенки, доставляющей максимум функционала (1) при зачастую противоречивых
ограничениях. Опыт решения таких задач, накопленный в процессе развития ракетной техники и обобщенный в виде законченной теории, изложен в ряде монографий. Краткое изложение теории оптимального профилирования сопел и библиографию по этому вопросу можно найти в книге [6]. Следует, однако, подчеркнуть, что все подходы к профилированию используют только первое слагаемое в выражении (1). Иными словами, в расчетах принимается во внимание только вклад давления в формирование тяги сверхзвуковой части сопла. Вклад трения учитывается эмпирическими поправками. Такой подход полностью оправдан для сопел метрового и дециметрового размерного ряда, где вклад трения в формирование тяги пренебрежимо мал.
Для определения полной тяги сопла используем закон изменения количества движения, согласно которому тяга при рн = 0 определяется путем вычисления интеграла в выходном сечении, называемом срезом сопла:
(2)
где Ба — площадь среза сопла; р, и, р— плотность, скорость и давление на срезе.
Оценим тягу сверхзвуковой части сопла при истечении в вакуум (рн = 0) идеального совершенного газа. Считая течение при 0 << 1 одномерным, преобразуем выражение (2) к следующему виду [6]:
Г = ^^ ш г(Х„) сое2 —, 2у К а' 2
(3)
17 У +1 ■
Л =-та*
2у
(4)
Для этого отнесем прирост тяги, создаваемой ею, к тяге сопла приХй = 1:
р _ р р
Р =-- = —_1.
К л
(5)
Из формул (3), (4) легко получить формулу для величины прироста тяги МРД:
Р =
Ч-Г 2
сое
2©а
(6)
Данная формула и будет служить основой дальнейшего анализа. С ее помощью можно рассчитать максимально возможный прирост тяги, который дало бы сопло бесконечной длины, расширяющее идеальный газ до ра = 0 и Хй = Хт =
у + 1
. В таблице приведены значения величи-
ны Рт = Р(Хт) для разных газов при 0Й = 0.
Зависимость максимально возможного прироста тяги МРД от показателя адиабаты истекающего газа
У 1,67 1,40 1,33 1,25 1,13
рт 0,2467 0,4256 0,5128 0,6616 1,1387
где Ха = иа/а* — коэффициент скорости в сечении ¿а, г(к) = X + Х-1 — табличная функция, т — секундный расход рабочего тела через сопло.
Последнее слагаемое представляет собой поправку на неравномерность потока в выходном сечении. Формула (3) показывает, что тяга сопла с фиксированными температурой и давлением торможения увеличивается с ростом г. Для сопла без расширяющейся сверхзвуковой части, выходное сечение которого соответствует х = 0 (рис. 1,6), тяга выражается формулой (3) при Хй = \ {га =2):
Охарактеризуем прирост тяги М РД за счет сверхзвуковой части сопла.
Для любой реальной степени расширения сопла Ба/Б* величина Ха< Хт. На рис. 2 приведены графики прироста тяги Рконических сопел для идеального газа (у = 1,40) и двух значений 0Й (пунктирные кривые). С их помощью можно оценить прирост тяги произвольной сверхзвуковой части сопла.
Подчеркнем, что область значений Л лежащих выше пунктирных кривых на рис. 2, недостижима, так как значения, задаваемые формулой (6), являются максимально возможными. Очевидно, при любом конечном числе Яе*тяга такого сопла, расширяющего поток до величи-Х
тельна в силу неограниченного роста второго слагаемого за счет бесконечного увеличения боковой поверхности. В то же время из формулы (5) легко увидеть, что с уменьшением Р вклад сужающейся части сопла в полную силу тяги возрастает.
Рассмотрим влияние уменьшения линейного масштаба на эффективность сверхзвуковой части сопел. Будем исходить из того, что в диапазоне тяг, характерных для МРД, пограничный
слой в расширяющейся части сопла является ламинарным [1].
На рис. 1, б изображены нормальное и касательное напряжения р их, действующие на элемент стенки сверхзвуковой части сопла. Осевая составляющая полной силы, действующая на сверхзвуковую часть сопла заданной степени расширения, определяется интегралом (1) и в точности равна F — F*. Для сопоставления ее со значениями, рассчитанными по формуле (6), необходимо полученную величину отнести к тяге Л, выраженной формулой (4).
х
мые для расчета интеграла (1), определяются в следующем порядке.
Исходными данными являются форма сопла (в данном случае коническая, с углом ©й), параметры торможения в камере МРД, размеры критического и выходного сечений, либо число Маха на срезе сопла. Течение вне пограничного слоя сопла считается одномерным изоэнтропическим,
рабочее тело во всем сопле — совершенным га-
у
ленные данные используются для расчета толщины вытеснения пограничного слоя по длине сопла и коррекции его формы путем «перенесения внутрь» стенки на величину 5 (I) [5]:
А*
FAH)FA М)л[х
(6)
где /¡(//) = Т0/Т№ — температурный фактор
стенки сопла; Х = Х/п ;
/,2(М) = 1,36 М2- 1,10 М-0,26.
Распределение чисел Маха в изоэнтропиче-ском ядре пересчитывается затем по эффективной площади сопла. Полученные значения М(/) вновь используются в формуле (6). Данный процесс, предложенный в статье [5], сходится за 3— 4 итерации. Окончательные значения М(А,) используются для вычисления давления в формуле (1) по изоэнтропической функции л(М). Вели-х
жении локальной автомодельное™, согласно которому напряжение трения в рассматриваемой точке определяется только параметрами течения в этой точке и не зависит от характера их изменения вдоль внешней границы пограничного
Рис. 2. Прирост тяги конических сопел МРД
в зависимости от коэффициента скорости в их сечении для двух значений угла ©а , град: 10 (а) и 20 (б), а также различных значений диаметра А, мм: 1(/), 0,1(2), 0,01 (.?).
Параметры торможения фиксированы: р0 = 2-Ю5 Па, Тй = 1500 К, у = 1,40. Пунктирные кривые соответствуют течению идеального газа
слоя. Такое предположение оправдано для сопловых течений и широко используется в инженерной практике.
х
трения, рассчитываемый по известной формуле Янга для плоской пластины в потоке сжимаемого газа [7]:
( 2 ^
,2
v у
= 0,664х
0,45 + 0,55^ + 0,09(у-1)М^>/Рг
ю-1
2
X (Re/)-°<5,
где Re; — местное число Рейнольдса;
/ — длина образующей сверхзвуковой части сопла; Tw — температура стенки.
Все параметры с индексом «да» определяются по значению числа М1 на внешней границе пограничного слоя, т. е. в изоэнтропическом ядре течения по соплу. В итоге для расчета интеграла (1) используется следующее соотношение:
N(i) = N(i -\) + n[^l) - T(/)ctg0a ] x
x|V(/)-r2(/-l)]. (7)
В зависимости от длины сверхзвуковой части для расчета использовалось 30—50 сечений по соплу. Вязкость газа принята зависящей от температуры как =(Г/
Проиллюстрируем эффект уменьшения масштаба сопла МРД на прирост тяги конкретными примерами. Сплошные кривые на рис. 2 соответствуют значениям Р, рассчитанным по формулам (7) и (4) для конических сопел при фиксированных параметрах торможения и различных значениях d*. Число Re* изменялось в пределах 1,23-105—1,23*10"\ температура стенки сопла 7; = 300 К.
Как и следовало ожидать, все кривые при конечных Re* расположены ниже пунктирных кривых, соответствующих течению идеального газа (см. рис. 2). Если кривые 7, соответствующие d* = 1 мм, монотонно возрастают, то кривые 2 и 3 имеют максимум. Такой характер изменения тяги с увеличением длины сверхзвуковой части объясняется тем, что с уменьшением Re7 вместе с Re* при прочих равных условиях увеличивается вклад напряжения трения в общую силу, действующую на стенку сопла, и второе слагаемое в выражении (1) начинает превалировать над первым. Особенно это заметно в сопле с&а = 10°, где при Re*= 1,23-103 сверхзвуковая часть сопла вообще не дает прироста тяги (кривая 3 на рис. 2, а). Данные на рис. 2 позволяют сделать вывод, что с уменьшением Re* конические сопла с большим углом полураствора дают больший прирост тяги. Этот результат противоположен известным выводам для случая идеального газа, где сопло с ©й = 0°, как видно из фор-
мулы (6), дает наибольшую тягу. Кроме того, характер кривых 1—3 показывает, что для определенного числа Re* существует оптимальная длина сверхзвуковой части, дающая наибольший прирост тяги, а при малых значениях Re* целесообразно применять сужающиеся сопла без сверхзвуковой части.
Этот вывод подтверждают расчеты (рис. 3), проведенные для сопла с заданной степенью расширения 5а/5» = 200 (число Мй = 8) при тех же определяющих параметрах и числах Re*, как на рис. 2 (обозначения те же).
Видно, что практически при всех рассмотренных значениях Re* сопло с углом полураствора 20° дает больший прирост тяги, причем при наименьшем диаметре критического сечения существует четко выраженная оптимальная длина сверхзвуковой части, соответствующая геометрическому числу Мй = 2,57.
Путем расчета функции Р(х) можно оценить эффективность различных видов топлива. Так, расчет прироста тяги сопла с параметрами: с/й = 0,001мм; @й= 10°;р0 = 106 Па; Т0= 1500 К; Т№= 300 К дает результат, приведенный на рис. 4. При использовании в качестве рабочего тела азота или воздуха максимальное значение Р— 0,026 достигается при X= 2,8, а при дальнейшем увеличении длины резко убывает. Для рабочего тела су= 1,29 и вязкостью, на порядок меньшей, чем вязкость азота, максимальное значение Р— 0,19 заметно превосходит значение для азота и достигается при X = 11, однако максимум выражен не столь резко.
Такая оценка может послужить свидетельством в пользу более глубокого подхода к выбору рабочего тела с учетом заметного роста длины, а с нею и массы сопла с большей тягой.
Как известно, при изготовлении изделий микроразмерного ряда преобладают плоскостные технологии, которые могут быть использованы и для изготовления микросопел [1]. Произведем оценку эффективности такого сопла, пользуясь разработанным методом. Пусть сопло имеет квадратное выходное сечение, две наклонные и две параллельные стенки (рис. 3, в). На основе полученных ранее результатов угол наклона стенок ©й = 10°, остальные параметры примем теми же. Величина Re* определялась по минимальному размеру (высоте) критического сечения. Очевидно, что параллельные стенки сопла не вносят вклада в создание тяги, а лишь уве-
Рис. 3. Прирост тяги конических сопел (а, б) и сопла специальной формы (в) МРД в зависимости от безразмерной длины для двух значений угла ©а, град: 10 (а, в) и 20 (б), а также различных значений диаметра А при фиксированных значениях других параметров
(соответствуют приведенным на рис. 2)
личивают общие потери на трение. Формула (1) примет в этом случае следующий вид:
{(тсов©)^, (8)
где , 52 ~~ площади наклонных и параллельных стенок, соответственно.
При определении параметров газа в изоэнт-ропическом ядре толщина вытеснения пограничного слоя на параллельных стенках в рассчитываемом сечении принималась такой же, как и на наклонных. Вычисленное значение используется далее для определения величины Р.
Результаты расчета, приведенные на рис. 3, в, свидетельствуют о весьма малом приращении тяги с увеличением длины сверхзвуковой части даже в случае идеального газа (пунктир). Расчеты, проведенные для сопла с квадратной формой критического сечения, свидетельствуют, что в исследованном диапазоне величин Яе» рост толщины пограничного слоя на параллельных стенках приводит к так называемому «запиранию» сопла. Этот эффект хорошо известен из опыта создания гиперзвуковых аэродинамических
труб. При некоторой комбинации определяющих параметров увеличение толщины вытеснения пограничного слоя приводит к уменьшению эффективного сечения сопла, что в итоге ведет к немонотонному изменению параметров изоэнт-
Рис. 4. Прирост тяги конических сопел МРД в зависимости от безразмерной длины для различных рабочих тел: воздуха (/), азота (2) и продуктов сгорания двухкомпонентного топлива (у = 1,29) (3).
Расчетные параметры: с1*= 0,001 мм; ©„ = 10°; р„ = 2-Ю6 Па, , Т„ = 1500 К, Тц. = 300 К
ропического ядра. Уменьшение числа М и скорости ведет в итоге к уменьшению количества движения в рассматриваемом сечении (см. формулу (2)) и, в итоге, к уменьшению параметра Р до нуля.
Очевидно, если искомую функцию Р представить в зависимости от площади боковой поверхности сверхзвуковой части сопла, то при малых значениях Яе* она будет иметь максимум, аналогичный наблюдаемому на рис. 2, 3. Поскольку в первом приближении вес сопла можно принять пропорциональным подобный расчет позволяет оценить параметры сопла наименьшего веса.
Укажем на ограничения предлагаемой модели.
Первое из них связано с корректностью применения одномерной модели течения в невязком ядре сопла при увеличении угла ©й. Представляется, что расширение диапазона допустимых углов полураствора сопла может быть достигнуто переходом от модели цилиндрического канала к модели сферического сверхзвукового источника.
Второе ограничение связано с относительной площадью загромождения поперечного сечения расширяющейся части, диктующего необходимость перехода от модели пограничного слоя к полным уравнениям Навье — Стокса. Так, если принять, что пограничный слой должен занимать не более половины сечения, то очевидно отсюда следует ограничение 5* < 0 ,41^.
Можно предположить, что при больших ©й пограничный слой не займет заметной части поперечного сечения потока. В этом случае становится необходимым контроль нарушения модели сплошной среды. Для этого необходимо вычислить число Кнудсена Кп как отношение длины свободного пробега, определяемого по числу Маха на границе пограничного слоя в рас-
5
Для рассматриваемого класса течений можно принять, что значение Кп < 0,1.
Применение предложенных критериев к результатам, представленным на рис. 3, подтвердило корректность используемой модели ламинарного пограничного слоя. Что касается применимости этой модели для расчета сопел бесконечной длины, то граница ее применимости в масштабе рис. 2 практически сливается с величиной Хт.
Сопоставим полученные результаты с расчетами течений в микросоплах, использующих более строгие модели. Численный расчет течения в микросоплах при значениях Яе* от 15 до 800 и ©й от 10 до 50° с использованием уравнений
Навье — Стокса [3] показал, что наибольшая
©
тери на уменьшение потерь на трение «уравновешивает» увеличение потерь на неравномерность потока. Расчет тяги сопла М РД методом
Монте-Карло при Ле* = 60 показал заметный ее ©
вано также увеличение тяги сопла с уменьшением длины сверхзвуковой части [4].
Подводя итог, отметим, что в настоящее время численные расчеты, подобные отмеченным, не составляют труда. Тем не менее, выявленные с помощью предложенной модели закономерности качественного характера отражают основные особенности рассматриваемого течения, а элементарный характер вычислений делает метод удобным инструментом для применения на предварительной стадии разработки сопел МРД.
Настоящее исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-08-00422-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Micci, М.М. Micropropulsion for small spacecraft. [Text]/М.М. Micci, A.D. Ketsdever// Progress in Astronautics and Aeronautics. Vol. 187. AIAA, Reston, VA, 2000,- 495 p.
2. Дорофеев, A.A. Основы теории тепловых ракетных двигателей. Теория, расчет и проектирование [Текст] /АЛ. Дорофеев,— 2-е изд.— М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.- 463 с.
3. Louisos, W.F. Viscous effects on performance of two-dimensional supersonic linear micronozzles
[Text] / W.F. Louisos, D.L. Hitt //Journal of Spacecraft and Rockets.— 2008.— Vol. 45.— No. 4,- P. 706-715.
4. Ketsdever, A.D. Experimental and numerical determination of micropropulsion device efficiencies at low Reynolds numbers [Text] / A.D. Ketsdever, M.T. Clabough, S.F. Gimelshein [et al.] //AIAA Journal.- 2005,- Vol. 43,- No. 3,- P. 633-641.
5. Быркин, А. П. О расчете течения газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости
