CC BY
97
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1964
Том 124
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМОЙ ЗАСЕЧКИ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
В. И. АКУЛОВ
^Представлено научным семинаром кафедр маркшейдерского дела и геодезии)
Прямая засечка имеет широкое распространение в практике. Точность засечки обычно не анализируется, что объясняется сложностью известных в литературе способов оценки точности. Так, например, при аналитическом способе средние квадратические ошибки координат пункта С (рис. 1) вычисляются по формулам:
I т3 /1\
I Щ /о\
(2)
где РКУ Ру — веса абсциссы и ординаты пункта С;
средняя квадратическая ошибка измерения угла, вес которого равен единице. Для определения весов Рхл Ру составляется система нормальных уравнений вида
[раа] ох + [pab] = 0;
[pab]bx + lpbb]by = 0.
Координаты пункта С определяются непосредственно по измеренным углам Pi и поэтому свободные члены нормальных уравнений и поправки и о у равны нулю.
Коэффициенты а и b определяются по известным формулам
__ р sin аде А __ р cos а ас
ai ~~ — > °i — ^ ;
<->ЛС ¿>АС
р sin , р cosasc а.2 — — j-( ¿?2 = -(
Sbc SBC
где «лс, авс — дирекционные углы сторон АС и ВС; Sac, Sbc ~ длины сторон АС и ВС; Р - 206265". Веса Рх и Ру равны
[Аш]
y[Pbb\ v '
Py=[Pbb-1]. (4)
7. Зак. 3863. 97
При графическом способе необходимо знать элементы среднеква-дратического эллипса погрешностей, которые вычисляются по формулам
— 2[РаЬ]
tg2?:
Л2
т
В2
W =
til;
— ([Раа] — [Pbb]) 2 [Раа] + [Pbb] +w ? 2D
[Раа] + [Pbb] — w
2D
_ 2 [Pab] - ([Раа] — [Pbb]);
D
Sin 2<pj [paa][fbb-1
cos 2cp
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
где Л7 В — большая и малая полуоси среднеквадратического эллипса
погрешностей;
cpj — дирекционный угол большой оси среднеквадратического эллипса погрешностей; D — определитель системы нормальных уравнений.
Средние квадратические ошибки координат пункта при графоаналитическом способе определяются по кривой средне-квадратических ошибок
Р2 ~ A2 cos2 в + В2 sin2 в, (10)
где Р — радиус-вектор;
0 — угол между большой осью среднеквадратического эллипса погрешностей и радиусом-векто-ром А
В статье предлагается графический способ оценки точности прямой засечки.
Для обоснования графического способа установим средние квадратические ошибки координат пункта С (рис. 1) из прямой засечки. Координаты пункта С равны
Рис. 1. Графическое определение погрешности координат при прямой засечке.
Хс = Ха +
У i
У А +
b sin sin (pt+р2: b sin p2
cos (алв -- Pi); sin (aÁfí — pj,
где é, 98
*AB
sin^ + pa)
длина и дирекционный угол твердой стороны АВ.
(11) (12)
Средние квадратические ошибки координат пункта' С без учёта ошибок твердых пунктов будут "
2 = Щр2 sin2 р2 cosЦалв + Р2) , mljb2 sin2 cos2 (алв - Pi)
P2sIn4(Pi + P2) ^ Pasln4(P.+Pa) \ ( }
2 /rajj^2 sin2 p2 sin2 Uab + p2) , т]р2 sin2 рг sin2 (алв — ft) = n p2 sin4 (p, + p2) + p2 sin4 (P, + p2) 3 (
где m^ m?2— средние квадратические ошибки измерений углов р, и р2.
Средняя квадратическая линейная ошибка положения пункта с равна _
M = ±Vml+m2y% (15) или _
М = sin2 Ра + mj sin2 Рд '/]5ач
psin2(Pi + Pa)
При равноточном измерении углов ошибка М будет
м = (]5б)
— psin2 (Pi + P-¿) ;
Обозначим
mP¿slnP,
~ Р Sin2 (Рх + р2) '
__ m^sinp! t т
гас - ± . 2,q , о \' psm2 (pi + р2)
где г вс, г ас — векторы точности сторон вс и ас соответственно. Так как
ас = вс =
¿sinS2
sin (pi + р2) b sin
sin (pt + p2)
то
. rruac /лс v
f Be = ±-Lí--; (16a)
P Sin + p2)
гас = ----. (17a)
~psin (pi + p2)
Средние квадратические ошибки координат пункта С через век^ торы точности сторон равны
ml = г\с cos2 аЛс + Лс cos2 аВс; (18)
щ = г ас sin2 а^с уве sin2 о-ве. (19)
Отсюда или
2 i 2 2,2 тх-\-ту = Гас + гвс
M = ±V г\с + г2вс'. (20) Формулы (18-, 19) запишем одной формулой, а именно
ml = г ас cos2 (а — аАс) + r|ccos2(a — авс), (21)
7*. 99
где —средняя квадратическая ошибка положения пункта по направлению с дирекционным углом а. Уравнение (21) есть уравнение кривой среднеквадратических ошибок пункта из прямой засечки, соответствующее уравнению (10). Преобразуем уравнение (21).
Функция (21) достигает максимума и минимума при а равном <pt и <р2, определяемых по формулам
tg2o = гас sin 2ссас + r%c sin 2авс а ^^
Гас COS 2аЛС + rßC cos 2авс '
T2 = Ti±90°- (23)
Обозначим
* = + Ö, (24)
аде О — угол между заданным направлением и направлением, по которому ошибка та. максимальна. Тогда уравнение (21) примет вид
ml = Л2 cos2 0 + В2 sin2 в; (25)
Л2 = где cos2 (?! — aAC) + г2вс cos2 (<Pi — «яс); (26)
в2 = rlcsin2 (ср, — авс) +г%сsin2 (<Pi — аде). (27)
Уравнение (25), как известно, выражает падэру среднеквадратиче-екого эллипса погрешностей с полуосями А, В и дирекционным углом большой оси равным ср,.
Формулы (26) и (27) можно записать так
A* = ^(M* + W); (26а)
В* = ^(М2 да); (27а)
2
U7 — r<¿AC sin 2алс + sín 2адс . (28)
sin 2?!
Дирекционный угол большой оси среднеквадратического эллипса погрешностей и величину w можно определить и графическим путем. Для этого строится квадратический полигон со стороны гАс и г%с и дирекционными углами 2аАс и 2аВс соответственно. Дирекционный угол замыкающей квадратического полигона равен 2<рь а длина замыкающей равна w.
Формулу (21) запишем так:
ml - гдСа + г2ВСа ; (216)
гаса = Где COS (а — алс); (29)
Гвса = rßC COS (а — авс), (30)
где гдеа, - проекции векторов точности сторон АС и ßC на заданное направление с дирекционным углом а.
Уравнение (25) по аналогии с уравнением (216) можно представить в виде
ml = Al + Bl; Аа = A COS (а — <р,); (31)
Ва = В cos (а - <р2), (32^
где Аа, —проекции полуосей среднеквадратического эллипса по-;
грешностей на заданное направление с дирекционным' углом а.
Необходимо отметить, что уравнения (10), (216) и (25а) выражают одну и ту же кривую, а именно, кривую среднеквадратических ошибок пункта, определенного прямой засечкой.
Пользуясь формулой (216), оценку точности прямой засечки можно легко и быстро произвести графическим способом.
Графический способ оценки точности прямой засечки выполняется в следующей последовательности.
По заданным углам ^ и на схеме определяют положение пункта С (рис. 1) относительно твердых пунктов А и В, Со схемы графическим путем находят длины сторон АС и ВС. По сторонам АС и ВС вычисляют перпендикулярные смещения пункта С относительно сторон АС и ВС по формулам
иАс-=±^; (33)
Р
ивс = ±™ЬЁ£. (34)"
р
Так, например, для пункта С (рис. 1) имеем
,, . 5 * 56•40000 ,
и ас = 1"--= -fc 54 мм\
' 206265
,, , 5-81-40000 ,
и вс = +---= ± 79 мм,
206265
где = т-н = ± 5",
40000 — знаменатель масштаба, в котором составлена схема.
На схеме в удобном масштабе откладывают перпендикулярные смещения пункта С, например, на рис. 1 перпендикулярные смещения Uас— CD' и Ubc = E'C отложены в масштабе 1 :2.
Из точек D' и Е' проводят прямые D'D и Е'Е параллельно сторонам АС и ВС до пересечения с продолжением сторон ВС и несоответственно.
Отрезки CD и СЕ, как это следует из формул (16а, 17а, 33 и 34) и построения, есть векторы точности сторон ВС и АС в масштабе, в каком отложены перпендикулярные смещения Uac и Ubc*
Для определения проекции векторов точности сторон на заданное направление с дирекционным углом а, например, на заданное направление D7E7 (рис. 1) с дирекционным углом а7, проектируем векторы точности сторон на заданное направление, получим точки D-¡ и Еч. Отр'зок CD7 откладываем на линии ЕЧЕ(Е17Х = CD7), получим точку 7]. Гипотенуза прямоугольного треугольника СЕ{1Х и есть средняя погрешность положения пункта С по направлению с дирекционным углом а7. Точку 7i радиусом С1Х сносим на линию получим две
диаметрально противоположные точки 7 и 7'. Отрезки С7 и С7*
соответствуют, как это следует из построения, средней квадратической ошибке положения пункта С по заданному направлению с дирекцион-ным углом а7 в масштабе, в каком отложены перпендикулярные смещения пункта С.
у ; Точки 7 и 7' лежат на кривой среднеквадратических ошибок пункта С. Построив для ряда заданных направлений, например через 15° . 1), считая от оси абсцисс, точки 1, 2, и т. д. аналогично точкам 7 и V и соединив их плавной кривой, получим кривую сред-.неквадратических ошибок для пункта С, Например, на рис. 1 кривая среднеквадратических ошибок построена в масштабе 1:2. .... По кривой среднеквадратических ошибок графически можно определить элементы среднеквадратического эллипса погрешностей для пункта Су т. е. большую и малую полуоси и дирекционный угол большой оси. Например, для пункта С (рис. 1) элементы среднеквадратического эллипса погрешностей равны
А =СК= ± 90 мм;
В = С Г = ± 50 мм;
= 20°
Аналитический расчет по формулам (5, 6 и 7) или (22, 26а и 27а)
дает
А - ± 91 мм; В = ± 51 мм и ^ = 20°07'.
Средние квадратические ошибки координат пункта С, соответствующие среднеквадратическим ошибкам положения пункта С по координатным осям, определяются аналогично, как для направления с ди-рекционным углом а7. Так, например, для пункта С (рис. 1) ошибки координат будут
тх = С\ = ± 87 мм; ту = С7 — ± 58 мм. Аналитический расчет по формулам (1, 2) дает
тх = + 87 мм; ту = ± 57 мм.
Из сравнения результатов оценки точности прямой засечки (рис. 1), выполненной1 графическим и аналитическим способами, видно, что предлагаемый графический способ дает хорошую сходимость с аналитическими расчетами.
Таким образом, пользуясь вектором точности сторон, можно легко и быстро для прямой засечки графическим путем найти как погрешность пункта в любом заданном направлении, так и построить кривую среднеквадратических ошибок не зная элементов среднеквадратического эллипса погрешностей.
Если пункт триангуляции IV класса определяется многократной прямой засечкой с измерением углов (рис. 2), то координаты пункта с достаточной для практической цели точностью можно вычислять по формулам
(36)
[Ру\
где X, У — координаты пункта из однократной прямой засечки; 102
Рх% Ру — веса абсциссы и ординаты пункта из однократной прямой засечки. Веса Рх и Ру равны
Я ^ —•
1 х 2 »
тх
к
2 »
(37)
(38)
где /я_0 /7гу — средние квадратические ошибки координат пункта из однократной засечки; л; — постоянное число. Ошибки тх и ту для каждой независимой однократной прямой засечки определяются рассмотренным выше графическим способом.
При равноточном измерении углов веса Рх и Ру удобнее определять по формулам
к
/й
к
Я
2 >
(39)
(40)
где - условные ошибки абсциссы и ординаты пункта из одно-
кратной прямой засечки, х
Рис. 2. Графическое определение условных ошибок координат при многократной прямой засечке.
Условные ошибки /?х и например для первой засечки АОВ (рис. 2), равны
(41)
(42) 103
где Radx, Radv — проекции условного вектора точности стороны AD на оси абсцисс и ординат;
Rbdx> R.bdy — проекции условного вектора точности стороны BD на оси абсцисс и ординат.
Условные векторы точности сторон, например для первой засечки (рис. 2), равны
Rad> = • М^оч ; (43>
sin Ф1 + Рз)
Rbd, - -^ • <44>
sin (р, + Р,,)
Условные векторы точности сторон и условные ошибки координат пункта из однократной прямой засечки определяются графическим путем.
Так, например, для определения условных векторов точности для первой засечки (рис. 2) проводим через пункт D к сторонам DA и DB перпендикулярные прямые DE$ и DF\. Циркулем сносим точки А и В на прямые DE\ и DF\. Из точек Е\ и F\ проводим прямые Е\Е} и F\FX параллельно сторонам AD и BD соответственно до пересечения с продолжением сторон BD и AD. Отрезки DE{ и DF] в масштабе схемы равны условным векторам точности сторон BD и AD, т. е.
Radx = DFx и Rbdx ~ DEX.
Условные векторы точности сторон AD и BD, т. е. отрезки DFX и DEU проектируем на координатные оси, получим проекции векторов точности сторон на координатные оси, например,
RADx = DFljc, RADy = DFíy и RBÜJC = DEljc, RBDy =
Строим два прямоугольных треугольника афхс и (рис. 2),
первый с катетами cUi=Radv и cbx — Rbdx и второй—с катетами са2 = и = RbDy . Гипотенузы указанных треугольников и будут соответствовать условным ошибкам координат пункта, а именно
RXi = a,bj; Ryi = a2b2.
Условные ошибки координат Rx и выражаются в сантиметрах или в миллиметрах. Так, например, для первой засечки (рис. 2)
RXx = ci\b\ — 67 мм, Ryi — a2b2 = 38 лог.
Условные ошибки координат пункта D из второй независимой прямой засечки BDC (рис. 2), найденные аналогичным путем, как и для первой, равны /^ = 40 мм и /?Уг = 55 мм.
Веса координат пункта D (рис. 2) из отдельных независимых засечек, вычисленные по формулам (39, 40), равны
а) из первой засечки:
к _ 1000 _
ЯУ1 = 4 = —= 0,69;
У R) 38я
б) из второй засечки:
к ^ 1000 .0,62; < 403
4==1000 =
ЯлУа 55-
Координаты пункта О из первой и второй независимых засечек (рис. 2) равны
Хй1= 1859,476 м, Уо, = 928,846 м;
Хо2 - 1859,644 ж, - 928,770 м1).
Средневзвешенные координаты пункта О, вычисленные по формулам (35) и (36), будут
Х0 = 1859,600 м;
У0 — 928,821 м.
Из строгого уравнивания координаты пункта равны
X = 1859,590 я\
У = 928,833 м.
Координаты пункта О, вычисленные как арифметическое среднее из первой и второй засечек, как это рекомендуется в „Справочнике по маркшейдерскому делу", будут
X' = 1859,560 м;
У - 928,808 м.
Из сравнения координат пункта £> видно, что средневзвешенные координаты, вычисленные по формулам (35, 36), близки к координатам из строгого уравнивания.
Выводы
1. Оценку точности прямых засечек необходимо производить графическим способом.
2. При многократной прямой засечке пункта триангуляции IV класса за окончательные координаты можно принимать средневзвешенные из отдельных независимых прямых засечек.
Веса координат пункта из отдельных засечек определяются графическим путем.
3. Пункт прямой засечкой необходимо определять с тех твердых пунктов, с которых линейная ошибка пункта, вычисленная по формуле (20), имеет минимальную величину.
*) Справочник по маркшейдерскому делу, Углетехиздат, стр. 294, 1955.
