CC BY
39
УДК 519.6 DOI: 10.20998/2411-0558.2016.21.12
М.В. СЕМАНЬШВ, канд. техн. наук, доц., ДВНЗ "Прикарпатський
нащональний ушверситет iMern Василя Стефаника", 1вано-
Франювськ
ОЦ1НКА СТАТИСТИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ
Подано результаты дослщження статистичних характеристик послщовностей псевдовипадкових чисел, що утвореш методом Галуа на основ1 цикл1чних зсув1в, за допомогою пакету статистичних теспв Diehard. Ввдзначено ефектившсть використання даного типу генератора в склад1 аналого-цифрового перетворювача Монте-Карло. 1л.: 3. Табл.: 1. Б1блюгр.: 9 назв.
Ключовi слова: псевдовипадков1 числа, оцшка статистичних характеристик систем випадкових чисел, пакет статистичних теспв Diehard.
Постановка проблеми. В прикладних задачах випадков1 числа знаходять досить широке застосування, зокрема, в област математично'1 статистики, чисельних методiв оптимiзацii, iмiтацiйному моделювання, комп'ютерного програмування, прийняття ршень i т.i. У рiзних предметних областях перед генераторами випадкових чисел стоять рiзнi вимоги. Так, в деяких завданнях моделювання важливо, щоб послщовносп випадкових чисел задовольняли рiвень складностi реалiзацii, в iнших завданнях - тести на вщсутшсть авто- та взаемно'1 кореляцп, або тести на рiвномiрнiсть. Для вирiшення рiзних завдань слiд застосовувати рiзнi генератори випадкових чисел, яю для дано'1' групи завдань е найбiльш оптимальним вибором при дотриманш першочергових вимог. На сьогодш виникае питання дослщження та порiвняння рiзних генераторiв випадкових чисел з единих позицiй. Виходом з цього положення е використання деякого стандартного набору статистичних теспв, яю об'еднаш единою методикою обчислення необхщних показникiв ефективностi генераторiв випадкових чисел i прийняття рiшення про випадковють сформованих послiдовностей.
Анал1з лггератури. В [1, 2] подано аналiз принципiв побудови i властивостi генераторiв псевдовипадкових чисел та описано методи оцшки якостi генераторiв. В [3] розкритий споаб побудови генератора Галуа на основi циклiчних зсувiв. В [4 - 6] подано результати дослщження статистичних характеристик вказаного вище генератора. Способи використання теспв Diehard i рекомендацп щодо штерпретаци отриманих результатiв висвiтлено в [7, 8]. Програмний продукт розмщений за адресою [9].
Проведений аналiз iснуючих методiв генерування випадкових чисел, складносп ix технiчноi реалiзацiй та стабшьносп iмовiрнiсних
© М.В. Семанюв, 2016
характеристик генераторiв псевдовипадкових чисел, дозволив стверджувати те, що вiдомi методи генерування характеризуются або складнютю техшчно'1 реалiзащi, або низьким рiвнем рiвномiрностi розподшу, що визначае актуальшсть розробки нових методiв генерування випадкових чисел. Слщ вiдзначити, що останшм часом все 6шьшо'1 популярностi набувають генератори псевдовипадкових чисел (ПВЧ). Генератори ПВЧ стали найважлившими елементами систем захисту, надшнють останньоi в значнш мiрi визначаеться саме властивостями використаних генераторiв. Яюсш генератори ПВЧ, будучи за своею суттю детермiнованими, мають проте практично всi властивостi реалiзацiй iстинно випадкових процесiв i устшно замiнюють 1х, оскiльки випадковим числам складно забезпечити необхщш статистичнi характеристики [1, 2].
Важливим класом псевдовипадкових послщовностей е послiдовностi, якi формуються генераторами на основi регiстрiв зсуву з лшшними зворотними зв'язками. Основними перевагами таких генераторiв е: простота апаратно'1' i програмно'1' реалiзацii; висока швидкодiя; достатньо високi статистичнi властивосп сформованих послiдовностей; можливiсть побудови на 1'х основi генераторiв, що формують послiдовнiсть довшьно!' довжини або послщовшсть псевдовипадкових чисел з довiльним законом розподшу.
На основi проведеного аналiзу складностi тех^чног реалiзацii методiв псевдовипадкового генерування як один iз ефективних запропоновано метод на базi використанням незвщних полiномiв над полем Галуа ОГ(2) [3]. Формування п-розрядних псевдовипадкових чисел (с1, С2, ..., Сп) в двiйковiй системi числення здшснюеться на основi ЦИKлiчHOГO зсуву початково! ПOCлiдOBHOCтi (р1, Ь2, ..., Ьп), утворюючи послiдовнiсть (Ь2, Ьз, ..., Ьо), причому елемент Ьо е сумою за модулем 2 добутюв вiдповiдних елементiв послiдовностi Ь1, Ь2, ..., Ьп та маски а1, а2, ..., ап, утворенох коефiцiентами незвiдного полiнома над полем Галуа. Отже,
п
С1 = Ь2, С2 = Ьз, ..., Сп = (^ Ьа )шоё2. (1)
1=1
Всi n-розряднi числа псевдовипадковоi послiдовностi трансформують у вiдлiки десятковоi системи числення. Даний метод названо методом генерування Галуа на основi ци^чних зсувiв, що легко апаратно реалiзуеться на регистрах зсуву. Перевагою даного методу е простота тех^чног реалiзацii даного генератора з допомогою репсов зсуву, що е суттевою перевагою у застосуванш даного генератора для методу статистичного моделювання Монте-Карло, зокрема для аналого-цифрого перетворення Монте-Карло [3].
Для аналого-цифрового перетворювача (АЦП) Монте-Карло на перiодi перетворення (обласп штегрування) сформують 2П значень послщовносп псевдовипадкових чисел i вiдповiдно здшснюють 2П порiвнянь, пiдраховують кiлькiсть одиниць результату порiвнянь, що е пропорцшна iнтегралу функци аналогового значення вхщного сигналу перетворення, та здiйснюють подальше штегрування значення вхщного параметру на наступнш обласп iнтегрування. Даний тип АЦП вщповщае за швидкодiею та простотою техшчно'1 реалiзацii розгортаючому АЦП, проте зi значно вищою точнютю, яка досягаеться внаслiдок застосування методу Монте-Карло. Одним зi складових елементсв АЦП, що визначае точнiсть даного пристрою, е генератор псевдовипадкових чисел. Якщо використання генератора Галуа на основi ци^чних зсувiв забезпечуе простоту техшчно'1 реалiзацii, то постае питання дослiдження статистичних характеристик послiдовностi псевдовипадкових чисел даного методу генерування.
Мета статт1 - дослщження статистичних характеристик послiдовностей псевдовипадкових чисел, що сформован генератором Галуа на основi циклiчних зсувiв за допомогою пакету тестiв Diеhard.
Досл1дження послщовностей псевдовипадкових чисел. На
сьогоднiшнiй день розроблено безлiч методiв тестування псевдовипадкових послщовностей. Вс методи тестування генераторiв ПВЧ можна роздiлити на три групи: евристичнi, графiчнi i статистичш. До евристичних тестiв належать: перевiрка швидкостi формування чисел, перевiрка перюду, тест на точнiсть визначення деяких констант методом Монте-Карло, перевiрка на криптостшкють. Данi тести дають вщносну оцiнку послiдовностям випадкових чисел. Графiчнi тести (автокореляцiйна функцiя, спектральний тест, рiвномiрнiсть розподiлу чисел i ш.) вiдображають результати у виглядi пстограм i графiкiв, що характеризують властивосп дослщжувано!' послiдовностi, але не дають кшьюсно'1 оцiнки (рис. 1). Статистичш ж тести дають можливють виконати чисельну ощнку якостi послiдовностi ПВЧ. Статистичш тести зазвичай об'еднуються в пакети тестування (серед них можна видшити тести DIEHARD, тести КВТ та ш.).
На рис. 1 графiчно зображено розподiл точок послщовносп псевдовипадкових чисел, генерованих методом Галуа на ци^чних зсувах на площиш (а) та в просторi (б).
Особливу роль в тестуванш генераторiв ПВЧ зiграли роботи Джорджа Марсалi i Дональда Кнута, якi запропонували цший набiр тестiв. Ще одним стандартним набором теспв послiдовностей ПВЧ е стандарт МБТ БТБ 800-22 Нащонального iнституту стандартизаци i технологий NIST.
Рис. 1. Розподш 12-розрядних вщлтв, генерованих методом Галуа: а - на площиш; б - в простор1
Перевагою тестiв Д. Кнута е юнування швидких алгорш^в виконання; недолiком е невизначенiсть у трактуванш результатiв та вiдсутня програмна реалiзацiя. Послiдовнiсть ПВЧ, що сформоваш запропонованим генератором Галуа на основi циклiчних зсувiв, дослiджено тестами Д. Кнута i результати опублiкованi в [4, 5]. Результати використання пакету №БТ STS, основною перевагою якого е однозначна штерпретащя результатiв, подаш в роботi [6]. Результати проведених дослiджень на визначення типу розподшу послiдовностi псевдовипадкових чисел генерованих зазначеним методом Галуа показали високу якють рiвномiрностi розподiлу.
Одним з статистичних критерiiв е оцiнка помилки вщтворення закону розподiлу дискретноi випадковоi величини. При тестуванш генераторiв ПВЧ необхщно використати якомога бiльшу кiлькiсть вщомих статистичних критерiiв, вiдшуковуючи в послщовносп ПВЧ всi можливi закономiрностi. В данш статтi подано результати дослщження
112
генератора Галуа за допомогою пакету статистичних теспв DIEHARD [7 - 9]. Diehard це raGip статистичних теспв для вимiрювання якосп набору випадкових чисел, який розглядають як один з найбшьш строгих юнуючих наборiв тестiв. Слiд вщзначити i недолiки даного програмного продукту: нема детального опису теспв i методики трактування !х результатiв, бшьшють тестiв е евристичними, проходження тесту мае тшьки два значення "так" або "ш". Тести Diehard формують на виходi числа p-значення, яю рiвномiрно розподiленi в iнтервалi [0; 1], якщо вхiдний потiк чисел дшсно випадковий. G 13 теспв в пакет Diehard, деякi з них повторюються з рiзними параметрами i вони видають 181 р-значень в цiлому Оскiльки у деяких тестах використовувались декшька наборiв параметрiв, тому обчислювалось середне арифметичне для цього тесту уах поданих p-значень. Результати проведеного тестування подано в таблиц.
Таблиця
Результати статистичного дослщження за допомогою пакету Diehard
№ Назва тесту Усереднем р-значення К-сть отриманих значень
1 Дш народження (Birthday Spacings) 0,612331 9
2 Перестановки, що перетинаються (Overlapping Permutations) 0,067450 2
3 Ранги матриць (Ranks of matrices) 0,503214 27
4 Потш бтв (The bitstream test) 0,393214 20
5 Мавпячi тести (Monkey Tests) 0,450123 32
6 Пiдрахунок одиничок (Count the 1's) 0,382041 27
7 Тест на парковку (Parking Lot Test) 0,630916 10
8 Тест на мшмальну вщстань (Minimum Distance Test) 0,563491 20
9 Тест випадкових сфер (Random Spheres Test) 0,110556 20
10 Тест стискання (The Squeeze Test) 0,400146 1
11 Тест сум, що перетинаються (Overlapping Sums Test) 0,856011 10
12 Тест послщовностей (Runs Test) 0,431583 2
13 Тест гри в кост (The Craps Test) (for no. Of wins/ for throws/game) 0,902469 1
Розподш усiх р-значень мае бути рiвномiрним на одиничному iнтервалi. Вщхилення вiд рiвномiрного розподiлу показують, що деякi з виявлених Diehard випробувань не цшком задовольняють умову тесту. Шсля сортування отриманих р-значень, побудовано графш, що показуе
вщхилення вщ X = У дiагональноi лшп отриманих р-значень (рис. 2). За допомогою дисперсп можна обчислити повне вщхилення вибiрки, але в контексп даноi статтi даш обчислення не проводились; р-значення поблизу 0 або 1 вказують на вщхилення вщ нормального розподшу. Зокрема слщ зауважити, що деякi тести мали досить велику кшьюсть параметрiв i 1х значення можна вважати вагомшими за iншi (а саме тести пщ номером № 3 - 6, № 7, 8).
р-значення
1 2 3 4 е- 1 в 9 10 11 12 13
№тесту
Рис. 2. Вщхилення р-значень вщ лши X = У
Для того, щоб мати бшьш чiтке уявлення про отриманi результати, використано позначення областей на дiапазонi [0, 1], де р-значення розподшеш. Весь цей дiапазон подiлено на три области безпечна зона, сумшвна зона, зона невдачi. Цi дшянки були визначенi наступними нерiвностями:
0 < р-значення < 0.1 або 0.9 < р-значення < 1 - попадання в зону невдачц
0,1 < р-значення < 0.25 або 0.75 < р-значення < 0,9 - попадання в сумшвну зону;
0,25 < р-значення < 0,75 - попадання в безпечну зону (рис. 3).
Рис. 3. Област розподшення отриманих р-значень
Наявшсть велико! кшькосп р-значення в безпечнш зош вказуе на те, що протестований зразок близький до хаотичносл; р-значення в зош невдач1 е показником вщхилення вщ випадковосп, проте !х кшьюсть досить мала для дослщжуваного генератора псевдовипадкових чисел.
Висновки. Проведено дослщження статистичних характеристик генерованих послщовностей за допомогою пакету статистичних теспв Diehard. Результати проведених дослщжень на визначення типу розподшу послщовносп псевдовипадкових чисел, генерованих зазначеним методом, показали високу якють випадковосп отриманих чисел. Р1вном1ршсть розпод1лу сформованих послщовностей псевдовипадкових чисел вказуе на ефектившсть використання даного генератора в склад1 аналого-цифрового перетворювача Монте-Карло. Використання методу генерування псевдовипадкових чисел Галуа на основ1 цикл1чних зсув1в дозволить регуляризувати структуру аналого-цифрового перетворювача Монте-Карло, тдвищити швидкод1ю та технолопчшсть виробництва i зменшити вартють продукту.
Список лiтератури: 1. Иванов М.А. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей / М.А. Иванов, И.В. Чугунков. - М.: Кудиц -Образ, 2003. - 240 с. 2. Donald Knuth The Art of Computer Programming, Seminumerical Algorithms / K. Donald. - Volume 2, 3rd edition, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1998. - 761 р. 3. Петришин Л. Б. Теоретичш основи перетворення форми та цифрово! обробки шформацп / Л. Б. Петришин. - К.: I3iMH МОУ, 1997. - 272 с. 4. ЛаврiвМ. В. Аналiз ефективносп застосування методiв генерування сигналiв з псевдовипадковим розподшом у системах статистичних дослщжень / М.В. Лаврiв, Л.Б. Петришин // Науковi вюп шституту менеджменту та економiки "Галицька академiя". - 1вано-Франкiвськ. - 2007. - № 2 (12). - С. 61-66. 5. Лаврiв М.В. Генератори рiвномiрно розподшених псевдовипадкових величин / М.В. Лаврiв, Л.Б. Петришин // Вюник Прикарпатського нацюнального ушверситету. Фiзика. - 2007. - Вип. 3. - С. 112-118.
115
6. Лаврiв М.В. Методи i засоби генерування псевдовипадкових сигнув Í3 рiвномiрним розподiлом та amni3 результатiв дослiдження 1х статистичних характеристик /М.В. Лаврiв, Л.Б. Петришин // 1нформацшш технологи та комп'ютерна iнженерiя. -2009. - № 2 (15). - С. 56-62. 7. Mohammed M. Alani Testing Randomness in Ciphertext of Block-Ciphers Using DieHard Tests / M. Alani Mohammed // IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security. - 2010. - Vol. 10. - № 4. - Р. 37. 8. Dirk Eddelbuettel, Physics, Duke University RDieHarder: An R interface to the DieHarder suite of Random Number Generator Tests, Initial Version as of May 2007, Rebuilt on February 20, 2014 using RDieHarder 0.1.3. 9. George Marsaglia, DIEHARD Statistical Tests: http://stat.fsu.edu/~geo/diehard.html.
References:
1. Ivanov, M.A. and Chuhunkov, I.V. (2003), Theory, Application and evaluation of quality generators pseudorandom sequences, Kudyts, Moscow, 240 p.
2. Knuth, D. (1998), The Art of Computer Programming, Seminumerical Algorithms, Vol. 2, 3rd edition, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 761 р.
3. Petryshyn, L.B. (1997), Theoretical Foundations of converting forms and digital processing, IZiMN, Kyiv, 240 p.
4. Lavriv, M.V. and Petryshyn, L.B. (2007), "Analysis of the effectiveness of methods of generating pseudo-random signal distribution systems in statistical studies", Scientific Institute of Management and Economics "Galician Academy", Vol. 2 (12), pp. 61-66.
5. Lavriv, M.V. and Petryshyn, L.B. (2007), "Generators uniformly distributed pseudorandom values", Bulletin Carpathian National University. Physics. Vol. 3, pp. 112-118.
6. Lavriv, M.V. and Petryshyn, L.B. (2009), "Methods and means for generating a pseudorandom signal with uniform distribution and analysis of the survey results of the statistical characteristics", Information technologies and computer engineering, Vol. 2 (15), pp. 56-62.
7. Mohammed, M.A. (2010), "Testing Randomness in Ciphertext of Block-Ciphers Using DieHard Tests", IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security, Vol. 10, No. 4.
8. Eddelbuettel, D. (2014), RDieHarder: An R interface to the DieHarder suite of Random Number Generator Tests, Initial Version as of May 2007, Rebuilt on February 20, 2014 using RDieHarder 0.1.3.
9. Marsaglia, G. (1999), "DIEHARD Statistical Tests", available at: http://stat.fsu.edu/~geo/diehard.html.
Надшшла (received) 31.03.2016
Статью представил д-р физ.-мат наук, проф. Прикарпатського нацюнального утверситету ím. Василя Стефаника Пилите В.М.
Semankiv Maria, Cand. Sci. Tech.
Associate Professor at the Department of Computer Science Vasyl Stefanyk Precarpathian National University Str. Shevchenko, 57, Ivano-Frankivsk, Ukraine, 76018 Tel.: (095) 469 38 58; e-mail: [email protected] ORCID ID: 0000-0002-1314-8923
УДК 519.6
Оцшка статистичних характеристик систем випадкових чисел / Семаньюв М. B. // Вюник НТУ "ХШ". CepiH: 1нформатика та моделювання. -Харкв: НТУ "ХШ". - 2016. - № 21 (1193). - С. 109 - 117.
Подано результати дослщження статистичних характеристик послщовностей псевдовипадкових чисел, що утвореш методом Галуа на 0№0Bi циклiчних зсувiв, за допомогою пакету статистичних теспв Diehard. Вiдзначено ефектившсть використання даного типу генератора в складi аналого-цифрового перетворювача Монте-Карло. 1л.: 3. Табл.: 1. Бiблiогр.: 9 назв.
Ключовi слова: псевдовипадковi числа, оцшка статистичних характеристик систем випадкових чисел, пакет статистичних тес^в Diehard.
УДК 519.6
Оценка статистических характеристик систем случайных чисел / Семанькив М. B. // Весник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2016. - № 21 (1193). - С. 109 - 117.
Представлены результаты исследования статистических характеристик последовательностей псевдослучайных чисел, образованных методом Галуа на основе циклических сдвигов, с помощью пакета статистических тестов Diehard. Отмечена эффективность использования данного типа генератора в составе аналого-цифрового преобразователя Монте-Карло. Ил.: 3. Табл.: 1. Библиогр.: 9 назв.
Ключевые слова: псевдослучайные числа, оценка статистических характеристик систем случайных чисел, пакет статистических тестов Diehard.
UDC 519.6
Assessment of statistical properties random numbers / Semankiv M. V.
// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2016. - № 21 (1193). - P. 109 -117.
Study the statistical characteristics of sequences of pseudorandom numbers is presented. Numbers ahave been formed by Galois through cyclic shifts. Research have beenconducted using statistical tests Diehard package. Efficiency of this type of generator for analog-to-digital converter Monte Carlo have been confirmed. Figs.: 3. Tabl.: 1. Refs.: 9 titles.
Keywords: pseudorandom numbers, assessment of statistical properties random numbers, statistical tests Diehard package.
