CC BY
25
УДК 002:651.928(083.73):621.039.58 Проф. В.М. Максимович, д-р техн. наук;
доц. О.1. Гарасимчук, канд. техн. наук; асист. Ю.М. КоапЫ; астр. М.М. Мандрона - НУ "Львiвська полтехтка", м. Львiв
МЕТОДИКА ОПТИМ1ЗАЦН ПАРАМЕТР1В ГЕНЕРАТОР1В ПУАССОНШСЬКИХ ШПУЛЬСНИХ ПОСЛЩОВНОСТЕЙ, ПОБУДОВАНИХ НА ОСНОВ1 Л1Н1ЙНИХ КОНГРУЕНТНИХ ГЕНЕРАТОР1В
Розроблено узагальнену методику, яка дае змогу дослщжувати параметри вихщ-ного сигналу генераторiв пуассонiвських iмпульсних послiдовностей. Цю методику можна використовувати при оптишзацп параметров генераторiв псевдовипадкових чисел, як е основою генераторов пуассонiвських ¡мпульсних послiдовностей. Подано ре-зультати моделювання генераторов пуассошвських iмпульсних послiдовностей iз рiзни-ми параметрами лiнiйного конгруентного генератора.
Ключовi слова: генератори пуассошвських iмпульсних послiдовностей, лiнiйнi конгруентнi генератори, генератори псевдовипадкових чисел.
Генератори випадкових i псевдовипадкових iмпульсних послiдовностей широко використовують у криптографií, в iмiтацiйному моделюваннi, у вимь рювальнiй техшщ, засобах зв'язку, радiолокацií тощо. Одне з важливих мiсць серед таких генераторiв займають генератори пуассонiвських шпульсних посль довностей (ГП1П), якi залежно вiд мети i сфери застосування, можуть бути ре-алiзованi як апаратними, так i програмними засобами.
У робота [1, 2] запропоновано узагальнену структуру ГП1П (рис. 1), що складаеться з генератора псевдовипадкових чисел (ГПВЧ), схеми поршняння (СП) i логiчного елемента (I).
СП
х < а
Отп
&
*ВИХ ►
Рис. 1. Узагальнена структура ГП1П
Тaктовi iмпульси проходять на вихвд ГП1П, якщо число Х на вихода ГПВЧ менше вiд керуючого коду а. Середня частота вихiдних iмпульсiв генератора визначаеться р1внянням
/вих -
а
Хтя)
■Гт ,
(1)
де: Хтах - максимальне значения Х; /Т - частота повторения тактових iмпуль-сiв.
Постановка проблеми. Якють ГП1П, тобто вiдповiднiсть статистичного розподшу в чaсi вихщних iмпульсiв пуассошвському закону, залежить вщ вибо-ру ГПЧ. У роботах [1-3] розглянуто переваги ГП1П, в основi яких е структура,
Т
наведена на рис. 1, i до^джено деяю 1х характеристики. Однак при цьому не були виргшеш таи задача
• вибiр оптимально!' юлькосп розрядiв ГПЧ для забезпечення необхщних пара-метрiв вихiдного сигналу ГП1П при розв'язаннi конкретних прикладних задач;
• взаемозв'язок параметрiв ГПВЧ i дiапазону значень керуючого коду О з частот-но-часовими параметрами вихщного сигналу;
• створення узагальнено! методики дослщження параметрiв ГП1П незалежно вщ вибору типу ГПВЧ.
З метою розв'язання цих задач ми створили узагальнену методику досль дження параметрiв вихiдного сигналу ГП1П. У цiй роботi 11 використано при побудовi ГПВЧ за алгоритмом роботи лшшного конгруентного генератора. Виклад основного матерiалу. Потiк вхндних iмпульсiв ГП1П розбиваемо на п од-накових груп, кожна з яких складаеться з гтах шпульсш (рис. 2). Максимальну кiлькiсть груп позначимо птах, а промiжок часу, що 1м вiдповiдае - Тв. Групам вхвдних iмпульсiв вiдповiдають групи вихiдних iмпульсiв з числом шпульав
к, к2
кп.
1 2 п^ -1 П^
Рис. 2. Розбиття вх1дних г вихгдних тпульсних потоюв на групи Враховуючи рiвняння (1), середню кiлькiсть вихвдних iмпульсiв у групi
можна визначити так:
к —
кс — „ imax .
х max
(2)
Пiд час дослщження статистичних параметрiв вихвдно!' 1мпульсно1 пос-лiдовностi ГП1П необхвдно:
• вибрати математичний апарат для оцшки статистичних характеристик iм-пульсного потоку, з урахуванням його розбиття на групи (рис. 2);
• вибрати оптимальт значения ¿¡¡¡¡^ i nmax залежно вiд юлькосп розрядiв ^апа-зону значень вихщного коду) вибраного ГПВЧ.
Для ощнки статистичних характеристик 1мпульсного потоку на його ввд-повiднiсть пуассонiвському закону розподшу можна скористатись такими за-лежностями. Якщо 1мпульсний випадковий попк пiдпорядковуeться закону Пуассона, то iмовiрнiсть появи рiвно k iмпульсiв за час ТВ описуеться формулою [4-6]
вд^в) — íkc77В)kе-ксТв . к!
(3)
I
T
k
к
k
к
п.... -1
Т Т Т Т
1В 1В 1В 1В
п ®
Математичне сподавання i дисперт випадково! величини, розподшено! за законом Пуассона, збiгаються i дорiвнюють
M(k) = D(k) = kc Tb . (4)
Кшьккть iмпульсiв пуассонiвського iмпульсного потоку, яка зафжсова-на за час ТВ :
а) з надшною ймовiрнiстю p=0,68 знаходиться у межах [9]
kc -jikc < k < kc + 4h:; (5)
б) з надшною ймовiрнiстю p=0,95 - у межах
kc - 2^/kc < k < kc + 2,JkC; (6)
в) з надшною ймовiрнiстю p=0,997 - у межах
kc - 3^/kC < k < kc + Зл/kc . (7)
Одним i3 вщомих оцiночних методiв для тестування псевдовипадкових послiдовностей з заданим законом розподшу е також критерiй [5-9].
У цш роботi для створення узагальнено! методики дослiдження параметров ГП1П ми будемо використовувати тальки вираз (6), вважаючи, що викорис-тання iнших математичних спiввiдношень i тестав може бути лише уточню-ючим фактором. Для обфунтування вибору оптимальних значень imax i nmax конкретизуемо тип i параметри ГПВЧ. Нехай, в якостi останнього використано лiнiйний конгруентний генератор, що працюе вiдповiдно до рекурентного рiв-няння
X+ = (aXi + b) mod m. (8)
Для забезпечення максимально можливого перiоду повторения значень Xi - m, необидно, щоб значення a, b i m вiдповiдали певним вимогам [9]. Для подальших дослiджень виберемо: a = 1366, b = 150889, m = 714025. Конкретизуемо також, для початку, значення керуючого коду - G = 10000.
У табл. 1 для рiзних значень imax визначено середньотеоретичш значення kc - кшькоста вихвдних iмпульсiв ГП1П на iитервалi ТВ. При цьому викорис-товували залежнiсть
G
kc =
m -1
(9)
отриману з (2), оскшьки при досягненнi максимально можливого перюду пов-торення ГПЧ - X max = m -1. Тут також наведено значення kH_95 i kH_95, що ввд-повiдають нижнiй i верхнш межам подвiйноí нерiвностi (6).
Табл. 1. Теоретичт параметри ГП1П при _a = 1366, b = 150889, m = 714025, G = 10000_
imax kc kH_95 kb_95
100 1.40 -0.97 3.77
1000 14.01 6.52 21.49
10000 140.05 116.38 163.72
100000 1400.51 1325.67 1475.36
1000000 14005.13 13768.44 14241.82
Результати моделювання ГП1П з визначеними вище параметрами наведено у табл. 2.
Табл. 2. Результати моделювання ГП1П при _a = 1366, b = 150889, m = 714025, G = 10000_
к95
nmax = 100 nmax = 1000 nmax = 10000
100 4 49 515
1000 3 44 419
10000 2 15 146
100000 1 7 75
1000000 0 0 0
У табл. 2, для рiзних значень imax i nmax внаслвдок моделювання, визна-чено скшьки значень к вийшли за межi (6) - к95. Теоретично, в вдеальному ви-падку, значения к95 для nmax = 100 повинно доршнювати 5, для nmax = 1000 - 50, а для nmax = 10000 - 500.
Результати, яю наведет у табл. 1, засвiдчують, що значення к95 набли-жаються до теоретичних, якщо виконуеться умова
imax ' nmax < m , (10)
що шдтверджуе висновки, виведенi у робоп [2].
Для подальших дослiджень необхщно конкретизувати значення imax i nmax. Значення nmax повинно бути достатньо великим, щоб забезпечити задо-вшьну статистику для визначення к95, але не перевершувати тi значення, яю б з урахуванням (10) призвели до зменшення imax i, таким чином, до зменшення статистично! точностi визначення окремих значень к.
Проведет дослвдження показали, що такими значеннями, з урахуванням виразу (10), можуть бути:
П = 1000, imax = Int I - I . (11)
V nmax J
Параметри ГП1П мають бути дослiдженi за рiзних значень керуючого коду G. При цьому необхщно визначити межi значень G, за яких статистичнi параметри вихщного шпульсного потоку генератора е задовшьними.
У цiй роботi нижню межу G визначено за мшмальним значенням кс, при якому за допомогою виразу (6) можна проводити статистичний аналiз iз за-довшьною точнiстю. Якщо прийняти kcmin = 10, тодi з (9) отримаемо
п ксш1п(га -1) 10(m -1)
Gmin =-:-= —:-. (12)
imax imax
Зрозумшо, що, в разi потреби, повиннi бути проведет додатковi досль дження у випадку Gmin = 1, з використанням iншого математичного апарату, зокрема виразш (3), (4) i критерда %2.
Верхня межа керуючого коду визначаеться у процес моделювання за результатами ощнки статистичних параметрiв вихiдного сигналу на вщповщшсть пуассонiвському закону розподту. Внаслщок виконання попереднiх досль джень булу прийнято
—тах = 0.1-т. (13)
На рис. 3, а наведено результати моделювання ГП1П при а = 1366, Ь = 150889, т = 714025 i керуючому кодi, що змшюеться в межах заданих рiв-няннями (12), (13). З допомогою наведеного графка можуть бути уточненi прийнятш межi значень керуючого коду. При цьому потрiбно керуватись максимально допустимим вiдхиленням значень к95 вщ теоретично визначеного, в цьому випадку вiд числа 50, оскiльки птах = 1000. Максимально допустимi вщ-хилення повиннi визначатись, своею чергою, залежно вiд конкретних приклад-них задач, що вирiшуються з допомогою ГП1П. 60
а) б)
Рис. 3. Результати моделювання ГП1П при змШ О:
а) а = 1366, Ь = 150889, т = 714025; б) а = 105, Ь = 12345, т = 230
Наступним кроком розроблено! методики е визначення частотно-часо-вих параметрiв вихщного сигналу ГП1П. Таю параметри для випадку коли а = 1366, Ь = 150889, т = 714025, для рiзних значень тактово! частоти /Т, наведено в табл. 3.
Табл. 3. Частотно-часов1 параметри ГП1П при а = 1366, Ь = 150889, т = 714025
/т[Гц] /вих^Щ /вИХтах[Гц] А/вих [Гц] Ттах[с]
1000.0 14.01 100.0 0.0014 714.0250
10000.0 140.06 1000.0 0.0140 71.4025
100000.0 1400.56 10000.0 0.1401 7.1402
1000000.0 14005.60 100000.0 1.4005 0.7140
10000000.0 140056.02 1000000.0 14.0051 0.0714
Тут /ВИХтт, /ВИХтах, А/дих - середнi значення мiнiмальноí, максимально!' i кроку змiни вихщно! частоти, визначенi з рiвнянь:
/вихтп = /т , /вихтах = ~тах /т , а/вих = ~ /т ; (14)
т т т
де: Ттах - час, що вiдповiдае птах групам тактових i вихiдних iмпульсiв (рис. 2):
'max "max
fT
(15)
При використаннi ГП1П для iмiтацií вихвдних сигналiв дозиметричних детекторiв [4], на ochobí даних табл. 3 можна отримати ввдповвдш параметри радiацiйного випромiнювання (табл. 4).
Табл. 4. Параметри вихгдних сигналгв дозиметричних детекторгв при Их ¿мгтаци за допомогою ГП1П (a = 1366, b = 150889, m = 714025)
МГц] Tmax[c] P . \мкР/ ] Pm /год] P \мкР/ ] Pmax[ /год] AP[MKУгод]
1000.0 714.0250 700.28 5000.0 0.0700
10000.0 71.4025 7002.80 50000.0 0.7003
100000.0 7.1402 70028.01 500000.0 7.0026
1000000.0 0.7140 700280.11 5000000.0 70.0256
10000000.0 0.0714 7002801.12 50000000.0 700.2556
T =
max
Тут Pm
DP - середш значения мшмально!', максимально! i кроку
змши потужносп експозицiйноí дози, визначенi з ршнянь:
/вихы
/вихш
DP =
А/вих
(16)
7 7 7
де g - чутливiсть дозиметричного детектора. У наведеному прикладi прийняте
Гц
_ МкР/год _
На рис. 3, б i в табл. 5 i 6 наведено результати дослщження ГП1П з ль ншним конгруентним ГПВЧ, при a = 105 , b = 12345, m = 230.
г тт----------------------------тттттт------тлг i. — í13if — 'у30
значення 7= 0.02
МГц] /вихЛЩ /Bfflmjrm А/вих[Гц] Tmax[c]
1000.0 0.0093 100.0 0.00000093 1073741.8240
10000.0 0.0931 1000.0 0.00000931 107374.1824
100000.0 0.9313 10000.0 0.00009313 10737.4182
1000000.0 9.3132 100000.0 0.00093132 1073.7418
10000000.0 93.1323 1000000.0 0.00931323 107.3742
Табл. 6. Параметри еихгдних сигнал1е дозиметричних детектор1е при íx 1м1таци за допомогою ГП1П (а = 105, b = 12345, m = 23")
МГц] Tmax[c] P . \мкР/ ] Pm /год] P \мкР/ ] Pmax[ /год] DP[MKУгод]
1000.0 1073741.8240 0.47 5000.0 0.00004657
10000.0 107374.1824 4.66 50000.0 0.00046566
100000.0 10737.4182 46.57 500000.0 0.00465661
1000000.0 1073.7418 465.66 5000000.0 0.04656613
10000000.0 107.3742 4656.62 50000000.0 0.46566129
Висновок. Розроблена методика може бути використана для оптишзацп параметров генераторiв пуассошвських iмпульсних послiдовностей з урахуван-ням ix прикладного застосування.
Лiтература
1. Гарасимчук О.1. Генератори пуассошвського iмпульсного потоку на 0CH0Bi генератор1в М-послiдовностей / О.1. Гарасимчук, В.М. Максимович // Вюник Национального университету "Львiвська полiтехнiка". - Сер.: "Комп'ютерна iнженерiя та iнформацiйнi технологи". - 2004. -№ 521. - С. 17-23.
2. Гарасимчук О.1. Генератори тестових iмпульсних послiдовностей для дозиметричних пристрогв / О.1. Гарасимчук, В.Б. Дудикевич, В.М. Максимович, Р.Т. Смук // Вiсник Нащональ-ного университету "Льв1вська полтехнжа". - Сер.: "Теплоенергетика. Iнженерiя довкiлля. Авто-матизацш". - 2004. - № 506. - С. 187-193.
3. Максимович В.М. Оптишзащя параметр1в генератора М-послщовностей як структурного елемента генератора пуассошвсько! 1мпульсно1 посладовност / В.М. Максимович, О.1. Гарасимчук, Ю.М. Костiв // Вюник Национального ушверситету "Львiвська полтехнжа". - Сер.: "Автоматика, вишрювання та керування". - 2011. - № 695. - С. 46-51.
4. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных даных / Дж. Бендат, А. Пирсол. - М. : Изд-во "Мир", 1989. - 540 с.
5. Бобнев М.П. Генерирование случайных сигналов / М.П. Бобнев. - Изд. 2-ое, [перераб. и доп.]. - М. : Изд-во "Энергия", 1971. - 239 с.
6. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники : учебник [для студ. ВУЗов] по спец. "Информ.-изм. техника". - Изд. 2-ое, [перераб. и доп.]. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1983. - 455 с.
7. Иванов М.А. Теория, применение и оценка качества генераторов псевдослучайных последовательностей / М.А. Иванов, И.В. Чугунков. - М. : Изд-во КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. - 240 с.
8. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. - В 3-х т. Получисленные алгоритмы : пер. с англ. - М. : Изд-во "Мир", 1977.
9. Бобало Ю.Я. Методи i засоби опрацювання вихщних сигнал1в дозиметричних детектор1в : монографш / Ю.Я. Бобало, В.Б. Дудикевич, В.М. Максимович, В.О. Хорошко, А.М. Бюик, Р.Т. Смук, Ю.Б. Сторонський. - Львiв : Вид-во НУ "Льв1вська полггехнжа", 2009. - 200 с.
Максымовыч В.Н., Гарасымчук О.И., Костив Ю.М., Мандрона М.М. Методика оптимизации параметров генераторов пуассоновских импульсных последовательностей, построенных на основе линейных конгруэнтных генераторов
Разработана обобщенная методика, позволяющая исследовать параметры выходного сигнала генераторов пуассоновских импульсных последовательностей. Данная методика может использоваться при оптимизации параметров генераторов псевдослучайных чисел, которые являются основой генераторов пуассоновских импульсных последовательностей. Представлены результаты моделирования генераторов пуассонов-ских импульсных последовательностей с различными параметрами линейного конгруэнтного генератора.
Ключевые слова: генераторы пуассоновских импульсных последовательностей, линейные конгруэнтные генераторы, генераторы псевдослучайных чисел.
Maksymovych V.M., Garasymchuk O.I., Kostiv Y.M., Mandrona M.M. Methods of optimization parameters of Poisson pulse sequences generators constructed on the basis of linear congruent generators
The generalized method, that allow to investigate parameters of Poisson pulse sequence generators output signal is work out. Method can be used for optimization of pseudorandom number generators parameters that are the basis of Poisson pulse sequence generators. The results of simulation of Poisson pulse sequence generator, with different parameters of linear congruent generator, are represented.
Keywords: Poisson pulse sequences generators, linear congruential generators, pseudorandom number generators.
