CC BY
74
УДК 519.245
ОЦЕНКА СООТВЕТСТВИЯ МЕТОДАМИ МОНТЕ-КАРЛО*
Джос Г.М. ван дер Гринтен
NMi EuroLoop
Petroleumweg 36
3196 KD Rotterdam
The Netherlands
E-mail: Jos.vandergrinten@nmi-
euroloop.nl
Алекс М. ван дер Спек
ZDOOR B.V. Sleedoornlaan 23 3053 ZN Rotterdam The Netherlands E-mail: zdoor@xs4all.nl
Оценка соответствия - это деятельность, в ходе которой определяется выполнение конкретных требований, относящихся к продукту, процессу, системе, лицу или организации. Часто оценка соответствия проводится для того, чтобы показать, что значение измеряемой величины находится в пределах (узаконенных) допустимых отклонений. В настоящее время существуют методы, позволяющие проверить соответствие допустимых отклонений заданному доверительному уровню, например 95 %. Такое испытание требует наличия суммарной неопределенности измерения и знания статистического распределения измеряемой величины. При отсутствии более точной информации предполагается, что это распределение Гаусса.
Новым в этой статье является демонстрация возможности применения методов Монте-Карло для непосредственного выполнения оценки соответствия. По новой схеме Монте-Карло образуется распределение кумулятивных вероятностей, позволяющее напрямую сравнивать (узаконенные) допустимые отклонения. Преимущество этого метода состоит в том, что нет необходимости знать тип распределения и (в худшем случае) можно избежать допущения о распределении Гаусса. Поэтому для метода Монте-Карло различие между допустимыми отклонениями и критериями допустимости немного меньше, чем для аналитических методов.
Испытание по методу Монте-Карло, применяемое для калибровки газовых счетчиков высокого давления, соответствующее максимально допустимым погрешностям Европейской директивы «Измерительные приборы» (MID), демонстрирует возможность применения этого метода на практике.
Ключевые слова: метод Монте-Карло, оценка соответствия, распределение Гаусса, калибровка, погрешность.
Введение
Оценка соответствия - это деятельность, в ходе которой определяется выполнение конкретных требований, относящихся к продукту, процессу, системе, лицу или организации. Часто оценка соответствия проводится для того, чтобы показать, что значение измеряемой величины находится в пределах (узаконенных) допустимых отклонений. В настоящее время существуют методы [3-7], позволяющие проверить соответствие допустимых отклонений заданному доверительному уровню, например 95 %. Такое испытание требует наличия суммарной неопределенности измерения и знания статистического распределения измеряемой величины. При отсутствии более точной информации предполагается, что это распределение Гаусса.
* Van der Grinten, Jos G. M., and Alex M. van der Spek "Conformity assessment using Monte Carlo methods." OIML Bulletin. Vol. LV, N 1. Jan. 2014. Рр. 5-12. Издатели журнала «Стандартные образцы» благодарят OIML Bulletin, авторов и ИМЕКО за любезное разрешение перепечатать статью в русскоязычном варианте.
Оценка суммарной неопределенности может быть проведена аналитическими методами [1] или моделированием по методу Монте-Карло [2]. При этом часто предполагается, что мы имеем дело с плотностью вероятностей Гаусса. При отсутствии точной информации о статистическом распределении измеряемой величины выбор распределения Гаусса является самым неблагоприятным вариантом аппроксимации [3, 4].
Методы Монте-Карло для оценки неопределенности зарекомендовали себя как наиболее целесообразные в тех случаях, когда между входными величинами и измеряемой величиной существует нелинейная зависимость, когда неопределенность велика по сравнению со значением величины, и входные величины можно оценить только в числах с помощью программного кода.
При проведении поверки средство измерения принимается или бракуется на основе максимально допустимых погрешностей (мдп), предусмотренных нормативными документами. На доверительный уровень этих метрологических решений влияет неопределенность измерения. Статистические методы, описанные в публикациях [3-7], подтверждают, что для проведения этих испытаний требуется основательное знание статистики.
В этом случае новый метод Монте-Карло предлагает интересную возможность: во время проведения анализа неопределенности провести статистическое испытание. Необходимо добавить только несколько строк программного кода к реализации метода Монте-Карло, для чего Институт метрологии Нидерландов разработал программное средство. Это средство использовалось для применения метода Монте-Карло на примере поверки газового счетчика высокого давления, который должен соответствовать мдп Европейской директивы «Измерительные приборы» (MID) [8, 9].
Модель градуировки
Калибровка объемного расходомера газа с высоким давлением природного газа основана на интегральном выражении закона сохранения массы, примененной к накопителю фиксированного объема V с сечением F. Увеличение массы газа в единицу времени в накопителе V равно потоку массы, проходящему через поверхность F:
dt
(1)
в котором V - вектор скорости потока газа и п - нормальный единичный вектор, перпендикулярный к поверхности F, (V ■ п) - скалярное произведение V и п, при этом принимается, что поток газа, входящий в накопитель V,
получает отрицательный знак, а поток газа, покидающий накопитель V, получает положительный знак.
Накопитель V - это объем между образцовым и испытуемым расходомером (МиТ). Поток газа входит в V через образцовые расходомеры и выходит из V через МиТ. И образцовые расходомеры, и МиТ измеряют газ в единицах объема. Накопитель V имеет толстые стальные стенки, и его объем V считается постоянным во времени. Когда газ проходит через трубопровод, скорость, умноженная на поперечное сечение, равна объемному расходу газа 0. При п параллельных образцовых расходомерах уравнение (1) можно записать в виде
Ж дг
(2)
где индекс 1 относится к поперечному сечению у образцовых расходомеров и индекс 2 относится к МиТ.
Плотность р является функцией давления р, температуры t и состава газа х:
Р = p(p, t, x).
(3)
Уравнение состояния, использованное для расчета р из р, t и состава газа х, представляет в этом примере модель АОА-8 [10], которая может обработать 21 компонент газа. Алгоритм АОА-8 оценивается в цифровом выражении.
Расход газа 0 рассчитывается из целого числа импульсов N, собранных за период времени т:
Q.-J^ О - N'
I т
Lsi
Im ^ m
(4)
где I - показатель импульсов [импульс/м3].
Калибровка проводится с целью определения отклонения ет испытуемого расходомера как функции расхода газа 0т, показанного МиТ.
е =^--1
m q2 .
(5)
В процессе калибровки ко всем известным отклонениям применяются поправки. Для образцового расходомера i отклонение е3, зависит от давления при калибровке и расхода газа 03, , показанного образцовым расходомером. Поправка на это отклонение ведет к
о =
(6)
Масса, накопленная в V во время проведения калибровки tv, определяется из объема V и плотностей
Pstart = P(Pstart> tstart,
x) в начале и pend = р(репф tend, x) в конце калибровки. Состав газа считается постоянным во время проведения калибровки tv.
Последовательная замена уравнений (3-6) в уравнении (2) ведет к
ту Pe«rf ~ Р.start Р2в т , \ Р XlQsi
из которого можно рассчитать отклонение em:
Рг*т/Г
//тТ„
(Pstart-PendW V» РЛ
■1. (8)
EL
/„Л/О
Статистическое испытание
Все статистические испытания начинаются с формулирования нулевой гипотезы Н0, которая в нашем примере состоит в том, что газовый счетчик соответствует mpe MID.
Если измеряемая величина и связанная с ней неопределенность находятся в пределах mpe, Н0 принимается. Это соответствует зеленым точкам на рис. 1. Если измеряемая величина находится на границе допустимого отклонения, имеется равная вероятность соответствия и несоответствия измеряемой величины мдп. В этом случае решение принять невозможно. Это соответствует синим точкам.
Если нулевая гипотеза Н0 не может быть принята, возможно провести испытания альтернативной гипотезы Н1, указывающей на то, что измеряемая величина выходит за допустимые пределы. Если наблюдаются красные точки, Н1 будет принята. При обнаружении синих точек Н1 должна быть отвергнута.
На рис. 1 показано, что имеется участок (синие точки), где и Н0 и Н1 не могут быть приняты.
© ©? ©
©? ©
Рис. 1. Соответствующие (зеленые) и несоответствующие (красные) измеряемые величины. Синие точки -это несоответствующие и не несоответствующие измеряемые величины
Н0 - типичная гипотеза при оценке соответствия, когда нам необходимо продемонстрировать соответствие счетчиков. Альтернативная гипотеза Н1 типична для
проверок, когда проверяющий выявляет несоответствующую продукцию, или полиция требует ограничения скорости. Более подробное обсуждение этого вопроса можно найти в [3] и [4]. Для случая с нашим газовым счетчиком мы проверим только Н0.
Метод Монте-Карло
Алгоритм Монте-Карло схематически изображен на рис. 2. Выходная величина У является функцией вектора X из N входных величин X, каждая со своей определенной функцией плотности вероятностей (PDF-у). Сейчас выбирается М испытаний, например 100 000. Рассчитываются входные оценки х, кдля у = 1..^ и выходная оценка у = /(ху). Этот процесс повторяется для каждого испытания к = 1...М. В результате образуется гистограмма с М значениями у. Значения ук располагаются в возрастающем порядке, что дает функцию кумулятивного распределения (CDF-У). Плотность распределения вероятностей (РDF-Y) получается при помощи дифференцирования CDF-Y.
Ф IPDF-2 ^ IPDF-3
И~уТ—И CDF-Y
PDF-Y
Рис. 2. Схематическое представление процесса Монте-Карло
Оценка У представляет собой у, среднее всех ук. Связанная с ней стандартная неопределенность является экспериментальной стандартной неопределенностью всех ук.
На следующем этапе будет получен 95 %-ный интервал охвата. На рис. 3 показаны упорядоченные входные оценки. Для любого значения уц вероятность, что значение У будет меньше, чем ц-я оценка у, равна М Р(У < уц) = ц/М. Для ц = 0 Р(У < уц) и для = М Р(У < уц) = 1. Интервал, охватывающий 95 % входных оценок, равен [уц,уц+о1д5М]. Это соответствует голубым клеткам на рис. 3. Индекс ц можно теперь выбрать таким образом, что интервал будет симметричен относительно у. Также возможно выбрать ц таким образом, что длина интервала [уц,уц+0,д5М] относительно у будет минимальная, что может привести к несимметричному интервалу неопределенности.
В общем случае интервал охвата между уц и укравен Р(у„ < У < ук) = (ц - к)/М.
У1 Уч У yq+0,95M Ум
Рис. 3. Входные оценки k = 1...M в возрастающем порядке. Голубые клетки представляют 95%-ный интервал охвата
У1 1 Уч У ^yq+0,95M 1 Ум
toi- tol+
1 У1 Уч У yq+0,95M Ум 1
toi- tol+
У1 Уч У yq+0,95M Ум
P
Ho
O
Ho
toi-
tol+
Рис. 4. Допустимые отклонения (красные линии) и интервалы охвата вокруг у (голубые клетки) при проверке нулевой гипотезы Н0. В верхнем и среднем рядах интервал охвата находится в пределах допустимых отклонений, и Н0 принимается. В нижнем ряду нижнее допустимое отклонение находится в интервале охвата, и Н0 отклоняется
o
У1 Уч У yq+0,95M Ум P
tol+ Hj
У1 Уч У yq+0,95M Ум P
tol+ Hj
У1 Уч У yq+0,95M Ум O
tol+ Hj
Рис. 5. Допустимые отклонения (красные линии) и интервалы охвата вокруг у (голубые клетки) при проверке альтернативной гипотезы Нь В верхнем и среднем рядах интервал охвата находится в пределах допустимых отклонений и Н принимается. В нижнем ряду нижнее допустимое отклонение находится в интервале охвата и Н отклоняется
yj
У
yq+0,95M
Ум
toi-
W
crit-
crit+
tol+ Ho
Рис. 6. Статистическое испытание с дополнительными критериями crit— и crit+. На предыдущем рисунке результат у соответствует как допустимым отклонениям toi- и tol+, так и дополнительным критериям crit- и crit+ при 95%-ном
доверительном интервале
ч
Статистические испытания с использованием метода Монте-Карло
Сейчас, когда интервал охвата установлен, для его сравнения с серией заданных допустимых отклонений используется прямой метод. Это схематически показано на рис. 4. В верхнем и среднем рядах интервал охвата находится в пределах допустимых отклонений, и нулевая гипотеза Н0 принимается. В нижнем ряду нижнее допустимое отклонение находится в интервале охвата, и Н0 отклоняется.
На основе принятия Н 0 принимается решение о соответствии счетчика требованиям тре. Применение 95 %-ного интервала охвата означает, что это
решение принимается при доверительном уровне не менее 95 %. При изменении длины интервала охвата доверительный уровень этого решения соответственно изменяется.
Аналогичным способом можно проверить альтернативную гипотезу Н1, то есть допустимые отклонения увеличиваются. Этот процесс схематически показан на рис. 5. Если 95 %-ный интервал охвата полностью превышает верхнее допустимое отклонение, ^о1+), Н1 принимается. Если нет, Н1 отклоняется.
Для целей контроля качества мы создали возможность испытания с использованием дополнительных критериев в одно и то же время.
Программное обеспечение метода Монте-Карло
Благодаря тому что ПК и ноутбуки становятся все более и более мощными, методы Монте-Карло теперь легкодоступны для метрологов. Программное обеспечение метода Монте-Карло, разработанное в Институте метрологии Нидерландов, первоначально рассматривалось как эксперимент для определения целесообразности этого метода в ежедневной метрологической практике.
Проектные решения для метода Монте-Карло (МСМ) изначально ориентированы на пользователя. Представлялось важным, чтобы МСМ могли использовать метрологи с различным уровнем квалификации. Действительно, широкое использование данного метода считалось более важным, чем скорость, безопасность или детали его реализации различного характера. Это привело нас к разработке программного обеспечения метода Монте-Карло полностью в формате Microsoft Excel.
Пользователь может осуществить моделирование по методу Монте-Карло, не программируя ни одну строку кода. Такую возможность, не всегда имеющуюся в других языках программирования, предоставляет VBA (Визуальный Бейсик для прикладных программ). VBA позволяет коду изменить себя во время выполнения программы. В этом случае набор команд использует небольшой фрагмент специального кода, который заменяет предыдущую линию кода, сохраняя формулу старой модели вместе с формулой новой модели.
Валидация
Валидация программного обеспечения крайне необходима при разработке средств программного обеспечения. Валидация имитационной модели Монте-Карло проводилась с использованием серии базовых случаев.
Десять примеров, взятых из приложений к GUM [6], были проанализированны с использованием предложенной модели Монте-Карло. По результатам анализа были получены значения неопределенности, согласующиеся в пределах 1 %.
Случаи, проанализированные численно. Это описание метода с использованием образцового расходомера для калибровок с применением воздуха, для которого численный анализ неопределенности описан в [11]. Во втором случае рассмотрели сгибание алюминиевого стержня путем приложения силы к средней части этого стержня.
Последняя часть включала сличение с НФЛ [13].
Несмотря на совершенно разное применение метода Монте-Карло, разные генераторы случайных чисел
и разный подбор ошибок (т. е. базовое число для генератора случайных чисел), результаты по неопределенности были сравнимы в пределах 0,5 %.
Поверки с использованием метода Монте-Карло
Модель калибровки была реализована в имитационной модели Монте-Карло. В табл. 1 приведены входные переменные величины и связанные с ними стандартные неопределенности. Неопределенности, перечисленные в колонке «sigma», равны корню квадратному суммы квадратов неопределенностей от прослеживаемости и условий процесса. Для прямоугольного распределения нижний и верхний пределы указаны в колонках «a» и «b». В колонке справа от табл. 1 указаны вклады неопределенности каждой входной величины в неопределенность выходной оценки. Корень квадратный суммы квадратов всех этих неопределенностей равен суммарной неопределенности, представленной на рис. 7. Цвет ячеек следует истолковывать следующим образом: чем больше вклад неопределенности, тем темнее цвет. Наиболее важным источником неопределенности является прослеживае-мость образцовых расходомеров, что характерно для метрологии расхода газа.
На рис. 7 представлена индикаторная панель имитационной модели Монте-Карло. Зеленые клетки - это ввод в имитационную модель, розовые клетки - выходные результаты. Левый красный прямоугольник включает входную оценку и связанную с ней стандартную неопределенность, поэтому отклонение испытуемого счетчика em = -0,18 %. Расширенная неопределенность равна удвоенной стандартной неопределенности, то есть 0,29 %. Верхний правый прямоугольник включает в зеленых клетках критерии (±0,25 %) и допустимые отклонения (±1 %). В розовых клетках указаны значения, связанные с функцией кумулятивного распределения (CDF). Для нижнего критерия 30,46 % полученных входных значений меньше -0,25 %. Участок между нижним и верхним критериями охватывает 69,36 % полученных значений. Нижний правый прямоугольник включает результат испытания, основанный на установленном доверительном уровне. Результат калибровки соответствует допустимым отклонениям при доверительном уровне не менее 95 %. Значение доверительного уровня может быть легко изменено без необходимости повторного проведения моделирования. Для этого случая допустимые отклонения также соблюдены при доверительном уровне 99,7 %. Если доверительный уровень установлен менее 69,36 %, результат соответс-
Mi EuroLoop Monte Carlo Simulation tool VddaDed so**.*!1 1st mte*nai uw In NWi EMftfooc- v 2.00 e NMI Зои
Project Information
Oie* HUi EupOfMO ijpiii^r.rfl rlurnttQ 2013
PVoStem descKTfwf Hqh sua ton (.ulihrd mi using ■Vjll у их cnnipvniLmi mid A<3A-fi Equnliun uf Sale Osie of avij.^b's wiMndut 17 jii НИ J
Utt.iL-^fjiii H:-i.-\isMjiy iriv^vl mesa bderee Odtpu! Шв FlanSo
PivjKMEngirvsr Jii MVi tiet Gniien r>,v MuClSlDiy Tgq nunjftir 13704
Environmental iHid other fia ram iters
<Jhi irmly UnM Value Quant) ly Jntt Value ОизпМу 1Ю11 VfLUf
ваюттпс (ressive nbai tats tjdis !t p/L-i Si'tf hnr 1 01335 Gmtdatnnxir мсеМлИ' midj' 9 В1Э1В4
Rum It i L i\l TJ ^ .'f ¡J ! LiilT ч; lb Анди im/rpanitim? ■c 0
Rt^itiKG Ты/tTtxi/iy % -15 QmjtwMH JciiTifM-Wiifu 'C 25
Output request |
floantlty Villi* Lkth QuJilfiTy Vatue Sviii mi i: ii i tiealng
Qif&it циыЛЦу у V flm? for histogrvim 101 СХИЦИ touor loi Amor ciir uRnrreiit ufnirr rti
Number Ы TnaJh too coo Ftantjnm .siwiri 664 321 1/д||» -i OD* л 1 Иь П25М tot№
flortrage mtaViV »0% ЙМ.М aiptA TRJE CDF 3 3ft +5% 93 in; да;
Output resu Its fo Quantity
у и(у|1*=1! Clf 9S [Hi С12Э5 Ji Mm 01 Maian &3 Ua>
Uttil - - - - 0 лкй P Value
Villi* -0. ifi.-. в ui4 1111% ■0.7H3S 214% 0.4ТЩ , r tduii Q.3TW
tebmlnaF ■5 ¿61". 0 111% xyrmmlrir.
-il 3 m% Gauman Oi-4 le-jei Kd% BM meet? 1*™:®
Mod e I в q и Ation N и m ber d F R о F N urn bar of MuT Number of VoL
2 O.M 1
Рис. 7. Индикаторная панель имитационной модели Монте-Карло. Левый красный прямоугольник включает входную оценку и связанную с ней стандартную неопределенность. Верхний правый прямоугольник включает в зеленых клетках критерии и допустимые отклонения, в розовых клетках указаны значения, связанные с функцией кумулятивного распределения (CDF).
Нижний правый прямоугольник включает результат испытания, основанный на установленном доверительном уровне
твует критериям и, следовательно, также допустимым отклонениям.
Функция кумулятивного распределения (CDF) и функция плотности вероятностей графически изображены на рис. 8. 95 %-ный интервал охвата равен [-0,46 5; +0,11 %]. Одни и те же значения получены с помощью аналитических средств при условии нормального распределения со средним значением -0,175 % и стандартным отклонением 0,146 %. Это логический результат, так как большинство входных распределений были признаны распределениями Гаусса.
Выводы
В статье продемонстрирована возможность применения методов Монте-Карло непосредственно для выполнения оценки соответствия, благодаря тому что в процессе Монте-Карло образуется распределение кумулятивных вероятностей, позволяющее напрямую сравнивать (узаконенные) допустимые отклонения. Преимущество этого метода состоит в том, что нет необходимости знать тип распределения и (в худшем случае) можно избежать допущения о распределении Гаусса. Поэтому для метода Монте-Карло различие между допустимыми отклонениями и критериями
допустимости немного меньше, чем для аналитических методов.
Испытание по методу Монте-Карло, применяемое для калибровки газовых счетчиков высокого давления, соответствующее mpe Европейской директивы «Измерительные приборы» (MID), демонстрирует возможность применения этого метода на практике.
Рис. 8. CDF и PDF как функция входной оценки. Левая вертикальная ось относится к CDF, правая вертикальная ось - к PDF. 95 %-ный интервал охвата отмечен двумя вертикальными линиями
Таблица 1
Входные величины (первые семь колонок) и результаты (первая справа колонка) моделирования по методу Монте-Карло
Quantity unit distribution mu sigma a b process traceability u(y)
p_11 bar Gaussian 59.875 0.00316 0.001 0.003 3.1E-05
t_11 °C Gaussian 14.12 0.06185 0.015 0.06 1.8E-04
N_s1 Rectangular 14243 14242 14244 2.5E-05
I_s1 m-3 Constant 206.5 0
tau_s1 s Gaussian 100.5035 0.00014 0.0001 0.0001 7.2E-07
e si Gaussian 0.95% 0.00200 0.20% 1.0E-03
P_12 bar Gaussian 59.884 0.00316 0.001 0.003 3.0E-05
t_12 °C Gaussian 14.06 0.06083 0.01 0.06 1.7E-04
N_s2 Rectangular 13452 13451 13453 2.6E-05
I_s2 m-3 Constant 206.5 1.95E-18
tau_s2 s Gaussian 100.5041 0.00014 0.0001 0.0001 6.8E-07
e_s2 Gaussian 0.69% 0.00200 0.20% 9.7E-04
p_start bar Gaussian 59.875 0.00361 0.002 0.003 2.2E-09
t_start °C Gaussian 14.06 0.06500 0.025 0.06 1.2E-08
p_end bar Gaussian 59.865 0.00361 0.002 0.003 2.2E-09
t_end °C Gaussian 14.12 0.06500 0.025 0.06 1.2E-08
V m3 Gaussian 15.2 0.00000 3.2E-10
tau_V s Gaussian 100.5 0.00014 0.0001 0.0001 2.4E-14
P_2 bar Gaussian 59.844 0.00316 0.001 0.003 6.1E-05
t_2 °C Gaussian 14.08 0.06083 0.01 0.06 3.5E-04
N_m Rectangular 53146 53145 53147 1.3E-05
I_m m-3 Constant 400 0
tau_m s Gaussian 100.4992 0.00014 0.0001 0.0001 1.4E-06
X1_C1 molfrac Gaussian 0.90327 0.00163 0.00157 0.00045 2.7E-08
X2_C2 molfrac Gaussian 0.04791 0.00050 0.00044 0.00024 9.2E-08
X3_C3 molfrac Gaussian 0.01297 0.00075 0.00074 0.00006 2.5E-07
X4_iC4 molfrac Gaussian 0.00191 0.00011 0.00011 0.00001 5.5E-08
X5_nC4 molfrac Gaussian 0.00276 0.00016 0.00016 0.00002 7.4E-08
X6_iC5 molfrac Gaussian 0.00063 0.00004 0.00004 0.00000 2.4E-08
X7_nC5 molfrac Gaussian 0.00054 0.00005 0.00005 0.00000 3.0E-08
X8_C6 molfrac Gaussian 0.00067 0.00091 0.00091 0.00000 6.7E-07
X9_C7 molfrac Constant 0 0
X10_C8 molfrac Constant 0 0
X11_C9 molfrac Constant 0 0
X12_C10 molfrac Constant 0 0
X13_CO2 molfrac Gaussian 0.01099 0.00018 0.00017 0.00006 1.6E-08
X14_N2 molfrac Gaussian 0.01835 0.00030 0.00029 0.00009 4.2E-08
X15_H2S molfrac Constant 0 0
X16_He molfrac Constant 0 0
X17_H2O molfrac Constant 0 0
X18_O2 molfrac Constant 0 0
X19_Ar molfrac Constant 0 0
X20_H2 molfrac Constant 0 0
X21_CO molfrac Constant 0 0
Аббревиатуры и обозначения
CDF - функция кумулятивного распределения или функция распределения
MuT - испытуемый счетчик
PDF - функция плотности вероятностей
tol+ - верхнее допустимое отклонение
tol— нижнее допустимое отклонение
H0 - нулевая гипотеза
H - альтернативная гипотеза
Индексы
1 - касается образцового расходомера
2 - касается испытуемого расходомера
(MuT)
I - ранговый номер образцового расходомера
k - ранговый номер выходных оценок у
e - отклонение [%]
I - показатель импульсов [1/m3]
N - число импульсов, подсчитанное
во время калибровки [-]
n - нормальный вектор [-]
P - вероятность [-]
p - абсолютное давление [bar]
Q - объемный расход газа [m3/h]
t - температура [°C]
М - число испытаний в моделировании
Монте-Карло т - показания испытуемого расходомера (МиТ) п - число параллельных образцовых расходомеров
V - емкость между образцовыми расхо-
домерами и MuT [m3] v - скорость потока [m/s]
Y - выходная величина y - выходная оценка
у - среднее значение выходных оценок р - плотность [kg/m3] т - интервал времени, соответствующий целому числу импульсов [s]
q - ранговый номер начала интервала охвата
V - объем накопителя между образцовыми расходомерами и МиТ
Перевод выполнен старшим инженером ФГУП «УНИИМ» Н. И. Королёвой Технический редактор И. Е. Добровинский
ЛИТЕРАТУРА
1. JCGM 100 (2008): Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement; BIPM/IEC/IFCC/ ISO/IUPAC/IUPAP/OIML (Published by the OIML as OIML G 1-100:2008).
2. JCGM 101 (2008): Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" -Propagation of distributions using a Monte Carlo method, Guide JCGM 101 (Published by the OIML as OIML G 1-101:2008).
3. Van der Grinten, J.G.M. "Confidence levels of measurement based decisions." OIML Bulletin. July 2003. Vol. XLIV. No. 3. Pp. 5-11.
4. Van der Grinten, J.G.M. "Confidence levels of measurement based decisions". Proceedings of Flomeko XIII. 13-15 May 2003. Groningen, The Netherlands.
5. Sommer, K.D., and Kochsiek, M. "Role of measurement uncertainty in deciding conformance in legal metrology." OIML Bulletin. 2002. Vol. 18, No. 2. Pp. 19-24.
6. JCGM 106 (2012): Evaluation of measurement data - The role of measurement uncertainty in conformity assessment, Guide JCGM 106 (Published by the OIML as OIML G 1 - 106: 2012).
7. OIML TC 3/SC 5 (2009): The role of measurement uncertainty in conformity assessment decisions in legal metrology, Committee Draft CD1.
8. MID (2004): Directive 2004/22/EC of the European Parliament and of the Council of 31 March 2004 on measuring instruments, Official Journal. No L 135. Pp. 1-80. URL: http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2004:135:000 1:0080:EN:PDF.
9. MID amendment (2009): Directive 2009/137/EC of 10 November 2009 amending Directive 2004/22/EC of the European Parliament and of the Council on measuring instruments in respect of exploitation of the maximum permissible errors, as regards the instrument-specific annexes MI-001 to MI-005. Official Journal. No L 294. Pp. 7-9. URL: http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/ LexUriServ.do?uri=OJ:L:2009:294:0007:0009:EN:PDF.
10. AGA 8 (1992): Compressibility factors of natural gas and other related hydrocarbon fluids, by K.E. Starling and J.L. Savidge, AGA Transmission Measurement Committee Report No. 8, American Petroleum Institute MPMS Chapter 14.2, 2nd edition 1992, 2nd printing 1994, Catalog No. XQ9212.
11. Van der Grinten, J.G.M. "Validation of the Monte Carlo Simulation tool" NMi internal report. Nov. 2008.
12. Van der Grinten, J.G.M. "A comparison of the methods for uncertainty analysis based on ISO 5168 and the guide prepared by ISO/ TAG4/WG3", in: Proceedings of the Flomeko '94, Flow Measurement in the mid 90's, June 1994, NEL, East Kilbride, Scotland.
13. Harris, P. "Oral communications." NPL, Teddington, Sept. 2008.
CONFORMITY ASSESSMENT USING MONTE CARLO METHODS
Jos G. M. van der Grinten and Alex M. van der Spek
Conformity assessment is the activity to determine whether specified requirements relating to a product, process, system, person or body are fulfilled. Often measurements are used to show that the measurand is within (legal) tolerances. Currently analytical methods are available to test whether tolerances are met with a preset level of confidence, e.g. 95%. The test requires the availability of the overall measurement uncertainty and the statistical distribution of the measurand. In absence of better information this distribution is assumed to be Gaussian.
The new point in this paper is that Monte Carlo methods can be applied directly to perform the conformity assessment. The reason is that the Monte Carlo process generates the cumulative distribution, whereby the (legal) tolerances can be compared directly. The advantage of this process is that the type of distribution does not need to be known and the (worst case) assumption of the distribution being Gaussian can be avoided. Consequently, for a Monte Carlo method the difference between tolerances and acceptance criteria is slightly smaller than for analytical methods.
A test of the Monte Carlo method applied to a calibration of a high-pressure gasmeter meeting MID tolerances demonstrates the applicability of the method in practice.
