CC BY
25
УДК 517.988
ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ФИЛЬТРОВАНИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА
В.М. Рогов, А. А. Нестер, С.П. Демчик
Статья посвящена исследованиям фильтрования водных травильных растворов, отработанных растворов гальванических цехов. В статье рассматриваются вопросы моделирования процессов фильтрации растворов травления печатных плат. Создание модели предполагает дальнейшие работы по созданию автоматизированных линий травления, базирующихся на математическом описании процессов фильтрования отработанных растворов.
Ключевые слова: фильтрование, ленгмюровский тип, детерминированный или стохастический закон.
Фильтрование через пористые среды есть одним из наиболее эффективных способов решения разнообразных проблем, связанных с изъятием из жидкостей зависших и коллоидных частичек, а также примесей молекулярной и ионной степени дисперсности. Распространенность этих процессов обеспечивает значительный экономический эффект даже при малом повышении к.к.д. фильтров. Тем не менее не достигнуто заметного прогресса в данном направлении. Поэтому приведена оценка сложности задач теории фильтрования и применение математических методов анализа для их решения.
Постановка проблемы. При восстановлении водных растворов которые используются в процессах изготовления печатных плат и создании малоотходних процессов использования водных ресурсов, необходимо постоянное фильтрование растворов. Фильтрование через пористые среды есть одним из наиболее сложных и распространенных технологических процессов. В общем случае примесные частички жидкости, которая фильтруется, отличаются по физико-химическим свойствам, могут взаимодействовать и превращаться, их концентрация на входе в фильтр изменяется за детерминированным или стохастичним законом. Загрузка фильтров неоднородная, сменной геометрии, с управляемыми внешними полями свойствами. Вероятность захвата примесных частичек загрузкой и отрыва частичек осадка зависит от поля локальных скоростей потока, а также от соотношения проточных и застойных зон. Скорость фильтрования изменяется по закону, который подлежит определению. В фильтровое пространство и в середину загрузки вводятся реагенты, которые ускоряют агрегацию примесных частичек, используются модифицированные загрузки, и т.п. Вищеперечисленого достаточно, чтобы сделать вывод о не меньшей сложности процессов фильтрования, чем процессы, которые исследуются разнообразными областями фундаментальной науки на стыке (гидромеха-
ника, гидродинамика, гидравлика, физическая и коллоидная химия и т.п.). Тем не менее в отличие от этих областей теория фильтрования развита явным образом недостаточно и должна, как однозначно свидетельствует опыт фундаментальной науки, пройти все соответствующие этапы фильтрования, в частности, иметь обобщенную математическую модель, которая учитывала бы основные свойства процессов фильтрования. С широким внедрением компьютерной техники и соответствующего математического обеспечения коренным образом изменилось самое понятие инженерных расчетов, по крайней мере оно перестало быть синонимом простейших, главным образом, арифметических операций. Достаточная компьютерная образованность большинства научных работников разрешает качественно повысить уровень теоретических исследований пригодных для непосредственных практических расчетов с использованием типичного математического обеспечения компьютерной техники и готовых специализированных программ.
Анализ последних исследований и публикаций. Анализ патентной и научно-технической литературы показал, что вопросами фильтрования отработанных водных растворов вплотную не занимаются. Известные лишь отдельные теоретические работы в которых анализируются частные случаи теории процессов фильтрования через пористые среды со сменной скоростью режима [1].
Выделение нерешенных прежде частей общей проблемы. Учитывая, что подавляющее большинство работ по проблемам фильтрования являются экспериментальными первоочередной задачей нужно считать: расширение области применимости известных математических моделей, установление в рамках проведенных обобщений соответствующих закономерностей масопереноса, введение обобщенной модели. Это даст возможность создать високоадекватные математические и компьютерные модели реальных фильтров и применяя методы математического анализа максимально повысить их к.п.д. относительно конкретных условий фильтрования. Учитывая большие объемы жидкостей, которые фильтруются, использованных при этом фильтрующих материалов, их относительно высокую стоимость, размеры материальных потерь через недостаточно эффективное очищение технологических жидкостей в разных областях промышленности и прежде всего в энергетике, масштабы существующих и возможных экологических проблем, явным образом недостаточно развитую теорию процессов фильтрования можно утверждать, что моделирование процессов фильтрования через пористые среды есть чрезвычайно актуальным.
Постановка задачи. Процессы фильтрования через пористые среды в достаточно общих случаях чрезвычайно сложные. Действительно, в частности, концентрация примесных частичек на входе фильтра может изменяться за детерминированным или стохастичним законом, свойства за-
грузки зависят от времени и координаты в направлении фильтрования, загрузка фильтра может быть неоднородной, сменной геометрии, с зависимыми от времени свойствами и с некоторым начальным распределением осадка, скорость фильтрования также может зависеть от времени.
Очевидно, подобные сложные условия фильтрования не могут описываться классическими математическими моделями и нуждаются, как минимум, в их обобщении или введении новых моделей.
Изложение основного материала исследования. Известные лишь одиночные попытки описания работы фильтров со сложными законами функционирования в сложных технологических условиях эксплуатации. В частности, влияние зависимости пористости загрузки от плотности его насыщения осадком р на эволюцию процессов фильтрования в рамках модели ленгмюровського типа рассматривался в работе [3], где приведены ее асимптотичные решения; зависимости кинетического коэффициента от р -в работах [2, 3, 6, 7]; закон изменения входной концентрации и начального распределения осадка в загрузке - в работе [5].
Статистическая интерпретация линейной модели фильтрования [4] и анализ ее связи с нелинейной моделью ленгмюровського типа [5], позволяют утверждать, что масоперенос в фильтрах в случае жидкостей, примесные частички которых не взаимодействуют, в вышеуказанных условиях описывается следующей системой уравнений
рг + v(x, г )ох = 0,
р, =Ь(х, г )С - р,
е(х, г)
(1) (2)
С|х=0 = Со(гI р|г=0 =ро(х) (3)
где г - время; х - координата вдоль фильтра (о < х < Ь, Ь - высота загрузки); С (х,г) и р(х, г)- концентрации соответственно примесных частичек, зависших в жидкости, которая фильтруется, и частичек осадка; С0 - концентрация зависших примесных частичек на входе фильтра; ро (г)- предельная плотность насыщения загрузки осадком; рн (х) - начальное распределение осадка в загрузке; V - скорость фильтрования, Р(г) - кинетический коэффициент.
Научный уровень любых специальных исследований всегда "сверху" ограничен возможностями фундаментальных математических методов. Поэтому поскольку система (1)-(3) многократно более сложная всех известных математических моделей процессов фильтрования, то оценить уровень сложности задач, которые возникают в теории фильтрования и наметить возможные методы их решения целесообразно относительно именно к ней.
Исключая из системы (1), (2) функцию С получим следующее эквивалентное ей нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно концентрации осадка р
a
Р xt +-Р x + 1 e
b bx
V
b
Pt +
v e y x
x
eb
P = 0.
(4)
Здесь зависимость е от р считается известной. В частности, в случае несжимаемых осадков е = е о (1 - кр), к = (ео у о )-1 [6].
Дифференциальное уравнение для определения предельного условия р|^=о находим из уравнения (2) и предельного условия (3) для С, а
именно
Р x =
x=0
Ро (0)+ J b 0
Co(t)exp
x=0
J
о v e У
dq
x=0
dt
exp
t
J
0 v e У
dt
x=0
. (5)
Форма записи уравнений для концентраций С и р, а также дополнительных условий выбрана таким образом, чтобы они переходили при e = const в соответствующие уравнения и дополнительные условия для линейной модели- наиболее известной модели в теории фильтрования.
Итак, задача нахождения концентрации р из системы (1)-(3) эквивалентна задаче ее нахождения из уравнения (4) при дополнительных условиях (3) (для р) и (5).
Найти концентрацию С можно из уравнения (1), тогда
x
С (x, t ) = Cq (t)-J
ptdx v(x', t)'
(6)
или из уравнения (2.2) по формуле
С (x, t):
1
b(x, t)
Pt +
a p e
(7)
Формально концентрация С может быть найдена и из системы (1) -(3) путем исключения функции р , если зависимость е от р известна. Тем не менее это значительно более сложная процедура, чем ее нахождение по формулам (6) - (7). Действительно, относительно функции С система (1) -(3) эквивалентна уравнению
сх1
ev
v +
'ev^
v a yt
Cx+£c,+ a
v ev
С = о,
v a yt
(8)
0
с дополнительными условиями
С\х=0 = С0 (гС1
г=0
Со (0)+ I Ро И
а
8У
X
г=0
X ехр
/ /
Л^рл
I
V 0 V V V
ёх
г=0
ёх
ехр
1
0 V ^ /
ёх
г=0
(9)
В уравнении (8) зависимость е от р должна быть представлена в виде зависимости е от С, для чего необходимо предварительно решить уравнение (2) с использованием условий (3) и найти р как функцию от С.
Интегральное уравнение для определения начального условия С^=0, см. (9), полученное из системы (1) - (3).
Общего метода аналитического решения нелинейного уравнения (4) с дополнительными условиями (3), (5) и нелинейного уравнения (8) с дополнительными условиями (9) не существует. По этой причине в дальнейшем нужно перейти на более низкий уровень всеобщности, а именно на уровень обобщенной нелинейной модели ленгмюровського типа [1], когда
в системе (1) - (3) (~/ е) = а/(1 - Ар), где к = (е0у0 )-1.
В данном случае уравнение (4) приобретает вид
Р хг +
ар,
(1 - Ар)2
р р
х
V
р
Рг +
а
+ (акх - ахк)р арх
^ = 0. (10)
1 - Ар
1 - Ар р
Начальное условие (3) для р при этом остается без перемен, а в предельном условии (5) нужно учитывать, что пористость загрузки равняется е = е0 (1 - Ар).
Соответственно, исключая из системы (1), (2) концентрацию р, даже в предположении, которое кг = 0 (во многих случаях это имеет место) получим все еще исключительно сложное нелинейное уравнение
Схг +
* - * + а + 2кр С +
V
а а
а
к V , р 1 (
+-Сх +-Сг + -(р
/
Сх + 2kv
1 +
кр С
а
С2 +
г
а
р)С = 0.
(11)
а V V
В дополнительных условиях (9) для данного уравнения, очевидно, также необходимо учесть независимость к от г .
Учитывая сложность нелинейных уравнений (10), (11) и современное состояние теории дифференциальных уравнений можно сделать вывод, который в общем случае уровень обобщенной нелинейной модели лен-гмюровського типа также недоступен для аналитического решения задач теории фильтрования. Поэтому, без дополнительных ограничений, в частности, на вид функций С и р, уровень всеобщности модели (1)-(3) натя-
0
нуто должен быть снижен по крайней мере к уровню классической модели ленгмюровського типа. На этом уровни всеобщности, по крайней мере, два класса задач фильтрования становятся доступными для аналитического решения. Один из них, который описывается асимптотическими решениями модели ленгмюровського типа уже упоминался [1]. Второй касается процессов масопереноса в фильтрах того же типа в случае малых изменений пористости загрузки на протяжении фильтроцикла.
Проведенный анализ целиком согласовывается с фундаментальным законом, согласно которому получение информации об одних величинах, которые описывают достаточно сложную систему, обязательно связано с потерей информации относительно других. (В квантовой механике этот закон называется принципом дополнительности Бора и объясняется влиянием измерительного прибора на состояние микрообъекта). Относительно задач фильтрования он может быть сформулирован следующим образом: чем более сложная математическая модель, т.е. чем большее число факторов учитывается, и поэтому она есть более адекватной реальным процессам, тем более узкий круг задач может быть разрешимым в пределах этой модели в аналитическом виде при применении одних и тех же методов математического анализа.
Выводы. Проведенный в статье анализ возможностей аналитического решения сложных задач фильтрования целиком согласовывается с фундаментальным законом, согласно которому получение информации об одних величинах, которые описывают достаточно сложную систему, обязательно связано с потерей информации относительно других. Относительно задач фильтрования он может быть сформулирован следующим образом: чем более сложна математическая модель, т.е. чем большее число факторов учитывается, и поэтому она есть более адекватной реальным процессам тем более узкий круг задач может быть разрешимым в пределах этой модели в аналитическом виде при применении одних и тех же методов математического анализа.
Перспективы дальнейших исследований. Дальнейшие исследования должны быть направлении на анализ разрешимости следующей важной технологической задачи: по какому закону должна изменяться скорость фильтрования, чтобы объем фильтрата удовлетворительного качества, которое получается за время защитного действия фильтра был максимальным.
Список литературы
1. Аюкаев Р.И., Грабовский П.А., Ларкина Г.М. Пути интенсификации работы фильтровальных сооружений // Химия и технол. воды. Т.13. N11. 1991. С. 1042-1047.
2. Веницианов Э.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. М.: Наука, 1983. 237 с.
3. Жужиков З.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. М.: Химия, 1980. 400 с.
4. Избаш С.В. Фильтрационные деформации грунта // Изв. НИИГ. Т. 10. 1933. С. 189 - 218.
5. Малиновская Т.А., Кобринский И.А., Кирсанов О.С., Рейфарт В.В. Разделение суспензий в химической промышленности. М.: Химия, I983. 263 с.
6. Mochanka Sh. S. Multilayer filtration // J. Amer. Water Works Assoc. V. 61, № 10. 1969. P. 504-511.
7. Deb A. K. Theory of sand filtration. // Journal of the Sanitary Engineering Division. № 3. 1969. P. 399 - 423.
Рогов Владимир Михайлович, д-р техн. наук, проф., vladim_rogov@mail.ru, Украина, Ровно, Ровенский филиал Европейского университета,
Нестер Анатолий Антонович, канд. техн. наук, доц., nester111@yandex.ru, Украина, Хмельницкий, Хмельницкий национальный университет,
Демчик Светлана Петровна, канд. физ.-мат. наук, доц., nester111@yandex.ru, Украина, Ровно, Ровенский государственный гуманитарный университет
ASSESSMENT OF COMPLEXITY OF PROBLEMS IN FILTRA TION THEORY AND APPLICATION OF MATHEMATICAL ANALYSIS METHODS
V.M. Rogov, A.A. Nester, S.P. Demchik
The article is devoted to research of filtration of aqueous etching solutions, waste solutions of electroplating shops. The paper represents modeling filtration processes of etching solutions used for printed circuit boards. Creating model assumes further developing automatic etching lines basing on mathematical description ofprocesses for filtrating used solutions.
Key words: filtration, Langmuir type, deterministic and stochastic law.
Rogov Vladimir Mihajlovich, doctor of technical sciences, professor, vladim rogov@mail.ru, Ukraine, Rivne, Rivne branch of European university,
Nester Anatolij Antonovich, candidate of technical sciences, docent, nester111@yandex.ru, Ukraine, Khmelnitsky, Khmelnitsky National University,
Demchik Svetlana Petrovna, candidate of physical and mathematical sciences, docent, nester111@yandex. ru, Украина, Rivne, Rivne State Humanities University
