Математическое моделирование работы скорых фильтров* Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

УДК 628.16.067.1 : 551.5.001.57

М.Д. НОСКОВ, докт. физ.-мат. наук, профессор,

М. С. ЗАЙЦЕВА,

А.Д. ИСТОМИН, канд. физ.-мат. наук, доцент,

СГТА, Северск,

О.Д. ЛУКАШЕВИЧ, докт. техн. наук, профессор,

ТГАСУ, Томск

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ СКОРЫХ ФИЛЬТРОВ*

Предложена комплексная математическая модель фильтрационной очистки воды от механических примесей с помощью скорого фильтра с пористой загрузкой. На основе модели создано программное обеспечение для персонального компьютера, позволяющее рассчитывать работу фильтров. Определены закономерности, связывающие кольматацию пространства пор с ростом гидравлического сопротивления фильтра. Созданная модель может быть использована для проведения теоретических исследований и оптимизации процессов фильтрационной очистки воды.

Фильтрование является завершающим процессом очистки природных и сточных вод при использовании наиболее широко применяемых технологических схем. Наибольшее распространение на водопроводных сооружениях получили скорые открытые фильтры и напорные фильтры с зернистой загрузкой, как относительно простые в обращении, долговечные, позволяющие обеспечить требуемое количество и качество обработанной воды. Применяются также контактные осветлители АКХ, установки типа «Струя», фильтры с двухступенчатым фильтрованием, самотечные и напорные объемного фильтрования, пленочные медленные фильтры.

Оптимизация процесса фильтрования - важная прикладная задача, для решения которой необходимы разработка и совершенствование теоретических основ фильтрации. Наиболее известными авторами работ, посвященных теоретическим аспектам фильтрования при очистке вод, являются Д.М. Минц [1], В.З. Мельцер [2, 3], Р.И. Аюкаев [4], А.М. Фоминых [5], Е.В. Венецианов [6], М.Г. Журба [7], Е.Д. Бабенков [8, 9], В. Мацкрле, К. Айвес [10] и др. В их работах по-разному рассматриваются действие сил адгезии, процессы захвата и удержания взвеси в фильтрующем слое, даются алгоритмы оценки свойств фильтрующих материалов, предлагаются методики инженерных расчетов фильтровальных сооружений на основе упрощенных полуэмпирических моделей. Серьезно проработанные физические модели течения жидкостей, суспензий через пористые среды предложены в работах [11-14].

В настоящей работе представлена комплексная математическая модель фильтрационной очистки воды от механических примесей с помощью скорого фильтра с пористой загрузкой. В отличие от существующих динамических моделей в представленной модели детально рассматриваются изменения в пористой среде, связанные с постепенным накоплением осадка в процессе фильтрования.

* Работа поддержана грантом РФФИ № 06-01-00073-а.

© М.Д. Носков, М.С. Зайцева, А.Д. Истомин, О. Д. Лукашевич, 2008

Модель самосогласованно описывает напорную фильтрацию жидкости, перенос мелких частиц примесей с потоком жидкости, прилипание и отрыв частиц примесей от поверхности зерен загрузки, изменение пористости и проницаемости пористой среды с учетом их взаимосвязи. В модели развивается метод вложенных континуумов, предложенный в работе [13] для описания динамики многофазных сред. Рассматриваемая система представляется в виде совокупности следующих частей (в скобках приведен номер части системы): зерна загрузки фильтра (0); подвижная жидкость (1); взвешенные частицы примесей, перемещающиеся вместе с потоком жидкости (2); неподвижная жидкость, связанная с осевшими частицами (3), и неподвижные частицы примесей, осевшие в межзерновом пространстве (4), что показано на рис. 1.

3 2 10

Рис. 1. Схема строения пористой среды:

0 - зерна загрузки фильтра; 1 - подвижная жидкость, находящаяся в проточных порах; 2 - взвешенные частицы примесей, перемещающиеся вместе с потоком жидкости; 3 - неподвижная жидкость, связанная с осевшими частицами; 4 - неподвижные частицы примесей, осевшие в межзерновом пространстве

Состояние элементарного объема системы определяется частями (объемными долями 5ф) порового пространства —пор, занимаемыми частями системы Ф:

V*.

Sф= -ф-, (Ф = 1...4), (1)

пор

где —ф - объем части системы Ф. В совокупности все части системы (подвижная жидкость, находящаяся в проточных порах; взвешенные частицы примесей, перемещающиеся вместе с потоком жидкости; неподвижная жидкость, связанная с осевшими частицами; неподвижные частицы примесей, осевшие в межзерновом пространстве) полностью заполняют поровое пространство:

I 5ф = 1.

ф=1

Движение жидкости и находящихся в ней частиц определяется суммарной скоростью фильтрации суспензии и (объем суспензии, проходящий через единичную поверхность, расположенную перпендикулярно потоку за еди-

ницу времени). Суммарная скорость фильтрации связана со скоростями частей системы соотношением и = и + и2 (и - скорость фильтрации жидкости; и2 - скорость фильтрации взвешенных частиц). Под скоростью фильтрации и2 понимается объем частиц, проходящий через единичную поверхность, расположенную перпендикулярно потоку, за единицу времени. В модели предполагается, что жидкость и примеси не сжимаются. В этом случае суммарная скорость фильтрации удовлетворяет уравнению сохранения объема:

| = 0. (2)

ШУ ( О ) =

Скорость движения частиц в потоке принимается равной действительной скорости жидкости. Связь между суммарной скоростью фильтрации суспензии и скоростями частей системы имеет вид

Оф =^^О, (Ф = 1, 2), (3)

$ + 1^2

где $1 и $2 - доли порового пространства, занимаемые подвижной жидкостью, находящейся в проточных порах $1, и взвешенными частицами примесей, перемещающимися вместе с потоком жидкости $2.

Скорость фильтрации суспензии и в проточных порах определяется законом Дарси [11, 12]:

- к (3, $4)

О = - 3 V §гаар, (4)

Ц(ф)

где к ($3, $4) - проницаемость среды ($3 - неподвижной жидкости, связанной с осевшими частицами, $4 - неподвижных частиц примесей, осевших в межзерно-вом пространстве ц(ф) - вязкость суспензии, зависящая от объемной доли

взвешенных частиц

ф =

$1 + $2 )

; Р - давление. Вязкость суспензии увеличи-

вается с ростом содержания взвешенных частиц. Для описания зависимости вязкости от объемной доли взвешенных частиц принимается формула [14]:

М'(ф) = Мв +5 ф ^, (5)

где цв - вязкость воды.

Осаждение частиц примесей в порах приводит к уменьшению объема проточных пор, в которых находится подвижная жидкость, и к изменению конфигурации поровых каналов. Эти процессы приводят к снижению проницаемости среды к. Для описания зависимости проницаемости от величины проточной пористости существуют различные функциональные зависимости, обзор которых представлен в монографиях [11, 12]. В данной модели используется эмпирическая зависимость вида [12]:

к = ко (1 -V$3 + $4 ), (6)

где к0 - начальная проницаемость пористой среды в отсутствие осадка.

Отложения, накапливающиеся в поровом пространстве вокруг зерен загрузки, образуют характерную для геля рыхлую сетчатую структуру, которая является весьма непрочной. Под влиянием гидродинамических сил, возникающих при движении воды, структура отложений разрушается, и некоторая часть ранее прилипших частиц отрывается от зерен в виде мелких хлопьев. Таким образом, в рассматриваемой системе имеют место два противоположно направленных процесса: осаждение и отрыв частиц и, соответственно, два потока частиц примесей. Осаждение частиц примесей описывается плотностью потока кольматации ./2,4, (объем частиц примесей, осевших в единице объема среды за единицу времени). В качестве первого приближения можно принять, что плотность потока кольматации прямо пропорциональна объемной доле частиц ф в подвижной части системы:

32,4 =а-ф, (7)

где а = аж +аО - параметр скорости оседания частиц в межзерновом пространстве. Коэффициент ая определяет скорость статического оседания в результате действия гравитационных сил и броуновского движения частиц примеси. Коэффициент а^ связывает скорость оседания со скоростью фильтрации. Отрыв удерживаемых в межзерновом пространстве частиц описывается плотностью потока суффозии 34,2 (объем частиц примесей, перешедших в подвижное состояние в единице объема среды за единицу времени). Плотность потока суффозии возрастает с увеличением объемной доли $4 накопившегося к данному моменту времени осадка:

34,2 =Р$4, (8)

где Р = Р,5 + в^ |ёга^ - параметр скорости подъема частиц из межзернового

пространства. Коэффициент Р^ определяет скорость подъема в результате броуновского движения. Коэффициент Ря связывает скорость подъема с градиентом давления.

Осевшие хлопьевидные частицы имеют рыхлую структуру и содержат значительное количество жидкости. Пористость в осадка определяется соотношением

в = —^. (9)

$3 + $4

В настоящей модели пористость осадка считается постоянной. Осаждение и отрыв частиц приводят к переводу жидкости из подвижного состояния в неподвижное, и наоборот. Плотность потока жидкости из подвижной части

1 в неподвижную 3 принимается пропорциональной разности потоков коль-матации и суффозии (см. рис. 1):

31,3 = 1 ( 32,4 - 34,2 ) . (10)

1 -В 4 7

Таким образом, система уравнений, определяющая изменение объемных долей $Ф и распределение давления Р вдоль фильтра, записывается в виде

то~^ = -div ( -<P)U )-Ju, m0 = _div ^) - J2’4 + J42 ’

(11)

(12)

(13)

m —- = J - J

о Д. 2,4 17 4,2’

dt

(14)

(15)

где т0 - пористость загрузки в отсутствии кольматации; t - время.

На основе предложенной модели разработана программа, позволяющая проводить компьютерное исследование процесса фильтрования воды и особенностей накопления осадка в фильтре при различных параметрах модели и условиях фильтрования (исходных концентрациях примесей, скоростях фильтрации, размерах зерен фильтрующей загрузки). Результаты проведенных численных экспериментов показывают, что характер осаждения примеси и накопления осадка в фильтре определяется соотношением между характерным временем прохождения суспензии через фильтр ти = Lm / U и характерным временем кольматации тк = 1/а. Если ти << тк, то накопление осадка происходит практически равномерно по длине фильтра. Снижение концентрации примеси в фильтрате незначительно по сравнению с исходным значением ф0. В момент прохождения суспензии через фильтр (t = ти) отношение объемной концентрации примеси фоШ в фильтрате к концентрации ф0 на входе в фильтр определяется формулой Фш/Ф0 = ехР (-aLm/U) . Затем, по мере накопления осадка в фильтре, снижается эффективность фильтрования, и концентрация примеси фоШ в фильтрате возрастает до входного значения ф0. Очистка воды от примеси происходит более эффективно, когда тк << ти. В этом случае происходит постепенное продвижение области накопления осадка вдоль фильтра в направлении потока жидкости. Этому режиму в работе уделяется основное внимание, поскольку он является наиболее интересным как с научной, так и с практической точек зрения.

Общие закономерности фильтрования рассматривались на примере ступени фильтра длиной L = 0,4 м. В качестве исходных данных были использованы результаты эксперимента, проведенного на лабораторной фильтровальной установке. Послойно измеряли концентрацию загрязнителей при скоростях потока воды, содержащей примеси, 6, 8, 10, 12 и 14 м/ч. Объемная доля (объемная концентрация) взвешенных частиц на входе в фильтр составляла ф0 = 5-10- . В начальном состоянии осадок в фильтре отсутствовал, и поровая вода не содержала примесей (SI = 1, S2 = S3 = S4 = 0). Вычислительные эксперименты проводились для скоростей фильтрации U - 6, 8, 10, 12 и 14 м/ч при следующих параметрах модели: as = 0,35 с-1; ad = 22,523 с-1; ps = 105 с-1;

Pd = 5,696-10 10 с-1; в = 0,996; h = 560 мкм2; т{) = 0,35.

После подачи воды, содержащей примеси, накопление осадка происходит в первых по потоку слоях фильтрующей загрузки. По мере закупоривания межзернового пространства (достижения предельного насыщения) граница области отложений перемещается в направлении потока, рис. 2.

Расстояние, м

Рис. 2. Распределение объемной доли осадка £3 + Б4 вдоль фильтра в различные моменты времени Г (и = 10 м/ч). Г = 16,5 часа соответствует десятикратному возрастанию начального давления (Рс = 10Р0). Г = 42,2 часа соответствует моменту времени, при котором концентрация примесей в фильтрате фс = 0,01-ф0

Максимальная объемная доля пор, занимаемых осадком, определяется равенством потоков кольматации и суффозии уравнения (7), (8) соостветст-венно ^2,4 = -/4,2 : (3 + £4)тах =аф0/в(1 -в). Максимальная доля, занимаемая осевшими частицами примесей, меньше максимальной объемной доли осадка вследствие его пористости и равна (4 )тах =аф0/в. Концентрация примесей в этой области постоянна и равна концентрации взвешенных частиц на входе в фильтр ф0, рис. 3. Максимальная интенсивность осаждения примесей наблюдается на фронте области накопления осадка. В этой зоне происходит значительное снижение концентрации примесей. Зона осаждения расширяется с увеличением скорости движения жидкости и уменьшением параметров а6. и а^ скорости оседания частиц.

Образование осадка приводит к уменьшению проницаемости среды. Минимальное значение проницаемости в области предельного насыщения

определяется выражением ктш = к0 (1 -д/аф0/в(1 -в)) . При фильтрации с

постоянной скоростью снижение проницаемости приводит к росту абсолютной величины градиента давления. Распределения проницаемости и давления вдоль фильтра в различные моменты времени показаны на рис. 4 и 5 соответ-

ственно. При продвижении области отложений к выходу из фильтра возрастает давление, необходимое для поддержания постоянной скорости фильтрации, и увеличивается концентрация примесей в фильтрате, рис. 6. Максимальное

давление Ртах =( + 0,4Ф0 ))/(1 ^аФ^ Р(1 -в) ) (Р0 - начальное давление)

достигается, когда насыщенность пористой загрузки осадком равняется предельному значению (3 + ^4 )тах по всей длине фильтра. Концентрация примесей на выходе из фильтра в этот момент практически равняется входной ф0.

Расстояние, м

Рис. 3. Распределение объемной концентрации примесей в суспензии ф вдоль фильтра (и = 10 м/ч). Г = 16,5 часа (Рс = 10Р0) и Г = 42,2 часа (фс = 0,01-ф0)

А 5 часов

Расстояние, м

Рис. 4. Распределение проницаемости вдоль фильтра (и = 10 м/ч). Г = 16,5 часа (Рс = 10Р0) и Г = 42,2 часа (фс = 0,01-ф0)

Расстояние, м

Рис. 5. Распределение давления вдоль фильтра (и = 10 м/ч). Г = 16,5 часа (Рс = 10Р0) и Г = 42,2 часа (фс = 0,01-ф0)

Рис. 6. Зависимость от времени давления Р и объемной концентрации ф примесей в фильтрате (и = 10 м/ч). Г = 16,5 часа (Рс = 10Р0) и Г = 42,2 часа (фс = 0,01-ф0)

Возможны две причины прекращения фильтрационной очистки воды. Фильтрование может прекратиться в результате того, что давление достигает предельной критической величины Рс. Другой причиной является превышение концентрации примесей в фильтрате заданного порогового значения фс. На основе анализа результатов компьютерного моделирования были получены характеристики работы фильтра при различных скоростях фильтрации в случаях прекращения фильтрования из-за обеих причин. В первой серии вычислительных экспериментов фильтрация прекращалась при десятикратном возрастании давления (Рс = 10Р0), во второй серии - когда концентрация примесей в фильтрате превышала одну сотую концентрации взвешенных частиц на входе в фильтр (фс = 0,01ф0). В случае прекращения фильтрации из-за возрастания давления время работы фильтра уменьшалось, а объем профильтро-

ванной жидкости, грязеёмкость фильтра (отношение массы осадка к объему фильтра) и объемная концентрация примесей в фильтрате на момент прекращения работы фильтра возрастали при увеличении скорости фильтрации, рис. 7 и 8. Когда фильтрация прекращалась из-за повышения концентрации примесей в фильтрате, объем профильтрованной жидкости, время работы и грязеёмкость фильтра уменьшались, а давление на момент прекращения работы фильтра незначительно повышалось при увеличении скорости фильтрации, рис. 9 и 10. Сравнение данных, представленных на рис. 7-10, показывает, что в первом случае объем профильтрованной жидкости, время работы и гря-зеёмкость фильтра, а также давление на момент прекращения фильтрации в несколько раз меньше соответствующих величин для второго случая. Полученные результаты объясняются тем, что достижение критического давления происходит, когда только насыщенность пористой загрузки осадком достигает предельного значения во входной части фильтра размером Ь0. Если минимальное значение проницаемости кт1П в области предельного насыщения много меньше начального значения кт1П << к0, то размер Ь0 области насыщения фильтра осадком может быть приближенно рассчитан по формуле Ь0 = РсЬ/Ртлх. В рассматриваемой серии экспериментов величина Ь0 увеличивалась от 0,06 до 0,12 м при повышении скорости фильтрации и от 6 до 14 м/ч. Увеличением Ь0 обусловлено увеличение грязеёмкости фильтра с ростом скорости фильтрации в первой серии экспериментов. В случае прекращения фильтрации из-за повышения концентрации примесей в фильтрате насыщенность пористой загрузки осадком приближается к предельному значению в большей части фильтра. Увеличение ширины зоны осаждения с ростом скорости движения жидкости приводит к уменьшению размера Ь0 области насыщения фильтра осадком и соответствующему снижению грязеёмкости фильтра при повышении скорости фильтрации и.

Скорость, м/ч

Рис. 7. Зависимости времени работы фильтра и объема профильтрованной жидкости от скорости фильтрации в случае прекращения фильтрации из-за возрастания давления (Рс = 10Р0)

а

н

о

ю

О

Скорость, м/ч

Рис. 8. Зависимости грязеемкости фильтра и объемной концентрации примесей в фильтре от скорости фильтрации в случае прекращения фильтрации из-за возрастания давления (Рс = 10-Рс)

о

т

8

Скорость, м/ч

Рис. 9. Зависимости времени работы фильтра и давления от скорости фильтрации в случае прекращения фильтрования из-за повышения концентрации примесей в фильтрате (фс = 0,01-ф0)

4,0-.

£ 2,5-Й -

$ 2,0-

3,5-

3,0-

о

о

грязеемктсть фильтра

тбъем пртфильтртвтннтй жидктсти

Рис. 10. Зависимости грязеемкости фильтра и объема профильтрованной жидкости от скорости фильтрации в случае прекращения фильтрования из-за повышения концентрации примесей в фильтрате (фс = 0,01 •ф0)

Разработанная математическая модель описывает основные закономерности фильтрования воды и накопления осадка в фильтре. На основе модели создано программное обеспечение, позволяющее прогнозировать характеристики фильтров. Установлены корреляционные зависимости кольматации по-рового пространства и роста гидравлического сопротивления фильтра. Соответствие результатов компьютерного моделирования литературным и полученным авторами экспериментальным данным подтверждает правильность описания фильтрационной очистки воды. Параметры модели имеют ясную физическую интерпретацию. Созданная модель предназначена для проведения теоретических исследований фильтрования воды и оптимизации расчетов скорых фильтров.

1. Минц, Д.М. Теоретические основы технологии очистки воды / Д.М. Минц. - М. : Изд-во литературы по строительству, 1964. - 156 с.

2. Мельцер, В.З. Исследование гидравлического сопротивления водоочистных зернистых фильтров в процессе кольматации: автореф. дис. ... канд. техн. наук. - М., 1971. - 20 с.

3. Мельцер, В.З. Фильтровальные сооружения в коммунальном водоснабжении / В.З. Мельцер. - М. : Стройиздат, 1995. - 176 с.

4. Аюкаев, Р.И. Производство и применение фильтрующих материалов для очистки воды / Р.И. Аюкаев, В.З. Мельцер. - Л. : Стройиздат, 1985. - 120 с.

5. Фоминых, А.М. Технологическое моделирование и расчет фильтров / А.М. Фоминых // Водоснабжение и санитарная техника. ВСТ. - 1980. - № 12. - С. 4-6.

6. Венецианов, Е.В. Динамика процессов очистки растворов сорбцией и фильтрованием: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - М., 1986. - 48 с.

7. Журба, М.Г. Очистка воды на зернистых фильтрах / М.Г. Журба. - Львов : Вища школа, 1980. - 200 с.

8. Бабенков, Е.Д. Роль структурообразования в процессе фильтрационного осветления воды / Е.Д. Бабенков // Химия и технология воды. - 1982. - Т. 4. - № 1. - С. 35-39.

9. Бабенков, Е.Д. Закономерности «прорывной» фильтрации / Е.Д. Бабенков // Химия и технология воды. - 1982. - Т. 4. - № 2. - С. 120-126.

10. Yves, K.Y. Filtration: the Significant of theory / K.Y. Yves // Inst. of Water Engineering. -1971. - № 1. - P. 13-20.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

11. Шейдеггер, А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды / А.Э. Шейдеггер. -М. : Гостоптехиздат, 1960. - 250 с.

12. Шехтман, Ю.М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий / Ю.М. Шехтман. -М. : Изд-во АН СССР, 1961. - 212 с.

13. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1 / Р.И. Нигматулин. - М. : Наука ГРФМИ, 1987. - 359 с.

14. Урьев, Н.Б. Текучесть суспензий и порошков / Н.Б. Урьев, А.А. Потанин. - М. : Химия, 1992. - 256 с.

М.Б. NOSKOV, M.S. ZAITSEVA, AD. ISTOMIN, О.Б. LUKASHEVICH

MATHEMATICAL MODELLING OF BUTTERFLY FILTER WORK

A mathematical model of filtrational water decontamination from mechanical impurities by butterfly filter is presented in the paper. On the basis of the model the software is created, allowing to calculate filter operation. Relation of the porous media mudding with the growth of the filter hydraulic resistance is determined. The created model can be used for carrying out the theoretical investigation and optimization of filtrational water treatment.