CC BY
10
УДК 519.866
Н. И. Клемашев1, А. А. Шананин2
1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Оценка сложности проверки гипотезы о временном
__и
диктаторе с положительно-однороднои функцией
полезности
Доказана NP-полнота непараметрического теста для модели временного диктатора с несколькими диктаторами с положительно-однородными функциями полезности.
Ключевые слова: рационализируемость, NP-полнота, непараметрический тест, временный диктатор, торговая статистика.
N. I. Klemashev1, A. A. Shananin2
1Lomonosov Moscow State University 2Moscow Institute of Physics and Technology (state university)
Estimating the complexity of testing the hypothesis of temporal dictator with positively homogeneous utility
functions
We prove NP-completeness of a nonparametric test for the model of temporal dictator with several dictators with positively homogeneous utility functions.
Key words: rationalability, NP-completeness, nonparametric test, temporal dictator, trade statistics.
1. Введение
В паретовской теории потребительского спроса постулируется, что рациональный потребитель выбирает такой набор товаров для потребления, при котором его функция полезности достигает максимума при выполнении бюджетного ограничения. В [1] предложен подход к построению индексов потребительских цен, учитывающий изменение спроса при изменении цен, основанный на паретовской теории потребительского спроса.
Исходной информацией для построения экономических индексов является торговая статистика, представляющая собой набор цен и агрегированных объёмов потребления в некоторые периоды времени. Предложенный в [1] подход применим только тогда, когда торговая статистика согласуется с паретовской теорией потребительского спроса или, другими словами, торговая статистика рационализируема в некотором классе функций полезности. Принятое в теории экономических индексов требование их положительной однородности накладывает дополнительное требование положительной однородности на функции полезности. Получаемые при этом индексы называются индексами Конюса-Дивизиа.
В рамках теории выявленного предпочтения в работах [2-5] были предложены критерии полиномиальной сложности для проверки согласованности торговой статистики с па-ретовской теорией потребительского спроса. В частности, были предложены критерии для проверки рационализируемости в классе положительно-однородных функций полезности. В работах [5,6] был предложен непараметрический метод построения индексов Конюса-Дивизиа, основанный на теории выявленного предпочтения.
Результаты численных экспериментов, представленные в [7-10], показывают, что на практике торговые статистики даже для большого числа товаров могут оказаться нераци-онализируемыми в классе положительно-однородных функций. Чтобы иметь возможность говорить о степени нерационализируемости торговой статистики, в работах [6,11-19] были предложены различные количественные показатели, характеризующие степень нарушения условий рационализируемости.
Рационализируемость торговой статистики может нарушаться из-за ошибок в исходных данных. В этом случае для построения индексов Конюса-Дивизиа следует использовать обобщённый непараметрический метод (см. [16]).
Другой причиной нарушения условий может служить неоднородность общества. Если общество состоит из нескольких социальных классов, то их совокупное поведение может не описываться моделью одного репрезентативного потребителя. В этом случае следует строить не один, а несколько индексов, соответствующих отдельным социальным классам. Поскольку априорно количество социальных классов неизвестно, а индексы строятся для агрегированного описания изменений в экономике, возникает задача о поиске минимального числа социальных классов, торговые статистики которых рационализируемы в классе положительно-однородных функций. Связь минимального числа социальных классов с классом дифференциальной формы обратных функций спроса была исследована в [20].
В работе [21] была исследована бюджетная статистика1 домашних хозяйств Великобритании. Совокупная торговая статистика оказалась нерационализируемой в классе положительно-однородных функций полезности. Однако удалось выделить два социальных класса, торговые статистики которых рационализируемы в классе положительно-однородных функций полезности.
Бюджетная статистика доступна не всегда, поэтому актуальной является задача о построении минимального количества социальных классов с рационализируемыми торговыми статистиками по торговой статистике всего общества. Разработкой непараметрических критериев согласованности торговой статистики с моделью нескольких репрезентативных потребителей занимались в работах [22-24]. В отличие от модели с одним репрезентативным потребителем, предложенные в этих работах алгоритмы имеют экспоненциальную сложность. В работе [25] доказывается КР-полнота задачи проверки согласованности торговой статистики с моделью двух репрезентативных потребителей.
Частным случаем модели с двумя репрезентативными потребителями является модель временного диктатора (см. [22]), согласно которой в каждый момент времени только один из социальных классов принимает решение о совокупном потреблении. В неопубликованной работе Р. Деба2 доказывается КР-полнота задачи о проверке согласованности торговой статистики с моделью временного диктатора для двух и более диктаторов.
Все вышеупомянутые работы по разработке критериев согласованности торговой статистики с моделью нескольких репрезентативных потребителей не накладывают требования положительной однородности функций полезности. Результаты численных экспериментов, представленные в работе [26], показывают, что торговые статистики наугад выбранных товарных групп с высокой вероятностью рационализируемы не положительно-однородными функциями полезности. С другой стороны, вероятность рационализируемости торговой статистики наугад выбранной товарной группы в классе положительно-однородных функций оказывается низкой. Эти результаты показывают, что выявление содержательных и интересных для анализа товарных групп невозможно без требования положительной однородности функций полезности.
В данной работе рассматривается модель временного диктатора с положительно-однородными функциями полезности. Доказывается КР-полнота задачи проверки согласованности торговой статистики с такой моделью для двух и более диктаторов.
бюджетная статистика - набор цен и объёмов потребления отдельных классов домашних хозяйств.
2Работа доступна по URL: https://www.economics.utoronto.ca/debrahul/files/Collective_Model.pdf.
2. Основные определения и теоремы
Обозначим через М™ множество т-мерных векторов с неотрицательными элементами, а множество т-мерных векторов с положительными элементами через М™+. Скалярное произведение двух векторов X и У будем обозначать через (X, У).
Определение 1. Торговой статистикой товарной группы из т товаров называется конечный набор {(Р\Хг)}Т= 1 векторов цен Р1 € М^ и объёмов потребления X1 € М™\{0}.
Определение 2. Говорят, что функция Р рационализирует торговую статистику {(Р \Х *)}]= 1, если для любого £ € {1,... ,Т}
Р(X) < ^(X*) УХ € М™ \ {0} : (Р\ X) < (Р\ Xь).
Обозначим множество всех непрерывных, ненасыщаемых3, монотонных, вогнутых, положительно-однородных функций через Фи.
Определение 3. Торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 рационализируема в классе функций из Фи, если существует функция Р € Фи, рационализирующая эту торговую статистику.
Определение 4. Торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 согласуется с моделью временного диктатора с К диктаторами с положительно-однородными функциями полезности, если существуют функции Р1,Р2,..., Рк из множества Фи, такие что для каждого £ € {1,... ,Т} существует к € {1,..., К}, такое что
Рк(X) < ^(X*) УХь € М™ \ {0} : (Р\ X) < (Рь, Хь).
Определение 5. Торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}Т=1 удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения, если для любого к ^ 1, для любых индексов Ь1,Ь2,... ,Ьк из {1,..., Т} выполнено
(Р*1 ,Х*2 )(Р*2 ,ХЬ'3)... (Р*к ,Х*1) ^ (Р*1 ,Х*1 )(Р*2 ,Х*2)... (Р*к ,ХЬк).
Проверить, удовлетворяет ли торговая статистика однородной сильной аксиоме, можно за полиномиальное время с помощью алгоритма Варшалла-Флойда [4,5].
Теорема 1 (Африата-Вериана, [11,16]). Следующие свойства торговой статистики эквивалентны:
1) торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 рационализируема в классе функций из Фи;
2) торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 удовлетворяет однородной сильной аксиоме;
3) существует 'решение (А^ ..., Хт) > 0 системы линейных неравенств
К(РТ,Х*) ^ \г{Р\Хг), = 1,...,Р; (1)
4) функция вида
^ (X) = шт{Хг(Р\ X )\ £ €{1,..., Т}}, где Х1 > 0,..., Хт > 0 удовлетворяют (1), рационализирует торговую статистику
{(р *,х *)}Т=1.
3Функция называется ненасыщаемой, если у неё нет глобального максимума.
Из теоремы Африата-Вериана следует, что торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 согласуется с моделью временного диктатора с К диктаторами с положительно-однородными функциями полезности тогда и только тогда, когда множество {1,... ,Т} можно разбить на К непересекающихся подмножеств Ц,..., Тк, таких что торговые статистики
{(Р*,Х%еТ1,..., {(Р*,Х*)Ьетк
удовлетворяют однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения. Сформулируем основной результат статьи.
Предложение 1. Задача проверки согласованности торговой статистики {(Р \Х *)}%= 1 с моделью временного диктатора с К диктаторами с положительно-однородными функциями полезности при К ^ 2 является МР-полной. Доказательство предложения 1 приводится в следующем разделе.
3. Доказательство основного результата
Рассмотрим три задачи.
Задача ЮАР(К). Заданы ориентированный граф С = (V, Е) размера Т и натуральное число К ^ 2. Требуется определить, существует ли разбиение множества V на в ^ К непересекающихся множеств У1,... ,У3, такое что для любого ] (] = 1, в) подграф С} = (V}, Е}), порождённый вершинами из V}, не содержит циклов.
Задача WAP(K). Заданы взвешенный граф О = (V, Е) размера Т с матрицей весов Ш € МтхТ, причём ■Шц = 0 для всех £ (£ = 1,Т), и натуральное число К ^ 2. Требуется определить, существует ли разбиение множества V на в ^ К непересекающихся множеств У1,..., У3, такое что для любого ] (] = 1, в) подграф С} = (V}, Е}), порождённый вершинами из V}, не содержит циклов отрицательной длины.
Задача HARP(K). Заданы торговая статистика {(РЬ,ХЬ)}^=1 и натуральное число К ^ 2. Требуется определить, существует ли разбиение множества {1,...,Т} на 8 ^ К непересекающихся множеств 71,..., , такое что для любого ] (] = 1, в) торговая статистика {(Рг,Х удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения.
Задача БЛР(^) называется задачей ациклического разбиения ориентированного графа.
Очевидно, что задача ИЛИР(^) принадлежит классу КР, поскольку её можно решить, перебирая всевозможные разбиения и проверяя правильность каждого, а проверить правильность одного разбиения можно за полиномиальное время с помощью алгоритма Варшалла-Флойда.
Доказательство основного результата строится следующем образом. Мы сводим задачу БЛР(К) к задаче WAP(K), тем самым доказывая КР-полноту задачи WAP(K), а затем сводим задачу WAP(K) к задаче НЛИР(К).
КР-полнота задачи БЛР(К) для К ^ 2 утверждается в [27] (стр. 193), однако доказательство не приводится. Доказательство КР-полноты задачи БЛР(2) можно найти, например, в [28]. Нам не удалось найти доказательства КР-полноты задачи БЛР(К) для К ^ 3, поэтому мы приводим это доказательство в данной статье.
Предложение 2. Задача БЛР(К) для К ^ 3 является МР-полной.
Доказательство. Рассмотрим задачу раскраски графа к К цветов.
СОЬ(К). Заданы граф С(У,Е), натуральное число К ^ 3. Требуется определить, существует ли правильная вершинная раскраска графа С в К цветов.
КР-полнота задачи СОЬ(К) для К ^ 3 доказана в [29].
Задача БЛР(^) принадлежит классу КР, поскольку она может быть решена перебором всевозможных разбиений множества V на К непересекающихся подмножеств, а проверка ацикличности графов, порождённых заданным разбиением множества вершин, может быть выполнена за полиномиальное время.
Сведём задачу СОЬ(К) к задаче БЛР(К) для К ^ 3.
Пусть есть граф С(У,Е), натуральное число К ^ 3. Построим ориентированный граф С следующим образом. Рассмотрим множество вершин
К = {С1, . . .,Ск}.
Эти вершины соответствуют цветам раскраски графа. Зададим множество рёбер, соединяющих вершины из Ус друг с другом следующим образом:
Ее = {(сг,с3)}\ г,з = 1;к,г = з}.
Таким образом, граф (Ус,Ес) является полным.
Каждая вершина с, € Ус соединяется со всеми вершинами из множества V. Обозначим множество соответствующих рёбер через Е,:
Е3 = {(с,,у) \ V € V}.
Каждому ребру в графе С соответствует пара рёбер в графе С:
Е' = и{щгю}еЕ{(и,ь), (ь,и)}.
Граф С задаётся следующим образом:
У = V и Ус, Е = Е и Ес и Е' и {иК=1 Е,) , <5 = (V, Е).
Пусть функция f : V ^ {1,..., К} задаёт правильную раскраску графа С. Тогда множества
V = {с, }и{^ € V \ /(у)= 3 } задают разбиение множества вершин У, такое что графы
С, = (У ,Ё3),
порождённые вершинами из V,, не содержат циклов. Действительно, циклов, не содержащих с,, быть не может, поскольку / задаёт правильную вершинную раскраску. Циклов, содержащих с,, быть не может, поскольку в Е нет рёбер вида (V, с,) для V € V.
Пусть непересекающиеся множества У1,... ,У8, (в ^ К) задают разбиение множества У, такое что графы
С, = (У ,Ё3),
порождённые вершинами из У,, не содержат циклов.
Каждая из вершин множества Ус должна быть хотя бы в одном из множеств У[,... ,У3. Ни одно из множеств У,... ,У3 не может содержать двух вершин из множества Ус, поскольку в противном случае эти две вершины образовывали бы цикл. Поэтому в = К и можно считать, что
У П Ус = {с, }.
Зададим функцию f : V ^ {1,... ,К} следующим образом:
/ (V) = з : V € V,.
Поскольку в у нет циклов, среди вершин из У, П У нет вершин, соединённых ребром из Е. Поэтому f задаёт правильную вершинную раскраску графа С.
Предложение доказано.
Предложение 3. Задача WAP(K) для К ^ 2 является КР-полной.
Доказательство. Задача WAP(^) для К ^ 2 принадлежит классу КР, поскольку она может быть решена перебором всевозможных разбиений множества V на К непересекающихся подмножеств, а проверка отсутствия циклов отрицательной длины в графах, порождённых заданным разбиением множества вершин, может быть выполнена за полиномиальное время с помощью алгоритма Варшалла-Флойда.
Сведём задачу БЛР(К) к задаче WAP(K). Пусть есть ориентированный граф С = (У,Е) размера Т с матрицей инцидентности А € {0,1}тхТ. Для сведения задачи БЛР(К) к задаче WAP(K) достаточно построить взвешенный граф Н = (У,Е), такой что в этом графе есть цикл отрицательной длины, начинающийся и заканчивающийся в вершине V € V тогда и только тогда, когда в графе С есть цикл, начинающийся и заканчивающийся в вершине V. При доказательстве достаточно ограничиться циклами без повторяющихся вершин.
Определим матрицу весов Ш = (м^)Тт=1 следующим образом:
0, если £ = т
если ъ = т, если (уг, ут ) € Е.
Пусть в графе С есть цикл
Ы ,У12 ,...,У1к ).
Это означает, что
К ,У12) € E, (УЬ2 ,У13) € E, ..., (уЬк_1 ,У1к) € E, (уЬк ,У11) € Е.
Следовательно
= -1, = = -1,т,к 11 = -1,
и
Wtlt2 + ^з + ... + ^1к-11к + Ы1к^ = -к < 0.
Таким образом
является циклом отрицательной длины в графе Н. Пусть в графе Н есть цикл
(УЫ ,У12 , ... ,Уьк ,Уц )
отрицательной длины, т.е.
Ыц 12 + Ьз + ... + т,к-11,к + <
Если последовательность вершин
(УЫ ,У12 , ... ,Уьк ,Уц )
не образует цикла в графе С, то один из весов
, Щ>2 гз , ц
равен Т+1. Поскольку мы рассматриваем только циклы без повторяющихся вершин, к ^ Т. Поэтому сумма в (2) не может быть отрицательной. Полученное противоречие доказывает, что последовательность вершин
,УЬ2 ,...,УЬк ,Уь1)
образует цикл в графе С. Предложение доказано.
Доказательство предложения 1. Сведём задачу WAP(K) к задаче НЛИР(К). Проверка однородной сильной аксиомы для торговой статистики {(Рь, Xравносильна проверкам неравенств
/ ,х*2) \ ( 1рЬ X*3) \ , [ (Р*ъ-1 ,Х1>~Л , ( /Р^ ) \
1оЧ \рЫ)+4 +...+1оЧ 1р^-1) + 4 ^0
для всех последовательностей различных индексов {¿1, ¿2,... } из {1,..., Т}.
Пусть есть взвешенный граф С = (V, Е) размера Т с матрицей весов Ш € МтхТ, причём ^п = 0 для всех £ (£ = 1, Т), и натуральное число К ^ 2.
Для сведения задачи WAP(^) к задаче НЛИР(^) достаточно построить торговую статистику {(РЬ,Хь)}г^=1 так, что
' / Р *,х т) '
' = Щт
(/ Р \х 7) \
Ч га-;
для всех 1,т.
Построим такую торговую статистику для Т товаров. Положим
Р/ = Т + 1 Ш, Р.•* = е > 0 Ш,т : Ь = т.
Обозначим через V € МтхТ матрицу, строками которой являются векторы Рь. Будем искать X1, такие что
/Р\ Xт) = Ш, т, (3)
Система уравнений (3) распадается на Т независимых систем
( еш г \
еь
X* € М? \ 0 Ш. (4)
ГХ7
\ еьт- )
При е = 0 определитель матрицы Р отличен от нуля. Поэтому для малых £ > 0 этот определитель также отличен от нуля. Поэтому для таких £ существует V-1 и Xт определяются однозначно:
Хт = Т-1
( \
\ еЬТт )
Для завершения доказательства необходимо убедиться в выполнении условий (4). При £ = 0 Xт > 0 для всех т. Поскольку элементы обратной матрицы непрерывно зависят от элементов исходной матрицы, существует £ > 0, такое что векторы X1 остаются положительными для всех т.
Предложение 1 доказано.
4. Заключение
Мы доказали КР-полноту задачи о проверке согласованности торговой статистики с моделью временного диктатора с К диктаторами с положительно-однородными функциями полезности при К ^ 2. Эта модель является естественным обобщением модели с одним репрезентативным потребителем. На момент написания этой статьи в литературе не исследуется оценка сложности ещё более общей задачи о проверке согласованности торговой статистики с моделью с двумя и более репрезентативными потребителями с положительно-однородными функциями полезности.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 14-07-00075-А.
Литература
1. Конюс А.А. Проблема истинного индекса стоимости жизни // Экономический бюллетень Конъюнктурного института. 1924. С. 9-10.
2. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // International economic review. 1967. V. 8, N 7. P. 67-77.
3. Varian H. The nonparametric approach to demand analysis // Econometrica. 1982. V. 50, N 4. P. 945-973.
4. Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // Review of Economic Studies. 1983. V. 50, N 1. P. 99-110.
5. Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса // Математическое моделирование. 1993. Т. 5, вып. 9. С. 3-17.
6. Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis: Ph.D. thesis / M. Houtman; University of Limburg. Maastricht, Netherlands, 1995.
7. Вратенков С.Д., Шананин А.А. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов. М.: ВЦ РАН, 1991.
8. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Анализ торговой статистики Нидерландов 19511977 гг. с помощью обобщённого непараметрического метода. М.: ВЦ РАН, 1998.
9. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., У санов Ю.А., Шананин А.А. Разработка технологии и инструмента исследования потребительского рынка с помощью обобщенного непараметрического метода. М.: ВЦ РАН, 2007.
10. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Ю.А., Шананин А.А. Технологии анализа рынков на основе обобщенного непараметрического метода. М.: ВЦ РАН, 2010.
11. Afriat S.N. On a system of inequalities in demand analysis: an extension of the classical method // International economic review. 1973. V. 14, N 2. P. 460-472.
12. Whitney G.A., Swofford J.L. Nonparametric tests of utility maximization and weak separability for consumption, leisure and money // The Review of Economic Statistics. 1987. V. 69, N 3. P. 458-464.
13. Varian H. Goodness-of-fit in optimizing models // Journal of Econometrics. 1990. V. 46, N 1-2. P. 125-140.
14. Famulari M. A household-based, nonparametric test of demand theory // Review of Economics and Statistics. 1995. V. 77, N 2. P. 372-383.
15. Gross J. Testing data for consistency with revealed preference // Review of Economics and Statistics. 1995. V. 77, N 4. P. 701-710.
16. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщённый непараметрический метод // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, вып. 4. С. 105-116.
17. Echenique F., Lee S., Shum M. The money pump as a measure of revealed preference violations // Journal of Political Economy. 2011. V. 119, N 6. P. 1201-1223.
18. Smeulders B., Cherchye L., De Rock B., Spieksma F. C. R. The money pump as a measure of revealed preference violations: A comment // Journal of Political Economy. 2013. V. 121, N 6. P. 1248-1258.
19. Ekeland I., Galichon A. The housing problem and revealed preference theory: duality and an application // Economic Theory. 2013. V. 54, N 3. P. 425-441.
20. Petrov A, Shananin A. Integrability conditions, income distribution, and social structures // Constructing Scalar-Valued Objective Functions - Proceedings of the Third International Conference on Econometric Decision Models: Constructing Scalar-Valued Objective Functions University of Hagen Held in Katholische Akademie Schwerte September 5-8, 1995-1997. P. 271-288.
21. Клемашев Н.И., Шананин А.А. Непараметрический метод анализа бюджетной статистики // Труды МФТИ. 2014. Т. 6, вып. 4. С. 49-56.
22. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. The collective model of household consumption: a nonparametric characterization // Econometrica. 2007. V. 75, N 2. P. 553-574.
23. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. An afriat theorem for the collective model of household consumption // Journal of Economic Theory. 2010. V. 145, N 3. P. 1142-1163.
24. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. The revealed preference approach to collective consumption behaviour: Testing and sharing rule recovery // Review of Economic Studies. 2011. V. 78, N 1. P. 176-198.
25. Nobibon F., Spieksma F. On the complexity of testing the collective axiom of revealed preference // Mathematical Social Sciences. 2010. V. 60, N 2. P. 123-136.
26. Klemashev N., Shananin A. Inverse problems of demand analysis and their applications to computation of positively-homogeneous Koniis-Divisia indices and forecasting // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. —2015. — Advance online publication. DOI: 10.1515/jiip-2015-0015.
27. Garey M., Johnson D. Computers and Intractability - A Guide to the Theory of NP-completeness. — New-York: W.H. FREEMAN AND COMPANY, 1979.
28. Cygan M., Pilipczuk M., Pilipczuk M., Wojtaszczyk J. O. Sitting closer to friends than enemies, revisited // Mathematical Foundations of Computer Science. 2012. P. 296-307.
29. Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов: учебное пособие. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ, 2001.
References
1. Konus A.A. The Problem of the True Index of the Cost of Living. Economicheskiy bulleten Kon'unkturnogo instituta. 1924. P. 9-10. (in Russian).
2. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data. International economic review. 1967. V. 8, N 7. P. 67-77.
3. Varian H. The nonparametric approach to demand analysis. Econometrica. 1982. V. 50, N 4. P. 945-973.
4. Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior. Review of Economic Studies. 1983. V. 50, N 1. P. 99-110.
5. Shananin A.A. Nonparametric methods for analysis of consumer demand structure. Matematicheskoe modelirovanie. 1993. V. 5, N. 9. P. 3-17. (in Russian).
6. Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis: Ph. D. thesis / M. Houtman ; University of Limburg. Maastricht, Netherlands, 1995.
7. Vratenkov S.D., Shanain A.A. Analysis of consumer demand structure with economic indices. M.: CCAS, 1991. (in Russian).
8. Pospelova L.Ya., Shananin A.A. Analysis of trade statistics of the Netherlands 1951-1977 with generalized nonparametric methods. M.: CCAS, 1998. (in Russian).
9. Kondrakov I.A., Pospelova L.Ya., Shananin A.A., Usanov Yu.A. Developing the technology and the tool for studying commodity markets with generalized nonparametric method. M.: CCAS, 2007. (in Russian).
10. Kondrakov I.A., Pospelova L.Ya., Shananin A.A., Usanov Yu.A. Technologies for analysing markets based on generalized nonparametric method. M.: CCSA, 2010. (in Russian).
11. Afriat S.N. On a system of inequalities in demand analysis: an extension of the classical method. International economic review. 1973. V. 14, N 2. P. 460-472.
12. Whitney G.A., Swofford J.L. Nonparametric tests of utility maximization and weak separability for consumption, leisure and money. The Review of Economic Statistics. 1987. V. 69, N 3. P. 458-464.
13. Varian H. Goodness-of-fit in optimizing models // Journal of Econometrics. 1990. V. 46, N 1-2. P. 125-140.
14. Famulari M. A household-based, nonparametric test of demand theory. Review of Economics and Statistics. 1995. V. 77, N 2. P. 372-383.
15. Gross J. Testing data for consistency with revealed preference. Review of Economics and Statistics. 1995. V. 77, N 4. P. 701-710.
16. Pospelova L. Ya., Shananin A.A. The value of nonrationality for consumer behavior and generalized nonparametric method. Matematicheskoe modelirovanie. 1998. V. 10, N 4. P. 105-116. (in Russian).
17. Echenique F., Lee S., Shum M. The money pump as a measure of revealed preference violations. Journal of Political Economy. 2011. V. 119, N 6 P. 1201-1223.
18. Smeulders B., Cherchye L., De Rock B., Spieksma F. C. R. The money pump as a measure of revealed preference violations: A comment. Journal of Political Economy. 2013. V. 121, N 6. P. 1248-1258.
19. Ekeland I., Galichon A. The housing problem and revealed preference theory: duality and an application. Economic Theory. 2013. V. 54, N 3. P. 425-441.
20. Petrov A., Shananin A. Integrability conditions, income distribution, and social structures // Constructing Scalar-Valued Objective Functions - Proceedings of the Third International Conference on Econometric Decision Models: Constructing Scalar-Valued Objective Functions University of Hagen Held in Katholische Akademie Schwerte September 5-8, 1995. 1997. P. 271-288.
21. Klemashev N.I., Shananin A.A. Non-parametric analysis of budget statistics. Proceedings of MIPT. 2014. V. 6, N 4. P. 49-56. (in Russian).
22. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. The collective model of household consumption: a nonparametric characterization. Econometrica. 2007. V. 75, N 2. P. 553-574.
23. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. An afriat theorem for the collective model of household consumption. Journal of Economic Theory. 2010. V. 145, N 3. P. 1142-1163.
24. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. The revealed preference approach to collective consumption behaviour: Testing and sharing rule recovery. Review of Economic Studies. 2011. V. 78, N 1. P. 176-198.
25. Nobibon F., Spieksma F. On the complexity of testing the collective axiom of revealed preference. Mathematical Social Sciences. 2010. V. 60, N 2. P. 123-136.
26. Klemashev N., Shananin A. Inverse problems of demand analysis and their applications to computation of positively-homogeneous Koniis-Divisia indices and forecasting // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2015. Advance online publication. DOI: 10.1515/jiip-2015-0015.
27. Garey M., Johnson D. Computers and Intractability - A Guide to the Theory of NP-completeness. New-York: W.H. FREEMAN AND COMPANY, 1979.
28. Cygan M., Pilipczuk M., Pilipczuk M., Wojtaszczyk J. O. Sitting closer to friends than enemies, revisited. Mathematical Foundations of Computer Science. 2012. P. 296-307.
29. Sapozhenko A. A. Some topics in complexity of algorithms: Tutorial. M.: Izdatelskiy otdel fakulteta VMiK MGU, 2001. (in Russian).
Поступила в редакцию 24-10.2015.
