CC BY
24
УДК 519.866
И.А. Кондраков1, Л.Я. Поспелова2, А.А. Шананин1
1 Московский физико-технический институт (государственный университет)
2 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН
Обобщенный непараметрический метод. Применение к анализу товарных рынков
В статье описано применение обобщенного непараметрического метода (ОНМ) к анализу товарных рынков. Предложены новые средства исследования торговой статистики, предоставляемые ОНМ: построение индексов, исследование сегментации, изучение рациональности поведения репрезентативного потребителя.
Ключевые слова: индекс цен Конюса-Дивизиа, условие интегрируемости Фробениуса, выявленные предпочтения, обобщённый непараметрический метод.
I. Индексы Конюса-Дивизиа и паретовская теория потребительского спроса
Экономические индексы потребительских цен и спроса являются обобщенными показателями, позволяющими делать выводы относительно направления развития экономики. Исходными данными для их вычисления являются цены и объемы потребления в разные моменты времени, объединенные в торговую статистику.
Традиционно статистические службы вычисляют индексы спроса способами, которые основаны на оценке стоимости купленных в разные моменты времени товаров в ценах одного расчетного года (см. [1, 2]). Рассмотрим группу, состоящую из т видов товаров. Обозначим через X вектор потребления этих товаров, а через Р — вектор цен на них. Стоимость товаров X, проданных по ценам Р, равна скалярному произведению {Р,Х}. Определим период £ как базовый, а период т — как текущий и посмотрим, как изменилась стоимость покупаемых товаров в ценах базового года. Отношение {Р*,Хт}/{Р1 ,Хг} называется индексом спроса Ласпейреса, в котором в качестве расчетных цен выбираются цены на товары в базовом году.
При таком подходе выбор расчетных цен не является обоснованным. Если взять за основу цены на товары в текущем периоде, то получим величину {Рт,Хт}/ {Рт,Х*}, называемую индексом спроса Пааше.
Аналогичные соображения приводят к индексу цен Ласпейреса {Рт,Хг)/{Рг,Хг), который показывает отношение стоимости объема потребления базового года Хг в ценах текущего и базового года. Также можно построить индекс цен Пааше {Рт,Хт}/{Рг,Хт}, в котором используется объем потребления текущего года Хт. Если мы перемножим индекс цен Ласпейреса с индексом спроса Па-аше, то получим отношение расходов текущего и
й (рт,хь) (рт,хт) _ (рт,хт) г,
базового годов (рт хь) {рь хь) ’ ^^э/ги
стические службы обычно вычисляют именно эту
пару индексов для цен и спроса.
Вычисления показывают, что, как правило, значение индекса Пааше не превосходит значения индекса Ласпейреса. Систематическое различие между этими двумя индексами называется эффектом Гершенкрона. Это явление не удивительно: спрос увеличивается на те товары, цены на которые снизились.
Необходимость учета изменения потребительских цен была принята во внимание в работе А.А. Конюса [3]. Там был предложен основанный на па-ретовской теории потребительского спроса подход к определению экономических индексов, учитывающий взаимосвязь изменения цен с изменением структуры спроса (потребительской корзины).
В основе паретовской теории спроса лежит гипотеза о возможности описания потребительского поведения моделью рационального репрезентативного потребителя, выбирающего наилучший потребительский набор, доступный в силу бюджетных ограничений.
Подход Конюса можно описать следующим образом. Пусть у нас задана система поверхностей безразличия, на каждой из которых полезность для потребителя неизменна. Спросу Хт в момент времени т соответствует уровень полезности Гт, а спросу Х1 — уровень полезности Г1. Набор товаров, который мог быть куплен при ценах Р1 в момент времени т и имеющий полезность Гт, обозначим Хт. Величину {Р 1,Хт}/{Р1 ,Хг} будем называть индексом спроса Конюса-Ласпейреса. С другой стороны, набор товаров, который мог быть куплен при ценах Рт в момент времени £ и имеющий полезность Г1, обозначим Х1. Величину {Рт,Хт}/ {Рт,Хг} будем называть индексом спроса Конюса-Пааше.
Для построения поверхностей безразличия необходимо определить функцию полезности, поверхностями уровня которой они являются. Будем искать функции полезности в классе Фо вогнутых, положительно-однородных первой степени, непре-
рывных на множестве {пЬЕТ^ функций, положительных на множестве {пЬЕТ^.
Докажем свойство вогнутой положительно однородной функции, которое нам понадобится в дальнейшем. Напомним, что для положительно однородных дифференцируемых функций справедливо тождество Эйлера
ег=1
Лемма 1 (Обобщенное тождество Эйлера). Пусть функция полезности Г(■) € Фо и Р € дГ (Х). Тогда справедлива формула
{Р,Х} = Г (Х).
Доказательство. По определению супердифференциала вогнутой функции для любого Z выполняется
Г^) - Г(Х) < {Р^ - Х}.
Возьмем Z = ХХ, где А — произвольное положительное число. Пользуясь положительной однородностью функции Г(■), получим
Г(Х)(А - 1) < {Р,Х}(А - 1).
Взяв А < 1, получим Г(Х) ^ {Р,Х}. Если
же А > 1, то Г(Х) ^ {Р,Х}. Таким образом, {Р,Х} = Г(Х). Лемма 1 доказана.
Будем описывать совокупное поведение потребителей с помощью обратных функций спроса Р(Х) = (Рг(Х),...,Рт(Х)), выражающих зависимость между объемами потребления товаров Х = (Х\,...,Хт) и ценами на них Р = (Р1 ,...,Рт). Будем считать, что V Х > 0 выполнено
{Р(Х),Х} > 0.
Определение 1. Будем говорить, что обратные функции спроса Р(Х) рационализируемы в классе функций полезности Фо, если существует такая функция полезности Г(Х) € Фо, что V Х € Ет справедливо
Х € А^шах{Г(У)\{Р(Х),У} < {Р(Х),Х}, У € Ет}. (1)
Будем при этом говорить, что функция полезности Г(Х) рационализирует обратные функции спроса Р(Х).
Отметим, что существует несколько постановок задачи поиска экономических индексов, эквивалентных рационализируемости обратных функций спроса.
Предложение 1. Следующие утверждения эквивалентны:
1) существуют Г(Х) € Ф0, Q(P) € Ф0, такие
V х > о, ур > о д(р)г(X) < (.р,ху.
V X > о Q(P(X))Г(X) = (р(X),ху.
(2)
2) существует функция Г(X) Є Фо такая, что V X > 0 справедливо
Р(Х) € Q(P(Х))дГ(Х), где Q(P) — преобразование Янга функции Г(Х),
(РЛ у
Г (X)
X > 0,Г(X) > о и
3) существует Г(Х) € Фо такая, что VX > 0 справедливо
Х € А^шах{Г(У)\{Р(Х),У} < {Р(Х),Х}, У € Ет}.
Доказательство. Покажем что из 1) следует
2). Действительно, из 1) следует, что
Х € AYgшax{Q(P(Х))Г(У) - {Р(Х),У}\У € Ет}.
По теореме Куна-Таккера (см. [4], с. 52-56), это условие эквивалентно
0 € ду^(Р(Х))Г(У) - {Р(Х),У})\г=х.
По теореме Моро-Рокафеллара, получаем, что
Р(Х) € Q(P(Х))дГ(Х). (3)
С другой стороны, из (2)
Г{Х) ^ > °’ ур ^0,д(р) > °-Следовательно,
Q(P)
Но также из (2) следует, что
Р > 0, Q(P) > 0 .
Г (X ) =
(Р (X)X у
Q(P(X)) ■
Следовательно, минимум достигается. Поэтому
^у
Г (X) = іМ
Q(P)
P > 0, Q(P) > 0 .
Известно (см. [5], [6], с. 229-233), что преобразование Янга инволютивно в классе Фо, то есть
Г (X)
Теперь покажем, что из 2) следует 3).
Составим функцию Лагранжа для задачи вогнутого программирования (1)
Ь(У,А) = Г (У) + А({Р (Х ),Х} - {Р (Х ),У}). (4)
Условия дополняющей нежесткости к бюджетному ограничению в задаче (1) выполнены автоматически. С учетом теоремы Моро-Рокафеллара условием максимума функции Лагранжа является
0 € дуЬ(У,А)\у=х = дГ(Х) - АР(Х).
Последнее условие эквивалентно:
АР (Х) € дГ (Х)
Положим Л = <з(р(х)) ■
P(X) Є Q(P(X))дГ(X), имеем
Поскольку
1
Q(P (X))
P(X) Є дГ(X).
Следовательно, по теореме Куна-Таккера (см. [4], с. 52--56), вектор Х является решением задачи вогнутого программирования (1).
Докажем теперь, что из 3) следует 1). Поло-
г (У)
У > 0,Г(У) > 0
Так как преобразование Янга переводит функции из класса Фо в функции из класса Фо (см. [6], с.229-233), то Q(P) € Фо. Из определения Q(P) имеем, что V Х > 0, V Р > 0 Q(P)Г(Х) < {Р,Х}. В силу положительной однородности функции Р{Х) для любого Л > 0 имеем ^ху) = р(Т) • Следовательно,
Q(P (X)) = іп!
г (У)
У > 0, Г (У) > 0,
^ (X ),у у = ^ (XIX у .
Поскольку
X Є А^тах{Г(У^^(X),У) < ^(X)X),У Є К™}
получаем, что
Q(P (X)) =
(РХ)Х)
Р(Х)
Предложение 1 доказано.
Предложение 2. Пусть функция полезности Г(■) € Фо рационализирует обратные функции спроса Р (Х). Пусть Р* € дГ (Хт) и
Г(Хт) = Г(Хт), а Рт € дГ(Х*) и Г(Х*) = Г(Х*).
ггл (Рь,хт) (Рт ,хТ) _Р(хТ )
Тогда то есть ин-
декс Конюса-Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше.
Доказательство. Рассмотрим индекс Ко-нюса-Ласпейреса • В силу рациона-
лизируемости имеем Р * € Q(P *)дГ (Хт) и
Р* € Q(Pt)дГ(Х*). Из обобщенного тождества Эйлера следует
{Р\хт) (^{Р1)Р{ХТ) Р{ХТ)
(РгХ*) ~ Я(Рг)Р(х*) ~ Жх1)'
Так как Хт и Хт соответствует одинаковый уровень полезности, то
Р(ХТ) Р(ХТ)
Жх1) ~ Жх1)'
Исходя из аналогичных соображений для индекса Конюса-Пааше, получим
(.рт,хтУ _ Я{Рт)Р{хт) _ Р{хт) _ Р{хт)
{Ртф) ~ Я{Рт)Рф) ~ рф) ~ Р(х*)'
Предложение 2 доказано.
Поскольку индексы Конюса-Ласпейреса и Конюса-Пааше равны, будем называть их индексами Конюса.
Следующее утверждение устанавливает связь индекса Конюса с индексами Ласпейреса и Паа-ше.
Предложение 3. Пусть функция полезности Г(■) Є Фо рационализирует обратные функции спроса P (X). Тогда индекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.
Доказательство. Действительно, в силу предложения 1 имеем, что
Q(PT )Г (X т) = ^ X у,
Q(PT)Г(X*) < ^тХу,
Q(Pt)ГX) < у,
Q(Pt)Г (X ^ = ^^у.
Поэтому получаем, что
Р(ХТ) Г (X т)
(}{РТ)Р(ХТ) {Рт,хт)
Q(Pт )Г (X ^ Q(P ^Г (X т)
<
Г(Х*) Q(Pt)Г(Х*) " {Р*,Х*}'
Предложение 3 доказано.
Заметим, что в случае, когда Г(Х) является дифференцируемой функцией, условие максимума (3) в задаче рационализации (1) принимает вид основной формулы теории экономических индексов
.. т
аР{Х) = д(Р(х))^^'(Х№- (5)
В этом случае проблема построения индексов Ко-нюса спроса Г(Х) и цен Q(P) сводится к проблеме поиска интегрирующего множителя с](р(х)) для дифференциальной формы обратных функций спроса
(X )^.
Рассмотрим индекс, пользующийся большой популярностью в литературе по теории экономических индексов (см., например, [2], с.143) — индекс Ди-визиа:
В{Хг)
Р(ХТ)
ехр
ге ?=1щхт^
Т,Т=іРі(хтХі(Є)
ав
Предложение 4. В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из Фо, индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа.
жим
и =
т
Доказательство. Преобразуем числитель с помощью (5), а знаменатель — с помощью обобщенного тождества Эйлера.
В{Хг)
ЩХ7)
exp
Е7=1Рг(Х(в))Х,,(в)
ав
exp
г сдр{х{в)))сщх{в)) \ С1(Р(Х(вт(Х(в)) '
Сокращая Q(P(Х(в))) и используя формулу Ньютона-Лейбница, получим
exp
^р(хт)
Р(Х(в))
exp
а 1п г (Х (в))^
Р(Хг)
~ Жх7)'
Предложение 4 доказано.
В связи с доказанным предложением рассматриваемые индексы будем называть индексами Ко-нюса-Дивизиа.
Таким образом, мы ввели теоретически индекс, который соответствует потребительскому поведению. Необходим способ его расчета. Рассмотрим условия его существования. Индекс Ко-нюса-Дивизиа существует, когда рационализируемы функции спроса. Для этого необходимо выполнение определенных условий (см. [7]). Некоторые из них носят технический характер, другие являются условием типа неравенства, то есть сохраняются при малых возмущениях функций Р(Х). Одним из важнейших условий рациона-лизируемости является условие интегрируемости Фробениуса (обозначим М = {1,...,т}): для любых г € М, ] € М, к € М, Х € гпЬ Ит должно выполняться равенство:
Рг (Х )
дХк
дР,
дРг
+вд +
дХг,
дХ,
+Рк (Х)
Щ(А-) - Щ(А-) ] = а
Условие интегрируемости Фробениуса является условием типа равенства, оно нарушается при малых возмущениях функций Р(Х). Такое нарушение, ставящее под вопрос существование экономических индексов, воспринималось экономистами как проблема интегрируемости (см. [8]).
Анализу выполнимости и интерпретации условия интегрируемости посвятили свои работы многие известные экономисты XX века, такие как
В. Парето, П. Самуэльсон, Дж. Хикс, Х. Хотел-лин, К. Эрроу, Х. Хаутеккер, Л. Гурвиц, Д. Гейл,
Х. Удзава, М. Рихтер и др. Их усилиями была создана теория выявленного предпочтения, в терминах которой удалось переформулировать условия рациональности потребительского поведения в форме, удобной для эмпирической проверки (см. обзор в [5]).
В паретовской теории потребительского спроса исходной информацией для вычисления индексов являются обратные функции спроса Р(Х) или функции спроса Х (Р). В реальности же мы можем оперировать лишь наблюдаемой торговой статистикой {Р*,Х*}т=о, которая определяет значения обратных функций спроса в конечном числе точек {Х*}т=о. При этом рационализируемость торговой статистики понимается как возможность продолжить ее до обратных функций спроса, рационализируемых в классе Фо. У возникающей проблемы рационализируемости торговой статистики есть решение, связывающее вычисление индексов Конюса-Дивизиа с теорией выявленного предпочтения. Это решение основано на следующей теореме.
Теорема 1 (Африата—Вериана). (см. [9, 10]). Следующие свойства торговой статистики эквивалентны:
1) существует функция полезности Г(Х) € Фо, рационализирующая торговую статистику, то есть
Х* € А^ш^Г(Х)\{Р*,Х} < {Р*,Х*},Х > 0},
^ = ОД;
2) торговая статистика {Р*,Х*}Т=о удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения (ОСА), то есть для любого упорядоченного набора моментов времени
С {ОД} выполняются неравенства
{Р*1 ,Х*2}{Р*2,Х*3}...{Р*к,Х*1} >
> {Р*1 ,Х*1 }{Р*2,Х*2}...{Р*к,Х*к};
3) существует решение (Ао,...,Ат) > 0 системы линейных неравенств:
АТ{РТХ) > А,{РгХ), г, * = ОД; (6)
4) существует функция полезности, рационализирующая торговую статистику, вида
Р{Х) = тш_Ат(Рт,Х),
т=0,Т
(7)
где Ао > 0,...,Ат > 0 удовлетворяют (6).
Предложение 5. П усть Р(Х) = ттт=д^ АТ{РТ ,Х), где Ао > 0,...,Ат > 0 удовлетворяют (6), а
Q(P) = М
{Р,У)
Г(У)
тогда
Р{ХЬ) =Л^(P^X^), I = 0,Т, д(Р‘) = 1 ^ = 0Д.
А*
(8)
(9)
т
т
т
т
Доказательство. Рассмотрим функцию полезности в точке Х*:
Р(Х4) = тш_Ат(Рт,Х4).
т=0,Т
Так как выполнено (6), то минимум достигается при т = ( и Р(Хг) = А4(Р4,А"4}, I = ОД. Теперь найдем индексы цен. В силу предложения 1 выполняется уравнение баланса (2). Поэтому
<Э(Р*)Р(х*) = {Р\хг), г = од.
Подставляя (8), получаем, что
(^{Рг)\г{Рг X) = {РгХ), 1 = ЪД.
Откуда
д(р4) = 1,^ = од. а*
Предложение 5 доказано.
Таким образом, получаем временные ряды индексов потребительского спроса Конюса-Диви-зиа:
Р(Х4) = А((Р‘,Х‘), # = ОД и индексов цен Конюса-Дивизиа:
д(р‘) = ^ = од,
А*
которые учитывают изменения структуры потребления. Такой метод построения экономических индексов называется непараметрическим методом (см. [11, 12, 13]).
II. Непараметрический метод как инструмент анализа торговой статистики
В предыдущем разделе описан метод построения экономических индексов Конюса-Дивизиа и изучения вопроса об их существовании. Давайте воспользуемся этим инструментом в применении к конкретным торговым статистикам.
11.1. Торговая статистика потребления продуктов питания Швеции
Применим непараметрический метод к анализу торговой статистики потребления продуктов питания в Швеции за период 1921-1938 годы.
На рис. 1 приведены примеры расчета индекса Конюса-Дивизиа, которые удалось построить за период 1921-1932, 1936-1938. Вычисленные экономические индексы Конюса-Дивизиа, рассчитанные с помощью непараметрического метода, имеют усредненную и более инерционную динамику по сравнению с временными рядами цен и спроса отдельных товаров.
1,0 о,а о,в
0,7
о,е
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Рис. 1. Индексы Конюса-Дивизиа для статистики продуктов питания Швеции
Для выполнения условий рационализируемо-сти (ОСА) пришлось исключить из временного ряда статистику за 1933-1935 годы. Добавление во временные ряды данных хотя бы одного из 1933--1935 годов приводит к нарушению условий рационализируемости (ОСА).
Можно сделать предположение, что нарушение условий рационализируемости (ОСА) связано с системными перестройками в экономике Швеции, последовавшими за Великой экономической депрессией. В этот период менялись социальная структура общества, стереотипы потребительского потребления, происходила смена технологических укладов, в ходе которой рождались новые виды товаров и потребностей. Поэтому нарушение условий рационализируемости (ОСА), по-видимому, стало последствием Великой экономической депрессии. В работе [14] предложено объяснение нарушения условий интегрируемости и невозможности описать потребительский спрос моделью одного репрезентативного потребителя, основанное на анализе социальной структуры общества и возможности описания распределения доходов между социальными группами с помощью функции общественного благосостояния Бергсона.
11.2. Дерево экономических индексов для торговой статистики Венгрии за 1975-1984 годы
Государственные статистические службы производят обработку торговой статистики потребления следующим образом. Вся номенклатура товаров разбивается на группы, связанные отношением вложения. Получившуюся структуру можно представить как граф, в котором группы товаров на более низком уровне вложены в группы товаров на более высоком. Затем для групп происходит вычисление индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, что представляет собой иерархически организованный, многоуровневый процесс. Так появляется дерево экономических индексов.
Отметим, что разбиение на уровни происходит, с одной стороны, исходя из индивидуальных предпочтений и опыта товароведов. В этом они опираются на собственные представления о существую-
щих отношениях взаимодополняемости и взаимозаменяемости товаров. С другой стороны, разбиение на уровни основано на эвристических представлениях о группах родственных товаров, существующих на «гуманитарном» уровне и зафиксированных в форме обобщающих понятий. Заметим, что формирование терминов в языке — это процесс с характерным временем порядка нескольких десятков лет. Изменение структуры потребительского спроса — более быстрый процесс. Поэтому необходим анализ таких представлений о разбиении продуктов на группы, который позволяет провести непараметрический метод. Ключевым понятием при исследовании дерева экономических индексов с помощью непараметрического метода является отделимость.
Определение 2. Будем говорить, что группа товаров У = (У1,...,Уп) отделяется от остальной номенклатуры товаров Z = ^1,...^т-п), если перестановкой компонент вектор товаров Х = (Х1,...,Хт) можно представить в виде (УХ) так, что функция полезности представляется в виде суперпозиции Г (Х) = Го (Г (У )Х).
Пропорции цен товаров отделимой группы определяются лишь спросом на товары данной группы. Отделимые группы объединяют товары, связанные свойствами взаимодополняемости и взаимозаменяемости. Свойства отделимости отражают сегментацию потребительского рынка и являются важной структурной характеристикой потребительского спроса.
Предложение 6. (см. [12]). Пусть функция полезности Г(■) € Фо и представима как суперпозиция
Г (Х )= Го(Г1(У 1),...,Гк (У к )Х),
Го(0 € Фо,...,Гк(■) € Фо,
где перестановкой компонент вектора товаров Х = (Х1,...,Хт) можно представить в виде
(У 1,...,Ук X).
Здесь У1
Е+1 ,...,У к
€ Е+, X € Е+, П1 + ... + пк + I = т. Тогда преобразование Янга Q(P) функции Г(Х) представляется как суперпозиция Q(P) = Qо(Ql(PY’1),...,Qk (Ру,к),Р2), где вектор цен Р после той же перестановки компонент представляется в виде (Ру,1,..,РУ'к,Р2), а функции Qо(■),Ql(■),...,Qk(■) являются преобразованиями Янга функций Го(/),Г1^),...,Гк (■) соответственно. Здесь Ру'1 € Е+1 ,...,Ру,к € Е+, Р2 € Е+.
Рассмотрим торговую статистику Венгрии за 1975-1984 гг. Номенклатура товаров содержит 196 наименований. На рис. 2 и 3 показаны индексы Конюса-Дивизиа, построенные для некоторых групп товаров.
Рис. 2. Группа «Фрукты и фруктовые изделия» и составляющие ее товары
Рис. 3. Группа «Мясо» и составляющие ее товары
Индексы цен и спроса, рассчитанные с помощью непараметрического метода, имеют усредненную и более инерционную динамику по сравнению с временными рядами цен и спроса отдельных товаров.
Товары в статистике Венгрии разбиты на 11 классов (табл. 1). Товарные группы различаются длительностью службы товаров. Первые три класса — товары повседневного спроса — имеют время потребления 1-3 месяца, «Одежда» — около года, оставшиеся классы — 5-10 лет (товары и услуги длительного пользования). Такое разделение полезно при анализе структуры потребительского спроса.
На рис. 4 приведены индексы, рассчитанные для товаров повседневного спроса, товаров длительного пользования, в сравнении с индексом, построенным для всех товаров в торговой статистике. Обращает на себя внимание тот факт, что спрос смещался в сторону товаров длительного пользования. Видно, что быстрее росли объемы потребления товаров и услуг, связанных с большими характерными временами потребления, по сравнению с товарами повседневного спроса. С другой стороны, в динамике цен наблюдается обратная картина.
Заметим, что в рассматриваемый период в Венгрии происходил переход от плановой экономики
к рыночной, формировался новый потребительский рынок, менялась структура потребительского спроса. Переход к рыночной экономике связан с формированием среднего класса. Его потребности и определяют, по-видимому, наблюдаемую тенденцию.
Расчеты показывают, что вся торговая статистика, то есть все товары в совокупности, удовлетворяет условиям рационализируемости (ОСА). Из групп, выделенных статистическими службами, только две удовлетворяют условиям рацио-нализируемости: продовольственные товары и напитки. Таким образом, предложенная статистическими службами классификация товаров не вполне отражает реальную структуру спроса.
Таблица 1 Товароведческие группы в статистике Венгрии
Номер Г руппа Кол-во товаров
1 Продовольственные товары 49
2 Напитки 15
3 Табачные изделия 3
4 Одежда 31
5 Жилищное обслуживание 5
6 Отопление, энергия в быту 12
7 Бытовое оснащение 30
8 Здравоохранение, гигиена 7
9 Транспорт, информация И
10 Образование, культура, спорт, отдых 23
И Прочие статьи потребления 10
и процессы, происходившие в стране в это время. Изменение структуры потребительского спроса повлияло на дерево экономических индексов, и оно было выявлено с помощью непараметрического метода.
11.3. Обобщенный непараметрический метод и его применение для анализа торговой статистики Нидерландов за 1951-1977 гг.
Рассмотренные выше статистики Швеции и Венгрии собраны и обработаны государственными статистическими службами. Торговые статистики такого типа, разумеется, не отражают потребления отдельных сортов зубной пасты, марок зубных щеток и т.п. Первичную группировку товаров производят на основании своего опыта и интуиции товароведы. В результате торговая статистика содержит не десятки миллионов, а лишь десятки, максимум сотни, наименований агрегированных продуктов, таких как «предметы гигиены», «безалкогольные напитки» и т.п. Фактически подобные торговые статистики содержат индексы цен Ласпейреса и спроса Пааше для товарных групп, выделенных товароведами, и не учитывают взаимозаменяемость товаров внутри агрегированных групп. Сама группировка и принципы, по кото-
7 Если один овал содержит другой, значит, группа товаров из меньшего овала отделяется от группы товаров из большего.
Была предложена другая классификация товаров, основанная на характерном времени потребления: товары повседневного спроса (первые три группы в таблице) и товары длительного пользования (оставшиеся товары). Для этих двух групп экономические индексы существуют (рис. 4).
Отметим, что «Одежда» образует отделимую группу как с товарами длительного пользования, так и товарами повседневного спроса. По-видимому, эта группа занимает промежуточное положение со средним временем потребления. В целом структуру спроса можно описать диаграммой, показанной на рис. 5.7
Рис. 5. Структура потребительского спроса для статистики Венгрии
Таким образом, сегментация, выделенная в классификаторе номенклатуры статистических служб, не в полной степени отражает структуру спроса, сложившуюся в Венгрии в 70-80-х гг.,
рым она проводилась, остаются за рамками рассмотрения. Таким образом, в них могут присутствовать неточности, вызванные как дефектами обработки, так и ошибками в исходных данных.
Рассматриваемый нами подход можно обобщить так, чтобы исследовать структуру спроса, несмотря на указанные дефекты. Это оказа-
Товароведческие группы
лось существенным при исследовании статистики, собранной государственными статистическими службами. Статистика потребления в Нидерландах состоит из 106 товаров за 1951--1977 гг. Группы, выделенные в классификаторе номенклатуры статистических служб, показаны в табл. 2.
Таблица 2 в статистике Нидерландов
Номер Г руппа Кол-во товаров ^тіп
1 Бакалея, молоко, мясо, рыба 42 1,0002
2 Сладости, табак, пиво 12 1,0034
3 Одежда, авто, оборудование для дома 21 1,0073
4 Коммунальные услуги, медицина И 1,0002
5 Аренда, сервис 20 1,0167
Расчеты показали, что торговая статистика удовлетворяет условиям рационализируемости (ОСА), однако ни одной из групп, выделенных в классификации, — нет. В такой ситуации изучать структуру спроса невозможно, построение дерева отделимых групп также не представляется возможным, следовательно, непараметрический метод нуждается в обобщении.
Такое обобщение возможно с введением показателя, измеряющего степень рационализируемо-сти торговой статистики (см. [15]). Предлагается ввести показатель ш > 0 в систему неравенств Аф-риата-Вериана (4):
(10)
Минимальное значение > 1, при котором система (5) совместна, служит показателем нерациональности. По положительному решению системы (5) можно построить временные ряды обобщенных индексов потребительских цен Конюса-Диви-зиа {1/А*}'т=о и обобщенных индексов спроса Ко-нюса-Дивизиа {А*{Р*,Х*}}'т=о. Этот метод будем
называть обобщенным непараметрическим методом (ОНМ).
Индекс торговой статистики Нидерландов, то есть всех товаров, можно построить двумя способами. Во-первых, вычислить индекс напрямую, рассмотрев все товары. С другой стороны, как показано в табл. 2, при соответствующем показателе нерациональности > 1 существуют индексы
у групп из классификатора номенклатуры статистических служб. Мы можем посчитать эти индексы и на их основе вычислить индекс для всех товаров торговой статистики. Отклонение полученных двумя описанными способами индексов не превышает 2%, в чем можно убедиться в табл. 3, где показаны отклонения индексов, рассчитанные для каждого года. Точнее, обозначим КВ* индекс, построенный по всем товарам, в год Ь, а КВ*а — индекс, построенный с помощью процедуры агрегирования, описанной выше. В ячейках таблицы для каждого года находится величина
КВга - КВІ:
100.
КВ* Таблица 3
Отклонение индекса всей торговой статистики, рассчитанного напрямую, и индекса, вычисленного с предварительным агрегированием по группам, %
1951 0 1958 0,5 1963 1,05 1968 1,36 1973 1,61
1953 -0,33 1959 0,65 1964 1,27 1969 1,53 1974 1,44
1954 0,12 1960 0,89 1965 1,38 1970 1,76 1975 1,48
1955 0,52 1961 0,99 1966 1,23 1971 1,7 1976 1,63
1956 0,46 1962 1,00 1967 1,18 1972 1,47 1977 2
1957 0,76
Таким образом, ОНМ позволяет изучать дерево экономических индексов даже при наличии дефектов в торговой статистике.
11.4. Построение дерева экономических индексов с помощью ОНМ
При использовании ОНМ у нас появляется возможность проверить, насколько предварительная обработка с вычислением индексов цен Ласпейре-са и спроса Пааше влияет на интегрируемость.
Действительно, мы можем вычислить индекс тремя способами. Во-первых, посчитать напрямую по всем товарам торговой статистики. Во-вторых, с предварительным агрегированием по группам, то есть рассчитать сначала индексы Конюса-Диви-зиа для групп из классификатора, а затем построить индекс всей статистики. И, в-третьих, с предварительным агрегированием по группам, но при этом рассчитывая для групп индекс цен Ласпей-
реса и спроса Пааше, то есть имитируя обработку, которая обычно производится статистическими службами. Результаты расчетов приведены на рис. 6, 7, 8, где жирной линии соответствует первый способ вычисления без агрегирования.
Рис. 6. Индексы, построенные при различном агрегировании, для статистики Нидерландов
Рис. 7. Индексы, построенные при различном агрегировании, для статистики Венгрии (классификация статистических служб)
Рис. 8. Индексы, построенные при различном агрегировании, для статистики Венгрии (классификация по характерному времени потребления)
На рис. 6 приведены графики для статистики Нидерландов. Индекс, рассчитанный с агрегированием по группам и построением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, отклоняется от двух других графиков. Это же наблюдение прослеживается на рис. 7 (статистика Венгрии) и рис. 8 (статистика Венгрии с классификацией по характерному времени потребления). Максимальные отклонения индексов цен, рассчитанных для статистики Нидерландов: первый способ-второй
способ — 1.76%, первый способ-третий способ — 5.89%. Статистика Венгрии: первый способ-второй способ — 0.37%, первый способ-третий способ — 2.58%; статистика Венгрии с классификацией по характерному времени потребления: первый способ-второй способ — 0.17%, первый способ-третий способ — 3.34%. На всех рисунках отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем по первому и третьему. Таким образом, можно утверждать, что агрегирование с построением для групп товаров индексов Ко-нюса-Дивизиа в большей степени отражает структуру потребительского спроса.
Заметим также, что на рис. 8 отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем на рис. 7. Это еще одно подтверждение адекватности классификации по характерному времени потребления.
Также обратим внимание на то, что индекс цен, рассчитанный с агрегированием по группам и построением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, лежит выше остальных графиков (левая половина рисунков), что соответствует предложению 3.
III. Применение ОНМ для анализа потребительских рынков на основе обработки первичной статистики
Выше были рассмотрены статистики, собранные и обработанные государственными статистическими службами. Теперь рассмотрим так называемые первичные статистики — детальные сведения о розничных продажах конкретных магазинов. Объемы продаж в такой статистике суммируются за некоторые периоды времени (за неделю, месяц, квартал), в течение которых цены держатся на постоянном уровне.
Характерной чертой первичных статистик является отсутствие агрегированных товарных групп, которые объединяют отдельные единицы продаж. Первичная статистика содержит детальные данные о продажах конкретных товаров различных марок.
Экономическая государственная статистика формируется на основании отчетной статистики торговых предприятий, которая, кроме собственно продаж, отражает еще некоторые неторговые операции, например возврат товаров. Поэтому первичная статистика более точно, чем отчетная, показывает поведение покупателей.
При дальнейшем анализе выявилась характерная особенность первичной статистики, значительно затрудняющая применение ОНМ. Это отсутствие продаж товаров в отдельных временных точках, а часто и на продолжительных интервалах. Эта особенность связана с очень высоким уровнем детализации: какой-то конкретный товар в какой-то конкретный момент времени мог не продаваться по причинам, не связанным с осо-
бенностями потребительского поведения. Однако с точки зрения рационального потребителя такое поведение может быть неестественно: цена, например, упала, а продажи стали нулевыми. Таким образом, экономические индексы не могут быть построены, и необходим метод предварительной корректуры торговой статистики.
Проблема корректуры временных рядов для случаев отсутствия продаж отдельных товаров в отдельных временных точках на настоящее время не может считаться решенной (см. [1], с. 161). Объемы продаж могут отсутствовать по причинам:
1) недопоставки товара в магазин;
2) отсутствия покупательского спроса на этот товар;
3) выбытия данного товара как устаревшего, не пользующегося спросом, в результате появления нового товара.
Проведенные эксперименты показали, что введение очень больших значений для цен, соответствующих отсутствующим продажам, приводит к тривиальным результатам — индекс цены для интегрируемой группы, содержащей товары с отсутствующими продажами, становится равным константе.
Будем заменять значения цен при нулевых продажах на максимальные цены по всему интервалу времени. Это предложение показало свою работоспособность на рассмотренных данных, и во всех экспериментах перед применением ОНМ исходная статистика была скорректирована по описанному способу.
III.1. Анализ рынка безалкогольных напитков в Москве за 2007 г.
Приведем результаты эмпирического анализа структуры потребительского спроса на узкоспециализированном рынке Москвы (200Т г.) «Безалкогольные напитки».
Исходная выборка содержит помесячные данные (январь-декабрь 200Т г.) о продажах безалкогольных напитков в 643 магазинах г. Москвы. Товары одинаковой номенклатуры (бренда), продаваемые в разных магазинах, считаются разными товарами, и именно они образуют товароведческие классы. Так, класс «Coca-Cola 0.5 л» состоит из 643-х товаров, которые продавались в течение года в 643-х магазинах Москвы. Для исследования были выбраны лишь те магазины, которые были представлены во всех 12-ти периодах.
Отметим, что фактически на рынке продается пара взаимодополняющих товаров: сам напиток, себестоимость которого не меняется, и торговая услуга. В магазинах социальной направленности, в гипермаркетах услуга стоит дешевле, чем в магазинах, которые посещаются покупателями с высоким достатком. Целью исследования было вы-
яснить, как влияют торговые услуги на сегментацию рынка. Было предложено два варианта: сегментация определяется торговыми услугами (сегментация по магазинам) или же она базируется в первую очередь на торговой марке (сегментация по брендам).
Категория товаров «Безалкогольные напитки» представляет большой интерес по нескольких причинам:
1) она является одной из наиболее востребованных потребителями в категории продуктов питания;
2) она представлена большим количеством различных типов товаров;
3) на рынке присутствует большое количество конкурирующих производителей и брендов.
Для экспериментов были выбраны бренды Coca-Cola и Pepsi-Cola. Потребительские свойства этих напитков во многом совпадают: похожи вкус, размер и тип тары, сопоставимы цены. Все это позволяет предположить, что данные товары воспринимаются потребителями как взаимозаменяемые. Поскольку линейка товарных единиц у Pepsi-Cola и Coca-Cola велика (за 2007 год продавалось более 100 видов напитков этих марок), для эксперимента мы выбрали 14 наиболее массово продаваемых видов товаров.
В результате точной проверки выполнения условий интегрируемости (показатель ш = 1) оказалось, что 13 классов интегрируются (табл. 4). В последнем столбце для оценки разброса цен показано максимальное по времени стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии Dt), деленное на математическое ожидание Et.
Таблица 4
Показатель нерациональности для групп, объединяющих товары одного бренда
№ Название класса ^min maxt
1 Все товары 1.0 0.2984
2 Coca-Cola 0.5 л 1.0 0.3564
3 Coca-Cola 0.33 л 1.0 0.5158
4 Coca-Cola 1 л 1.0 0.2363
5 Coca-Cola 2 л 1.0005 0.1327
6 Coca-Cola Light 2 л 1.0 0.1108
7 Coca-Cola Light 1 л 1.0 0.2114
8 Coca-Cola Light 0.5 л 1.0 0.3200
9 Pepsi-Cola 1.25 л 1.0 0.2392
10 Pepsi-Cola 0.33 л 1.0 0.5347
11 Pepsi-Cola 0.6 л 1.0 0.3690
12 Pepsi-Cola Light 0.6 л 1.0 0.3416
13 Pepsi-Cola Light 2 л 1.0 0.1913
14 Pepsi-Cola Light 1.25 л 1.0 0.1956
15 Pepsi-Cola 2.5 л 1.0 0.1942
Был выявлен лишь один класс-бренд, статистика продаж которого не удовлетворяет условиям интегрируемости Фробениуса, но который, тем не менее, имеет достаточно небольшой показатель нерациональности. По приведенным результатам
можно сделать вывод о том, что в Москве существует узкоспециализированный конкурентный рынок безалкогольных напитков, не зависящий от магазина. Этот результат не является очевидным: разброс цен достаточно велик.
Эксперименты позволяют сделать вывод, что потребители не привязаны к конкретному магазину и в поисках нужного им товара могут обойти несколько торговых точек, а не выбирать наиболее близкий заменитель нужного им товара среди представленных в данном магазине. Более того, для товаров одного бренда существует единый московский рынок, на котором можно определить единую рыночную цену (индекс).
Также были проанализированы продажи выбранных товаров внутри 643 магазинов, попавших в выборку. Результаты представлены в табл. 5, где группы товаров одного магазина отсортированы по возрастанию их показателей нерациональности.
Лишь только 197 магазинов из 643 возможно было выделить в группы с показателем нерациональности при параметре ш меньшем 1,0005 (худший показатель нерациональности для классов-брендов из табл. 4). Заметим, что большинство из них имеют ненулевые продажи по всем товарам лишь в 1 или 2 точках, а для такого случая индекс Конюса-Дивизиа всегда существует при ш = 1. Таким образом, гипотеза о существовании независимых друг от друга магазинов-рынков не подтвердилась.
Таблица 5
Показатель нерациональности для групп, объединяющих товары одного магазина
№ класс-магазин ^тіп
1 магазин 12 1.0
2 магазин 30 1.0
161 магазин 350 1.0
162 магазин 36 1.00003
163 магазин 21 1.00006
197 магазин 258 1.00048
198 магазин 227 1.00051
199 магазин 114 1.00054
218 магазин 519 1.00095
219 магазин 327 1.00101
643 магазин 22 1.07729
Возможно, магазины с низким показателем нерациональности обладают некоторыми другими отличительными свойствами, например отдаленностью от других торговых точек. Тогда остальные магазины могли бы образовывать интегрируемые группы со своими географическими сосе-
дями. Однако в рамках данного исследования не представляется возможным проверить данную гипотезу, поскольку исследование основано на выборке, которая включает не все существующие торговые точки города Москвы, а следовательно, не представляется возможным определить группы территориально близких магазинов.
Сравнивая табл. 4 и табл. 5, можно заметить, что более двух третей классов-магазинов имеют показатель нерациональности, больший, чем единственный не интегрируемый при ш = 1 класс-бренд. Для безалкогольных напитков сегментация по брендам лучше отражает структуру потребительского спроса, чем сегментация по магазинам.
На рис. 9 и 10 приведены результаты расчета индекса Конюса-Дивизиа тремя способами. Первый способ — это расчет напрямую по всем товарам. Второй — с предварительным агрегированием по группам (рис. 9 — классам-брендам, рис. 10 — классам-магазинам), то есть для групп вычисляются индексы Конюса-Дивизиа, а затем по построенным индексам Конюса-Дивизиа рассчитывается индекс для всей статистики. Третий способ отличается от второго тем, что для групп считаются индексы Ласпейреса цен и спроса Паа-ше.
Рис. 9. Индекс торговой статистики безалкогольных напитков, построенный тремя способами (сегментация по брендам)
Рис. 10. Индекс торговой статистики безалкогольных напитков, построенный тремя способами (сегментация по магазинам)
Максимальные отклонения индексов цен, рассчитанные при сегментации по брендам: первый способ-второй способ — 6.62%, первый способ-тре-тий способ — 23.97%; сегментация по магазинам:
первый способ-второй способ — 12.67%, первый способ-третий способ — 15.69%.
Заметим, что вычисленный по второму способу индекс Конюса-Дивизиа с агрегированием по классам-брендам лучше согласуется с индексом, рассчитанным по всей торговой статистики (рис. 9). Это подтверждает особенность структуры спроса на данном рынке, выраженную в сегментации по брендам. С другой стороны, аналогичные графики на рис. 10 значительно расходятся, что говорит об отсутствии сегментации по магазинам.
Вычисляя для групп индексы Ласпейреса, мы повторили способ построения статистики статистическими службами. Получившийся в результате вычисления по третьему способу индекс довольно значительно отличается от индекса Ко-нюса-Дивизиа по всем товарам. Это говорит о том, что метод агрегирования, используемый при поэтапном вычислении индекса Конюса-Дивизиа, более адекватно отражает реальную структуру потребительского спроса.
Ш.2. Анализ потребительского спроса на компьютерное оборудование в супермаркете
Как мы видим, обобщенный непараметрический метод превращается просто в непараметрический, когда мы рассматриваем большую географически распределенную выборку магазинов. Почти все классы-бренды в статистике безалкогольных напитков интегрируются. Но также интересно посмотреть, как проявит себя обобщенный непараметрический метод на выборке, состоящей из одного магазина, пусть и очень крупного.
В качестве исследуемой торговой статистики были взяты продажи компьютерного супермаркета за период с 05.01.1999 по 21.12.1999. Статистика представляет собой базу накладных, выписанных за год. В каждом документе фиксировались дата/время продажи, количество выписанного и реально отпущенного товара, а также его цена.
Из имеющегося отрезка времени было выделено 25 периодов по 14 дней, начиная с 05.01.1999. Для каждого периода статистика была агрегирована — найдены суммарные продажи и средневзвешенные цены по товарам. Статистика состоит из 2146 товаров, разбитых товароведами на 21 класс. Результаты проверки рационализируе-мости этих классов приведены в табл. 6.
Лучше всего интегрируется группа «Все товары». Здесь, с одной стороны, проявляется одна из особенностей рассматриваемого рынка: неспособность большинства покупателей адекватно оценить товар из-за сложности технического устройства и обилия характеристик, список которых непрерывно меняется. С другой стороны, факт хорошей рационализируемости группы «Все товары» говорит о том, что покупатель, возможно, не разбираясь детально в характеристиках, в целом имеет четкое представление о том, что он хочет купить.
В табл. 7 представлены некоторые результаты проверки условий рационализируемости для объединений классов. Объединения классов имеют намного меньший показатель нерациональности, чем сами классы. Это связано с тем, что объединения полнее учитывают свойства взаимозаменяемости и взаимодополняемости. Хорошим примером служит то, что товары из класса «Память» образуют рационализируемую группу с «Процессорами» и «Сетевым оборудованием». Это иллюстрирует поведение потребителя: обычно покупатель приобретает память и процессор не по отдельности, а вместе, чтобы характеристики подходили друг к другу.
Также классы устройств охлаждения и контроллеров, которые очень плохо рационализируются сами по себе, в совокупности с группами «Память» и «Процессоры», имеют маленький показатель нерациональности. И действительно, эти товары покупаются чаще всего совместно.
Таблица 6
Показатель нерациональности для товароведческих классов в компьютерной статистике
Наименование ^тт Наименование ^тт
Все товары 1,0082 Дискеты и диски 1,0314
Расходные материалы 1,0089 Сканеры 1,0322
Сетевое оборудование 1,0109 Память 1,0337
Принтеры 1,0115 Колонки 1,0363
Процессоры 1,0163 Мониторы 1,0373
Звуковые карты 1,0181 Видеокарты 1,0527
Прочее 1,0183 Контроллеры 1,0889
Мыши 1,0202 Мат. платы 1,1041
Клавиатуры 1,0223 Винчестеры 1,1730
Оргтехника 1,0242 Устройства охлаждения 1,2575
СБ-КОМ / БУБ / Дисководы 1,0262
Таблица 7
Пороги рационализируемости для объединений классов
Наименование ^min
Память, Процессоры, Сетевое оборудование 1
Колонки, Память, Процессоры 1,00007
Звуковые карты, Память, Процессоры 1,00018
Контроллеры, Память, Процессоры 1,00047
Память, Процессоры 1,00058
Устройства охлаждения, Память, Процессоры 1,00074
Видеокарты, Процессоры, Сетевое оборудование 1,00096
Память, Процессоры, Прочее 1,00083
Память, Процессоры, Расходные материалы 1,001
В целом традиционные методы, связанные с использованием понятия «потребительской корзины», мало пригодны для исследования первичной статистики розничных рынков. Формально вычисленные индексы Ласпейреса и спроса Пааше лишь дают общую оценку уровня потребления товаров на данном рынке, но не позволяют исследовать структуру спроса и судить о степени рациональности поведения покупателей. Поэтому традиционная оценка, обычно используемая государственными статистическими службами, не слишком полезна для аналитических служб конкретного магазина или розничной сети.
Изучение спроса (анализ ассортимента), выделение групп взаимозаменяемых и взаимодополняющих товаров имеют первостепенное значение для организации торгово-технологического процесса магазина (заказ, прием и сортировка товара, предпродажная подготовка и размещение товара в торговом зале или на сайте интернет-магазина). ОНМ позволяет разработать классификатор товаров, удобный в использовании, как для продавца, так и для покупателя. Причем этот классификатор построен не исходя из умозрительных соображений, а из реального наблюдаемого потребительского поведения.
IV. Заключение
Проблемы мониторинга потребительского спроса (объемов продаж по каждой позиции ассортимента) в настоящее время в России чаще всего решаются либо экспертами и менеджерами на основании их личного опыта, либо с применением простейших математических процедур и решающих правил. В некоторых случаях наиболее крупными предприятиями и торговыми сетями (в основном входящими в состав крупных международных компаний) используются крайне дорогостоящие зарубежные программные системы. При этом указанные системы обычно оказываются плохо адаптированными для условий нестабильного, быстро развивающегося — и структурно, и экстенсивно — российского потребительского рынка. Учет факторов взаимозаменяемости товаров позволит адаптировать технологии
мониторинга спроса к российским особенностям складывающегося потребительского рынка в условиях отсутствия единой стратегии управления товарными потоками. В связи с вышесказанным чрезвычайно важным является создание системы мониторинга спроса на основе современных методик анализа структуры потребительского спроса, а также учета факторов воздействия взаимозаменяемости товаров. Разработка инструментальной технологической среды для создания систем мониторинга потребительского спроса позволит эффективно (сравнительно дешево и быстро) синтезировать и настраивать высокоточные системы регулирования потребительского поведения, корректно учитывающие такие факторы, как взаимозаменяемость товаров, для конкретных отечественных производителей, дистрибьюторов и торговых сетей. Подобные гибридные системы позволят адекватно отражать динамику предпочтений потребителей товаров и услуг, вести мониторинг и гибко управлять процессом ценообразования, количественно прогнозировать поведение потребителей при изменениях цен и объемов продаж, изменениях номенклатуры товаров. Разработка такой инструментальной технологической среды начата в [16], где описана система анализа потребительского спроса ИНДЕКС.
Авторы выражают искреннюю благодарность академику РАН А. А. Петрову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 08-07-00158 и № 09-01-13534 офи-ц), РГНФ (№ 08-02-00347), программы ПФИ ОМН РАН № 3, проект 14, ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (мероприятия 1.2.1, НК-15 П), ПФИ Президиум РАН № 14, проект 109.
Литература
1. Торвей Р. Индексы потребительских цен. — М.: Финансы и статистика, 1993.
2. Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. — М: Финансы и статистика, 1990.
3. Конюс А.А. Проблема истинного индекса стоимости жизни // Экономический бюллетень Конъюнктурного института. — 1924. — № 9-10.
4. Тихомиров В.М., Алексеев В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.
5. Шананин А.А. Проблема интегрируемости и обобщенный непараметрический метод анализа потребительского спроса // Труды МФТИ. — 2009. — Т. 1, № 4. — С. 84-98.
6. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1986.
7. Slutsky E.8 On the theory of the budget of the consumer // Readings in price theory. Ed. G. Stigler and K. Boulding. — Homewood, 1ll, Richard D. Irwin, Inc. — 1952. — P. 27-56.
8. Samuelson P. The problem of integrability in utility theory // Economica (new series). — 1950. — V. XVII, № 68. — P. 355-385.
9. Afriat S.N. On a system of inequalities in demand analysis and extension of the classical method // International economic review. — 1973. — V.14, N 2. — P. 460-472.
10. Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // The review of economic studies. — 1983. — V. L (1), № 160 (1). — P. 99-110.
11. Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса // Математическое моделирование. — 1993. — № 9. — С. 3--16.
12. Вратенков С.Д., Шананин А.А. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов //М.: ВЦ АН СССР. — 1991.
13. Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis // Dissertation № 95--32. — University of Limburg, Maastricht, the Netherlands. — 1995.
14. Петров А.А., Шананин А.А. Условия интегрируемости, распределение доходов и социальная структура общества // Математическое моделирование. — 1994. — Т. 6, № 8. — С. 105-125.
15. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Математическое моделирование. — 1998. — № 4. —
C. 105-116.
16. Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Д.А., Шананин А.А. Технологии анализа рынков на основе обобщенного непараметрического метода. — М.: ВЦ РАН, 2010.
Поступила в редакцию 27.09.2010.
8Первоначально статья опубликована в «Giornale degli Economisti», V. 51, 1915.
